文档内容
一、单选题
1．下列方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中是分式方程的是(
)
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
2．已知x＝3是分式方程 的解，那么实数k的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于 的分式方程 的解是非正数，则 的取值范围是( )
A． B． 且 C． D． 且
4．某城市轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度
是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
5．若分式方程 有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
6．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机
器所需时间相同．设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．0 B．6 C．0或6 D．0或
8．分式方程 = 有增根，则m的值为（ ）A．0和3 B．1
C．1和﹣2 D．3
二、填空题
9．方程 的解是_______．
10．方程 的解为__________．
11．若分式方程 有增根，则 _____．
12．若关于 的方程 无解，则 __________．
x+m 1
13．若关于x的分式方程 + =1无解，则m的值是_____．
x-2 x
14．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40
元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．
15．已知关于 的方程 的解为正数，则实数 的取值范围是__________．
16．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，
结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设学生骑车速度为x千米/时，则根据题意列出的方
程为_____．
三、解答题
17．（1）计算： ；
（2）解方程： ．
18．若分式方程 的解为正数，求 的取值范围．
19．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵5元，用360元购买甲种商品
的件数恰好与用300元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）若商店计划购买这两种商品共40件，且投入的经费不超过1150元，那么，最多可购买多少件甲种商品？
20．南京到上海铁路长300 km，为了适应两市经济的发展，客车的速度比原来每小时增加了40 km，因此从南京
到上海的时间缩短了一半，求客车原来的速度.21．一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少用8天，甲队单独做3天的工作乙队单独做需要5天．
（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需几天？
（2）甲队每施工一天则需付给甲队工程款5.5万元，乙队每施工一天则需付给乙队工程款3万元．该工程先由甲、
乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩下的工程．若要求完成此项工程的工程款不超过65万元，则甲、乙两队最
多合作多少天？
22．某农场要在面积为2000万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原
计划多播种 ，就可以提前5小时完成播种任务．
（1）求原计划每小时播种多少万平方米？
（2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种120万平方米，乙播种机每小时可播种80万平
方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前5小时完成播种任
务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据分式方程的概念逐一判断即可．
【详解】
分式方程的概念是：含有分式的方程；分式的定义是分母含有未知数的式子；结合分式的定义以及分式方程的概
念课判断①中不含有分式，故错误；②是分式方程；③是分式方程；④是分式方程；⑤中不含有分式；综上是分
式方程的有②③④．
故选：D．
【点睛】
本题主要考察关于分式方程的概念，解题的关键是掌握分式方程的基本定义即可．
2．D
【解析】
解：将x=3代入 ，得： ，解得：k=2，故选D．
3．B
【解析】
【分析】
根据题意，先解方程求出x=m-3,方程的解是一个非正数，则m-3≤0,且当x+1=0时即m-2=0方程无解，因此得解．
【详解】
解：去分母得：m-2=x+1,
移项得：x=m-3
由方程的解是非正数得：
m-3≤0且m-3+1≠0
解得：m≤3且≠2
【点睛】
本题考查的是利用分式方程的解来解决其中的字母的取值范围问题，一定要考虑到分式方程必须有意义．
4．D
【解析】
【分析】
根据题中等量关系“一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍”用x表示出运行后公
交车的速度、时间，原来公交车的行驶时间，由“行驶时间则缩短半小时”即可列出方程.
【详解】解：设原来公交车的平均速度为x千米/时，可得：
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找出题中的等量关系是解题的关键.
5．B
【解析】
【分析】
先将分式方程化为整式方程，由于分式方程有增根，所以最简公分母等于0，把增根的值代入整式方程即可求出a
的值.
【详解】
去分母得：(x+2)+3(x-2)(x+2)=a(x-2)
由于分式方程 有增根
∴(x-2)(x+2)=0
解得：x=2或-2
当x=2时，无解
当x=-2时，a=0
故答案选择B.
【点睛】
本题考查的是分式方程有增根的问题，属于基础知识，比较简单.
