文档内容
第十四章 整式的乘法与因式分解 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）下列各式从左到右的变形中，属
于因式分解且正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定
义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，选项正确，符合题意；
B、 ，是整式的乘法，不符合题意；
C、 ，分解错误，不符合题意；
D、 ，等式右边不是整式积的形式，不符合题意；
故选：A．
2．（24-25八年级上·全国·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了幂的运算，包括同底数幂的乘法，幂的乘方等知识；掌握这两个运算性质是解题的基
础．依据同底数幂的乘法，幂的乘方及同类项合并知识进行分析判断即可．
【详解】解：A、 ，故计算错误；
B、 ，故计算错误，C计算正确；D、 非同类项，不能合并，故计算错误；
故选：C．
3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．25 B．125 C．5 D．3
【答案】A
【分析】本题幂的综合运算，熟悉同底数幂的除法、幂的乘方运算法则是解题的关键．根据同底数幂的除
法先求出 的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∴
∴
∴
故选：A．
4．（24-25七年级上·上海·期中）已知 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
利用同底数幂的除法及幂的乘方的逆运算将原式变形，然后将已知的式子代入求解即可．
【详解】解： ，
．故选D．
5．（24-25七年级上·上海·期中）有一个因式分解的等式 ，则式子中的 ，
对应的一组数字可以是（ ）
A．16，2 B．16， C． ， D． ，2
【答案】B
【分析】本题考查用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：
．
【详解】解：由 ，得出 ，
则 ，则 ．
故选：B．
6．（2024八年级上·全国·专题练习）已知多项式 与 的乘积展开式中不含x的一次项，则
a的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了整式的有关计算．熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．先根据多项式乘多项
式法则计算多项式 与 的乘积，然后根据乘积展开式不含x的一次项，列出关于 的方程，
解方程即可．
【详解】解：
乘积展开式中不含x的一次项，
，
．
故选：C．7．（24-25八年级上·全国·阶段练习）现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______．
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片
______块．（ ）
A． 和6 B． 和5 C． 和4 D． 和3
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形和完全平方式的结构准确列
式、构造求解．
（1）分别求两个正方形面积再求它们的和；
（2）根据完全平方式结构构造完全平方式即可．
【详解】解：（1）∵甲纸片的面积是 ，乙纸片的面积是 ，
∴甲、乙纸片各1块的面积之和是 ；
（2）∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为： ，且 是完全平方式，
∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块．
故选：A．
8．（24-25六年级上·上海·期中）设 ， ， ，若 ，则 的值
是（ ）．
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．先将
， ，代入 ，得到 ，再变形为
，然后将 作为一个整体即可解答．【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故选：A．
9．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）阅读材料：若 ，求x和y的值．
解：∵ ，
∴ ．∴ ．
问题：已知a、b、c是等腰 的三边，且满足 ，求等腰三角形的周长为
（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．3或6
【答案】B
【分析】先把 通过因式分解变形为 ，再利用非负数的性质
得到 ，再分当 为腰， 为底时，当 为腰， 为底时，两种情况结合构成三角形的条件和三角
形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
是等腰三角形，
可分两种情况： 为腰， 为底或 为腰， 为底，
当 为腰， 为底时，
∵ ，
∴不能构成三角形，这种情况不成立，
当 为腰， 为底时，
∵ ，
∴此时能构成三角形，
等腰三角形的周长 ，
综上所述， 的三边长只能是 ，其周长为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，非负数的性质，正确
把已知条件式进行因式分解是解题的关键．
10．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）有 个依次排列的整式，第一项为 ，第二项是 ，第
二项减去第一项的差记为 ，将 记为 ，将第二项加上 作为第三项，将 记为 ，将第三
项与 相加记为第四项，以此类推．以下结论正确的有（ ）个
① ，②当 ， 时，第 项的值为 ，③第 项为 ，④
．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【分析】本题考查数式的操作题，涉及整式的加减，因式分解，整式的规律探索，代数式求值，熟练地利
用数式的操作将各项列出来，并会寻找规律是解题的关键．先根据题意将 ， ， ， ，依次列出来并
寻找规律即可判定①，再探索和的规律得④，再将第一项，第二项，第三项， ，依次列出来并寻找规律
即可判定②和③，即可解答．
【详解】解：根据题意，得： ；
；
；
；
则 ，
故①正确；
∵ ；
；
；
∴ ，
故④正确；
由题意，可得第 项为： ；
第 项为： ；
第 项为： ；
第 项为： ；∴第 项为： ；
当 ， 时，第 项的值为 ，
故②正确；
第 项为： ，
故③错误；
综上，正确的有 个，
故选：C．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）关于x的整式 是一
个完全平方式，则
【答案】4或
【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平
方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定
