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第 06 讲 解分式方程
课程标准 学习目标
1. 掌握分式方程的概念并能够熟练的判断分式方程。
①分式方程的概念
2. 掌握解分式方程的方法过程，能够熟练的解分式方程以及熟
②解分式方程
练的进行其他应用。
知识点01 分式方程的概念
1. 分式方程的概念：
分母中含有 未知数 的方程叫做分式方程。
【即学即练1】
1．下列式子中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误；
B、不是方程，故不是分式方程，故本选项错误；C、方程中各式的分母含有未知数，故是分式方程，故本选项正确；
D、方程中各式的分母不含未知数，故不是分式方程，故本选项错误．
故选：C．
知识点02 解分式方程
1. 解分式方程的基本思路：
去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 最简公分母 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。
2. 解分式方程的基本步骤：
①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 最简公分母 ，将分式方程转化为整式方程。
②解整式方程：
③检验：将解出的整式方程的解带入 最简公分母 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就
是分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 曾根 ，原分式方程无解。
④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。
注意解分式方程一定要检验。
【即学即练1】2．把分式方程 ＝ 化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）
A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）
【分析】首先找最简公分母，再化成整式方程．
【解答】解：由2x﹣4＝2（x﹣2），另一个分母为2x，
故可得方程最简公分母为2x（x﹣2）．
故选：C．
【即学即练2】
解分式方程：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式
方程无解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣2＝4x﹣6+1，
解得：x＝ ，
检验：把x＝ 代入得：2x﹣3＝0，
∴分式方程无解；
（2）去分母得：x2﹣2x﹣x2+4x﹣4＝4解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：（x﹣2）2≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
【即学即练3】
4．若关于x的分式方程 ＝0的解为x＝4，则常数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【分析】根据分式方程的解的定义把x＝4代入原分式方程得到关于a的方程，然后求解即可．
【解答】解：把x＝4代入分式方程 ＝0，得
+ ＝0，
解得：a＝10，
经检验a＝10是方程的解，
故选：D．
【即学即练4】
5．若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4
【分析】先解分式方程得x＝ ，再由解为负数，得到 ＜0，又由x≠0，x≠﹣1，求得m≠0，即
可求m的取值范围．
【解答】解： ，
方程两边同时乘以x（x+1）得，
mx﹣2（x+1）＝0，
去括号得，mx﹣2x﹣2＝0，
解得x＝ ，
∵解为负数，
∴ ＜0，
∴m＜2，
∵x≠0，x≠﹣1，
∴m≠0，
∴m的取值范围为m＜2且m≠0，
故选：B．
【即学即练5】6．如果关于x的方程 有增根，那么a的值是 1 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x＝2，将x＝2代入整式方程计算
即可求出a的值．
【解答】解：分式方程去分母得：a+3（x﹣2）＝x﹣1，
根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
将x＝2代入得：a＝2﹣1＝1，
故答案为：1
【即学即练6】
7．若关于x的方程 无解，则m的值是 或 ．
【分析】将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解．
【解答】解： ，
方程两边同乘：x（x﹣3），得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，
整理得：（2m+1）x＝﹣6，
①整式方程无解：2m+1＝0，解得： ；
②分式方程有增根：x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3；
当x＝0时：整式方程无解；
当x＝3时：3（2m+1）＝﹣6，解得： ；
综上，当 或 时，分式方程无解；
故答案为： 或 ．
题型01 判断分式方程
【典例1】下列是分式方程的是（ ）
A． + B． + ＝0
C． （x﹣2）＝ x D． +1＝0
