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2019 中考复习压轴题
“正方形中的旋转相似问题”专题探究
【原题】
已知：CN平分正方形ABCD的外角∠DCE，M是BC边上的一点，MN⊥AM.
求证：AM＝MN
【一、题中有法】
解题总策略：加减、进退、分合、动静。
策略口诀：少则加之，多则减之，能进则进，难进则退，分析解构，整合组块，以
动破静，以静制动。
1.加法：少则加之，图中有部分全等条件，将之添加补全即可得证。法（1）：如下图，添加AC'=CM，得ΔMCN≅ΔAC'M。
法（2）：作 NF⊥CE，由∠FCN=45°得 CF = NF，由∠B=∠NFM=90°得
ΔABM∽ΔMFN，再由之继续推导，如下图。2.动法：以动破静。
法（3）：由条件MN⊥AM，结论MN=AM，知其所在全等三角形是旋转 90度。
如下图所示：
我们可以换个旋转中心，将 ΔMCN 绕点 M 逆时针旋转 90 度，如下图，作
MC'⊥AC即可证ΔMCN≅ΔMC'A。法（4）：再换个旋转中心，将ΔMCN绕点C逆时针旋转90度，如下图，可证由
ΔMCN≅M'CN'再证四边形AMM'N'是平行四边形（两组对边平行）。
法（5）：再换个旋转方向，将ΔMCN绕点C顺时针旋转90度，如下图，可证由
ΔMCN≅M'CN'再证四边形AMN'M'是平行四边形（两组对边平行）。法（6）：再用翻变换，如下图，考虑到延长 AC后，CE平分∠NCN'，把△MCN
沿ME翻折，可证等腰△AMN'（AM=MN'）。
法（7）：与上图相对应，考虑到延长NC，CB平分∠ACA'，把△ABM沿BC翻折
可证等腰△MA'N（MN=MA'），如下图。
法（8）：把ΔABM逆时针旋转90°，再作M'N∥BC、M'A'∥MN、M'C'∥CN，
由∠A'=∠CMN=∠BAM 得∠ΔABM∽ΔA'BM'，且有平行四边形 MNM'A'，
CNM'C'，CM=A'C'，推导如下。法（9）：若把ΔABM旋转如下图（注意因为没有等线，不可以直接旋转，应作
平行线B'M、B'N），请读者自行推导。
3.进法：能进则进。法（10）：从∠AMN=90°前进，构造直角三角形，应用勾股定理。
4.合法：整合组块。
法（11）：连接AC、AN，出现四点共圆基本模型，由∠AMN=∠ACN=90°，知
A、M、C、N四点共圆，易得∠ANM=∠ACB=45°，得AM=MN。【二、题中有题】
原题还能延伸出其它相关问题吗？
1.条件置换：把条件作对等变换，如线段上的点运动到其延长线上，正方形变
为正三角形等。
（1）图形中点M是BC边上的动点，把M点的运动位置变换到BC的延长线上
（如下图），结论还成立吗？上面的方法还能应用吗？
（2）继续把M点的位置变换到B点的左侧时（如下图），还成立吗？尝试发现，不管是结论还是作辅助线的方法都完全一样，证明过程也基本相同
（3）把正方形变成正三角形。
已知：CN 平分正三角形 ABC 的外角∠ACE，M 是 BC 边上的一点，
∠AMN=60°.
求证：AM＝MN
若把正方形变成其它正多边形同样成立。
2.条件叠加：附加其它条件和问题，使问题信息容量加大，综合性更强。（4）如下图，连结AN交CD于F，连结MF，还可以得到哪些新的结论？
容易想到∠MAN＝∠MNA＝45°，再看有没有包含已做过的图形？MF 与
BM、DF有什么关系？
请解答：添加条件“正方形边长为 4，DF=1，求BM的长。“
3.条件弱化：把条件的特殊性去掉，使之更一般化。
（5）猜想：AM=MN是因为正方形的条件使图中存在全等关系，那么正方形改
为矩形，AM与MN还能保持相等吗？CN平分∠DCE需要改变吗？题目原图实质是等腰直角ΔABC进行相似变换得ΔAMN，由一转成双相似模
型可推得ΔACN∽ΔABM，因此∠ACN=∠ABM=Rt∠，这是图形的根本特征，
正方形条件只是提供了等腰直角ΔABC，D点擦去也无关紧要。
自然得出：如“正方形”变成“矩形”，“等腰直角ΔABC”中“等腰”的特
殊性就没有了，就会变成把“直角ΔABC”进行相似变换，如下图，题目变为：
已知：矩形ABCD中，BC=2AB，M是BC边上的一点，AM⊥MN，AC⊥CN.
求证：MN＝2AM
再看证明方法，前面的方法可以再一次使用：作MF∥AC，构造相似三角形。还有更简单的方法：作以AN为直径的辅助圆。如下图：
（6）把M点的位置扩展到直线BC上，仍然成立。题目中D点是多余的，可以把题目精简为：
已知：ΔABC中，∠B=90°，BC=2AB，M是直线BC边上的一点，AM⊥MN，
AC⊥CN.
求证：MN＝2AM
（7）继续一般化：
已知：ΔABC中，BC=nAB，M是直线BC边上的一点，∠B=∠AMN=∠ACN.
求证：MN＝nAM【三、题中有理】
哲学思考是对世界的深度认识，解决问题的过程中可以体验并感悟事物变化
规律及其蕴含的哲理，培育理性精神和处事智慧。
上图体现了事物的普遍联系，由MN⊥AM可知全等三角形的三组对应边都是
垂直关系，整个三角形是旋转90度的关系。下图是ΔMCN绕M点旋转90度。
下图是ΔMCN绕C点旋转90度。
下图是ΔMCN沿ME翻折。以上可以体现事物是在运动变化过程中产生联系的，并且运动方式是多种多
样的。
下图可以看成是 ΔMCN绕CM的中点旋转 180度，也可以看成是 ΔABM绕
B点旋转90度，体现了系统结构中发展变化的和谐统一。
下图是构造辅助圆，把相关元素集中到同一圆中，证法简洁漂亮。圆具有最完
美的对称性，圆中的元素能产生丰富而紧密的联系，因此使问题清晰明了易解
下图把M点运动到BC的延长线上，结论与方法不变。下图把正方形换成正三角形，结论与方法不变。
以上可以体现同类事物的一致性和相容性。
下图把正方形变成矩形甚至变成一般三角形，条件变化导致结论进行了相应
变化，但换个角度看所变各题与原题的内在逻辑仍有共性：比值相等，保持
AM：MN=AB：BC（正方形邻边比是1：1，矩形邻边比是1：n）。
