初中数学八年级上册第15单元分式单元作业_0作业_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学苏科版试卷_《优秀作业单》_八年级

八年级上册第 15 章 分式
第 1 课时 《从分数到分式》
一、基础练习
2 2 b 3a+1
1．在 ， a，－ ， 这四个代数式中，是分式的是【 】
a 3 2 2
2 2 b 3a+1
A． B． a C．－ D．
a 3 2 2
|x|－2
2．若 的值等于0，则x的值是【 】
x＋2
A．2 B．－2 C．2或－2 D．0
2－x
3．对于分式 ，下列说法错误的是【 】
2x－6
A．当x＝2时，分式的值为0 B．当x＝3时，分式无意义
8
C．当x＞2时，分式的值为正数 D．当x＝ 时，分式的值为1
3
x－b
4．当x＝3时，分式 没有意义，则b的值为【 】
x＋2b
3 3
A．－3 B．－ C． D．3
2 2
1
5．使分式 有意义的x的取值范围是 ．
x－5
x2－4
6．当x＝ 时，分式 的值为零．
x＋2
7．下列四个代数式1，π，x2－1，x+1，请从中任选两个整式，组成一个分式为 ．
（只需写出一个即可）
8．小林家距离学校am，平时骑自行车上学需要12min．若某一天小林从家出发比平时晚
了bmin，他为了按平时的时间准时到校，则速度应为 m/min．
9． 当x取什么值时，下列分式有意义？
x x－1 1 x＋5
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
2x－3 x＋2 x(x－1) x2＋1
x＋y
10． 已知分式 ，根据给出的条件，解答下面的问题：
2x－y
（1）当x＝1时，分式的值为零，求2x＋y的值；
（2）如果|x－y＋4|+（x＋y－2）2＝0，求分式的值．二、拓展提升
x－n
11． 已知分式 ，当x＝－4时，该分式没有意义：当x＝－5时，该分式的值为0，
x＋m
求（m＋n）2016的值．
m m＋3n
12．若 ＝2，求分式 的值．
n m－n
A
13．分式的定义告诉我们：“一般的，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成 的形式，
B
A
如果B中含有字母，那么称 为分式”，我们还知道：“两数相除，同号得正”．请运用
B
这些知识解决问题：
1
（1）如果分式 的值是整数，求整数x的值．
x＋1
x
（2）如果分式 的值为正数，求x的取值范围．
x＋1
三、综合实践
ac＋bd－ce
14．代数式M＝ 中的所有字母均不为零．我们把a，b，c，d，e中的某两个字
c
母变为其相反数后再将这两个相反数对调位置，称为第一次“相反变换”，得到代数式
M1 ，将M1 中的某两个字母变为其相反数后再将这两个相反数对调位置，称为第二次“相
反变换”，得到M2 ，……．例如：对M中的a、b进行一次“相反变换”，记为（a，b）
－bc－ad－ce
相反变换，得到M ＝ ，其中（a，b）相反变换和（b，a）相反变换为
1
c
相同的变换．请设计方案：经过四次不同的相反变换后，M＝M4 ．八年级上册第 15 章 分式
第 2 课时 《分式的基本性质（1）》
一、基础练习
xy
1． 如果把分式 中的x，y都扩大2倍，那么分式的值【 】
3x－y
A．缩小2倍 B．扩大2倍 C．不变 D．扩大4倍
2． 若a≠b，则下列分式化简正确的是【 】
a＋2 a a－2 a 2a a a2 a
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
b＋2 b b－2 b 2b b b2 b
3． 下列说法错误的是【 】
x＋1
A．若式子 有意义，则x的取值范围是x≠－1或x≠1
x2－1
x＋y
B．分式 中的x，y都扩大原来的2倍，那么分式的值不变
x
x＋2
C．分式 的值不可能等于0
|x|－2
3
D．若 表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
x＋1
1
4．分式－ 可变形为【 】
－1＋x
1 1 1 1
A． B． C．－ D．
1－x 1＋x 1＋x x－1
5．填空：
3a （ ） a＋2 1
（1） ＝ （a≠0）； （2） ＝ ．
5xy 10axy a2－4 （ ）
6． 如果6x＝3y－x，那么x：y＝ __．
(x－1)(x－2) x－1
7． 已知 ＝ 成立，则x的取值范围是 ．
x(x－2) x
3 4 5 ab－bc＋ac
8． 若 ＝ ＝ ，则分式 ＝ ．
a b c a2＋b2＋c2
9． 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号．
