文档内容
第 14 章 整式乘法与因式分解过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．已知am=2，an=3，则am+n的值是（ ）
A．6 B．18 C．36 D．72
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据am+n=am ⋅an进行求解即可得到答案．
【详解】解：∵am=2，an=3，
∴am+n=am ⋅an=2×3=6，
故选：A．
2．下列运算结果为a6的是（ ）
A．a3÷a3 B．a3÷a9 C．a8÷a2 D．a9÷a6
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的除法，关键是掌握同底数幂除法的运算法则：底数不变，指数相减．
【详解】A. a3÷a3=a0=1≠a6，选项A不符合题意；
B. a3÷a9=a3-9=a-6≠a6，选项B不符合题意；
C. a8÷a2=a8-2=a6，正确，选项C不符合题意；
D. a9÷a6=a9-6=a3≠a6，选项D不符合题意；
故选C．
3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（ ）
A． B．
m4-1=(m2+1)(m+1)(m-1) (2a-b) 2=4a2-4ab+b2
C． D．
12ab-4a+1=4(3ab-a) a2-b2-1=(a+b)(a-b)-1
【答案】A
【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解
的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，选项正确，符合题意；
m4-1=(m2+1)(m+1)(m-1)
B、 ，是整式的乘法，不符合题意；
(2a-b) 2=4a2-4ab+b2C、12ab-4a+1=4(3ab-a)，分解错误，不符合题意；
D、 ，等式右边不是整式积的形式，不符合题意；
a2-b2-1=(a+b)(a-b)-1
故选：A．
4．已知3×9n×27n=321，则n的值为（ ）
A．10 B．4 C．8 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂相乘，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的相
关运算法则是解题的关键．
利用幂的乘方运算及同底数幂相乘将原式转化为31+2n+3n，于是可得出关于n的一元一次方程，解方程
即可求出n的值．
【详解】解： ，
∵3×9n×27n=3×(32) n ×(33) n =3×32n×33n=31+2n+3n=321
∴1+2n+3n=21，
解得：n=4，
故选：B．
5．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A．(a-b)(b-a) B．(a+b)(b+a) C．(a-b)(-a-b) D．(a+b)(-a-b)
【答案】C
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式 ，进行判断即可．
(a+b)(a-b)=a2-b2
【详解】解：A、 ，不符合题意；
(a-b)(b-a)=-(a-b) 2
B、 ，不符合题意；
(a+b)(b+a)=(a+b) 2
C、 ，符合题意；
(a-b)(-a-b)=b2-a2
D、 ，不符合题意；
(a+b)(-a-b)=-(a+b) 2
故选C．
6．计算：(
-
1) 2019
×(-3) 2018=
（ ）
31 1
A． B．- C．-3 D．3
3 3
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，积的乘方的逆用等知识点，熟练掌握相关运算法则是
解题的关键．
首先根据同底数幂乘法的逆用将( 1) 2019写成( 1) ( 1) 2018，然后根据积的乘方的逆用将
- - × -
3 3 3
(
-
1) 2018
×(-3)
2018写成[(
-
1)
×(-3)
] 2018 ，据此即可得出答案．
3 3
【详解】解：(
-
1) 2019
×(-3) 2018
3
= ( - 1) × ( - 1) 2018 ×(-3) 2018
3 3
2018
( 1) [( 1) ]
= - × - ×(-3)
3 3
= ( - 1) ×12018
3
( 1)
= - ×1
3
1
=- ，
3
故选：B．
7．已知式子(2x+3)(x-a)的计算结果中不含x的一次项，则a的值为（ ）
A．-3 B．3 C．1.5 D．0
【答案】C
【分析】本题考查了多项式的乘法，先按照多项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x的同类项，
然后令不含项的系数等于零，列方程求解即可．
【详解】解： ；
(2x+3)(x-a) =2x2-2ax+3x-3a=2x2+(3-2a)x-3a∵结果中不含x的一次项，
∴3-2a=0，
3
解得：a= =1.5；
2
故选C．
8．如果多项式x2-mx+9是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．-3 B．-6 C．±3 D．±6
【答案】D
【分析】本题主要考查了完全平方公式，把多项式写成 即可得出答案．
(x±a) 2
【详解】解：因为多项式x2-mx+9是一个完全平方公式，
所以 ，
x2±6x+32=(x±3) 2
所以±6=-m，
则m=±6．
故选：D．
9．若a+b=3，ab=-12，则a2-ab+b2的值为（ ）
A．57 B．21 C．45 D．33
【答案】C
【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求整式的值，由完全平方公式得 ，代值计算，
(a+b) 2-3ab
即可求解；掌握 、 、 三者之间的关系是解题的关键．
(a+b) 2 a+b ab
【详解】解：原式 ，
=(a+b) 2-3ab
当a+b=3，ab=-12时，
原式 ，
=32-3×(-12)
=45．
故选：C．
10．如图①，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），把余下的部分剪拼成一个矩
形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（ ）A． B．
(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
C． D．
(a-b) 2=a2-2ab+b2 (a+b) 2=a2+2ab+b2
