初中数学八年级下册第12章二次根式题库_0作业_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学苏科版试卷_《优秀作业单》_八年级

八年级下册第12章 二次根式
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A． a 一定是二次根式 B． a2 1一定是二次根式
C． a2 1一定是二次根式 D．二次根式的值一定是无理数
2．下列式子： 14 ， 3a ， x2 0.01，35， a2 b2 ， 36， a 1，其中一定
是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．使得式子 42x 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x2 B．x2 C．x2 D．x2
4．已知实数x、y满足 3x y6 0，则以x， y的值为两边长的等腰三角形的周
长
是（ ）
A．15 B．12 C．12或16 D．以上都不对
5． （1）2 的值为（ ）
A．1 B．1 C．0 D．1
6．要使 x2 3成立，x可以是（ ）
A．1 B．1 C．0 D．2
7．如果 (2m)2 m2 ，则m的取值范围为（ ）
A．m2 B．m2 C．m2 D．m2
8．已知m为任意实数，则下列各式中，一定成立的是（ ）
A．( m)2 m B． m2 m
C． m2 2m1m1 D．( 1m2)2 m2 1
9．计算： 2 7 （ ）
A． 14 B． 14 C．2 7 D．2 7
10．下列变形正确的是（ ）
1 1 1
A． (16)(25)  16 25 B． 16  16 4
4 4 2
1 1
C． ( )2  D． 252 242 25241
3 3
11．等式 x1 x1 x2 1成立的条件是（ ）A．x＞1 B．x＜-1 C．x≥1 D．x≤-1
12．2 3和3 2 的大小关系是（ ）
A．2 33 2 B．2 33 2 C．2 33 2 D．不能比较
13．当a0时，化简 2a 8a 的结果是（ ）
A．4a2 B．4a2 C．4a D．4a
14．下列计算正确的是（ ）
2 2
A．3 24 2 12 2 B．3  (3)2  6
3 3
C． (9)(4)  9 4 D． 52 32  (53)(53)  16 4
15．设 2 a， 3b，用含a，b的式子表示 0.54，下列正确的是（ ）
A．0.3ab2 B．3ab C．0.1ab3 D．0.1a3b
16．计算 6 3的结果是（ ）
1 1
A． 2 B．2 C． 2 D． 6
3 3
17．下列各式计算正确的是（ ）
A． 24 6 4 B． 54  9  6
4 1
C． 30  6 5 D．  7 2
7 49
a b b b a
18．如果ab0，ab0，给出下面各式：①  ab a；②  ；③  1，
b a a a b
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②
x x
19．若  成立，则（ ）
6x 6x
A．x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥0 D．0≤x＜6
20．下列各式成立的是（ ）
2 2 a
A．  B． 3 a
3 3 9
1 1 2
C． 4  4  D．当ab0时，
9 9 3
− 
= − 21．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
x
A． 8 B． C． 9a D． x2  y2
2
2
22．已知m 31，n ，则m和n的关系为（ ）
31
A．mn B．mn1 C．mn D．mn1
3a
23．化简 的结果是（ ）
12ab
b b
A．4b B．2 b C． D．
2 2b
2 2 2
24．二次根式 ， ， 的大小关系是（ ）
5 5 5
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A．   B．   C．   D．  
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
1
25．不改变根式的大小，把(a1) 根号外的因式移入根号内，正确的是（ ）
1a
A． 1a B． a1 C． a1 D． 1a
26．下列二次根式中，与 3是同类二次根式的是（ ）
1
A． 18 B． C． 24 D． 0.3
3
27．计算3 52 5的结果是（ ）
A． 5 B．2 5 C．3 5 D．6
28．下列计算中，正确的是（ ）
A．2 3 32 B．2 2 2 2 C． 12 3 3 D． 9 4  5
29．下列说法正确的是（ ）
A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B． 2a 与2 a 是同类二次根式
1
C． 与 a 不是同类二次根式
a
D．被开方数完全相同的二次根式是同类二次根式
1
30．计算（5 2 45）(- 5)的结果为（ ）
5A．5 B．5 C．7 D．7
31．计算( 52)2( 52)2的结果是（ ）
A． 52 B． 52 C．1 D．2 5
1
32．估计 8  5的结果应该在（ ）