－5a －2 －3y
（1） ； （2）－ ； （3） ．
－13x2 －ab －x－2
10．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数：
2 3
x－ y
3 2
0.3a－2b
（1） （2） ．
5 －a＋0.7b
x＋y
6二、拓展提升
11．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母中x的最高次项系数都是正数．
2x＋1－x2 －1－3x＋x3
（1） ； （2） ．
－3－2x 2－x2
1 1 2a－ab－2b
12．已知 － ＝2，求 的值．
a b a＋ab－b
13．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的
基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次
数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以
x＋1 x－1＋2 x－1 2 2
化成整式与真分式的和的形式．如： ＝ ＝ ＋ ＝1＋ ．
x－1 x－1 x－1 x－1 x－1
（1）下列分式中，属于真分式的是 ；
x2 x－1 3 x2＋1
A． B． C．－ D．
x－1 x＋1 2x－1 x2－1
m2＋3
（2）将假分式 化成整式和真分式的形式．
m＋1
三、综合实践
x2＋y2 x2－y2
14．王刚和杨明在一起做寒假作业，粗心的王刚把题中 写成 （其中x＞0，y＞0，
x＋y x－y
且x≠y），当杨明发现后告诉他说：“这样写，分式的值扩大了．”王刚却不以为然地说：
“这样写，分式的分子、分母都缩小了，分式的值不会改变．”二人争执不下，去找老师
评理．
亲爱的同学们，你能判断出他们的意见谁正确呢？结合你的认知阐述一下你的探索
过程与心得．八年级上册第 15 章 分式
第 3 课时 《分式的基本性质（2）》
一、基础练习
1 1
1．分式 与－ 的最简公分母是【 】
6x2 3xy
A．6x3y B．6x2y C．18x2y D．18x3y
2．下列各式中，不能约分的分式是【 】
2a a a＋b a2－ab
A． B． C． D．
4a2b a2－3a a2＋b2 a2－b2
4m－m2 m（4－m） m
3．在化简 ＝ ……①＝ ＝……②其中步骤①、②的运算依据分
m2－8m＋16 （4－m）2 4－m
别属于【 】
A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分
C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分
1 1 2
4．把 ， ， 通分过程中，不正确的是【 】
x－2 (x－2)(x＋3) (x＋3)2
1 (x＋3)2
A．最简公分母是(x－2)(x＋3)2 B． ＝
x－2 (x－2)(x＋3)2
1 x＋3 2 2x－2
C． ＝ D． ＝
(x－2)(x＋3) (x－2)(x＋3)2 (x＋3)2 (x－2)(x＋3)2
2x＋4
5．将分式 化为最简分式，所得结果是 ．
x2－4
2 2 1
6． 分式 ， ， 的最简公分母是 ．
3x2(x－y) 3x－3y 2xy
7． 化简：
－36xy2z3 8－2m
（1） ＝ ； （2） ＝ ．
6yz2 m2－16
|x－1| |x－2|
8． 当1＜x＜2，化简 ＋ 的值是 ．
1－x x－2
9． 把下列各式约分．
4a2b x2－4 a2－b2
（1） ； （2） ； （3） ．
6abc x2－4x＋4 －a－b
10．通分：
3 a－b 2 1
（1） ， ； （2） ， ；
2a2b ab2c m－3 2(m＋3)
1 1 a b c
（3） ， ； （4） ， ， ．
x2－x x2－2x＋1 x－y 3y－3x x2－2xy＋y2二、拓展提升
1 2
11．已知分式 ， ．若a是这两个分式分母的公因式，b是这两个分式的最简公
3x2－3 x－1
b
分母，且 ＝－6，试求这两个分式的值．
a
12．某村种植甲种玉米a公顷和乙种玉米b公顷，总产量为x千克；水稻的种植面积比玉
米少2b公顷，总产量比玉米的2倍少y千克，写出表示玉米和水稻的单位面积产量（单
位：千克/公顷）的式子．如果两式的分母不相同，请进行通分．
13．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其
倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的．
x 1 1