6．A
【解析】
【分析】
根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台
机器所需时间=原计划生产350台机器所需时间．
【详解】
现在每天生产x台机器，则原计划每天生产（x﹣30）台机器．
依题意得： ，
故选A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
7．C【解析】
【分析】
存在两种情况会无解：
（1）分式方程无解，则得到的解为方程的增根；
（2）分式方程转化为一元一次方程后，方程无解
【详解】
情况一：解是方程的增根
分式方程转化为一元一次方程为：mx=6x－18
移项并合并同类项得：(6－m)x=18
解得：
∵分式方程无解，∴这个解为分式方程的增根
要想是分式方程的增根，则x=3或x=0
显然 不可能为0，则
解得：m=0
情况二：转化的一元一次方程无解
由上知，分式方程可转化为：(6－m)x=18
要使上述一元一次方程无解，则6－m=0
解得：m=6
故选：C
【点睛】
本题考查分式无解的情况：（1）解分式方程的过程中，最常见的错误是遗漏检验增根，这一点需要额外注意；
（2）一元一次方程ax+b=0中，当a=0，b≠0时，方程无解．
8．A
【解析】
分析：根据分式方程有增根，得出x-1=0，x+2=0，求出即可．
解答：解：∵分式方程 = 有增根，
∴x-1=0，x+2=0，
∴x=1，x=-2．
1 2
两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；当x=-2时，m=-2+2=0，
当m=0时，方程为 = ，
x（x-2）-（x-1）（x-2）=0，
x-2=0，
x=2，
经检验x=2是原方程的增根，
∴原分式方程无解，
即m的值是0或3，
9．无解
【解析】
【分析】
利用分式方程的解法求解即可．
【详解】
解方程：
方程两边同时乘以 得：
解得：
检验：将 代入 中， ，所以 不是原分式方程的解．
【点睛】
本题是考查解分式方程，解题的关键是掌握解法步骤，需要注意的是还需要检验．
10．
【解析】
【分析】
根据解分式方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，直接计算即可．
【详解】
两边同时乘（x-2），得：x-1=3（x-2），
解得：x= ，检验：当x= 时，最简公分母（x-2）≠0，
故x= 是原分式方程的解.
【点睛】
本题主要考查解分式方程．熟练掌握解分式方程的步骤是解决此题的关键．
11．1
【解析】
【分析】
根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣1）（2
﹣x）＝0，得到x＝1或2，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．
【详解】
方程两边都乘以（x﹣1）（2﹣x），得：
2（x﹣1）（2﹣x）+（1﹣kx）（2﹣x）＝x﹣1．
由分式方程有增根，得x＝1或x＝2是分式方程的增根．
①当x＝1时，1﹣k＝0，解得：k＝1；
②当x＝2时，k不存在．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： 让最简公分母为0确定增根； 化分式方程为整式
方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． ① ②
③
12． 或
【解析】
【分析】
首先方程两边都乘 ，整理可得方程： ，然后分析 的情况，再利用关于 的方
程 无解，得 ，继而求得答案．
【详解】
解：两边都乘以 ，得
，整理，得
，
当 =0时，即 时，方程无解；
当 ≠0时， ，
∵关于 的方程 无解，
∴( +1)( -1)=0，
解得： =1或 =-1，
当 =-1时， ，解得： ；
当 =1时， ，此时无解；
∴ 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
分式方程无解有两种情况： ①相应的整式方程无解; ②求出的整式方程的解是原分式方程的増根，也就是使原分
式方程的分母为0的根．
13．﹣2或﹣3
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程, 由分式方程无解确定出x的值, 代入整式方程计算即可求出m的值.
【详解】
解：去分母得:x2+mx+x-2=x2-2x,
解得:(3+m)x=2,
由分式方程无解,得到3+m=0,即m=-3
x+m
或 =1，方程无解，解得：m=-2，
x-2
综上,m的值为-3或-2.
故答案为: -3或-2.【点睛】
本题主要考查分式方程的解，注意其无解的条件.
