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3.8 圆内接正多边形
教学内容 3.8 圆内接正多边形 课时 1
1.掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算.
核心素养 2.正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题.
目标 3.学生在探讨正多边形和圆的关系学习中，体会到要善于发现问题、解决问
题，培养学生的概括能力和实践能力.
1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)
2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；
知识目标
(重点)
3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)
教学重点 1．了解圆内接正多边形的有关概念；
2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；
教学难点 掌握圆内接正多边形的画法.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常看
设计意图：
到的. 你能从这些图案中找出基本的几何图形吗?
创设情境，激发学生学习
的兴趣和探究欲望，为本
节课的探究做好铺垫.
师生活动：教师提出问题，引导学生回答，师生
共同回顾、交流，适时做好总结．
预设：
二、探究
设计意图：
新知
让学生了解有关正多边形
的概念，引导学生逐步深
二、小组合作，探究概念和性质
入的学习.
知识点一：圆内接正多边形
1师：你能从这四幅图中找出多边形吗?它们都是几
边形?
生：三角形、六边形、四边形、五边形.
师：它们都是什么样的多边形?
生：它们的各边相等，各内角也相等，所以它们
都是正多边形.
师：这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?
生：顶点都在同一个圆上.
教师点评:我们把这样的多边形叫做圆内接正多边
形.
接着教师让学生总结圆内接正多边形的概念.
学生总结：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做
圆内接正多边形. 这个圆叫做该正多边形的外接
圆.
合作探究
教师引导学生思考下面的问题:
问题1 如何作圆内接正三角形?正四边形?正五边
形?正六边形?
问题2 怎样由圆得到正多边形呢？
师生活动：
让学生分组讨论，全班分成四个组分别作四种图
形，教师巡视，并参与到学生的讨论中去.
然后，展示学生作出的圆内接正多边形，小组代
表发言，口述他们的作法.
师生共同总结：利用平分圆的方法作圆内接正多
边形的方法：
把一个圆 n 等分(n ≥ 3)，依次连接各分点，所得 设计意图：学生经历观
的多边形是这个圆的内接正多边形. 察、 猜想操作的过程，
逐步掌握了圆内接正多边
形的相关概念和作法并利
以正五边形为例，了解圆内接正多边形的相关概 用类比推理的方法得到其
念. 性质，提高了学生解决问
提示：能否类比圆学习一下圆内正多边形 题的综合能力.
师生活动：根据圆的相关知识，学生举手回答正
多边形对应的相关知识概念.
2说一说
如图，五边形 ABCDE 是⊙O的内接正五边形，
说一说你知道的哪些知识点？
设计意图：
本环节一是检验学生学习
状况，二是让学生产生一
种利用新知解决问题的成
就感，提升学生学习积极
性.
典例精析
例1 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半
径 OC = 4，OG⊥BC，垂足为 G，求这个正六边
形的中心角、边长和边心距.
师生活动：
学生自主思考,独立解
题,老师给予订正.
解：连接OD，
∵ 六 边 形 ABCDEF 为
正六边形，
∴∠COD＝＝60°.
∴△COD为等边三角形．
∴CD＝OC＝4.
在Rt△COG中，OC＝4，CG＝2，
∴OG＝2.
∴正六边形ABCDEF中心角为60°，边长为4，边
心距为2. 设计意图：操作性强又富
有挑战性的数学活动，有
方法总结 利于激发学生的学习兴
圆内接正多边形的辅助线: 趣，掌握尺规作图的方法
1. 连半径，得中心角； 的同时，为下面的应用打
2. 作边心距，构造直角三角形. 下了良好的基础.
F E
A O D
R
r
B P C
做一做
已知 ⊙O 的半径为 r，求作 ⊙O 的内接正六边
形.
3师：通过例题探究圆的内接正六边形的边长与圆
的半径有什么关系?
生：由于正六边形的中心角为 60°，因此它的边
长等于外接圆的半径R.
师：你能利用圆的内接正六边形的边长与圆的半
径的关系利用尺规进行作图了吗?
生：在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，
就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形.
学生首先独立作图，然后小组交流，代表展示.
最后教师给出规范作法.
作法：(1) 作 ⊙O 的任意一条直径 FC；
(2) 分别以 F，C 为圆心，以 r 为半径作弧，与
⊙O交于点 E，A 和 D，B；
(3) 依次连接 AB、BC、CD、DE、EF、FA，便
得到正六边形 ABCDEF 即为所求.
设计意图：让学生知道中
做一做 考考点，慢慢接触中考知
你还能借助尺规作出圆内接正四边形吗？ 识点.
师生活动：
学生独立完成，代表说出作法.
链接中考
1. (雅安)如图，已知 ⊙O 的周长等于 6π，则该
三、当堂 圆内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OG 为
练习，巩
( )
固所学
设计意图：及时练习巩
固，体现学以致用的观
念，消除学生学无所用的
思想顾虑.
2. (青岛)如图，正六边形ABCDEF 内接于 ⊙O
，点 M 在 上，则 ∠CME 的度数为 (
)
A.30° B.36°
C.45° D.60°
4师生活动：
学生自主动手解决，老师进行订正.
三、当堂练习，巩固所学
1.下列说法正确的是（ ）
A. 各边都相等的多边形是正多边形
B. 一个圆有且只有一个内接正多边形
C. 圆内接正四边形的边长等于半径
D. 圆内接正n边形的中心角度数为
2. 已知正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，正六边
形的周长是 24 ，
则⊙O 的半径长是 ( )
3. 如图，已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的对
称中心，G，H 分别是 AF，BC 上的点，且 AG
= BH．
(1) 求∠FAB 的度数；
E D
(2) 求证：OG = OH．
F C
H
G
A B
拓广探索：如图，M，N 分别是☉O 内接正多边
形的边AB，BC 上的点，且 BM = CN.
(1) 图①中∠MON = °，图②中
∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2) 试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n
的关系.
圆内接正多边形
1．正多边形的有关概念
板书设计 2．正多边形的画法
3．正多边形的有关计算
5课后小结
本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨
析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式
教学反思 教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己
的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主
动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.
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