例：已知 ＝ ，求代数式x2＋ 的值．
x2＋1 5 x2
x 1 x2＋1 x2 1 1
解：∵ ＝ ，∴ ＝5即 ＋ ＝5，∴x＋ ＝5．
x2＋1 5 x x x x
（1）请继续完成上面问题的求值过程；
x x2
（2）请仿照上述方法解决问题：已知 ＝4，求 的值．
x2－x－1 x4＋x2＋1
三、综合实践
14．同学们，本课时我们类比分数的基本性质学习了分式的基本性质：分式的分子
与分母乘(或除以)同一个不等于 0 的整式，分式的值不变.如果分式的分子和
分母同时加上同一个不等于 0 的整式，分式的值会发生改变吗?请同学们
思考并回答问题．
3 3＋m
对于分数 的分子和分母同时加上m(m＞0),得到的这个分式 的值是增
4 4＋m
x
大了还是减小了?类比分数的大小的比较，对于分式 （x＞0，y＞0）分的分子
y
和分母同时加上 m(m＞0)，你能得到什么结论呢?可以举例说明．八年级上册第 15 章 分式
第 4 课时 《分式的乘除 1》
一、基础练习
a b
1．计算 · 的结果是【 】
b ac
ab a 1
A． B． C． D．0
abc c c
a2b ab
2．化简 ÷ ，正确结果是【 】
mn2 3mn
3b 3a 3b 3a
A． B． C． D．
m mn mn n
a2－4
3．化简：（a－2）· 的结果是【 】
a2－4a＋4
a＋2 a－2
A．a－2 B．a+2 C． D．
a－2 a＋2
a2－1 a－1
4．化简 ÷ 的结果是【 】
a2＋2a＋1 a
a 1 a＋1 a＋1
A. B. C. D.
a＋1 2 a a＋2
1
5．计算： a÷ ·b＝__________．
b
12xy
6．计算： ÷8x2y＝__________．
5a
2x＋2y 10ab2
7．化简 · ＝__________．
5a2b x2－y2
a b 5a－2b
8．已知 ＝ ≠0，式子 ·(a－2b)的值为__________．
2 3 a2－4b2
x2－6x＋9 x2－9 x＋3
9．计算： ÷ · ．
x2－x－6 x2－3x－10 2x－10
x2－1 2x2－2
10．计算： ÷ ÷(x－1)2.
x2＋2x＋1 4x2＋8x＋4
二、拓展提升
11．阅读下列解题过程，然后回答后面问题
1 1 1
计算：a2÷b· ÷c· ÷d·
b c d
1 1 1
解：a2÷b· ÷c· ÷d·
b c d
＝a2÷1÷1÷1 ①
＝a2 ②请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确
的解题过程．
x2－2xy＋y2 x－y
12．小明在做一道化简求值题：计算：（xy－x2）÷ · ,他不小心把条件x的
xy x2
值抄丢了，只抄了y＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？
x2－1 x－1 x＋2＜1，
13．化简计算： ÷ ，并判断当x满足不等式 时该代数式的符号．
x2＋2x x
2(x－1)＞－6．
三、综合实践
14．回顾本节内容，结合自己的学习情况，对自己的解题思路、技能进行反思，反思自己当
时在解题的过程中是否走了弯路，遇到哪些坑，是否运用了一些错误的技巧，有的放矢
地及时反思、及时更正，完成“数学习题病例卡” .
错题内容：
错题地址：《 》第 章第 节 第 页第 题
病情及诊断：
建议事项：
错题联想：八年级上册第 15 章 分式
第 5 课时 《分式的乘除 2》
一、基础练习
a2b
1．计算 (－ )3的结果是【 】
a－b
a5b a6b3 a6b3 a5b3
A． B． C．－ D．
(a－b)3 a3－b3 (a－b)3 a3－b3
b2
2．计算 (－ )2n+1(n是正整数)的值是【 】
m
b2n+3 b2n+3 b4n+2 b4n+2
A． B．－ C． D．－
m2n+1 m2n+1 m2n+1 m2n+1
a2－3a a－3 a＋1
3．计算 ÷ · 的结果是【 】
a2＋a a2－1 a－1
A．1 B．a C．a1 D．a1
a＋b a＋b a＋b
4．计算( )2÷( )2· 的结果是【 】
a－b a－b a－b
a－b a＋b a＋b
A． B． C．( )2 D．1
a＋b a－b a－b
b
5．计算：( )2÷（－a2b2）＝__________．
a
x2 y2 y
6．计算：( )2·( )3÷(－ )4＝__________．
y x x
y x
7．化简:6x3y2÷(－ )· ÷x2＝__________．
x y2
a3 a2 b
8．计算：(－ )÷(－ )· ＝__________．
2b b 2
a－b －a 1
9．计算：( )2·( )3÷ .