【分析】根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、 + 不是方程，不符合题意；B、 + ＝0不含有分式，不是分式方程，不符合题意；
C、 （x﹣2）＝ x不含有分式，不是分式方程，不符合题意；
D、 +1＝0含有分式，是分式方程，符合题意．
故选：D．
【变式1】下列方程：①x2﹣2x＝ ；② ；③x4﹣2x2＝0；④ x2﹣1＝0．其中分式方
程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【解答】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故选：B．
【变式2】下列关于x的方程中（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ，其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【解答】解：（1）关于x的方程 分母中含有未知数，（1）是分式方程；
（2）关于x的方程 分母中不含有未知数，（2）不是分式方程；
（3）关于x的方程 分母b是常数，分母中不含有未知数，（3）不是分式方程；
（4）关于x的方程 分母a是常数，分母中不含有未知数，（4）不是分式方程；
（5）关于x的方程 分母中 是常数，不含有未知数，（5）不是分式方程．
综上所述：是分式方程的有1个．
π
故选：A．
题型02 解分式方程【典例1】解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A．x﹣2＝x﹣1 B．x﹣2（x﹣2）＝x﹣1
C．x﹣2（x﹣2）＝﹣x﹣1 D．x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1
【分析】先确定分式方程的最简公分母，然后左右两边同乘即可确定答案．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣2）去分母得：x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1，
故选：D．
【变式1】解方程：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）利用解分式方程的一般步骤解答即可；
（2）利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：（1）去分母得：
2x﹣3＝2（2x﹣1），
去括号得：
2x﹣3＝4x﹣2，
移项，合并同类项得：
﹣2x＝1，
∴x＝﹣ ．
经检验：x＝﹣ 是原方程的解．
∴原方程的解为x＝﹣ ．
（2）去分母得：
8+x2﹣4＝x（x+2），
去括号得：
8+x2﹣4＝x2+2x，
移项，合并同类项得：
2x＝4，
∴x＝2．
经检验：x＝2是原方程的增根．
∴原方程无解．
【变式2】解方程：（1） ；
（2） ＝1．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1） ，
原分式方程整理得， ，
2×2（x﹣2）+2＝5（x﹣2），
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，2x（x﹣2）≠0，
∴x＝4是原方程的根；
（2） ＝1，
原分式方程整理得，
1.5+x﹣2＝1﹣2x，
解得：x＝0.5
检验：当x＝0.5时，1﹣2x＝0，
∴x＝0.5是原方程的增根，
原方程无解．
【变式3】解分式方程：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先把方程中各个分式的分母分解因式，然后方程两边同时乘 x（x+3）（x﹣3），把分式
方程化为整式方程，解方程求出x，再进行检验即可；
（2）先把方程中各个分式的分母分解因式，然后方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），把分式方程化为整
式方程，解方程求出x，再进行检验即可．
【解答】解：（1） ，
，
3（x﹣3）＝x，
3x﹣9＝x，2x＝9，
x＝4.5，
检验：当x＝4.5时，x（x+3）（x﹣3）≠0，
∴x＝4.5是原分式方程的解；
（2） ，
，
8+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2），
8+x2﹣4＝x2+2x，
2x＝4，
x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴原分式方程无解．
题型03 根据分式方程的解求值或范围
【典例1】x＝2是分式方程 的解，则a＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】先化简 得 ，再把x＝2代入分式方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵ ，
∴a（x﹣3）＝x，
∴ ，
∵x＝2是分式方程的解，
∴ ，
解得a＝﹣2．
经检验a＝﹣2时，x＝2是原分式方程的解．
故选：B．
【变式1】关于x的分式方程 ＝2+ 的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4 B．m＜﹣4
C．m＜﹣4且m≠﹣5 D．m＜0
