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八年级下册第 10 章 分式
第5节分式方程（第二课时）
一、基础练习
1．下列解为 − 1 的分式方程是 ( )
A．
x
1
− 1
= 0 B．
x
2 x
+
−
1
1
= 0 C．
2 x
x
−
−
1
1
= 0 D．
x
2
+ 1
=
x
1
+ 2
2．若分式方程
x
x
− 4
= 1 +
x
2 a
− 4
有增根，则增根是 ( )
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
3．下列分式方程去分母后所得结果正确的是 ( )
A．
x
2
− 1
=
x
x
+
+
2
1
− 1 去分母得， 2 ( x + 1 ) = ( x − 1 ) ( x + 2 ) − 1
x 7
B． + =1去分母得，
3x−7 7−3x
x + 7 = 3 x − 7
C．
x
x
−
+
3
3
+
x
2 x
+
−
3
9
=
x
x
− 3
去分母得， ( x − 3 ) 2 − x + 3 = x ( x + 3 )
D．
x
3
+ 4
=
x
1
− 2
去分母得， 3 ( x − 2 ) = x + 4
4．关于 x 的分式方程
m
2
+
−
x
x
+
x
3
− 2
= 1 有解，则实数 m 应满足的条件是 ( )
A． m = − 1 B． m − 1 C．m=1 D． m 1
5．定义新运算： a # b =
b 2
1
− a b
，例如 2 # 3 =
3 2 −
1
3 2
1
，则方程x#4= 的解为
4
( )
A． x = 2 B．x=3 C． x = 4 D． x = 6
6．关于 x 的分式方程
x
x
+
−
m
2
+
2
1
− x
= 3 有增根，则 m = ．
5 3
7．已知x=−5是分式方程 = 的解，则m= ．
x+m x
8．已知关于 x
m−3
的分式方程 =1的解是负数，则m的取值范围是 ．
x+2
9．解方程：（1）
x
5
− 1
=
2 x
1
+ 1
； （2）
x
1
− 2
+ 2 =
1
2
−
−
x
x
．
x−8 3 1 4x 2
10．解方程：（1） −3= ； （2） + = ．
x−7 7−x x+2 x2 −4 x−2二、拓展提升
11．小丁和小迪分别解方程
x
x
− 2
−
x
2
−
−
3
x
= 1 过程如下：
小丁：
解：去分母，得x−(x−3)= x−2
去括号，得 x − x + 3 = x − 2
合并同类项，得3= x−2
解得 x = 5
原方程的解是 x = 5
小迪：
解：去分母，得x+(x−3)=1
去括号得 x + x − 3 = 1
合并同类项得2x−3=1
解得 x = 2
经检验， x = 2 是方程的增根，原方程无
解
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“ ”；若错误，请在框内打“ ”，
并写出你的解答过程．
12．已知关于 x 的分式方程
x
4
+ 1
+
x
3
− 1
=
x 2
k
− 1
（1）若方程有增根，求 k 的值；
（2）若方程的解为负数，求 k 的取值范围．
13．已知关于 x 的分式方程
x
x
−
−
a
2
−
5
x
= 1 ．
（1）若分式方程的根是 x = 5 ，求 a 的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求 a 的值．三、综合实践
14．阅读理解，并解决问题．
分式方程的增根
解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，
主要是在去分母这一步造成的．根据等式的基本性质2：等式两边乘以同一个数，或除以
同一个不为0的数，结果仍相等．但是，当等式两边同乘0时，就会出现0＝0的特殊情
况．因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0．而去分母时会在方程左右两边同乘公分
母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了．如
果去分母后得到的整式方程的根使得所乘以的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式
方程的根，但不是原分式方程的根．所以解分式方程必须验根．请根据阅读材料解决问
题：
（1）解分式方程：
1
x
−
−
x
2
+ 2 =
2
1
− x
；
（2）分式
1
x
−
−
x
2
+ 2 −
2
1
− x
的结果可能为0吗？说明理由；
（3）你认为解分式方程
x
2
2
x
+ 1
−
2 x
3
2 + 2
= 0 时，会不会产生增根，请你直接写出原因．