ab b－a a2－b2
a2－b2 ab
10．计算：( )2÷(a2＋ab)2·( )2．
b b－a
二、拓展提升
x4－y4 x－3y x2＋y2
11．已知x2＋y2－2x＋4y＋5＝0,求计算 · ÷( )2的值.
x2－2xy－3y2 xy－y2 y
a－1 a2 －4 1
12．（1）若A＝ · ÷ ，化简A；
a＋2 a2－2a＋1 a－1
（2）若a满足a2－a＝0，求A值．13．（阅读理解题）请阅读下列解题过程并回答问题：
2x－6 x2＋x－6
计算： ÷(x＋3)· .
4－4x＋x2 x＋3
2x－6 x2＋x－6
解： ÷(x＋3)· .
4－4x＋x2 x＋3
2x－6
＝ ·（x2+x－6） ①
4－4x＋x2
2（x－3）
＝ ·(x+3)(x－2)②
(2－x)2
2x2－18
＝ ③
x－2
上述解题过程是否正确？
如果解题过程有误，请给出正确解答．
三、综合实践
14．国际上常用体质指数（BMI）来衡量人体的胖瘦程度以及是否健康的一个标准．
体质指数=体重（kg） ÷ 身高（m）的平方（kg/m2）
算式写法：BMI=体重/（身高）2
正常体重 ：(中国体质标准)
消瘦：低于18.5；正常范围：18.5~23.9；超重：24.0~27.9；肥胖≥28.0．
请你阅读上述内容对你班同学的胖瘦程度进行调查，了解你班同学BMI分级分布
情况，对本班同学的健康提出合理的建议．（200字左右，可结合图表或案例阐释）八年级上册第 15 章 分式
第 6 课时 《分式的加减 1》
一、基础练习
a2 b2
1．计算 － 的结果是【 】
a－b a－b
a2－b2
A．a＋b B．a－b C． D．a2－b2
a－b
2 1
2．计算 － 的结果是【 】
x2－1 x－1
1 3－x 1
A． B． C．－ D．x＋1
x＋1 x2－1 x＋1
18 2x
3．计算 － 的结果是【 】
x2－3x x－3
2x＋6 2x＋6 2x－6 2x－6
A． B．－ C． D．－
x x x x
1
4．化简 －x＋1的结果是【 】
x＋1
2－x2 x2＋2x x2
A． B．－ C．2－x2 D．－
x＋1 x＋1 x＋1
x+1 1
5．计算： － ＝__________．
x x
a 1
6．计算： － ＝__________．
a2－b2 a+b
1 1 1
7．计算： － ÷ ＝__________．
m＋2 4－m2 m－2
m n 2mn
8．计算： － ＋ ＝__________．
m－n m＋n m2－n2
3 1
9．计算： － ．
x2＋x x2－1
x2－1 x2＋2x
10．计算： ＋ ．
x2－2x＋1 x2＋x－2
二、拓展提升
1 1 a b
11．已知实数a，b满足ab＝1，记M＝＝ ＋ ，N＝ ＋ ，
1＋a 1＋b 1＋a 1＋b
试比较M，N的大小．1 x2－3x
12．已知代数式 ＋ ，回答下列问题．
x－1 x2－1
（1）当x＝－2时，化简并求出这个代数式的值；
（2）小红根据化简的结果认为：“当x＝1时，该代数式的值为0”，你同意她的说法吗？
请说明理由．
13．阅读材料：
8 6＋2 2 2
通过小学的学习，我们知道， ＝ ＝2＋ ＝2 ，
3 3 3 3
2x＋4 2x＋2＋2 2（x＋1）＋2 2
在分式中，类似地， ＝ ＝ ＝2＋ ．
x＋1 x＋1 x＋1 x＋1
3x－2 m
探索：（1）如果 ＝3＋ ，则m＝______；
x＋1 x＋1
ax＋b m
总结：（2）如果 ＝a＋ （其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c
x＋c x＋c
的代数式表示）
2x－1
应用：（3）利用上述结论解决：若代数式 的值为整数，直接写出满足条件的整数x
x＋1
的值．
三、综合实践
14．请认真阅读人教版八上教材148页“阅读与思考”相关内容，对“容器中的水能倒完吗？”
n n
中的“ 小于1”以及“当n不断增加， 也不断增加无限接近1”，体现出来的“无
n＋1 n＋1
穷”与“极限”关系，请谈谈你的认识．（200字左右，可结合生活经验和案例阐释）八年级上册第 15 章 分式
第 7 课时 《分式的加减 2》
一、基础练习
x
1．化简1－ 的结果是【 】
x－2
2 2
A．－2 B．2 C．－ D．
x－2 x－2
a2－1 1
2．计算 ÷（ ＋1）的结果是【 】
a2 a
a＋1 a＋1 a－1 a－1
A． B．－ C． D．－ .
