初中数学八年级上册第14单元整式乘法与因式分解题库_0作业_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学苏科版试卷_《优秀作业单》_八年级

八年级上册第 14 章 整式的乘法与因式分解
一、选择题
1．计算x2·x3的结果是【 】
A．x5 B．2x5 C．x6 D． 2x6
2．x2m＋n可写成【 】
A．x2·xm＋n B．x2m·x2n C．x2m·xn D．2xm＋n
3．若xm－5x2n－x6＝0，则m、n的关系是【 】
A．m－n＝6 B．2m＋n＝5 C．m＋2n＝11 D．m－2n＝7
4．计算(－2)100＋(－2)99的结果为【 】
A．－299 B．299 C．2100 D．－2
5．下列计算正确的是【 】
A．a3+a3 =a6 B．a3−a3 =1
C．a3a3 =a6 D．(a3)3 =a6
6．已知am =2，an =3，则a3m+2n的值为【 】
A．24 B．36 C．72 D．6
 7 2012 2 2012
7．计算 −    的结果是【 】
 2 7
7 2
A．1 B．− C．− D．−1
2 7
8．下列运算：①x2•x3＝x6；②x2＋x2＝2x2；③（x2）3＝x6；④（－3x）2＝9x2中，正确的
是【 】
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
9．下列运算正确的是【 】
A．x2•x3＝x6 B．(－3x) 2 •5x 2＝－12x5
C．(－3a) 3 (－5a) 5＝15a8 D．(－2x) 2＝4x2
10．计算(3×102) ×(6×103)的结果是【 】
A．18×105 B．1.8×106 C．18×106 D．1.8×107
11．计算a•(－a2) •a 5＋(－2a 4) 2＋(a 2) 4的结果是【 】
A．4a 8 B．6a 8 C．a 8＋5a 6 D．－a 8＋5a 612．若(2xy2) m (－x2y) n＝ax3y3，则常数a的值为【 】
A．4 B．−4 C．2 D．−2
13．计算x（2x2＋1），正确的结果是【 】
A．2x2＋x B．2x3＋x C．3x2＋x D．3x3＋
x
14．下列各式中，计算结果等于x3＋3x2－6x【 】
A．x(x2－3x－6) B．x(x2＋3x－6)
3 1 3 1
C．2x(3－ x－ x2) D．－2x(3＋ x－ x2)
2 2 2 2
15．已知－4a与一个多项式的积是－16a3＋4a2－8a，则这个多项式为【 】
A．－4a2＋a＋2 B．－4a2－a－2
C．4a2－a－2 D．4a2－a＋2
16．已知单项式A，B满足2x(A－5x)＝6x3y3＋B，则A，B分别为【 】
A．3x2y3和－10x2 B．3x2y3和10x2
C．2x2y3和－10x2 D．3x2y3和－10x
17．计算(2x－1)(3x＋2)的结果是【 】
A．6x2－2 B．6x2＋x－2 C．6x2－x－2 D．6x2＋2x－2
18．下列多项式相乘的结果为x2－3x－18【 】
A．(x－2)(x＋9) B．(x＋2)(x－9) C．(x＋3)(x－6) D．(x－3)(x＋6)
19．若M＝(x－2)(x－5)，N＝(x－3)(x－4)，则M与N的大小关系为【 】
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x取值有关
20．如果M是多项式，且满足等式M(x＋5)＝x2＋2x＋a (a是整数)，那么有【 】
A．M＝x－3，a＝15 B．M＝x－3，a＝－15
C．M＝x＋3，a＝15 D．M＝x＋3，a＝－15
21．下列计算中正确的是【 】
A．xa＋2÷x3＝xa＋5 B．(xy)6÷(xy)2＝x3y3
C．x12÷(x5÷x2)＝x9 D．(x4n÷x2n) x3n＝x3n＋2
22．若□×2xy＝2x2y，则□内应填的单项式是【 】
A．x B．xy C．2x D．2xy
23．若(m＋1)0＝1，则m的取值范围是【 】A．m＞－1 B．m＝－1 C．m＜－1 D．m≠－1
24．若(y2)m(xn＋1) ÷xy＝ xy3，则m，n的值是【 】
A．m＝n＝1 B．m＝n＝2 C．m＝2，n＝1 D．m＝1，n＝2
25．下列各式中，不能用平方差公式计算的是【 】
A．(−x−y)(x−y) B．(−x+y)(−x−y)
C．(x+y)(−x+y) D．(x−y)(−x+y)
26．若(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算，则p， q 满足的条件可能是【 】