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图①和图②的面积，再根据图①和图②的面
积相等即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
图①中阴影部分的面积是：a2-b2，
图②中矩形的面积是：(a+b)(a-b)，
∵图①和图②的面积相等，
∴ ，
a2-b2=(a+b)(a-b)
故选：B．
11．已知a=313，b=96，c=275，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方可得
， ，即可求解．
b=96=(32) 6 =312 c=275=(33) 5 =315
【详解】解∶∵ ， ， ，且 ，
a=313 b=96=(32) 6 =312 c=275=(33) 5 =315 15>13>12
∴c>a>b．
故选：A．
12．我国宋代数学家杨辉发现了 展开式系数的规律：（ ）
(a+b) n (n=0,1,2,3,…)(a+b) 0=1 (a+b) 1=a+b 展开式系数和为1
展开式系数和为1+1
(a+b) 2=a2+2ab+b2
展开式系数和为1+2+1
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
展开式系数和为1+3+3+1
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
展开式系数和为1+4+6+4+1
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律， 展开式的系数和是（ ）
(a+b) 8
A．64 B．128 C．256 D．612
【答案】C
【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数
和，得到规律即可求解．由“杨辉三角”得到：应该是 （n为非负整数）展开式的项系数和为
(a+b) n
2n．
【详解】解：解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，
当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22，
…，
当n=8时，展开式的项系数和为=28=256，
故选：C．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若2m=10，2n=5，则2m-n= ．
【答案】2
【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可．
【详解】解：∵2m=10，2n=5，
∴2m-n=2m÷2n=10÷5=2，
故答案为：2．
14．若x+ y=9且xy=-36，则(x+1)⋅(y+1)= ．
【答案】-26
【分析】此题考查了整式的混合运算−化简求值，原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将已
知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：∵x+ y=9且xy=-36，∴(x+1)⋅(y+1)= xy+x+ y+1=-36+9+1=-26
故答案为：-26．
15．计算： ．
(7a4b3-a3b2)÷(3a3b2)=
7 1
【答案】 ab-
3 3
【分析】此题考查了多项式除以单项式，解答本题的根据在于掌握运算法则．
根据多项式除以单项式法则计算即可．
7 1
【详解】解：(7a4b3-a3b2)÷(3a3b2)= ab- ，
3 3
7 1
故答案为： ab- ．
3 3
16．因式分解：ac2-4ab2= ．
【答案】a(c+2b)(c-2b)
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式a，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：
ac2-4ab2= a(c2-4b2)=a(c+2b)(c-2b)
故答案为：a(c+2b)(c-2b)．
17．若 ， 是等腰三角形 的两边长，且满足关系式 ，则 的周长是
a b ABC (a-2) 2+b2=8b-16 △ABC
．
【答案】10
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关
系式得出a=2,b=4，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】解：∵ ，即 ，
(a-2) 2+b2=8b-16 (a-2) 2+b2-8b+16=0
∴ ，
(a-2) 2+(b-4) 2=0
∴a=2，b=4，
①若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4，不能组成三角形；
②若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4，能组成三角形
周长为2+4+4=10．
故答案为：10．
18．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1~9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于23，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且
A+B+C=519．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、x+ y，则x+ y= ；
xy= ．
【答案】 12 27
【分析】根据x、y、x+ y的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是69，但是
1~9这9个数字之和是45，所以可得∴x+ y+(x+ y)=24，从而求出x+ y的值；因为
， ，可以得到 ，配
12+22+32+42+52++62+72+82+92=285 A+B+C=519 ∴x2+ y2+(x+ y) 2=234
方得 ，把 代入即可求出 的值．
(x+ y) 2-2xy+(x+ y) 2=234 x+ y=12 xy
【详解】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于23，
∴三个圆上的数字之和应为3×23=69，
其中的x、y、x+ y这三个数每个都加了两次，
∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
∴45+x+ y+(x+ y)=69，