a a a a
b2 a
3．化简：（a－ ）· 的结果是【 】
a a－b
1 1
A.a－b B.a＋b C. D.
a－b a＋b
y－1 y
4．如果x＞y＞1，那么 － 的值是【 】
x－1 x
A．正数 B．负数 C．零 D．不确定
x y
5． 计算： ÷（1－ ）的结果是_______．
y x＋y
m n 3m 1
6．计算： ÷ －（ ）2· ＝__________．
n 9 n m－n
x2―4x＋4 4
7．计算 ÷( －1)的结果是__________．
x2＋2x x＋2
1 x
8．计算(x＋1＋ )÷ 的结果是__________．
x－1 2x－2
1 1 4
9．计算:( ＋ )÷（ －2－x）．
x－2 x＋2 2－x
a＋1 2
10．计算： ÷(1＋ )．
a2－2a＋1 a－1
二、拓展提升
11．老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，
如图：
x2－1 x x＋1
（ － ）÷ ＝
x2－2x＋1 x＋1 x－1
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于－1吗？请说明理由.12． 阅读下面的解题过程：
2 1 1
已知 ＝ ，求代数式 的值．
2y2＋3y＋7 4 4y2＋6y－1
2 1 2y2＋3y＋7
解：∵ ＝ ，∴ ＝4，，∴2y2＋3y＝1．
2y2＋3y＋7 4 2
∴4y2＋6y－1＝2（2y2＋3y）－1＝2×1－1＝1．
1
∴ ＝1．
4y2＋6y－1
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
x＋3 x－3 5
已知 ＝3，求 ÷（ －x－2）的值．
x＋2 2x－4 x－2
2
13．已知x＋ ＝k，k为正实数．
x
4
（1）当k＝3时，求x2＋ 的值；
x2
2
（2）当k＝ 10时，求x－ 的值；
x
（3）小安设计一个填空题并给出答案，但被老师打了两个“×”
小安没看懂老师为什么指出两个错误？如果你看懂了，请向小安解释一下!
三、综合实践
14．请认真阅读人教版八上教材141页“式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，
最后加减”的内容，请你结合你的学习经历谈谈你对“数式通性”的理解.（200字左右，
可结合图形或案例阐释）．八年级上册第 15 章 分式
第 8 课时 《整数指数幂》
一、基础练习
1
1．计算（ ）2的结果是【 】
3
1 1
A．－9 B．－ C． D．9
9 9
2．下列计算正确的是【 】
1
A．2÷21＝－1 B．2x3÷4x4＝
2x
7
C．(－2x2)3＝6x6 D．3x2＋4x2＝
x2
3．纳米是一种长度单位，1纳米＝10-9米．已知某种花粉的直径为35000纳米，则用科学记
数法表示该花粉的直径为【 】
A．3.5×10-6m B．3.5×10-5m C．35×10-4m D．3.5×104m
4．(x1＋y1)1＝【 】
1 xy x＋y
A．x＝y B． C． D．
x＋y x＋y xy
5．计算：23＋（－2）0＝ ．
6．2023年4月1日，天气软件显示毕节市的空气质量情况为“优”，其中PM2.5的值为13
微克/立方米，即0.000013克/立方米．数据0.000013用科学记数法表示为 ．
7．将2x3y(x＋y)－1表示成只含有正整数指数幂的形式为 ．
1
8．已知a＝－0.22，b＝－22，c＝（－ ）2，则a，b，c从小到大的排序是 ．
2
9．计算：（1）（3103）×（5104）； （2）（6103）2÷（6101）2．
1 5
10．计算：（1）( p1q3)÷(－ p2q4)； （2）(x2y3)－1·(x2y3)2．
2 8二、拓展提升
11．计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式．
（1）(a2b3)－2·(a－2b3)2 ； （2）a－2b2·(－2a2b－2)－2÷(a－4b2) ．
1 1
12．已知3m＝ ，（ ）n＝16，求mn的值．
27 2
13．已知x＋x－1＝a，求x2＋x－2的值．
三、综合实践
1
14．一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出 L水，第2次倒出的水
2
1 1 1 1 1 1
量是 L的 ，第3次倒出的水量是 L的 ，第4次倒出的水量是 L的 ……
2 3 3 4 4 5
1 1
第n次倒出的水量是 L的 ．（不考虑实际操作因素，将问题抽象成数学模型）
n n＋1
（1）求倒4次水倒出的总水量；
（2）列式表示倒n次倒出的总水量，并化简；
（3）用（2）中的化简结果解决问题：按照这种倒水的方法，这1L水可以倒完吗？并
说明理由．八年级上册第 15 章 分式
第 9 课时 《分式方程 1》
一、基础练习
1．下列方程中，是分式方程的是【 】
1 x 1
A． ＋ ＝1 B．x＋ ＝2 C．3x＝x－5 D．2x－y＝1
3 2 x
x 2x