①p=a，q=b；②p=a，q=−b；③p=−a，q=b；④p=−a，q=−b．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
27．已知两个正方形的边长之和是10cm，他们的面积之差是40cm2，则这两个正方形的边
长之差为【 】
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
28．已知M =3 ( 22+1 )( 24+1 )( 28+1 )( 216+1 ) ，则M的个位数字为【 】
A．1 B．3 C．5 D．7
29．下列算式能用平方差公式计算的是【 】
1  1 
A．(2a+b)(2b−a) B． x+1− x−1
2  2 
C．(3x−y)(−3x+y) D．(−m−n)(−m+n)
30．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面
积关系得到的等式是【 】
A．a2−b2 =(a+b)(a−b) B．a2+2ab+b2 =(a+b)2
C．a2−2ab+b2 =(a−b)2 D．(a+b)2−4ab=(a−b)2
31．已知x2+6x+m是完全平方式，则m的值为【 】A．3 B．−3 C．9 D．−9
32．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案，该图案的面积为
49，小正方形的面积为4，若分别用x，y(x y)表示小长方形的长和宽，则下列关系
式中不正确的是【 】
A．x2+2xy+y2 =49 B．x2−2xy+y2 =4
C．x2+y2 =25 D．x2−y2 =14
33．下列各式中不能用平方差公式进行计算的是【 】
A．(m−n)(m+n) B．(−x−y)(x+y)
C．(2x+y)(y−2x) D．(a+b−c)(a+b+c)
34．下列运算：①(3x+y)2 =9x2+y2；②(a−2b)2 =a2−4b2；③
(−x−y)2 =x2−2xy+y2；④  x− 1  2 =x2−2x+ 1 ．其中，运算错误的有【 】
 2 4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
35．如图1所示，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，且满足m−n=3，
mn=28，若把图1通过对称拼成图2所示的长方形，则图2中的阴影部分的面积是
【 】
A．37 B．28 C．43 D．34
36．如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b=10，ab=18，则阴影部分的面积为
【 】A．20 B．21 C．22 D．23
37．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是【 】
A．（x＋3）（x－3）＝x2－9 B．2ab－2ac＝2a（b－c）
C．（m＋1）2＝m2＋2m＋1 D．n2＋2n＋1＝n（n＋2）＋1
38．已知多项式x2＋bx＋c因式分解的结果为（x－1）（x＋2），则b＋c的值为【 】
A．－1 B．－2 C．2 D．0
39．对多项式3x2－27因式分解，结果正确的是【 】
A．3（x2－9） B．3（x＋3）2
C．（3x＋3）（3x－9） D．3（x＋3）（x－3）
40．多项式（x＋y－z）（x－y＋z）－（y＋z－x）（z－x－y）的公因式是【 】
A．x＋y－z B．x－y＋z C．y＋z－x D．不存在
41．把x2－4分解因式的结果是【 】
A．（x－2）2 B．（x＋4）（x－4） C．（x－4）2 D．（x＋2）（x－2）
42．下列多项式能分解因式的是【 】
A．x2＋y2 B．x2y－z2 C．x2＋xy＋y2 D．x2－4y2
43．如图 1，在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（a＞b），把余下的部分
剪拼成一个如图 2 所示的长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等
式，这个等式是【 】
A．（a－b）（a＋2b）＝a2＋ab－2b2
B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2
D．（a－b）（a＋b）＝a2－b244．若58－1能被20至30之间的两个整数整除，则这两个整数是【 】
A．22和24 B．23和25 C．24和26 D．26和28
45．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是【 】