【分析】分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数．【解答】解： ＝2+ ，
方程两边同乘以（x+1），得
3x﹣2＝2（x+1）+m，
解得x＝m+4，
∵关于x的分式方程 ＝2+ 的解为负数，
∴x+1≠0且x＜0，
即m+4+1≠0且m+4＜0，
解得m＜﹣4且m≠﹣5．
故选：C．
【变式2】已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≤4且m≠3 C．m≤0 D．m≤0且m≠﹣1
【分析】先解出分式方程得到x＝4﹣m，再由题可知，4﹣m≥0，4﹣m≠1，解出m即可求解．
【解答】解：方程 的两边同时乘x﹣1，
得，1﹣m+2＝x﹣1，
解得x＝4﹣m，
∵方程的解为非负数，
∴4﹣m≥0，
∴m≤4，
∵x≠1，
∴4﹣m≠1，
∴m≠3，
∴m的取值范围是m≤4且m≠3，
故选：B．
【变式3】如果关于x的方程 ＝1有正整数解，且关于y的不等式组 至少有两个偶
数解，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】解分式方程可得x＝ ，求出a为1，3，6，由不等式组至少有两个偶数解可求出a的范围，则
满足条件的整数a有两个．
【解答】解：解方程 ＝1得，x＝ ，
∵方程有正整数解，∴整数a＝1，3，6，
解不等式组得 ，
∵关于y的不等式组 至少有两个偶数解，
∴a﹣1≤2，
∴a≤3，
∴满足条件的整数a有两个．
故选：C．
【变式4】若整数a使关于y的不等式组 至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程
的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．﹣11 D．﹣14
【分析】先解一元一次不等式组的解集，再结合题意可得a≥﹣5，再解分式方程可得x＝ ，由题意
可得符合条件的整数a有﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，求和即可．
【解答】解： ，
由①得，y≥﹣4，
由②得，y≤a+3，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴﹣2≤a+3，
∴﹣5≤a，
，
3+ax＝2（x﹣1），
（2﹣a）x＝5，
解得x＝ ，
∵方程的解为正数，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
∵x≠0，x≠1，
∴a≠﹣3，∴符合条件的整数a有﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，
∴所有符合条件的整数a的和为﹣11，
故选：C．
题型04 根据分式方程的增根或无解求未知字母
【典例1】若分式方程 有增根，则增根是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】根据分式方程的增根的定义解答即可．
【解答】解：∵分式方程 有增根，
∴x﹣4＝0，
∴x＝4，
故选：D．
【变式1】若分式方程 有增根，则k的值为（ ）
A．±1 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣2或﹣6
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，据
此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：去分母，得：x+1+k＝3（x﹣1），
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0或x+1＝0，即x＝1或x＝﹣1，
把x＝1代入整式方程，可得：k＝﹣2，
把x＝﹣1代入整式方程，可得：k＝﹣6，
综上，若分式方程 有增根，则k的值为﹣2或﹣6．
故选：D．
【变式2】已知关于x的分式方程 的增根是x＝2，则m的值为（ ）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
【分析】根据分式方程的增根的意义和产生的背景进行计算即可．
【解答】解：关于x的分式方程 ，
去分母得，x（x+2）﹣x2+4＝m，
即m＝2x+4，
关于x的分式方程 有增根x＝2，∴x＝2满足方程m＝2x+4，
所以m＝8，
故选：A．
【典例2】“若关于x的方程 无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖： 丹丹：
去分母，得ax＝12+3x﹣9， 去分母，得ax＝12+3x﹣9，
移项，得ax﹣3x＝12﹣9， 移项、合并同类项，得（a﹣3）x＝3，
合并同类项，得（a﹣3）x＝3，
解得 ，
∵原方程无解，
∵原方程无解，
∴a﹣3＝0，
∴x为增根，
∴a＝3．
∴3x﹣9＝0，解得x＝3，
∴ ，解得a＝4
下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错
B．尖尖错，丹丹对
C．两人的答案合起来也不完整
D．两人的答案合起来才完整
【分析】先化简分式方程为（a﹣3）x＝3，根据题意可得x为增根或a﹣3＝0，分别求出对应的a的值
即可．
【解答】解：去分母得：ax＝12+3x﹣9，
移项得：ax﹣3x＝12﹣9，
合并同类项得：（a﹣3）x＝3，
∵关于x的方程无解，