2．下列等式是四位同学解方程 － ＝1 过程中去分母的一步，其中正确的是
x－1 1－x
【 】
A．x－2x＝1 B．x－2x＝－1 C．x+2x＝x－1 D．x－2x＝x－1
3．下列解为－1的分式方程是【 】
1 x＋1 x2－1 2 1
A． ＝0 B． ＝0 C． ＝0 D． ＝
x－1 x2－1 x－1 x＋1 x＋2
x＋a 2
4．若关于x的方程 － ＝0有增根，则a的值为【 】
x＋3 x＋3
A．2 B．3 C．4 D．5
5．请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x＝1时没有意义 ．
4 2
6．分式方程 ＝ 的解是 ．
x－2 x
m x－1
7．x＝3是分式方程 ＝ 的根，则m＝ ．
x－4 4－x
3x x2－1 5 x
8．已知关于x的方程 ＋ ＝ ，如果设 ＝y，那么原方程化为关于y
x2－1 x 2 x2－1
的方程是 ．
9．解分式方程：
x 3 3－x 1
（1） － ＝1； （2） ＝ －2．
x－2 x x－4 4－x
x－a 1
10．已知方程 ＝ 的解是x＝2，求a的值．
ax－1 2二、拓展提升
2 1
11．点A，B在数轴上，它们所对应数分别是 ， 且点A，B关于原点对称，求x
x－3 1－x
的值．
m n
12．解方程求x： － ＝0（m≠n，mn≠0）
x x＋1
▲ x－1
13．已知分式方程 ＋ ＝1，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
x－3 3－x
（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
三、综合实践
14．解分式方程时，通常要将其化为整式方程，这个整式方程的解与原分式方程的解相同吗？
写一写你的认识．（可以列举说明）八年级上册第 15 章 分式
第 10 课时 《分式方程 2》
一、基础练习
2 3 6
1．解分式方程 ＋ ＝ ，分以下四步，其中错误的一步是【 】
x＋1 x－1 x2－1
A．方程两边分式的最简公分母是（x－1）（x＋1）
B．方程两边都乘以（x－1）（x＋1），得整式方程2（x－1）＋3（x＋1）＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原方程的解为x＝1
m 1
2．已知x＝1是方程 － ＝3的解，那么实数m的值为【 】
2－x x－2
A．－2 B．2 C．－4 D．4
1 a
3．若关于x的分式方程 ＋ ＝2a无解，则a的值为【 】
x－2 2－x
A．0 B．1 C．－1或0 D．0或1
k 3
4．已知关于x的分式方程 － ＝1有增根，则k的值为【 】
x－2 2－x
A．2 B．－2 C．－3 D．3
m－3
5．已知关于x的分式方程 ＝1的解是负数，则m的取值范围是 ．
x＋2
x m
6．已知关于x的方程 － ＝－1的解大于1，则实数m的取值范围是 ．
x－5 5－x
x－2 mx
7．若关于x的分式方程 ＝ 有正整数解，则整数m为 ．
x－1 1－x
a 3x
8．若三角形的三边为4，7，x且x是关于x的方程 ＝1－ 的解，则a的取值范
x－8 8－x
围为 ．
1 3 5
9．当x为何值时， － 的值与 的值互为相反数？
1－x2 1－x x＋1
ax 2 x－4
10．当a为何值时，关于x的方程 － ＝1的解与方程 ＝3的解相同？
a－1 x－1 x二、拓展提升
x x－3
11．小丁和小迪分别解方程 － ＝1过程如下：
x－2 2－x
小丁： 小迪：
解：去分母，得x－（x－3）＝x－2 解：去分母，得x＋（x－3）＝1
去括号，得x－x＋3＝x－2 去括号得x＋x－3＝1
合并同类项，得3＝x－2 合并同类项得2x－3＝1
解得x＝5 解得x＝2
∴原方程的解是x＝5． 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解．
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，
并写出你的解答过程．
ax－2 1
12．若整数a使关于x的分式方程 ＝2－ 的解为整数，且使关于x的一元一次
x－3 3－x
2x－13－5x＋12≥1，
不等式组 有解，求所有满足条件的整数a的值之和．
x＋5＞a
13．从－7，－5，－3，－1，3，6这六个数中，随机抽取一个数，记为k，若数k使关于x
k 3
的分式方程 ＋2＝ 的解为非负数，求这6个数中所有满足条件的k的值．
1－x x－1
三、综合实践
14．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个
方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相似方程”．
2x＋1 4
（1）判断一元一次方程3－2（1－x）＝4x与分式方程 －1＝ 是否是“相
2x－1 4x2－1
似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx＋6与y＝x＋4m是“相似方程”，求正整数m
的值．八年级上册第 15 章 分式