A．a2＋a＋1 B．a2＋2a－1 C．a2－1 D．a2－6a＋9
46．多项式x2－1与多项式x2－2x＋1的公因式是【 】
A．x－1 B．x＋1 C．x2－1 D．（x－1）2
47．有下列代数式：①10am－15a；②4xm2－9x；③4am2－12am＋9a；④－4m2－9．其中，
含有因式2m－3的有【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
48．下列各式分解因式正确的是【 】
A．2x2－4xy＋9y2＝（2x－3y）2
B．x（x－y）＋y（y－x）＝（x－y）（x＋y）
C．2x2－8y2＝2（x＋4y）（x－4y）
D．x2＋6xy＋9y2＝（x＋3y）2
49. 下列计算中正确的是 【 】
A. a²＋a³＝2a⁵ B. a⁴÷a＝a⁴
C. a²·a⁴＝a⁸ D.(－a²)³＝－a⁶
50. 下面是某同学在一次测验中的计算摘录:①3x³·(＝2x²)＝－6x⁵;②.4a³b÷(－2a²b)＝－2a;③
(a³)²＝a⁵;④(－a)³÷(－a)＝－a².其中正确的有 【 】
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
51. 下列各式是完全平方式的是 【 】
A.𝑥2−𝑥＋ 1 B. 1＋x² C. x＋xy＋1 D. x²＋2x−1
4
52. 下列各式中能用平方差公式是 【 】
A. (x＋y)(y＋x) B. (x＋y)(y－x)
C. (x＋y)(－y－x) D. (－x＋y)(y－x)53. 已知多项式ax＋b与2x²＋2x＋3的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为一9，则
aᵇ的值为 【 】
1 1
A. B.− C. －8 D. 一6
8 8
54. 若3x＝15,3y＝5,则3x－y等于【 】
A. 5 B. 3 C. 15 D. 10
55. 若 (x－3)(x＋4)＝x²＋px＋q,则p，q的值是【 】
A. p＝1，q＝－12 B. p＝－1，q＝12
C. p＝7，q＝12 D. p＝7，q＝－12
56. 下列各式从左到右的变形正确的是 【 】
A. －x－y＝－(x－y) B. －a＋b＝－(a＋b)
C. (y－x)²＝(x－y)² D. (a－b)³＝(b－a)³
二、填空题
1．计算：a •a2•a3＝ ___________.
2．计算：100×103×102＝_______．
3．已知am＝4，an＝9，则a2m＋n的值为_________．
4．已知4×2a×2a＋1＝29，且2a＋b＝8，则ab＝_________．
5．计算(−0.25)2020(−4)2021的结果是 ，( 3a2b−2)3 = ．
6．计算：①(−y)4(−y)3 = ；② ( −2x2y3)3 = ．
7． x−4y +(2y+1)2 =0,x2009y2010 =
8．若k为正奇数，则(−k−k−−k)k = (底数中含k个k)；若k为正偶
数，则(−k−k−−k)k = (底数中含k个k)；
9．计算：(－5a2b) (－3a) ＝___________.
10．一个直角三角形的两条直角边的长分别是a和2a2，则此三角形的面积是_______．
11．若3x＋1•5x＋1＝153x－3，则x的值为_________．12．若ab2＝－1，则2ab4• (－a2b3) 2＝_________．
13．若一个长方体的长、宽、高分别为x，2x2，x−1，则长方体的体积为____________；
当x＝2时，该长方体的体积为___________.
14．小明在计算一个整式乘3ac时，误看成了加上3ac，得到的答案是3bc－3ac．该题的
正确答案应是________________________．
15．已知a2＋a−2＝0，则a（a2−3）的值为_________．
16．定义新运算： a b
=ad+b−c
，例如 1 2
=14+2−3
，则 x x2
c d 3 4 xy+1 1−x
＝__________________．
17．计算： (2m－3) • (－m＋1) ＝___________.
18．已知(x＋3)(x－a)＝x2＋x＋b，则a•b＝__________．
19．已知a＋b＝ab＋1，计算(a－1)(b－1)的结果是_________．
20．计算乘法时，不小心把算式（x2＋2x＋3）（x＋▲）＝x3－x－6中的一个常数弄污了，则
算式中的▲对应的常数是_________．
21．计算： (15x3y2－12x2y3)÷3xy＝___________.
