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8 上 第 13 章轴对称 单元作业
第1课时 轴对称
一、基础训练
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图
形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，图中有且只有三条对称轴的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A．角 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
4．下列图形中，△A'B'C'与△ABC关于直线MN成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．5．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，
在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成
轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（ ）
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
6．下列说法正确的有 （填序号）
①任何一个图形都有对称轴；②两个全等三角形一定关于某条直线对称；③线段是轴对
称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；④点A，B在直线l两旁，且AB与直线l
相交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称
7. 如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中，不一
定正确的是 （填序号）
①AC＝A'C' ②AB∥B'C' ③AA'⊥MN ④BO＝B'O
8．黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请至少再写出三个具有这种特征的汉
字： ．
9．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，并且AB＝6，
BC＝3，求A'C'的取值范围．
10．如图，DE垂直平分AB，已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，求BC的长．二、拓展提升
11．请画出下列轴对称图形的所有对称轴．
12．如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形你
能画出几个?
13．如图，用黑、白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成如图一列图
案：
（1）图案4中有白色纸片 张；
（2）用含n的式子表示：图案n中有白色纸片 张．
三、综合实践
14．在美术字中，有些汉字、英文字母和阿拉伯数字是轴对称图形．如图，画出这些汉字、
英文字母和数字的对称轴，或者把他们补成轴对称图形．
你能再写出几个轴对称的美术字吗？画出他们的对称轴，并与同学交流．第2课时 线段的垂直平分线的性质
一、基础训练
1
1．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧相交于点E，
2
F，连接AE，BE，作直线EF交AB于点M，连接CM，则下列判断不正确的是（ ）
A．AB＝2cm B．EF⊥AB C．AE＝BE D．AM＝BM
1
2．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 BC长为半径画弧，两弧相交于
2
点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC 于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，
BC＝6，则△ABD的周长为（ ）
A．18 B．19 C．22 D．25
3．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则（ ）
A．点P在∠ABC的平分线上
B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上
D．点P在边BC的垂直平分线上4．如图，线段AB，BC的垂直平分线l ，l 交于点O，若∠1＝30°，则∠AOC的度数是（ ）
1 2
A．50° B．60° C．70° D．80
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分
线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC＝10，EF＝3，则△AEF的周长是（ ）
A．7 B．10 C．13 D．16
6．如图所示，用两个钢索加固直立的电线杆，若要使 AB 与 AC 的长相等，需添加条
件 ，这样做的理由是 ．
1
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于2AB）为半径作弧，
两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若△CDB
的面积为12，△ADE的面积为9，则四边形EDBC的面积为8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（－3，0）、点B（－1，
2）、点C（3，2），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标是 ．
9．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，求∠DAE的度数．
10．已知：如图，P是∠AOB内的一点，P ，P 分别是点P关于OA、OB的对称点，P P
1 2 1 2
交于点OA于点M，交OB于点N，若P P ＝5cm，求△PMN的周长．
1 2
二、拓展提升
11．尺规作图，保留作图痕迹：如图，求作一点M，使MC＝MD，且使M到∠AOB两边的
距离相等．12．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这
两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）求线段BC；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．
13．如图，△OBC中，BC的垂直平分线DP交∠BOC的平分线于D，垂足为P．
（1）若∠BOC＝60°，求∠BDC的度数；
（2）若∠BOC＝α，求∠BDC的度数．
三、综合实践
14．我们知道，顶角为36°的等腰三角形被称作为“黄金三角形”，蕴含着丰富的美学价值．现
有一张顶角为36°的等腰三角形纸片，你可否借助所学知识，利用剪刀把三角形纸片剪
成三张小三角形，使每张小纸片都是等腰三角形，你能想到那些剪法呢？它们的依据又
是什么呢？请尽可能尝试多种方法，画出示意图并简要说明．第3课时 画轴对称图形
一、基础训练
1．分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B1
两点，再分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，
2
CB，CD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．CA＝CB B．CD⊥直线l
C．点C，D关于直线l对称 D．点A，B关于直线CD对称
4．如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P 与点P关于OB对称，点P 与点P