则有2(x+ y)=69-45，
解得：x+ y=12；
∵每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且A+B+C=519，
，
∴12+22+32+42+52+62+72+82+92+x2+ y2+(x+ y) 2=519
∵12+22+32+42+52+62+72+82+92=285，
，
∴x2+ y2+(x+ y) 2=519-285
，
∴x2+ y2+(x+ y) 2=234
整理得： ，
x2+ y2+2xy-2xy+(x+ y) 2=234，
∴(x+ y) 2-2xy+(x+ y) 2=234
∵x+ y=12；
∴122-2xy+122=234，
∴144-2xy+144=234，
∴2xy=54，
解得：xy=27．
故答案为：12；27．
【点睛】本题考查了整式的运算、完全平方公式以及有理数的乘方运算．解决本题的关键是理解x、y、
x+ y这三个数每个都加了两次，并且能把x2+ y2凑成完全平方式．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：
(1)a(a+2)-(a+1)(a-1)
(2)
(x- y)(3x+ y)+(2x- y) 2
【答案】(1)2a+1
(2)7x2-6xy
【分析】此题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式以及单项式乘多项式，熟练掌握公
式及法则是解本题的关键．
（1）利用单项式乘多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
=a2+2a-(a2-1)
=a2+2a-a2+1
=2a+1
（2）解：原式=3x2-3xy+xy- y2+4x2-4xy+ y2
=7x2-6xy
20．（8分）分解因式：
(1)x3-9x
(2)3x2-6xy+3 y2
【答案】(1)x(x+3)(x-3)(2)
3(x- y) 2
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此
题的关键．
（1）先提取公因式x，再利用平方差公式计算即可得解；
（2）先提取公因式3，再利用完全平方公式计算即可得解．
【详解】（1）解：x3-9x
=x(x2-9)
=x(x+3)(x-3)；
（2）解：3x2-6xy+3 y2
=3(x2-2xy+ y2)
．
=3(x- y) 2
21．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
(2x+3 y) 2-(2x+ y)(2x- y) x=3,y=2
【答案】12xy+10 y2，112
【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题根据乘法公式进
行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：
(2x+3 y) 2-(2x+ y)(2x- y)
=4x2+12xy+9 y2-4x2+ y2
=12xy+10 y2；
∵x=3,y=2，
∴原式=12×3×2+10×22=112．
22．（8分）已知10x=3，10y=2
(1)求102x+3y的值．
(2)求103x-4y的值．
【答案】(1)72
27
(2)
16
【分析】（1）利用同底数幂的乘法的逆运算、幂的乘方的逆运算对代数式进行转化即可求解；
（2）利用同底数幂的除法的逆运算、幂的乘方的逆运算对代数式进行转化即可求解；本题考查了幂的有关运算性质，掌握同底数幂的乘除法的逆运算和幂的乘方的逆运算是解题的关键．
【详解】（1）解：
102x+3y=102x·103y=(10x) 2 ·(10y) 3 =32×23=72
；
（2）解：103x-4y=103x÷104y=(10x) 3 ÷(10y) 4 =33÷24= 27 ．
16
23．（10分）如图，某中学校园内有一块长为(x+2y)米，宽为(2x+ y)米的长方形地块，学校计划在中间
留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
(1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
(2)若x=2，y=3，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用．
【答案】(1)2x2+5xy
(2)1900元
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积；
（1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积；
（2）由（1）可知绿化部分的面积为 平方米，然后把 ， 代入求解面积，进而求出
(2x2+5xy) x=2 y=3
对应的费用即可．
【详解】（1）解：“T”型区域的面积为：
(2x+ y)(x+2y)-2y2
=2x2+4xy+xy+2y2-2y2
=2x2+4xy+xy
=2x2+5xy；
（2）解：当x=2，y=3时， 2x2+5xy=2×22+5×2×3=38(平方米)，
38×50=1900元
答：修建文化广场所需要的费用为1900元．
24．（10分）（1）填空并观察下列各式的规律：
(a-b)(a+b)=________；；
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3
；
(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4
；
(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5-b5
…
可得到 ________；
(a-b)(a2024+a2023b+⋯+ab2023+b2024)=
（2）猜想： ________（其中 为正整数，且 ）；
(a-b) (an-1+an-2b+⋯+abn-2+bn-1)= n n≥2
（3）利用（2）猜想的结论计算：37-36+35 ⋯+33-32+3．
38+3
【答案】（1）a2025-b2025；（2）an-bn；（3）
4
【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律问题，解题的关键是明确题意，利用猜想解答问题．
（1）根据题目中的例题得到规律，则可以直接写出结果；
（2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想；
（3）把（2）中式子中的a=3,b=-1,n=8代入即可求解．
【详解】解：（1）根据规律可得 ，