22．已知一个长方形的面积为(6ab2＋3a2b) cm2，一边长为3ab cm，则它的周长为
________ cm．
1
23．已知am＝5，an＝ ，则a2m－3n的值为_________．
2
24．若(1－x)1－3x＝1，则x＝ _________．
3x+2y=4
25．已知方程组 ，则x2− y2的值等于 ．
2x+3y=6
26．若m2−n2 =18,m+n=6，则m−n= ．
27．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图
形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够
验证平方差公式的有 （填序号）a b
28．对于任何实数a，b，c，d，我们都规定符号的意义是 =ad−bc，按照这个规定
c d
x−2 x−1
请你计算：当x2−3x+1=0时， 的值为 ．
x+1 3x
29．若a＋b=2，ab=1，则a2＋b2 = ．
30．如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连
接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a＋b＝10，ab＝20，则阴影部分的面积
为 ．
31．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m= ．
1 1
32．已知x+ =3，则代数式x2+ 的值为 ．
x x2
2x+y=4
33．如果 ，那么x2−y2的值是 ．
x+2y=5
34．如图，四个等腰直角三角形拼成一个正方形，则阴影部分的面积为 ．
35．已知 x2+y2+z2+2x−4y−6z+14=0，则x− y+z= ．
36．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图
揭示了(a+b)n
（
n
为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，
(a+b)1 =a+b
(a+b)2 =a2+2ab+b2
(a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b2
利用上述规律计算：993+3992+399+1= ．
37．分解因式：m（a－b）＋n（b－a）＝ ．
38．多项式－27x2y3＋18x2y2－3x2y分解因式时应提取的公因式是： ．
39．若多项式x2＋2x的值为2．则多项式3x2＋6x－1的值为 ．40．当n为 时，（a－b）n＝（b－a）n；
当n为 时，（a－b）n＝－（b－a）n（其中n为正整数）．
41．已知长方形的面积是49a2－4b2，一边长是7a－2b，则另一边长是 ．
42．在一个边长为 12.75cm 的正方形内挖去一个边长为 7.25cm 的正方形，则剩下部分的面
积为 cm2．
43．下列多项式中能用平方差公式因式分解的是 ．（填序号）
①5m2－20mn；②－x2＋9；③49x2y2－z2；④－m2＋4；⑤－x2－y2；
⑥（m－a）2－（m＋a）2．
44．运用平方差公式及因式分解计算50×1252－50×252的结果是 ．
45．把多项式a2－9b2分解因式结果是 ．
46．若m＋n＝3，则2m2＋4mn＋2n2－4的值为 ．
47．已知x2＋4mx＋16能用完全平方公式因式分解，则m的值为 ．
48．已知x2－2（m＋1）x＋16能变形为（x－4）2，则m的值为 ．
49. (π－3.14)⁰＝ ；－x²·(－x)³＝ ；(－2x³y²)⁴＝ .
50. 若2020m＝6，2020n＝4，则 2020²ᵐ⁻ⁿ＝ .
.
51. 圆柱的底面半径为x，高为(2x＋4)，则体积为 .
52. 长方形的面积为(2x²－8xy＋4x)，其一边为2x，则另一边为 .
53. 若a²＋4ab＋5b²÷2b＋1＝0，则a－b＝ .
．
54. 若代数式2a²＋3a＋1的值是6，则代数式6a²＋9a＋5的值为 .
55. 已知a－b＝3，b＋c＝－4，则代数式ac－bc＋a²－ab＝ .
56. 若实数m,n满足m²＋n²＋m²n²＋8mn＋9＝0，则(m－n)²的值为 .
三、解答题
1．计算．
（1）(－a)5·a2＋a·(－a6)； （2）(p－q)4·(q－p)3·(q－p)5．
2．若(am＋1·bn＋2) ·(a2n－1·b2m)＝a5b3，求m＋n的值.3．规定ab=2a2b.
（1）求32的值；
（2）若2(2x−1)=16，求x的值.