第 11 课时 《分式方程 3》
一、基础练习
1．为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”的发展理念，开
展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任
务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前
30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是【 】
90 90 90 90
A． － ＝30 B． － ＝30
x （1＋25%）x （1＋25%）x x
90 90 90 90
C． － ＝30 D． － ＝30
x 25%x （1－25%）x x
2．现在5G手机非常流行，5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多120MB，下载一部
900MB的电影，5G比4G要快200秒，那么5G手机的下载速度是多少呢？若设5G手
机的下载速度为xMB/秒，则根据题意可列方程为【 】
900 900 900 900
A． － ＝200 B． － ＝200
x x－120 x－120 x
900 900 900 900
C． ＋ ＝200 D． ＋200＝
x＋120 x x x＋120
3．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华
优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发
现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销
售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”
每套的价格为x元，则符合题意的方程是【 】
3600 3600 3600 2400
A． － ＝4 B． － ＝4
0.8x x x 0.8x
2400 3600 2400 2400
C． － ＝0 D． － ＝4
0.8x x 0.8x x
4．为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足
球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，设足球的单价为x元，
根据题意，下列方程正确的是【 】
5000 4000 5000 4000
A． ＝2× B． ＝2×
x 30＋x x 30－x
5000 4000 5000 4000
C．2× ＝ D．2× ＝
x 30＋x x 30－x
5．甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航
行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则
江水的流速为 km/h．
6．近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综
合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需
5
要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍，
4
用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，则可列方程为 ．
7．小明用滴滴打车前往火车站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，
但交通比较拥堵．路线 B 的全程是 32 千米，走路线 B 的平均车速比走路线 A 能提高
60%．已知走路线B比走路线A全程少用10分钟．若设走路线A的平均速度为x千米/
时，根据题意，可列方程为 ．
8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每
株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210
文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的
价钱，试问 6210 文能买多少株椽？若设这批椽的数量为 x 株，则可列分式方程
为 ．
9．列分式方程解应用题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体
育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，用3150元购买甲种跳绳
与用3900元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
10．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行
驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前
一小时的行驶速度．
二、拓展提升
11．一项工作，甲、乙合做要10天完成．若甲、乙先合作3天，再由乙单独工作3天，可
完成这项工作的一半．如果这项工作由甲、乙单独做完，甲需要多少天？乙需要多少天？12．如图，某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，
整幅图画长与宽的比是13：8，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
13．甲乙两地间的一条公路全长为150千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙
地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时，
结果小汽车与公共汽车同时到达乙地．已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的
速度．
三、综合实践
14．联系实际问题，编出关于分式方程的应用题，并求出应用题的答案．（可以参考教科书
中的例题、习题，结合熟悉的实际背景编写．）八年级上册第 15 章 分式
第 12 课时 《分式单元复习》
一、基础练习
1．下列分式中，最简分式是【 】
x2－y2 3y x＋1 x＋1
A． B． C． D．
x＋y －15x x2＋1 x2＋2x＋1
x
2．将分式 中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值【 】
x－y
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
a 2b
3．若a＋b＝2，则代数式（ －1）· 的值为【 】
b a2－b2
A．1 B．2 C．－1 D．－2
m＋1 2x
4．若关于x的方程 － ＝0有增根，则m的值为【 】
x－2 2－x
A．－5 B．0 C．1 D．2
1
5．分式 －1有意义，则x的取值范围为 ．
x
1 2
6．若 和 互为相反数，则x＝ ．
x－1 x2－1
1 2 2a＋3ab－4b
7．已知 － ＝2，则分式 的值为 ．
b a 4ab－3a＋6b
a＋3
8．若关于x的方程 ＝1的解是负数，则a的取值范围是 ．
x＋1
9． 计算题
1 a－1 3 x＋3 x2＋3x
（1）(a－ )÷(1－ ）； （2） － · ．
a a2－a x－3 x－3 x2＋6x＋9
10．解方程：
2 3 1 1－x
（1） ＝ ． （2） ＝ －3．
x x＋2 x－2 2－x
二、拓展提升
x2－2x＋1 4
11．先化简，再求值： ÷(1－ )，然后从－3，0，1，3中选一个合适的数作为
x2＋3x x＋3
x的值代入求值．12．已知x2－3x＋1＝0，求下列各式的值．
1 1
（1）x2＋ ； （2）x4＋ ．
x2 x4
14．2023年第31届成都大运会的吉祥物“蓉宝”以其呆萌可爱，英姿飒爽的形象，深受大
家喜欢．某商场第一次用3600元购进一批“蓉宝”玩具，很快售完；该商场第二次
购进该“蓉宝”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少10
件，求第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价是多少钱？
三、综合实践
14．数学的很多知识的产生、发展过程并不是一蹴而就的，分式方程及其求解方法也是
如此，有着漫长且曲折的历史，让我们来一起简单回顾下它的研究历程吧.
时间轴 主要叙事
阿拉伯数学家阿尔· 花拉子米在《代数学》中提出了若干涉及分式方
9世纪
程的问题.
意大利数学家斐波那奇在《计算之书》列举分式方程求解的问题，包括
“直接化整法”、“换元法”、“恒等式法”、“几何代数法”四种.其中
13世纪 部分问题源于阿尔·花拉子米，例如：“将10分成两部分，将10除以
1
其中一部分，所得商乘以另一部分，得20 ,求这两部分分别是多少.
4
”
13世纪 中国数学家李冶在《测圆海镜》中出现了分式方程的例子.
英国数学家桑德森将分式方程写入其代数教科书《代数基础》中.桑
18世纪
德森在解出分式方程以后，进行检验，他把这种检验的过程称为“证明
”.
数学界引发"零能否作除数"问题的大讨论，促进了分式方程理
1880年左右
论的发展.
美国数学家奥利弗在其《代数专论》中讨论了分式方程的解法，认为部
1882年
分解法可能会产生增根，此时对增根问题有了比较清晰的认识.
美国数学家费歇尔和施瓦特在《代数基础》中给出了一种不会失根
1899年
也不会产生增根的解法，并称之为分式方程的“完美解法”.
请利用我们所学的分式方程的解法，解决数学家阿尔·花拉子米问题：“将10分成两部
1
分，将10除以其中一部分，所得商乘以另一部分，得20 ,求这两部分分别是多少？”．我
4
们以小组为单位，查阅相关资料，研究分式方程的“完美解法”（“直接化整法”、“换
元法”、“恒等式法”、“几何代数法”）, 以具体的实例展开说明，并写出解题过程．