1 2
关于OA对称，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠P OP ＝60°
1 2
B．∠P PP ＝150°
1 2
C．OP ＝OP
1 2
D．P，P ，P 三点所构成的三角形是等腰三角形
1 2
5．将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪
去一个角，展开铺平后的图形是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC与△A B C 关于直线l对称，将△A B C 向右平移得到△A B C ，由此得
1 1 1 1 1 1 2 2 2
出下列判断：①AB∥A B ；②∠A＝∠A ；③AB＝A B ．其中正确的有 ．
2 2 2 2 2A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴
对称图形，能满足条件的线段有 条．
8．如图，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格
点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，它们分别是 ．
9．如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，在图中剩余的方格中涂黑一个正方
形，使整个阴影部分成为轴对称图形，画出所有可能的结果．
10．如图所示图形曾被哈佛大学选为入学考试的试题，请在下列一组图形符号中找出它们所
蕴含的内在规律，然后在图形空白处填上恰当的图形．
二、拓展提升11．图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C
均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，
N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，
Q为格点．
（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为
格点．
12．如图，已知△ABC和直线l，l'，其中l∥l'，请画出△ABC 关于直线l的轴对称图形△
A B C ，再画出△A B C关于直线l′的轴对称图形△A B C ，观察△ABC和△A B C ，
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
你有什么发现？
13．如图（1），在△ABC中中，直线ME垂直平分AB，分别交AB、BC于点E、M，直线
NF垂直平分AC，分别交AC、BC于点F、N．
（1）求证：△AMN的周长等于BC的长；
（2）结合（1）的启发，解决下列问题：如图（2），在∠AOB＝60°内部有一定点P，且
OP＝4，试在OA、OB上确定两点M、N，使△PMN周长最短．
三、综合实践
14．我们认识了图形的三种基本变换：轴对称、平移和旋转，利用图形的这三种基本变换，
可以设计出各种各样的漂亮图案．现有如图1所示的瓷砖若干块，
（1）请用4块如图1所示的瓷砖，在图2所示方格纸上设计出一个美丽的图案．
（2）利用你在（1）中设计的图案，通过轴对称、平移或旋转，在图3所示方格纸上设
计出更大更美丽的图案，并与同学交流.
第4课时 用坐标表示轴对称
一、基础训练
1．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（－2，－3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－3，－2）
2．在平面直角坐标系中，若点P（a－3，1）与点Q（2，b＋1）关于x轴对称，则a＋b的
值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．点A（－3，5）与B（5，5）关于某一直线对称，则对称轴是（ ）
A．x轴 B．y轴 C．直线x＝1 D．直线y＝1
4．等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是（－2，0），（6，0），则其顶点
的坐标，能确定的是（ ）
A．横坐标 B．纵坐标
C．横坐标及纵坐标 D．横坐标或纵坐标
a
5．已知点P（a＋1，－ ＋1）关于y轴的对称点在第一象限，则a的范围在数轴上表示正
2
确的是（ ）
A． B．
C． D．6．已知点A（－2，1）与B点关于直线x＝1成轴对称，则点B的坐标是 ．
7．已知：平面直角坐标系中，点M的坐标是（a，b）且点M与点N关于y轴对称，则点
N关于x轴对称的点的坐标是 ．
8．已知点A（－2，3）和B（2，－2），将点A向 平移 个单位长度后得到的
点与B点关于y轴对称．
9．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，
蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（2m，
－n），其关于y轴对称的点F的坐标（3－n，－m＋1），求（m－n）2022的值．
10．在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（ 3，
2），求经过第2021次变换后所得的点A的坐标．
二、拓展提升
11．如图在平面直角坐标系中，已知△ABO的顶点坐标分别是A（3，3），B（－2，2），O
（0，0）．
（1）画出△AOB关于y轴对称的△COD，其中点A的对应点是点C，点B的对应点是
点D；
（2）求△COD的面积．
12．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（－2，－1）．（1）在图中作出△ABC 关于 x 轴的对称图形△A B C ，并直接写出点 C 的坐
1 1 1 1
标： ；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P（a，a－2）与点Q关于x轴对称，若PQ＝6，求点P的坐标．
13．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出△A B C 各顶点的坐标；
1 1 1 1 1 1
（2）将△ABC向右平移6个单位长度，作出平移后的△A B C ，并写出△A B C 各顶点
2 2 2 2 2 2
的坐标；
（3）观察△A B C 和△A B C ，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图中画出这条
1 1 1 2 2 2
直线；
（4）求△ABC的面积．
三、综合实践
14．如图，小球起始时位于（3，0）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，请
用坐标描述这个运动，找出小球运动轨迹上几个关于直线l对称的点．如果小球起始时位于（1，0）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹并思考
第2023次碰到球桌边时，小球的位置是？若改变平面直角坐标系的位置，你还能提出什么
问题？你有怎样的发现？
第5课时 等腰三角形（1）
一、基础训练
1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．中线
B．底边上的中线
C．底边上的高
D．底边上的中线所在的直线
2．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC
于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠EBC＝∠BAC B．∠EBC＝∠ABE C．BE＝EC D．BC＝CE
3．等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ）