4．若24＋24＝2a，35＋35＋35＝3b，求a－b的值．
5．已知2x＋4－2×2x＝112，求x的值．
6．（1）计算： a43 +a8a4；
（2）计算：2(x+y)m+n 2 ；
 
（3）已知2x+3y−2=0，求9x27y的值．
8．计算：
（1）( a2)3 a5；
（2）
( −3xy3)2
；
（3）(−a)3a4a+ ( a2)4 ．
9．计算．
（1）－(－2x3y2)2•(3x2y3)2； （2）(－2x2y)3•(3xy2)2－12x3y3•(－5x5y4)．
10．已知A＝−x，B＝2y2，C＝−3x2y，求A2•B•C的值.
11．化简求值．
1 4 3
［－3 (a＋b)］3 • (a－b) •［－2 (a－b) (a＋b)］2，其中a＝4 ，b＝5 .
2 7 7
12．已知单项式4ambm－2和单项式－anb的积与a4b是同类项，求(n－m) m的值．
1
13．已知| am＋ |＋| bn－2|＝0，求(－a3mbn) 2•(－amb2n)3的值．
2
14．计算．
1  2 1 1 
（1） x2y－3xy+1 • xy2； （2）x3－2x[ x2－3 x2+1 ]．
2  3 2 3 
15．解方程或不等式．
（1）x(x＋y－1) ＝x(x＋y)＋3； （2）x(2x2＋8x) －3≥4(x2－x)＋2x2(x＋2)．1
16．当m，n为何值时， xx(x+m)+nx(x+1)+m的展开式中，不含有x2和x3的项？
 
2
17．已知等式x(ax3＋x2＋b)＋3x－2c＝x3＋5x＋4对于任意的x恒成立，求a＋b＋c的值．
18．已知M＝y2＋2y＋a，N＝－y，P＝y3＋2y2－5y＋2，且M•N＋P的值与y无关，求a的
值．
19．计算．
（1）(x＋3)(x＋4)－x(x＋2)－10； （2）(x＋1)(x＋2)＋(x－3)(x－4)－(1－x)2．
1 1 
20．已知|2a＋3b－7|＋(a－9b＋7)2＝0，试求代数式 a2－ ab+b2 (a＋b)的值．
4 2 
21．如图，有多个长方形和正方形的卡片，图甲是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，
借助所拼图形面积的不同表示可以用来验证等式a(a＋b)＝a2＋ab成立，根据图乙，利
用面积的不同表示方法，仿照上边的式子写出一个等式．
a b a b a b b b
b b b b
a
a
a a
a b b b
a
a
a
图甲 图乙
22．已知(x3＋mx＋n)(x2－x＋2)的计算结果中不含x3和x2项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，化简并求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值．
23．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：(2x＋a)(3x＋b)．甲由于把第一个多项式中的“＋
a”看成了“－a”，得到的结果为 6x2－5x－6；乙由于漏抄了第二个多项式中 x 的系数，
得到的结果为2x2＋7x＋6.
（1）求正确的a、b的值；
（2）计算这道乘法题的正确结果.
24．计算．
（1）−(x−y)5(y−x)2； （2）  − 3 a6b3+ 6 a3b4− 9 ab5   3 ab3；
 4 5 10  5
（3）2m(7m3n3)2+14m7n3−21m5n3(−7m5n3)； （4）
3n7n2n
．
 
42n25．学校图书馆藏书约3.6×104册，学校现有师生约1800人，每个教师或学生假期平均最
多可以借阅多少册图书？
26．已知27m−19m32m的值为27，求m的值．
27．观察下列各式：
(x－1)÷(x－1)＝1，
(x2－1)÷(x－1)＝x＋1，
(x3－1)÷(x－1)＝x2＋x＋1，
(x4－1)÷(x－1)＝x3＋x2＋x＋1．
（1）根据上面各式的规律可得：(xn＋1－1)÷(x－1)＝___________（n≥0且n为整数）；
（2）利用（1）的结论求22022＋22021＋…＋2＋1的值；
（3）若1＋ x＋ x2＋…＋x2022＝0，且x－1≠0，求x2023的值．
669 119
28．已知P= ，Q= ，那么P，Q的大小关系怎样？为什么？
699 690
29．用简便方法计算：
（1）10199 （2）3222+1423+1024
（3）(2x+3)(2x−3)−x(x−3) （4）(x+2y)2−(x−2y)2
30．先化简，再求值：(2a+b)(2a−b)−4a(a−3b)，其中a=−1，b=2．
31．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴
影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中的阴影部分的面积是s ，图2中阴影部分s ，请直接用含a，b的代数式表示
1 2
s = ，s = ；
1 2
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式： ；
(3)试利用这个公式计算：(2+1)( 22+1 )( 24+1 )( 28+1 )( 216+1 )( 232+1 ) +132．（1）计算：(a+b+1)(a+b−1)
（2）计算 (m−2n+ p)2
33．计算：
（1）(𝑎＋𝑏)(𝑎−𝑏)−𝑎2；
（2）(a+2)(a−3)+(a+2)2.