∴x为增根或a﹣3＝0，
当3x﹣9＝0，
解得x＝3，
此时 ，
解得a＝4；
当a﹣3＝0，
解得a＝3；
综上所述：a的值为3或4，
故选：D．【变式1】若关于x的方程 无解，则m的取值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可．
【解答】解： ，
去分母得：3x＝﹣m+4（x﹣1），
去括号得：3x＝﹣m+4x﹣4，
移项得：3x﹣4x＝﹣m﹣4，
合并同类项得：﹣x＝﹣m﹣4，
解得：x＝m+4，
∵当x＝1时，分式方程无解，
∴m+4＝1，
解得：m＝﹣3．
故选：D．
【变式2】已知关于x的分式方程 无解，则所有满足条件的整数m的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出 x，然后根据分式
方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于m的方程，解方程求出m即可．
【解答】解： ，
，
（x﹣2）2﹣mx＝（x+2）（x﹣2），
x2﹣4x+4﹣mx＝x2﹣4，
4x+mx＝8，
（4+m）x＝8，
，
∵关于x的分式方程 无解，
∴x2＝4，4+m＝0，
解得：x＝±2，m＝﹣4，
∴ ＝2或﹣2，
解得：m＝0或﹣8，∴所有满足条件的整数m为﹣4或﹣8或0，共3个，
故选：C．
1．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可．
【解答】解：A中方程的分母中不含未知数，则A不符合题意；
B中方程的分母中不含未知数，则B不符合题意；
C中方程不是有理方程，则C不符合题意；
D中方程符合分式方程的定义，则D符合题意；
故选：D．
2．在① ＝5；② （x﹣1）+ （x+1）＝4；③﹣ ＝1；④ + ＝﹣1；⑤ （3x﹣7）中，
分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式方程定义进行解答即可．
【解答】解：③﹣ ＝1；④ + ＝﹣1是分式方程，共2个，
故选：B．
3．解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A．1﹣2（x﹣2）＝1+x B．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x
C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（2﹣x）＝1+x
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解： ，
去分母，方程两边同时乘（x﹣2）得：1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x，
故选：B．
4．已知关于x的方程 的解是0，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．5 D．﹣5
【分析】将原分式方程去分母转化为整式方程，然后将x＝0代入计算即可．【解答】解：原分式方程去分母得：a＝x﹣1﹣3（x﹣2），
∵关于x的方程 的解是0，
将x＝0代入a＝x﹣1﹣3（x﹣2）中得a＝5，
故选：C．
5．嘉淇准备完成题目：解方程 + ＝0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝
﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1
【分析】设印刷不清的位置的式子为a，把x＝﹣1代入分式方程计算确定出a即可．
【解答】解：设印刷不清的位置的式子为a，即 + ＝0，
把x＝﹣1代入得： +1＝0，
解得：a＝﹣2，
检验：把a＝﹣2代入得：a≠0，
∴分式方程的解为a＝﹣2，即x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，
则推断印刷不清的位置可能是x﹣1．
故选：A．
6．对于非零的有理数a，b规定 ，若（x﹣2）*3＝2，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：∵（x﹣2）*3＝2，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，
∴x的值为 ．
故选：A．
7．已知关于x的方程 ，下列说法错误的是（ ）
A．当m＝1时，x＝3
B．当m＝3时，原方程无解C．x为正数时，m＜3
D．x为负整数时，m有4个整数值
【分析】先解分式方程，再检验，再逐一分析各选项即可．
【解答】解：A、原方程整理得：（m﹣3）x＝﹣6，
当m＝1时，﹣2x＝﹣6，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，
∴原方程的解为x＝3，
故选项A正确，但不符合题意；
B、当m＝3时，方程无解，
故选项B正确，但不符合题意；
C、当x为正数时，m﹣3＜0，且
∴m＜3且m≠0，
故选项C错误，符合题意；
D、当x为负整数时，则x＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣6，
∴3﹣m＝6或3或2或1，
∴m有4个整数值，
故选项D正确，但不符合题意，
故选：C．
8．关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3 B．a＜3