A．40°40° B．80°20°
C．50°50° D．50°50°或80°20°
4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD＝BE，CD＝CF，∠
A＝70°，则∠FDE等于（ ）A．40° B．45° C．55° D．60°
5．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在
格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个．
A．7 B．8 C．9 D．10
6．如图，如果△ABC外一点O满足OA＝OB＝OC，∠OAB＝45°，∠OBC＝24°，那么∠
OCA的大小是 °．
7．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是 ．
8．已知等腰三角形的周长20cm，一边长为8cm，则它的腰长是 ．
9．△ABC中，AB＝AC，底角为70°，点D在边AC上，BD将△ABC分成两个三角形，当
这两个三角形有一个是以BD为腰的等腰三角形时，求∠ADB的度数．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C
重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE
是等腰三角形，求∠BDA的度数．
二、拓展提升
11．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝EC．12．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，AE分别交
CD、BC于点F、E，过点E作EG⊥AB于点G．求证：CF＝EG．
13．如图，点D、E分别在BA、AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE，求证：DE⊥BC．
三、综合实践
14．请认真阅读人教八上教材84页“实验与探究”相关内容，对“等边对等角”、“大边对大角”
中体现出来的“相等”与“不等”关系写一写你的认识（200字左右，可结合图形或案例阐
释）．第 6 课时 等腰三角形 2
一、基础训练
1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是【 】
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．如图所示，△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝2
∠BAD，则图中等腰三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．在平面直角坐标系中，已知点A（2，－2），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，
则符合条件的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，在5×5的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC
和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．如图，已知△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，
交AC于点E，若BD+CE＝9，则线段DE的长为 ．
6．若三角形的三边a，b，c满足（a－b）（b－c）（c－a）＝0，则它一定是 三角
形．7．如图，已知S ＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S ＝ m2．
△ABC △ADC
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于点H．若AB＝15，CE＝9，则CH＝ ．
9．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝
BA．
（1）求证：∠ACB＝∠AEB；
（2）求证：AD＝AE＝CE．
10．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，
BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形．
二、拓展提升11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC
于点H．求证：CH＝EH．
12．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B，
求证：△CDE是等腰三角形．
13．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．
①求证：BE＝AF；
1
②若S ＝ S ＝2，求S ；
△BDE △ABC △CDF
6
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF．
①BE＝AF还成立吗？请利用图②说明理由；
1
②若S ＝ S ＝8，直接写出DF的长．
△BDE △ABC
4
三、综合实践14．猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?如图，你可以将等腰三角形
ABC 沿对称轴AD折叠，观察DE与DF的关系，并证明你的结论．
如果DE、DF分别是AB、AC上的中线或∠ADB、∠ADC 的平分线，他们还相等吗？
由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些线段相
等？请你与同学们交流并证明其中的一些结论．
第 7 课时 等边三角形 1一、基础练习
1．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三
个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的
高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④
2．已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件，
现有下面三种说法：
①如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
②如果添加条件“AB，BC上的中线相等”，那么△ABC是等边三角形；
③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
上述说法中，正确的说法有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC
和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连
接PQ．以下结论错误的是（ ）
A．AD＝BE B．AP＝BQ C．PQ∥AE D．∠AOB＝50°
4．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不
一定成立的是（ ）
A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA
5．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为 ．
6．如图，在△ABC 中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F，连接CF，若△AFC
是等边三角形，则∠B的度数是 ．
7．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG
＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝a，则△MGQ周长是 ．
8．如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，连接BD，若∠DBC＝41°，
∠CAD＝ °．
9．如图，已知△ABC 为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，AD与BE交于点F．
（1）证明：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
10．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，
得到△DEF为等边三角形．求证：
（1）△AEF≌△CDE；
（2）△ABC为等边三角形．
二、拓展提升
11．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点
E，A在直线DC同侧，连接AE．求证：
（1）△AEC≌△BDC；
（2）AE∥BC．
12．△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE＝60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E．
（1）如图1，点D在BC上，求证：CA＝CD+CE；
（2）如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之间的数量关系，
13．已知A（－10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．
（1）求点B的横坐标；
（2）如图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，
连结OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．
三、综合实践
14．如何利用长方形纸片折出等边三角形？你有多少种不同的折法？请与同学交流并证
明．
第 8 课时 等边三角形 2一、基础练习
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，以下说法错误的是（ ）
A．AD＝2CD B．AC＝2CD C．AD＝3BD D．AB＝2BC
2．如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，
则AC的长是（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
3．如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EF∥AB交BC于点F，
已知AE＝5，则△EFC的周长为（ ）
A．60 B．45 C．30 D．15
4．如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，AC的垂
直平分线交AC于点G，交BC与点F，连接AD、AF，若AC＝3 2，BC＝9，则DF等
于（ ）
9 7
A． B． C．4 D．3 2
4 2
1
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，下列结论：①BC＝ AB；
21 1 1
②BD＝ AD；③CD＝ AC；④BD＝ BC；其中正确的有（ ）
3 2 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD
的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
7．如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，则
BD＝ ．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，
7
DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE+DF＝ ，连接AD，则AB＝ ．
3
9．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于E交BC边延长线于F，AE＝1．求BF的长．
10．如图，已知等边三角形ABC，D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F
作FH⊥BC，垂足为H，若等边三角形ABC的周长为12，求BH的长．
二、拓展提升
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点
D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
12．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求AD的长．
13．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．（提
示：过点E作EF∥BC，交AC于点F）
（3）【拓展结论，设计新题】
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，
若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
三、综合实践
14．八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到并证明
Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？可否用不同的方法对上述中的结
论进行证明呢？请与同学交流合作并写出你的证明方法．
第 9 课时 最短路径问题一、基础训练
1．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E
是AC边上一点．若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．30° B．45°
C．25° D．20°
2．如图，等边三角形ABC的边长为2，A、B、A1 三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1 ．若
D为线段BC1 上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
3．如图，直线l1 ，l2 表示一条河的两岸，且l1 ∥l2 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两
岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A．路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
4．如图，边长为2a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，
在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 （用含a，
b的式子表示）．
5．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在
BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是 ．6．阅读理解：
如图1，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
做法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，AB′与直线l的交点P就是所