34．用简便方法计算：20202−402020+400．
35．计算：
(x+2)(x−2)−x(x+1)
．
36．先化简，再求值：(2x−y)(2x+y)−(2x−y)2(−2y)，其中x=1，y=−2．
 
37．已知(a＋b)2＝10，a2－b2＝2，求𝑎2＋𝑏2，𝑎𝑏的值．
38．已知多项式A，B，其中A＝x2－2x＋1，小马在计算A＋B时，由于粗心把A＋B看成了
A－B求得结果为－3x2－2x－1，请你帮小马算出：
（1）多项式B；
（2）多项式A＋B的正确结果．
39．下面是某同学对多项式（x2－3x＋4）（x2－3x＋6）＋1进行因式分解的过程．
解：设x2－3x＝m
原式＝（m＋4）（m＋6）＋1（第一步）
＝m2＋10m＋25（第二步）
＝（m＋5）2（第三步）
＝（x2－3x＋5）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式；B．平方差公式；C．完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2＋2x）（x2＋2x＋6）＋9进行因式分解．
（3）因式分解：（x2－4x＋6）（x2－4x＋2）＋4＝ （在横线处直接写出
因式分解的结果）．
40．试说明81501－32003－91001能被45整除．
41．有两个孩子的年龄分别为x岁，y岁，已知x2＋xy＝99，你知道他们的年龄吗？告诉我
你是如何得到的．42．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例
如：因为4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，故4，12，20 都是神秘数．
（1）写出一个除4，12，20之外的“神秘数”： ；
（2）设两个连续偶数为2k和2k＋2（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘
数”能够被4整除吗？为什么？
（3）两个相邻的“神秘数”之差是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说
明理由．
43．已知x－y＝2，x2－y2＝6，求x与y的值．
44．在一个大圆盘中有4个小圆盘，已知大小圆盘的直径都是整数，阴影部分的面积为
7π cm2．求大小圆盘的半径是多少？
45．因式分解：（x2＋4）2－16x2．
46．已知4m＋n＝40，2m－3n＝5．求（m＋2n）2－（3m－n）2的值．
47．有一个圆形的花园，其半径为4米，现要扩大花园，将其半径增加2米，这样花园的面
积将增加多少平方米？
48．分解因式：
（1）4b2＋4b＋1； （2）－x2＋2xy－y2．
49．增加一个单项式，使得多项式16a2＋1能运用完全平方公式进行因式分解．写出所有这
样的单项式，并进行因式分解．
50．设 x＋2z＝3y，试判断 x2－9y2＋4z2＋4xz 的值是不是定值，如果是定值，求出它的值．
51．阅读材料：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1．解：将“x＋y”看成整体，设x＋y＝m，
则原式＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2．再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）2．上述解
题用到的是“整体思想”，请你写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解：1－2（x－y）＋（x－y）2；
（2）因式分解：（y2－4y）（y2－4y＋8）＋16．52．下面是某同学对多项式（x2－4x）（x2－4x＋8）＋16进行因式分解的过程：
解：设x2－4x＝y，
原式＝y（y＋8）＋16（第一步）
＝y2＋8y＋16（（第二步）
＝（y＋4）2（第三步）
＝（x2－4x＋4）2（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ．
A．提取公因式
B．逆用平方差公式
C．逆用完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果不彻底，应更正为 ．
（3）请你模仿上述方法，对多项式（x2－2x－1）（x2－2x＋3）＋4进行因式分解．
53．(12分)计算.