C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1
【分析】去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得a﹣1﹣2（x﹣2）＝0，则 ，再根据该
方程的解是负数得a＜﹣3，然后根据x＝±2是该方程的增根得出a＝1，a＝﹣7，据此可得a的取值范
围．
【解答】解： ，
去分母，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），得：a﹣1﹣2（x﹣2）＝0，
解得： ，
∵该方程的解是负数，
∴ ，
解得：a＜﹣3，∵x＝±2是该方程的增根，
∴x＝2时， ，解得：a＝1，
当x＝﹣2时， ，解得：a＝﹣7，
综上所述：a的取值范围是：a＜﹣3且a≠﹣7．
故选：C．
9．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1.5 B．﹣6 C．1或﹣2 D．1.5或﹣6
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
【解答】解： ，
去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1．
去括号，得2x+4+mx＝x﹣1．
移项，得2x+mx﹣x＝﹣1﹣4．
合并同类项，得（m+1）x＝﹣5．
∵分式方程有增根，
∴m+1≠0，即m≠﹣1，
x的系数化为1，得x＝﹣ ．
∵关于x的分式方程 有增根，
∴﹣ ＝﹣2或﹣ ＝1
∴m＝﹣6或1.5．
故选：D．
10．关于x的方程x+ ＝a+ 的两个解为x ＝a，x ＝ ，x+ ＝a+ 的两个解为x ＝a，x ＝ ；x+ ＝a+
1 2 1 2
的两个解为x ＝a，x ＝ ，则关于x的方程x+ ＝a+ 的两个解为（ ）
1 2
A．x ＝a，x ＝ B．x ＝a，x ＝
1 2 1 2
C．x ＝a，x ＝ D．x ＝a，x ＝
1 2 1 2
【分析】所求方程变形后，根据题中求方程解的方法求出解即可．
【解答】解：已知方程整理得：（x﹣1）+ ＝（a﹣1）+ ，根据题中方程的解得所求方程的解为x﹣1＝a﹣1，x﹣1＝ ，
解得：x ＝a，x ＝ ，
1 2
经检验x ＝a，x ＝ 都为分式方程的解，
1 2
故选：D．
11．方程 的解为x＝ ．
【分析】根据分式方程的解法进行解答即可．
【解答】解：两边都乘以3x（5x+4），得
3x＝2（5x+4），
去括号，得
3x＝10x+8，
移项合并同类项，得
﹣7x＝8，
解得x＝﹣ ，
经检验，x＝﹣ 是原方程的解，
故答案为：﹣ ．
12．用换元法解方程 ，如果设 ，那么原方程可以化为关于 y的整式方程为
3 y 2 + y ﹣ 1 ＝ 0 ．
【分析】由已知 ＝y，则原方程化为 ＝1，方程两边乘y即可得答案．
【解答】解：设 ＝y，则原方程化为： ﹣3y＝1，
方程两边乘y得：1﹣3y2＝y，
即3y2+y﹣1＝0，
故答案为：3y2+y﹣1＝0．
13．若分式方程 的解为正整数，则整数m的值为 ﹣ 1 ．
【分析】先解含有字母参数m的分式方程，求出x，再根据分式方程的解为正整数，列出关于m的方程，
解方程求出m，再判断m＝1时分式方程有无意义，从而求出答案即可．【解答】解： ，
﹣mx＝3（x﹣1）﹣x，
﹣mx＝3x﹣3﹣x，
﹣mx＝2x﹣3，
2x+mx＝3，
（2+m）x＝3，
，
∵分式方程 的解为正整数，
∴2+m＝1或3，
解得：m＝﹣1或1，
∵当m＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，
∴m≠1，
∴整数m的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
14．分式方程 ＝ 有增根，则m的值为 6 ．
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增
根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得，
2x（x+2）﹣2（x﹣1）（x+2）＝m，
2x2+4x﹣2x2﹣2x+4＝m，
m＝2x+4，
∵分式方程有增根，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0，x+2＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣2，
1 2
当x ＝1时，m＝2x+4＝2+4＝6，
1
当x ＝﹣2时，m＝2x+4＝﹣4+4＝0，此时方程无解，不符合题意．
2
所以m的值为6，
故答案为：6．
15．关于x的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程
的解为非负整数，则符合条件的整数m的值之和为 2 ．【分析】求出不等式组解集，再根据关于x的一元一次不等式组 至少有2个整数解，
求出m的取值范围，再根据分式方程的解以及增根的定义进一步确定 m的取值范围，最后计算所有符
合条件的整数m的和即可．
【解答】解： ≤x﹣1，
3x﹣4≤2x﹣2，
3x﹣2x≤4﹣2，
x≤2，
2（x+1）≥﹣x+m，
2x+2≥﹣x+m，
2x+x≥m﹣2，
3x≥m﹣2，
x≥ ，
∵关于x的一元一次不等式组 至少有2个整数解，
∴ ≤1，
m﹣2≤3，
m≤5，
∵关于y的分式方程 的解为y＝ ，且为非负整数，