求的点．
实践运用：
如图2，在平面直角坐标系中，已知两点A（－4，3），B（11，5）．
（1）按前述做法，在x轴上找一点C，使CA+CB的值最小；
（2）（1）中点C的坐标为
拓展延伸：当x为何值时， x2＋4+ (12－x)2＋9的值最小？并求出最小值．
7．如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大．
8．如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．
9．（1）画图探究：如图1，若点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使AP+BP
的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．（2）实践运用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，E为AB的中点，P
是BC上一动点，则PA+PE的最小值是 ；
（3）拓展延伸：如图3，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一定点，PO＝10，Q，R分别是
OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
10．如图，等腰直角△ABC中，AB＝BC，点E为AB上一定点，将△ABC沿AC翻折至△
ADC，在AC上求作点P，使△PBE的周长最小．
二、拓展提升
11．如图，∠AOB内有一点P，在OA、OB上分别找点M、N，使△PMN的周长最小．
12．如图，∠AOB内有两点P、Q，在OA、OB上分别找一点M、N，使四边形PQMN的周
长最小．
13．如图，直线l1 ∥l2 ，A，B为两定点，M，N两点分别在直线l1 ，l2 上，且MN⊥l2 ，请确
定M，N的位置，使AM+MN+BN最小．（不写作法，保留作图痕迹）三、综合实践
14．经过实验，人们发现了光线的反射定律与折射定律．反射定律说的是光线的入射角等于
反射角；折射定律说的是光线的入射角与折射角之间有一个特定的数量关系．1657年，
法国数学家费马 (P.Fermat, 1601一1665） 将光线的反射定律与折射定律统一起来，
提出著名的光行最速原理，光线所行进的 “光程”最短，简略地说，当光线行进时入
射角等于反射角，光行进的时间最短，由于是在同一媒质中传播，因而也就是光线行进
的路程最短．这是可以用数学方法证明的．请结合所学内容写一写你的认识（200字左
右，可结合图形阐释）．
第 10 课时 复习与小结一、基础训练
1．下列图形中，一定不是轴对称图形的是（ ）
A．线段
B．角
C．正方形
D．有一个内角为45°的三角形
2．若点P关于x轴的对称点为P1 （2a＋b，－a＋1），关于y轴的对称点为P2 （4－b，b＋2），
则P点的坐标为（ ）
A．（9，3） B．（－9，3） C．（9，－3） D．（－9，－3）
3．下列说法错误的是（ ）
A．D，E是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD＝BD，AE＝BE
B．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
C．若AD＝BD，AE＝BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
D．若PA＝PB，则过P点的直线是线段AB的垂直平分线
4．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．75°或15° B．75° C．15° D．75°和30°
5．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上的任意一点，PD∥OA，交OB于点
D，PE⊥OA于点E，若OD＝6cm，则PE的长为 cm．
6．如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S
△ABC
＝8，点P是边BC上的一动点，点
P 关于直线 AB，AC 的对称点分别是 M，N，连接 MN，则 MN 的最小值
为 ．
7．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在边AB上，连接CD．有以下4种说法：①当DC＝DB时，△BCD一定为等边三角形；
②当AD＝CD时，△BCD一定为等边三角形；
③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等边三角形；
④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等腰三角形．
其中错误的是 ．（填写序号即可）
8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格的交点）．
（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1 ；
（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，求△A1B1C1 的面积．
9．在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：
AC＝2BE．
10．已知：如图，等边△ABC的边长为8，D为AC上的一个动点，延长AB到点E，使BE
＝CD，连接DE交BC于点P．
（1）求证：DP＝EP；
（2）若D为AC的中点，求BP的长．
二、拓展提升11．小聪与同桌小明在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，
点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，试确定线段AE与DB的大小关系，
并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：
当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：
AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理
由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你将剩余的解答过
程完成）
（3）拓展结论，设计新题：
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，若△
ABC的边长为1，AE＝2，则CD的长为 ．（请你画出图形，并直接写出
结果）．
12．已知，在△ABC中，作AD⊥BC于D，且AD＝BD，作BE⊥AC于E，AD和BE所在
的直线交于H点．
（1）如图，当∠BAC为锐角时，请找出图中与BH相等的线段，并说明理由；
（2）当∠BAC为钝角时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？请画出图形并说明理
由．
13．若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC 与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC 的边BC上的高AH 叫做△ADE
的“余高”．如图，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．
（1）若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”： （填
“是”或“否”）；
（2）当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝3，则DE＝ ；
（3）当0＜∠BAC＜180°时，判断DE与AH之间的数量关系，并说明理由．