（1）(－a³)²·(a⁴)²÷(－a²)⁵; （3）(−3𝑥2𝑦2)3＋(3𝑥𝑦)3⋅(− 1 𝑥3𝑦3);
3
（2）(a＋2b－c)²－(a－2b＋c)²; （4）(a＋3b)(a－3b)－(a－3b)².
54．(8分)分解因式.
(1) a²(x－3)＋b(3－x); (2)25x²－4y².
55．(6分)先化简,再求值.
[4(𝑥𝑦−1)2−(𝑥𝑦＋2)(2−𝑥𝑦)]÷ 1 𝑥𝑦,其中x＝－2,y＝0.5.
4
56．(6分)解方程.
3(x＋5)²－2(x＋2)²－(x＋9)(x－9)＝81.57．甲、乙两个长方形的边长如图所示(m为正整数)，其面积分别为S₁，S₂.
(1) 请比较S₁和 S₂的大小;
(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积(用含 m
的代数式表示).
58．若一个正整数x 能表示成 a²－b²(a,b是正整数，且 a>b)的形式，则称这个数为“明礼崇
德数”，a与b是x的一个平方差分解.例如：因为5＝3²－2²,所以５是“明礼崇德数”，3与
2是5的平方差分解；再如：M＝x²＋2xy＝x²＋2xy＋y²－y²＝(x＋y)²－y²(x,y是正整数)，
所以M也是“明礼崇德数”，(x＋y)与y是M的一个平方差分解.
（1）判断：9 “明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知 N＝x²－y²＋4x－6y＋k(x,y 是正整数,k 是常数,且 x>y＋1),要使 N 是“明礼崇德
数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位
数为“七喜数”.若m既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m`的所有平方差分解.
四、综合实践
1．在我国古代，“幂”自的早期含义是泛指方形的东西．到了三国时代，刘徽给《九章算
术》作注时第一次在数学中使用幂表示乘积．到明朝徐光启翻译《几何原本》时，用
“自乘之数曰幂”来解释幂，明确地给幂下了定义．
在西方，作为数学术语的幂，在英语里是power，原意是权力、威力或能力，后
来引申为数学术语．1591年法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中已有现代
意义的幂的概念了．
20世纪初，五四运动前后，我国数学逐渐学习西方，译名很不统一．1935年，当
时的教育部公布《数学名词》，确定将“involution”译为乘方，“power”译为幂或乘
幂．1956年中国科学院编订《数学名词》，重新明确“involution”为乘方，而“power”
确定为幂或乘方．为了与“involution”相区别，通常认为“power”（幂）作为乘方的结
果，而不是乘方．2．阅读，学习和解题．
（1）阅读和学习下面的材料:
比较355，444，533的大小．
分析:小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的
幂，然后通过比较底数的方法，比较了这三个数的大小．解法如下:
解:∵355＝(35)11＝24311，444＝(44)11＝25611，533＝(53)11＝12511，
∴533355 444．
学习以上解题思路和方法，然后完成下题:
比较34040，43030，52020的大小．
（2）阅读和学习下面的材料:
已知am＝3，an＝5，求a3m＋2n的值．
分析:小刚同学发现，这些已知的和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘
方的公式，完成题目的解答．解法如下:
解:∵a3m＝(am)3＝34＝27，a2n＝(an)2＝32＝25，
∴a3m+2n＝a3ma2n＝27×25＝675．
学习以上解题思路和方法，然后完成下题:
已知am＝2，an＝3，求a2m＋3n的值．
（3）计算:(－16)505×(－0.5)2021．
3．（1）根据am·an＝am＋n（m、n均为正整数），试猜想a• a2• a3•…• an（n为正整数）化
简的结果，并证明.
（2）根据（1）的结果，当ab＝1时，求(abn)•(a2bn－1)•(a3bn－2)•…•(an－1b2)•(anb)的值．
4．7张如图①所示的小长方形，长为a，宽为b，小明按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两部分（图中阴影部分），设右上角的面积为
S ，左下角的面积为S ，小明发现当AB的长变化时，S −S 的值始终保持不变，请试
1 2 1 2
着用已学知识帮助小明找出原因．
A B
b S
1
a
S
2
C D
图① 图②
5．联欢会上，小敏为大家表演了一个魔术，请大家在多项式x2+ x+1的方框中任填一个
常数，并用这个多项式与多项式x＋2相乘，小敏都能很快报出算得乘积中二次项系数
的两倍与一次项系数的差，聪明的你能说出其中的奥秘吗？
6．因为(x＋3)(x－2)＝x2＋x－6，所以x2＋x－6能被x＋3整除，同时也说明多项式x2＋x
－6有因式为x＋3，且当x＝−3时，多项式x2＋x－6的值为0.