的值．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
解得 ．
故答案为： 或 ．
12．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的逆用，根据题意得出 ，即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
13．（24-25八年级上·北京·期中）小明在做作业时，不慎把墨水滴在纸上，将一个三项式前后两项污染得看不清楚了，中间项是 ，请帮他把前后两项补充完整，使它成为完全平方式（写出一种即可）原式为：
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特征，即可求解．
【详解】解：∵ ，
故前后两项可以分别为 和 ，
即 ．
故答案为： （答案不唯一）．
14．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，一块大的长方形分成3个正方形和3个完全相同的小长方形，
观察图形，可将多项式 因式分解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键．
图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二是由大长
方形的长 与宽 的乘积计算，两者相等即可确定多项式 因式分解的结果．
【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为 ，
还可得长方形的长为 ，宽为 ，
∴长方形的面积也可以为 ，
∴ ．
故答案为： ．
15．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）我国古代数学中“杨辉三角”非常有名．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给
出了 （n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排序）的系数规律．例如，在三角形中
第三行的三个数 ，恰好对应 展开式中的系数：第四行的四个数 恰好对应
展开式中的系数等等，利用上述的规律计算：
．（结果用幂的形式表示）
【答案】
【分析】此题考查了完全平方公式及其拓展，正确理解题意、找出规律是解题的关键．根据题目给出的规
律可得出 的展开式，然后令式中 即可得出结果．
【详解】解：根据题意得： ；
令上式中 ，得：
．
故答案为： ．
16．（24-25八年级上·全国·期中）【新考法】为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学
校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，
其中重叠部分B为池塘，阴影部分 ， 分别表示八年级和九年级的实践活动基地面积．若 ，
，则 ．【答案】16
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由图得 ，由 求出 ，
即可求解；掌握 、 、 之间的关系，能表示出面积是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
， ，
，
，
，
；
故答案： ．
17．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为 的正方形纸片剪出一个边长为 的正方形
之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为16，求 的值 ．【答案】6
【分析】本题考查了完全平方公式，用两种方法表示图形面积，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
，
，
，
故答案为：6．
18．（23-24七年级下·浙江金华·期末）将多项式 变形为 的形式，这样的方
法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：
，
， ， 当 时，多项式 有最小值 ．
已知 ， 为实数，多项式 展开后 的一次项系数为 ，多项式 展开后 的一
次项系数为 ，且 ， 均为正整数，则当 时， 的最大值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，多项式乘以多项式，根据题意得出
， ，进而根据 ，可得 ，然后得出，根据配方法，即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，
∵
∴
∵∴
∴
∴
∵
∴
∴当 时， 的最大值为 ，
故答案为：3．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，关键是注意指
数的变化，不能出错．
（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方运算，再进行同类项合并，即可得到结果；
（2）先进行幂的乘方运算，再合并同类项，即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
20．（上海市浦东新区2024—2025学年上学期七年级数学期中考试试卷）已知 ，求
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，用公式法解因式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
（1）根据 ，即可解答；
（2）根据 ，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）因式分解：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分解因式，利用平方差公式，完全平方公式和提公因式法分解因式是解题的关键．
（1）先提取公因式 ，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）先提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
22．（24-25七年级上·上海·期中）如图，已知线段 ，点 是线段 上一点，分别以 、 为边
作两个正方形．
(1)如果 ，求两个正方形的面积之和 ；
(2)当点 是 的中点时，求两个正方形的面积之和 ；
(3)当点 不是 的中点时，比较（1）中的 与（2）中 的大小．
【答案】(1)
(2)8
(3)
【分析】此题主要考查列代数式，整式乘法的运算，完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运
用．
（1）由 ，则 ，然后根据 代入求解即可；（2）首先求出 ，然后根据正方形的面积公式求解即可；
（3）首先得到 ，然后计算 ，进而得到 ．
【详解】（1）解：∵ ，则
∴ ；
（2）解：当点P是 的中点时， ，
∴ ；
（3）解：当点P不是 的中点时，得 ，
∴
∵
∴
∴ ．