(a-b)(a2024+a2023b+⋯+ab2023+b2024)=a2025-b2025
故答案为：a2025-b2025；
（2）根据（1）中规律可得 ，
(a-b)(an-1+an-2b+⋯+abn-2+bn-1)=an-bn
故答案为：an-bn；
（3）设（2）中式子中的a=3,b=-1,n=8，
则有 ，
[3-(-1)](37+36 ⋅(-1)+⋯+3⋅(-1) 6+(-1) 7)=38-(-1) 8
即 ，
4×(37-36+⋯+3-1)=38-1
38-1 38+3
∴37-36+⋯+3= +1= ．
4 4
25．（10分）“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做
如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，
这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多
项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．例如：分解因式：x2+2x-3．
解：原式
=(x2+2x+1)-4=(x+1) 2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)
再如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
解： ，可知当 时， 有最小值，最小值是
2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1) 2-8 x=-1 2x2+4x-6
-8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2-6x-7=______．（直接写出结果）
(2)当x为何值时，多项式-2x2-4x+5有最大值？并求出这个最大值．
(3)已知a-b=2，ab+c2-4c+5=0，求代数式a+b+c的值．
【答案】(1)(x+1)(x-7)
(2)当x=-1时，多项式-2x-4x+5有最大值，最大值是7；
(3)a+b+c=2
【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键．
（1）根据x2-6x-7=x2-6x+9-16即可求解；
（2）根据 即可求解；
-2x2-4x+5=-2(x+1) 2+7
（3）由完全平方公式可得 (a+b) 2-4，代入 可得(a+b) 2 ，然后由
ab= ab+c2-4c+5=0 +(c-2) 2=0
4 4
完全平方式的非负性可得a+b=0，c-2=0，求出c=2，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：x2-6x-7
=x2-6x+9-16
=(x-3) 2-16
=(x-3+4)(x-3-4)
=(x+1)(x-7)，
故答案为：(x+1)(x-7)；
（2）解：∵-2x2-4x+5
=-2(x2+2x)+5
=-2(x2+2x+1-1)+5，
=-2(x+1) 2+7
∴当x=-1时，多项式-2x-4x+5有最大值，最大值是7；
（3）解： ， ，
∵(a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b) 2=a2-2ab+b2
(a+b) 2-(a-b) 2 (a+b) 2-22 (a+b) 2-4，
∴ab= = =
4 4 4
∵ab+c2-4c+5=0，
(a+b) 2-4 ，
∴ +c2-4c+5=0
4
(a+b) 2 ，
∴ -1+(c-2) 2+1=0
4
(a+b) 2 ，
∴ +(c-2) 2=0
4
(a+b) 2 ， ，
∵ ≥0 (c-2) 2≥0
4
∴a+b=0，c-2=0，
∴c=2，
∴a+b+c=2．
26．（10分）如图1是长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块
小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)请你用两种不同的方式表示图2阴影部分的面积（直接用含a,b的代数式表示）．
方法一：________；方法二：________．由此可以得出的等式是________；(2)根据（1）中的结论，若 ， ，求 的值；
x+ y=5 xy=2 (x- y) 2
(3)如图3，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方
形EMFD的面积是24，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面
积．
【答案】(1) ， ，
(a-b) 2 (a+b) 2-4ab (a+b) 2-4ab=(a-b) 2
(2)17
(3)阴影部分面积为20
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意
义是解题的关键．
（1）方法一：根据图象得出阴影部分正方形边长即可求得面积；方法二：根据大正方形面积减去四
个小长方形的面积即可，根据方法一和方法二即可得到等式；
（2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解；
（3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设a=x-3,b=x-1，即ab=24，阴影部
分面积=N R2-DF2=b2-a2，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：方法一： ；方法二： ．
(a-b) 2 (a+b) 2-4ab
由此可以得出的等式是 ，
(a+b) 2-4ab=(a-b) 2
故答案为： ， ， ．
(a-b) 2 (a+b) 2-4ab (a+b) 2-4ab=(a-b) 2
（2）解：∵x+ y=5,xy=2，
．
∴(x- y) 2=(x+ y) 2-4xy =52-2×4 =17
（3）解：∵正方形ABCD的边长为x，正方形MFRN和正方形GFDH,AE=1,CF=3，
∴EM=HG=DF=x-3,MG=EH=x-1-(x-3)=2,NR=ED=x-1，
∵长方形EMFD的面积是24，
∴(x-3)(x-1)=24，
设a=x-3,b=x-1，即ab=24，则b-a=2，
∴阴影部分面积=N R2-DF2 =b2-a2 =(b+a)(b-a) =2(b+a)，
，
∵(b+a) 2=(b-a) 2+4ba=22+4×24=100
∴b+a=10（负值已舍去），∴2(b+a)=2×10=20，
即阴影部分面积为20．
