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2022—2023 学年度北京市第十三中学分校
第一学期期中 八年级 数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法逐项分析判断即可
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法，掌握以上运算法则是解题的关键．
2. 如图，用三角板画 ， 边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形作高的方法逐项判断即可．【详解】解：选项A作的是 边上的高，符合题意；
选项B作的是 边上的高，不符合题意；
选项C中三角板未过点C，故作的不是高，不符合题意；
选项D作的是 边上的高，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形高的作法，作边 边的高，应从顶点A向 作垂线段，垂足落在直线
上，熟练掌握知识点是解题的关键．
3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A．从左到右的变形是整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式的右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．等式的右边不是几个整式积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键．
4. 课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是 ，若它们能构成三角形，则整
数m的最大值是（ ）
A. 10 B. 8 C. 7 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形第三边取值范围求得不等式的解集，然后求最大整数解即可求解．【详解】解：∵三条线段的长分别是 ，能构成三角形，
∴ ，
即 ，且 为整数，
∴ 的最大整数解 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，求不等式的最大整数解，理解题意是解题的关键．
5. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6. 如图是一个平分角的仪器，其中 ， ．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这
个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定 ABC和 ADC
是全等三角形的依据是（ ）A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS
【答案】A
【解析】
【分析】原来已经有两条边相等，垂下的射线是两个三角形的公共边，故三边分别对应相等．
【详解】在△ADC和△ABC中
∵
所以△ADC≌△ABC（SSS）
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，理解并掌握三角形全等的判定定理是解决本题关键．
7. 某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方
形的花坛，学生会提出两个方案：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为 ；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），面积为 ；
具体数据如图所示，则 与 的大小关系（ ）
A. B. C. D. 以上结论都不对【答案】C
【解析】
【分析】先根据图形中已知条件，利用正方形和长方形的面积公式求出 与 ，然后再根据 与 差的
符号比较大小即可．
【详解】解：方案一： ；
方案二：
=
= ，
=
= ，
，
故选C．
【点睛】此题考查了正方形与长方形的面积公式、整式的加减运算、不等式的性质等知识，熟练掌握相关
知识的应用是解答此题的关键．
8. 在 ABD与 ACD中，∠BAD＝∠CAD，且B点，C点在AD边两侧，则不一定能使 ABD和 ACD
全等的△条件是（△ ） △ △
A. BD＝CD B. ∠B＝∠C C. AB＝AC D. ∠BDA＝∠CDA
【答案】A
【解析】
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
【详解】解：A、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若BD＝CD，不符合全等三角形判定定理，不能判
定△ABD≌△ACD；
B、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；
C、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若AB＝AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；
D、∵∠BAD＝∠CAD，AD为公共边，若∠BDA＝∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故选：A．
【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题.
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 计算： _____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案．
【详解】∵ ，∴ ，故答案为1.
【点睛】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型．
10. 如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为___________．
【答案】140°##140度
【解析】
【分析】根据正多边形的内角公式：一个内角的度数 ，代入即可得出答案．
【详解】解：代入正多边形的内角公式得：
正九边形的一个内角度数
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了求正多边形内角度数，掌握正多边形内角公式是本题的关键．
11. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，
再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得_________的长就等于AB的长．【答案】DE
【解析】
【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BC＝CD，可以判断两个三角形全等；所以AB＝DE．
【详解】解：根据题意可知：
∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，
即
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE．
故答案为：DE．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形
全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法.
12. 若多项式 可以写成 的形式，且 ，则 的值可以是______， 的值可以是
______（写出一组符合条件的 的值即可）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意写出一个完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵ 可以写成 的形式，且 ，
又∵ ，
∴ ，故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
13. 如图，△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，则∠C的对应角为_______.，BD的对应边为_______.