2
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6 2 6 2
33．已知x ，y ，则x2 3xy y2=（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
2
34．若 是二次根式，则x应该满足的条件是（ ）
2x
A．x2 B．x2 C．x2 D．x0且x2
4 12
35．计算  的结果是（ ）
3 2
2 3 3 3
A．2 3 B． C． D．
3 3 3
36．下列运算正确的是（ ）
A． a23 a5 B．(ab)2 a2 b2 C．3 5 5 2 D．3 27 3
37．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且 a  b ，则化简 a2  ab 的结果为（ ）
A．2ab B．2ab C．b D．2ab
二、填空题
2x1
1．要使代数式 有意义，则x的取值范围是 ；
x1
2．若式子 (x16)2 有意义，则x的取值范围是 ；
3．若 a1b2 2b10，则ab= ；
4．若整数x满足 x 3，则使 7x为整数的x的值是 ．
5．当a 时， a2 ( a)2；
6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 (ab)2 的结果是 ；7．计算(2)0  π4  (3π)2 = ；
8．已知点P(a,b)在第二象限，化简 a2 ( b)2= ．
1
9．计算： 2 3  ； 3 27  ；  32  ．
2
10．计算： 3x 12x  ．
11．化简： 8  ； 4a2(a 0)  ．
12．化简： 52  ．
13．直角三角形的两条直角边长分别为 2cm、 10cm，则这个直角三角形的面积为 cm2．
14．小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
2 3 22  3 223 12，①
2 3 (2)2  3 (2)23 12 ，②
2 32 3．③
22．④
上面的推导过程中，从第 步开始出现错误（填序号）；
15．【动手实践】小明学习了“实验与探究”后做了如下探索：他按图1方法把边长为5厘
米和3厘米的两个正方形切割成5块，按图2方式拼成的一个大正方形，则大正方形的
边长是 厘米．
16．计算：（1） 49144  ，（2） 362 482  ．
17．已知m 为正整数，若 189m是整数，则根据 189m  3337m 3 37m 可知m300
有最小值3721．设n为正整数，若 是大于1的整数，则n的最小值为 ．
n
18．长方形的宽为 10，面积为4 5，则长方形的长为 ．
10 2
19．化简：  ．
5
1
20．已知2 5x 1 ，则x ．
5
21．若 3a1 是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是 ．
1
22．阅读材料，并回答问题：小君在学习二次根式时，化简 的过程如下：
12
1
解：
12
1
 第①步；
12
1
 第②步；
4 3
14 3
 第③步；
4 3 3
3
 第④步．
3
上述解答过程中，从第 步开始出现了错误（填序号）．
5 1 b
23．化简：  ； 2  ； (a0)= ．
27 8 4a
24．化简 8 2  ；
52
25．比较大小： 53 ；
2
26．若最简二次根式 53a 与 a1是同类二次根式，则a= ；
b
27．若a0，则 化为最简二次根式为 ．
a
28．计算( 5 3)( 5 3)= ；
1
29．计算6 ( 31)2= ；
3
1
30．若a ，b1 2，则ab= ；
2131．已知直角三角形的两条直角边长之和为 26 ，斜边长为 4，则该三角形的面积
为 ．
32．若代数式 2x1有意义，则实数x的取值范围是 ；
3 1
33．计算  的结果是 ；
2 2
x4 4x
34．若y 2，则(x y)y  ；
2
35．若 x2 4x4x2，则x的取值范围是 ．
三、解答题
1．计算：
3
（1）(2 )2  (3)2 ； （2） (x1)2  (x2)2 （1x2）．
4
y2 8y16
2．已知x， y满足 y x2 2x4，计算： ．
x3
3．已知x， y为实数，且y x2 9 9x2 5，求x y的值．
4．已知 2022m  m2023m，求m20222的值．
5．已知实数m，n满足 42m (n2)2 (m2)n2 2m4 ，求mn 的值．
6．计算（1） (2)2  (34)2 ； （2） 52 ( 7)2．
7．已知x，y满足y x2 2x2，化简 y4  y24y4 ．
8．化简 x2 2x1（ x2）2．
9．已知( a)2 1aa2，试求a的值．
10．若化简1x  x2 8x16的结果是2x5，求x的取值范围．
11．计算：
2 x
（1）  6； （2） 5 20； （3） 12x ； （4） 2× 3× 6 ．
3 3
12．化简：
（1） 2000； （2） 102 62 ； （3） 0.040.36 ；
（4） 4925； （5） ab3(a  0)； （6） a2 2a1(a 1)．13．已知： x3 3x2 ＝－x x3，求x的取值范围．
14．化简： a4b2 a2b4(ab  0)