14．
【解析】
【分析】
根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．
【详解】
解：根据题意得， ，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
15．m＞-10且m≠-5
【解析】
【分析】
先解关于x的分式方程，它的解x用含m的代数式表示，然后在依据“原方程有解”和“解是正数”建立不等式，
求m的取值范围．
【详解】
解：原方程去分母，得：
x+m=2(x-5)，
去括号移项合并同类项，得：x=m+10
∵关于 的方程 的解为正数，
∴x-5≠0即m+10≠5
∴m+10＞0且m+10≠5
解得：m＞-10且m≠-5
故答案为：m＞-10且m≠-5
【点睛】
本题通过求分式方程的解，结合已知条件列不等式，来确定分式方程的待定字母的取值范围，在解答此类问题时，
注意待定字母的取值范围与分式方程的增根也有关系，要了解分式方程的增根是使分母为0的未知数的值．
16．【解析】
【分析】
求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：“过了20分后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时
到达”；等量关系为：骑自行车同学所用时间－乘车同学所用时间= 小时．
【详解】
学生骑车速度为 千米/时，根据题意，得：
．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解答本题的关键．
17．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）分式运算，它们的分母相同直接相加减即可；
（2）首先去分母，方程两边都乘以(2x-5)(2x+5),去括号,移项合并，系数化为1，得解．
【详解】
（1）解：原式
（2）去分母得：
去括号得： ，
∴ ，∴
经检验知： 是原方程的解．
【点睛】
本题考查了分式运算和解方程分式，解方程去分母时，不要漏乘等号右边的1，去括号时括号前面是负数的乘得的
各项要变号，还有分式方程一定要验根．
18． 且
【解析】
【分析】
先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围.
【详解】
解:去分母,得 ,解得
因为这个解是正数,所以 ,即 .
又因为分式方程的分母不能为零,即 且 ,所以 .
所以a的取值范围是 且 .
【点睛】
本题考查了分式方程的解，利用分式方程的解得出关于a的不等式是解题关键．
19．（1）甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元；（2）最多可购买30件甲种商品．
【解析】
【分析】
(1)设甲种商品每件的价格是x元,则乙种商品每件的价格是(x-5)元,根据"用360元购买甲种商品的件数怡好与用300
元购买乙种商品的件数相同",列出关于x的分式方程,解之经过验证即可,
(2)设购买m件甲种商品,则购买(40-m)件乙种商品,根据商店计划购买这两种商品共40件,且投入的经费不超过1150
元",列出关于m的一元一次不等式,解之即可
【详解】解：（1）设甲种商品每件的价格是x元，则乙种商品每件的价格是（x﹣5）元，
根据题意得：
，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是方程的解且符合意义，
30﹣5＝25，
答：甲种商品每件的价格是30元，乙种商品每件的价格是25元，
（2）设购买m件甲种商品，则购买（40﹣m）件乙种商品，
根据题意得：
30m+25（40﹣m）≤1150，
解得：m≤30，
答：最多可购买30件甲种商品．
【点睛】
此题考查一元一次不等式的应用和分式方程的应用，解题关键在于列出方程
20．客车原来的速度为40km/h.
【解析】
【分析】
由“从南京到上海的时间缩短了一半”，等量关系为：原来用的时间＝现在用的时间 ，把相关数值代入，然后
解方程即可．
【详解】
设客车原来的速度是xkm/h，现在的速度是（x+40）km/h，由题意得：
．
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解且符合题意．
答：客车原来的速度是40km/h．
【点睛】
本题考查了列分式方程解应用题，根据减少的时间得到相应的等量关系是解答本题的关键．
21．（1）甲队单独完成此项工程需12天，乙队单独完成此项工程需20天；（2）10天
【解析】
【分析】
设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需（x+8）天,根据等量关系，列出方程，解出来即可.设甲乙两队合作m天，根据题意列出不等式，解出来即可.
【详解】
（1）设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需（x+8）天
根据题意得： ＝
解得x＝12
经检验x＝12是原方程的解
当x＝12时，x+8＝20
答：甲队单独完成此项工程需12天，乙队单独完成此项工程需20天．
（2）设甲乙两队合作m天，根据题意得：
5.5m+ ×3≤65
解得m≤10
答：甲乙两队最多合作10天．
【点睛】
此题考查根式方程的应用和不等式的实际应用，关键是合理设置未知数，根据等量关系列出方程是关键.
22．（1）原计划每小时播种80万平方米；（2）甲播种机至少要播种10小时．
【解析】
【分析】
（1）设原计划每小时播种x万平方米，根据题意列出方程解答即可;
（2）设甲播种机播种a小时，根据题意列出不等式解答即可．
【详解】
解：（1）设原计划每小时播种x万平方米，
由题意得：
解得：
经检验 x=80 是原方程的解，
答：原计划每小时播种80万平方米．
（2）设甲播种机播种a小时，
根据题意得解得
答：甲播种机至少要播种10小时．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