【答案】 ①. ∠DBE ②. CA
【解析】
【分析】要找准对应边、对应角要根据告诉的已知条件，并结合图形，一般来说，大对大，小对小，中间
对中间，本题中∠C，∠DBE是处于中间大小的角，是对应角，BD与CA时最短的边，是对应边．
【详解】解：∵△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，
∴∠C的对应角为∠DBE，BD的对应边为CA．
【点睛】本题考查的知识点为：全等三角形的对应边，对应角的找法．应注意各对应顶点在书写时应在同
一位置，解题关键是找准对应边和对应角．
14. 在课堂上，老师发给每人一张印有 （如图所示）的卡片，然后，要同学们尝试画一个
，使得 .小赵和小刘同学先画出了 之后，后续画图的主要
过程分别如图所示
老师评价：他俩的做法都正确.请你选择一位同学的做法，并说出其作图依据.我选______的做法（填“小赵”或“小刘”），他作图判定 的依据是______
【答案】 ①. 小刘(或小赵) ②. （或 ）
【解析】
【分析】由图可知小赵同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ．
由图可知小刘同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ．
【详解】小赵同学画了 后，再截取 两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是
定理；
小刘同学画了 后，再截取 一直角边和一个斜边，所以确定的依据是 定理．
故答案为：小刘(或小赵)； （或 ）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键．
15. 已知长方形 可以按图所示方式分成九部分，在 变化的过程中，下面说法正确的有______
（请将所有正确的编号填在横线上）
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形 的周长
②长方形 的长宽之比可能为
③当长方形 为正方形时，九部分都为正方形
④当长方形 的周长为 时，它的面积可能为
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根据矩形面积关系和整式运算法则进行分析即可．【详解】
如图，根据平移性质可得，图中 ，故①正确；
若长方形 的长宽之比为 ，则 ， ，此等式不成立，故②错误；
当长方形 为正方形时， ，即 ，所以九部分都为正方形，故③正确；
当长方形 的周长为 时， ，即 ，所以四边形 的面积=
；故④错误；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了整式运算的应用，理解矩形面积关系是关键．
16. 如图，图中的方格均是边长为1的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点.图① ⑥中，这些多边形
的顶点都在格点上，且其内部没有格点，像这样的多边形我们称为“内空格点多边形”
（1）当内空格点多边形边上的格点数为10时，此多边形的面积为______；
（2）设内空格点多边形边上的格点数为L，面积为S，请用等式表示L与S的关系______
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】（1）由图形可知当内空格点多边形边上的格点数为10时，，此多边形面积为四个小正方形面积；
（2）① ⑥中格点图形找到规律即可．【详解】（1）由图形可知当内空格点多边形边上格点数为 时，此多边形面积为四个小正方形面积，即
；
（2）当格点为3时，内空格点三变形的面积为 ；
当格点为4时，内空格点三变形的面积为 ；
当格点为5时，内空格点三变形的面积为 ；
……以此类推，
当格点为L时，内空格点三变形的面积为 ．
故答案为：4，
【点睛】本题考查规律问题，需要根据图中表格和计算的数据，总结规律，需仔细观察和计算．
三、解答题（共68分）；
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（2）根据多项式除以单项式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法，多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键．
18. 已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE.求证:△ACD≌△CBE.
.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后
利用SAS即可证明△ACD≌△CBE．
试题解析：证明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..
∵点C为AB中点，∴AC=CB.
又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）
考点：1.平行的性质；2全等三角形的判定.
19. 分解因式：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先提公因数3，再利用完全平方公式公式分解因式即可；
（2）先提公因式（m－2），再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）
=
= ；
（2）
=
= ．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的
关键．
20. 已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．
【答案】-23
【解析】
【分析】首先利用平方差公式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即
可．
【详解】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，
∵3x2﹣x﹣1＝0，
∴3x2﹣x＝1．
∴原式＝2(3x2﹣x)﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．
21. 已知：直线 和 外一点 ，求作：直线 的垂线．使它经过点
作法：①在直线 上任取两点 ；
②分别以点 为圆心， 长为半径作弧，在直线 下方两弧交于点 ；
③作直线 ，交直线 于点
所以直线 为所求作的垂线（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接
∵在 与 中
∴ （______）（填推理依据）
∴ （______）（填推理依据）
∴在 与 中
（______）（填推理依据）
∴
∵ 是直线
∴ ，即
【答案】（1）见解析 （2） ；全等三角形的性质;
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形即可求解；
（2）根据全等三角形的性质与判定填空即可求解．
【小问1详解】解：如下图：
【小问2详解】
证明：连接
∵在 与 中
∴ （ ）
∴ （全等三角形的性质）
∴在 与 中（ ）
∴
∵ 是直线
∴ ，即 ．
故答案为： ；全等三角形的性质； ．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 已知：如图，点 在同一条直线上， ， ，
求证： .
【答案】见解析
【解析】
【分析】证明 ，可得 ，即可得出 ，
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 与 中
，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解
题的关键．
23. 如图,在Rt ABC中,∠B=90°．
△
作出,∠BAC的平分线AM； 要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法
若∠BAC的平分线AM与BC交于点D,且 D=3,AC=10,则 DAC的面积为______．
【答案】（1）作图见解析；（2）15.