（1）根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式x＋3、多项式能被x＋3
整除、x＋3＝0，这之间存在着一种什么样的联系？
（2）探求规律：更一般地，如果一个关于字母x的多项式M，当x＝k时，M的值为
0，那么M与式子x－k之间有何种关系？
（3）应用：利用上面的结果求解，已知x＋3能整除x2＋kx－12，求k的值．
7．我们规定：若实数a与b的平方差等于80，则称实数对(a，b)在平面直角坐标系中对应
的点为“双曲点”；若实数a与b的平方差等于0，则称实数对(a，b)在平面直角坐标系
中对应的点为“十字点”．
(1)若P(a，b)为“双曲点”，则a，b应满足的等量关系为______；
(2)在点A(8,4)，B(−12,8)，C(21,19)，D(40,4)中，是“双曲点”的有______；
(3)若点B(9,k)是“双曲点”，求k的值；
(4)若点A(x,y)为“十字点”，点B(x+5y,5y−x)是“双曲点”，求x，y的值．
8．【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2请解答下列问题:
（1）写出图2中所表示的数学等式________________；
（2）利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题:已知a＋b＋c＝11,ab＋bc＋ac＝38,
求a2＋b2＋c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分
别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为(2a＋b)(a＋2b)长方形，
则x＋y＋z＝_______；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4
表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据
图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：_______________.
9．我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到
(a+b)2 =a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则
a2+b2+c2 = ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形，则x+y+z=＝ ．
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表
示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据
图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．
10．对于一个各数位上的数字均不为0的四位自然数M，满足百位数字大于个位数字，且
M的千位数字的平方恰好等于百位数字的2倍、十位数字的5倍与个位数字3倍的
和，则称这个四位数M为“寒至数”．
例如：M＝5621，∵6＞1，52＝2×6＋5×2＋3×1，∴5621是“寒至数”；
又如：M＝6533，∵5＞3，62≠2×5＋5×3＋3×3，∴6533不是“寒至数”．
（1）判断4321，6633是否是“寒至数”，并说明理由；
（2）一个“寒至数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为
d，记F（M）＝a（a＋5）－5（a＋c）＋9b．当F（M）能被8整除时，求出
所有满足条件的M．11．借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果．下面尝试利用表
格试一试．
例题：（a＋b）（a－b）
解填表
a b
a a2 ab
－b －ab －b2
则（a＋b）（a－b）＝a2－b2．
根据所学完成下列问题．
（1）如表，填表计算（x＋2）（x2－2x＋4），（m＋3）（m2－3m＋9），直接写出结果．
x2 －2x 4
x x3 －2x2 4x
＋2 2x2 －4x 8
m2 －3m 9
m m3 －3m2 9m
＋3 3m2 －9m 27
结果为 ；结果为 ．
（2）根据以上获得的经验填表：
△ △3
〇 〇3
结果为△3＋〇3，根据以上探索，请用字母a、b来表示发现的公式
为 ．
（3）用公式计算：（2x＋3y）（4x2－6xy＋9y2）＝ ；
因式分解：27m3－8n3＝ ．12．阅读下列材料，并解答相应问题：
对于二次三项式x2＋2ax＋a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x＋a）2的
形式，但是对于二次三项式x2＋2ax－3a2，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以
在二次三项式x2＋2ax－3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，
使整个式子的值不变，于是有：
x2＋2ax－3a2＝x2＋2ax＋a2－a2－3a2
＝（x＋a）2－（2a）2
＝（x＋2a＋a）（x＋a－2a）
＝（x＋3a）（x－a）．
（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是．
（2）这种方法的关键是．
（3）用上述方法把m2－6m＋8分解因式．