文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（广东专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合 ， ，则集合B的真子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．设复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设非零向量 ， 满足 ， ， ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智
慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一
字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个
季节的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型： ，其中 为时间（单位： 为环境温度，
为物体初始温度， 为冷却后温度.假设在室内温度为 的情况下，一杯饮料由 降低到 需要 ，
则此饮料从 降低到 需要（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的右焦点为F，过点F且斜率为 的直线l交双曲线于A、B两点，线段
AB的中垂线交x轴于点D. 若 ，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．每年4月23日为“世界读书日”，树人学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验
活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表：
月份 二月 三月 四月 五月 六月
月份代码x l 2 3 4 5
月借阅量y（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据上表，可得y关于x的经验回归方程为 ，则（ ）
A．
B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7
C．y与x的线性相关系数
D．七月的借阅量一定不少于6. 12万册
10．已知 ，函数 ，下列选项正确的有（ ）
A．若 的最小正周期 ，则
B．当 时，函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象
C．若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
D．若 在区间 上只有一个零点，则 的取值范围是
11．已知同底面的两个正三棱锥 和 均内接于球O，且正三棱锥 的侧面与底面所成角的大
小为 ，则下列说法正确的是（ ）.
A． 平面QBC
B．设三棱锥 和 的体积分别为 和 ，则
C．平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的 倍
D．二面角 的正切值为
12．已知函数 的定义域均为 ， 为偶函数， ，且当 时，
，则（ ）
A． 的图象关于点对称
B．
C．
D．方程 在区间 上的所有实根之和为144
第 II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中 的系数为12，则 ．
14．若两个正实数x，y满足 ，且不等式 恒成立，则实数m的取值范围是 ．
15．已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减， 为偶函数，若 在 上
恰好有4个不同的实数根 ，则 .
16．已知四边形ABCD为平行四边形， ， ， ，现将 沿直线BD翻折，得到三棱锥
，若 ，则三棱锥 的内切球与外接球表面积的比值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围.
18．（12分）已知数列 的首项 ，且满足 ，设 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最小正整数 .
19．（12分）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产
周期中的100件产品的关键指标（单位： ），经统计得到下面的频率分布直方图：
(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数 和方差 ．（用每组的中点代表该组的均值）
(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布 ，用直方图的平均数估计值 作为 的估
计值 ，用直方图的标准差估计值s作为 估计值 ．
（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了
之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中
抽测的10个零件的关键指标：
0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83
利用 和 判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在 之外的零件个数，求及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差 ，其中 为各区间的中点， 为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布 ，则 ， ，
， ， ．
20．（12分）如图，在四棱锥 中，已知 ， ， ， ， ，
， 为 中点， 为 中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成夹角的余弦值.
21．（12分）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆E的离心率为 ，过 且不与坐
标轴垂直的直线 与椭圆E交于A，B两点， 的周长为8．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过 且与 垂直的直线 与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
22．（12分）已知函数 .
(1)若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知 .
（i）证明： ；（ii）若 ，证明： .