【解析】
【分析】（1）利用基本作图，作∠BAC的平分线即可；
（2）作DF⊥AC于F．利用角平分线的性质定理证明DF=DE=3，即可解决问题.
【详解】（1）∠BAC的平分线AM如图所示；
（2）作DF⊥AC于F．
∵DA平分∠BAC，DB⊥BA，DF⊥AC，
∴DB=DF=3，
∴S = •AC•DF= ×10×3=15，
DAC
△
为
故答案 15．
【点睛】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学
会添加常用辅助线.
24. 阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分
解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的
方法称为“换元法”
下面是小涵同学用换元法对多项式 进行因式分解的过程
解：设 ①，将①带入原式后，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；
的
（2）老师说，小涵因式分解 结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；
（3）请你用“换元法”对多项式 进行因式分解
【答案】（1）提取公因式
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可；
（2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式 分解成 即可；
（3）用换元法设 ，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可．
【小问1详解】
的
解：由题意得：从 到 运用了因式分解中 提取公因式法
故答案为：提取公因式
【小问2详解】解：由题意得：
【小问3详解】
解：设 ，将 代入 中得：
原式
【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分
解，达到去繁化简的效果．
25. 课上，老师提出了这样一个问题：
已知：如图， ，请你再添加一个条件，使得
（1）同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是______，并完成证明
（2）若添加的条件是 ，证明：
【答案】（1）答案不唯一， ，证明见解析
（2）见解析【解析】
【分析】（1）添加条件 ，直接证明 ，即可得证；
（2）连接 ，证明 ，得出 ，进而证明 ，
即可得证．
【小问1详解】
答案不唯一，添加条件 ，
在
证明： 与 中，
∴ ，
故答案为： ；
【小问2详解】
连接 ，如图，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，∴ ，
在 与 中，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
26. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于 的多项式 ，由于
，所以当 取任意一对互为相反数的数时，多项式 的值是相等的．
例如，当 ，即 或0时， 的值均为3；当 ，即 或 时，
的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于 的多项式，若当 取任意一对互为相反数
的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于 对称．例如 关于 对称．请结合小明
的思考过程，运用此定义解决下列问题：
（1）多项式 关于 对称；
（2）若关于 的多项式 关于 对称，求 的值；
（3）整式 关于 对称．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得；
（2）求出 的对称轴，令对称轴等于3即可得；
（3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可得．【小问1详解】
解： ，
则此多项式关于 对称，
故答案为：2；
【小问2详解】
解： ，
关于 的多项式 关于 对称，
又 关于 的多项式 关于 对称，
，即 ；
【小问3详解】
解：
，
则整式 关于 对称，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，理解新定义是解题的关键．
27. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线
CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．
（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAE＝∠BCD；
（3）判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明；
（3）过点 作 于点 ，则 ，证明 ，结合已知条件EF＝EC，证
明 ，即可得到 ．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
，
，
．
，
，
，
即∠CAE＝∠BCD．
【小问3详解】
，理由如下，
如图，过点 作 于点 ，则 ，由（2）可知 ，
，
，
．
又 ，
，
．
，
，
又 ，
，
．
【点睛】本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，
正确的作出图形是解题的关键．
28. 我们知道，数轴上表示 ， 的两个点之间的距离可以记为 ．类似地，在平面直角坐标
系xOy中，我们规定：任意两点 ， 之间的“折线距离”为
．例如，点 与 之间的折线距离为
．回答下列问题：
（1）已知点A的坐标为 ．
①若点B的坐标为 ，则 ______；
②若点C的坐标为 ，且 ，则 ______；
③若点D是直线 上的一个动点，则 的最小值为______；
（2）已知O点为坐标原点，若点 满足 ，请在图1中画出所有满足条件的点E组成的
图形．
【答案】（1）① ；② ，③
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①根据折线距离的定义求解即可；
②根据折线距离的定义，构建方程求解即可；
③根据定义得出 ，进而根据绝对值的意义，求得最值即可；
（2）根据新定义，列出解析式，画出图形即可求解．
【小问1详解】解：①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴ ，
②依题意， ，
解得： ，
③设 ，则 ，
当 时，最小值为： ，
故答案为：① ；② ；③ ；
【小问2详解】
∵
∴
∴所有满足条件的点E组成的图形是直线 ， ， ， 围成的正方形，如
图所示，正方形 为点 组成的图形．
【点睛】本题考查了新定义，画函数图象，坐标与图形，理解新定义是解题的关键．