∴m≥0的偶数，
∴m＝0或m＝2或m＝4，
又∵分式方程的增根是y＝2，
当y＝2时，即 ＝2，
解得m＝4，
∴m≠4，
∴所有符合条件的整数m的值的和为0+2＝2，
故答案为：2．
16．解分式方程：
（1） ；（2） ．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：（1） ，
2x＝3x﹣2（x+1），
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，2（x+1）≠0，
∴x＝﹣2是原方程的根；
（2） ，
x﹣1+2（x+1）＝4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解．
17．已知关于x的方程 ．
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值．
【分析】（1）把m＝4代入方程，方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣4x＝x﹣1，求出方
程的解，再进行检验即可；
（2）先方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣mx＝x﹣1，整理后得出（1﹣m）x＝﹣5，再
求出所有情况即可．
【解答】解：（1）把m＝4代入方程 得： ﹣ ＝ ，
方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣4x＝x﹣1，
解方程得：x＝ ，
检验：当x＝ 时，（x﹣1）（x+2）≠0，
所以x＝ 是原方程的解，
即原方程的解是x＝ ；
（2） ，方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣1①，
整理得：（1﹣m）x＝﹣5②，
有三种情况：
第一种情况：当x﹣1＝0时，方程无解，即此时x＝1，
把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1，
解得：m＝6；
第二种情况：当x+2＝0时，方程无解，即此时x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣1，
解得：m＝﹣ ；
第三种情况：∵（1﹣m）x＝﹣5②，
∴当1﹣m＝0时，方程无解，
即此时m＝1；
所以m＝6或﹣ 或1．
18．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： ．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式
方程中“？”代表的数是多少？
【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；
（2）设？为m，利用分式方程的增根解答即可．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以（x﹣2）得5+3（x﹣2）＝﹣1
解得x＝0
经检验，x＝0是原分式方程的解．
（2）设？为m，
方程两边同时乘以（x﹣2）得m+3（x﹣2）＝﹣1
由于x＝2是原分式方程的增根，
所以把x＝2代入上面的等式得m+3（2﹣2）＝﹣1，m＝﹣1
所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．
19．（1）若关于x的方程 有增根，求m的值．
（2）在（1）中的条件下，若 ，求4A﹣B的值．
【分析】（1）先找出最简公分母（x﹣3），方程两边同乘以（x﹣3），解得x＝2+m，再将方程的增根
x＝3代入x＝2+m，即可求解．（2）由（1）得m＝1，进而解分式方程，得到 ，解得 ，即可求解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣3），得，x﹣4+m＝2（x﹣3），
解得x＝2+m，
∵方程有增根，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝2+m中，得3＝2+m，
解得m＝1，
∴m的值为1．
（2）由（1）得m＝1，
∴方程为 ，
方程两边同乘以（x﹣1）（x﹣2），得，
3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
3x﹣4＝Ax+Bx﹣2A﹣B，
可得 ，
解得 ，
∴4A﹣B＝2．
20．阅读下列材料：
关于 x 的分式方程 的解是 x ＝c， ； ，即 的解是 x ＝c，
1 1
； 的解是x ＝c， ； 的解是x ＝c， ；
1 1
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程 与它的关系，猜想它的解是
什么，并利用方程解的概念进行验证；
（2）由上述的观察，解关于x的方程： ．
【分析】（1）根据材料即可判断方程的解，然后代入到方程的左右两边检验即可；
（2）将方程左右两边同时减去1，变为题干中的形式，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可猜想方程 的解为 ，
验证：当x＝c时，方程 的左边＝ ＝方程的右边，
∴x＝c是方程 的解；当 时，方程 的左边＝ 方程的右边，
∴ 是方程 的解；
（2）∵ ，
∴ ，
∴x﹣1＝a﹣1或 ，
解得 ．
经检验，都是原方程的解，且符合题意．