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，对角线AC、BD相交于点O，
AC⊥BC于点C，求BD的长．
16．计算：
1
（1） 3 (16)(36) ； （2） 2 3 6；
3
3 1
（3） 1 2 3( 10)； （4） 10x 101y 100z ．
5 2
17．化简：
（1） 200； （2） 0.0011.6；
（3） 12a2b3 （a≥0，b≥0）； （4） 16x3 8x2y （x≥0，y≥0）．
18．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：
1 1
43 2 43，1 2 1 ，55 2 55 ．
6 6
（2）由（1）中各式猜想mn与2 mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如
图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少
需要 m．
2 8 222 2
19．先来看一个有趣的现象： 2   2 ，这里根号里的因数2经过适当
3 3 3 3
的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有
3 3 4 4
许多，如： 3 3 、 4 4 等等
8 8 15 15
（1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证；（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．
20．我们知道：当a>0时， a2 a；反过来当a>0时，a  a2 ．
1 1 1
因此化简5 时可以将根号外的因式平方后移到根号内，即：5 = 52   5．
5 5 5
试一试：用上面的方法化简下列式子．
1 1 1
（1）3 ； （2）x  ； （3） m1  ．
3 x 1m
21．化简：
15 7 25a4
（1） 1 ； （2） ； （3） （a＞0，b<0）．
49 100 9b2
22．计算：
40 1 1
（1） ； （2） 4  2 ；
10 2 4
x
（3） 27a4  3a2(a0)； （4）4 6x3 2 (x0)．
3
23．计算：
2 1 2 3 2 1 1
（1） 1  2  1 ； （2） 1  2  ；
3 3 5 7 3 10 3
xy2
（3） x(x y)  (x  0,y  0)．
x y
24．化简：
372 122 0.09121x2
（1） ； （2） (x0)；
196 0.25144y4
a2b2
（3） (a b0)．
(ab)2 4ab
25．已知一个三角形的面积为5 21cm2，其中一边长为2 35cm，求这条边上的高．
26．化简：
3 3 2 5a 2y2
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
40 27 10a 4xy
27．计算：1 2 5 2 1 b
（1） 2 3 28(5 2 )； （2） ab3 ( ab) ．
2 7 b 5 3 a
28．阅读下面问题：
1 1( 21)
  21；
1 2 ( 21)( 21)
1 1( 3 2)
  3 2；
3 2 ( 3 2)( 3 2)
1 1( 52)
  52．
52 ( 52)( 52)
1
（1）求 的值；
7 6
1 1 1 1 1
（2）计算：     ．
1 2 2 3 3 4 98 99 99 100
1
29．规定(a,b)表示一对数对，给出如下定义：m ，n b(a0,b0)．将（m，n）
a
与（n，m）称为数对（a，b）的一对“对称数对”．
1 1
例如：数对（4，1）的一对“对称数对”为( ,1)与(1, )．
2 2
（1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ．
（2）若数对（3，y）的一对“对称数对”相同，则y的值是多少？
（3）若数对（x，2）的一个“对称数对”是( 2 ，1)，则x的值是多少？若数对（a，b）一
个“对称数对”是( 3，3 2)，求a，b的值．
2006 2007
30．已知：a ，b ，比较a和b的大小．
2007 2008
31．计算：
1 x 50
（1）5 2 86 18 ； （2） 32x3 2x x2 ．
2 2 x
1 1
32．已知x4，y16时，求代数式 x3 x2y xy2  x2yxy2  y3 的值．
4 4
33．已知x 21，求x2 2x3的值．
1 1
34．矩形的边长分别为a，b，如果a 32，b 8，求矩形的周长和对角线的长．
2 3
35．如图，将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四个角，使它成为正八边形，求该八边形
的周长（用含有a的代数式表示）．36．计算：
1
（1） （3 12 75）； （2）（ 3 21）（ 3 21）．
3
37．计算（ 3 2）202（3 3 2）2024．
38．已知矩形的周长为 48 72，一边长为 3 8，求此矩形的面积．
39．已知a2 54，b52 5，试比较a，b的大小．
1
40．已知m是 2 的小数部分，求 m2  2的值．
m2
41．计算：
1