23．（24-25八年级上·北京·期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，
例如：由下图可得等式： ．
(1)已知等式： ，请仿照下图构造相应的图形（画在答题纸指定位
置）；
(2)利用（1）中等式，解决下面的问题：
①已知 ， ，求 的值；
②已知 ，用等式表示 、 、 之间的关系，并证明．
【答案】(1)图见解析(2)① ；② ，证明见解析
【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，多项式乘多项式的运算，完全平方公式的计算．
（1）根据等式，画一个边长为 的正方形，即可求解；
（2）①根据（1）中等式，代入计算即可求解；
②将已知等式根据整式的乘法法则整理得出 ，设 ， ， ，
则 ，结合（1）中等式将等式转换为
，得出 ，即可求解．
【详解】（1）解：如图：
可得 ．
（2）解：①∵ ， ，
∴
；
② ，
证明如下：∵ ， ，
故 ，
即 ，
设 ， ， ，则 ，将 整理为 ，
即 ，
根据 ，可得
，
即 ，
故 ．
24．（2024七年级下·全国·专题练习）如果 ，那么 为 的劳格数，记为 ，由定义可知：
与 所表示的 、 两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空： ， ．
那么： ，
(2)劳格数有如下运算性质：
若 、 为正数，则 ， ．
根据运算性质，填空：
（ 为正数）．
若 ，则 ， ；
(3)如表中与数 对应的劳格数 有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
0.8 2 3.2 4 5 8
【答案】(1)3，
(2)3，0.9542，(3)见解析
【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的新定义解答问题．
（1）根据题意可以得到 和 的值；
（2）根据 ， ，可以解答本题；
（3）先假设 是正确的，可以得到 和 的值，然后和表格中的数据对照，从而可以解答本题．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
故答案为：3， ；
（2）解：由题意可得，
，
，
， ；
故答案为：3，0.9542， ；
（3）解： 和 对应的 错误，
理由：若 正确，
则 ，
，
故题目中的 和 正确，
表中与数 对应的劳格数 有且只有两个是错误的，
的假设是正确的，
则 ，故表格中的 是错误的，，故表格中的 是错误的，
，故表格中的 是正确的，
由上可得，表格中的 ， 是错误的，正确的 ， ．
25．（24-25六年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米
的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形；
(1)A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米；
①从这10块纸板中拿掉一块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这
个大正方形的边长为 厘米；
②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下可以紧密的排出两个相同形
状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的边长是多少厘米？（计算说明）
(2)A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉一块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，
可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请接写出大正方形的边长．
【答案】(1) ，① ，②C类型， 厘米
(2) 厘米
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，能够
通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解题的关键．
（1）首先表示出A、B、C、三种型号每块的面积，然后表示出A型2块，B型4块，C型4块纸板的面积
和即可；① 把减去 ，然后根据完全平方公式得到 ，由此得到正方形的
边长；②把 减去2，然后根据完全平方公式得到 ，由此得到正方
形的边长；
（2）首先表示出A型12块，B型12块，C型4块的总面积然后减去一块C型，根据完全平方公式得到此时正方形的边长为．
【详解】（1）解： A型边长为a厘米的正方形；B型长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型边长为1
厘米的正方形，
1块A型的面积为 平方厘米，B块型的面积为a平方厘米，C块型的面积为1平方厘米，
所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为 平方厘米；
故答案为： ；
①这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下
纸板的总面积为 ，而 ，则此正方形的边长为 厘米；
故答案为： ；
②从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同
的大正方形．理由如下：
，
此时正方形的边长为 厘米，
（2）解：从这28块纸板中拿掉1块C类型的纸板可满足要求，
A型12块，B型12块，C型4块的总面积为 ，
拿掉1块C类型的纸板后面积为：
，
∴此时正方形的边长为 厘米．
26．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解：
条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界．
例如：
，
，
（满足条件①）
当 时， （满足条件②）
4是 的下确界．
又例如：
，由于 ，所以 ，（不满足条件②）
故4不是 的下确界．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)求 的下确界．
(2)若代数式 的下确界是1，求m的值．
(3)求代数式 的下确界．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解，
（1）根据题干示例的方法计算即可作答；
（2）根据题意设 ，根据 可得 ，解方
程即可求解；
（3）先分组得到 ，进而得到 ，则可得到原式 ，据此仿照题意求解即可．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ （满足条件①），
当 时， （满足条件②），
∴ 是 的下确界；
（2）解：∵代数式 的下确界是1，
∴可设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即： ；
（3）解：
，
∵ ，∴ （满足条件①），
当 ，即 时， （满足
条件②），
∴6是 的下确界