（1） (3)2 ( )0 3 64 ； （2） 12(1 3)(1 3)．
2
42．已知x1 2 ，y1 2，求x2  y2 xy2x2y的值．
2
43．先化简，再求值：(a1 )(a2 1)，其中a 21．
a1
44．已知某正数的两个平方根分别是a3和b15，求ab的值．
45．已知a，b为有理数，m，n分别表示5 7 的整数部分和小数部分，且amnbn2 1，
求2ab的值．
四、综合实践
1． 阅读《根号的演化》，写一篇读后感，不少于200字．
15世纪的阿拉伯数学家阿尔卡拉沙第用阿拉伯文根号术语“jidr”的首写字母j表示根号，
其用法是将该符号放在要求平方根的数字之上，有时会在符号和数字之间用一条水平线加以
分隔．用符号“R”表示根号则最先出现在阿拉伯文版的《原本》中，拉丁文“radix”有平方根
的含义．“R”的使用一度较为广泛，既指一般的“根”，也被用作未知数．其典型人物是意大
利数学家斐波那契(1170—1250)，他把“R”同时用作根号和未知数． 欧拉曾猜想，二次根号
是由“R”变形而来的，后经研究确认并非如此．在1480年前后，德国人用“．”表示平方根，
用两点“．．”表示四次方根，用三个点“．．．”表示立方根，如·3表示 3．到了16世纪初，
小点带上了一条尾巴，这可能是因书写快时带上的．在此基础上演变成了“√”．如1525年，
德国数学家鲁道夫的代数书中就用√8表示 8．
1629年，荷兰数学家吉拉德(1595-1632)在其著作中，将指数放在“√”左上方，用以表示
开几次方根，如三次方根写为“3√”．但对于开四次方根，他使用了“√√”．1637年，笛卡儿在其《几何学》一书中第一个应用了现代平方根符号“ ”．他写道:“若我欲求a2 b2的平方
根，就写作 a2 b2 ．”笛卡儿认为，当被开方数是一个多项式时，为了避免混淆，可在“√”
上面加一条横线“—”，把几项连起来．这个创造既自然又超凡．
二次根式的发现也让人付出了生命的代价．希帕苏斯(公元前470年左右)正是因为认识
到了 2 的存在，而被毕达哥拉斯学派视为异端，无情地投进了茫茫的大海．
2．“ ”的多重理解：在数学课上，老师在黑板上写下“祝你开 ”，请你根据这句话并
结合生活实际谈谈对符号“ ”的理解.
3．二次根式和算术平方根是代数中两个十分重要的概念，两者既有非常密切的联系，但
也有所区别，请同学们说说它们的区别与联系．
4．如果让你设计一张白纸，长宽比多少最合适？要回答这个问题，得从白纸的生产过程
说起．通常来说，造纸分为制浆和成纸两个主要过程，制浆就是用机械的、化学的方法把植
物纤维变成纸浆，成纸则是把悬浮在水中的纸浆纤维，经过各种加工结合成合乎要求的纸
页．成纸的最后一道主要工序是裁剪．既然是裁剪，就可能会有损耗，在满足使用需求的基
础上，尽量减少损耗是裁剪的关键．成型的纸张通常很大，不适合日常使用，需要分割为不
同的尺寸．那么问题来了，如何裁剪能尽量减少损耗？
请同学们查阅相关资料，找到问题的答案．
a a
5．我们知道，二次根式乘除法有如下性质： a b  ab（a≥0，b≥0），  （a≥0，
b b
b＞0），那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅：
（1）举些例子比较 a  b与 ab（a≥0，b≥0）的大小，并提出猜想；（至少举3例，举
例要全面哦）
（2）利用学过的知识证明你的猜想．
6．古希腊数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载一个计算三角形面积的公式，即海
abc
伦公式：三角形面积S  p(pa)(pb)(pc) ，其中a、b、c为三角形三边长，p ．
2
早在我国南宋时期，著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，
即已知三角形三边长求三角形面积的公式，后人称之为“秦九韶公式”，其求法是：若将三角
形的三条边分别称为小斜（记为a)、中斜（记为b)和大斜（记为c)，以小斜幂并大斜幂减
中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实：一为从隔，开平方1 a2 c2 b2
得积．若把以上这段文字写成公式即为 [a2c2 ( )2] (abc)，请同学们根据
4 2
所学的知识对上述面积公式进行证明．
7．某位老师针对一些同学对二次根式的概念不理解，采用了打比方的形式讲解：二次根
式就相当于一个小房子，同学们可以把二次根式中的二次根号看作是一个二层的小楼，当
根号外面没有数字就表示有存款或者无外债， 反之则为欠账．作为二次根式，一定有房子，
至少无外债．
现在你如果有同学对于同类二次根式的概念理解有困难，你能用上面老师的方法讲解给你
同学听吗？
a a
8．我们在学习二次根式乘除法则时知道： a b  ab，  ，那么以此类推，
b b
a  b  ab 是否正确，你除了用代入具体数字求（估）值以外还有其他更好的方法
吗？
9．在本章的第一课时最后一题，老师讲述了关于二次根式符号的由来，在故事的结尾，
老师提到了希帕苏斯(公元前470年左右)正是因为认识到了 2 的存在，而被毕达哥拉斯学
派视为异端，无情地投进了茫茫的大海．请你通过查询杂志、网络，或问询老师家长的方式
详细了解这个故事的前因后果，并讲解给你的同学听，同时可以聊聊你对此的看法.