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第十四章 整式的乘法与因式分解（单元重点综合测
试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算乘方，再根据同底数幂相乘的法则进行计算，即可求解．
【详解】解： ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘的法则，即同底数幂相乘，底数不变指数相加，熟练掌握同底数幂
相乘法则是解题的关键．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
【详解】解：A. 原式不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
B. 原式不能进行因式分解，故本选项不符合题意；
C. ，故本选项因式分解错误，不符合题意；D. ，因式分解正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的定义以及因式分解的常用方法．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则逐项进行计算即可．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，故A不符合题意；
B、 与 不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、 ，原式计算错误，故C不符合题意；
D、 ，原式计算正确，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，掌握同底数幂的乘除法，幂
的乘方与积的乘方以及合并同类项法则是解答的关键．
4．如果 ，那么p、q的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．已知 ，则代数式 的值为（ ）A．8 B．14 C． D．2
【答案】D
【分析】先根据单项式乘以多项式法则可得 ，再代入计算即可得．
【详解】解： ，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值、单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题关键．
6．已知 是 的三条边，且满足 ，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】将等式变形为 ，再将等式左边因式分解，利用三角形的三边关系即可得到
的数量关系．
【详解】解： ，
，
对等式的左边，进行因式分解得 ，
根据三角形的三边关系可得： ，
，即 ，
是等腰三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解及三角形的三边关系，结合已知条件求得 是解题的关键．
7．已知 ， （ 为任意实数），则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】用作差法比较，作差后利用完全平方公式求解即可．【详解】∵ ，
∴
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了作差法比较代数式的大小，整式的加减运算，以及完全平方公式的应用，熟练掌握完
全平方式和作差法是解题的关键．
8．小明有足够多的如图所示的正方形卡片 ， 和长方形卡片 ，如果他要拼一个长为 ，宽为
的大长方形，共需要 类卡片（ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【答案】C
【分析】根据题意可得大长方形的面积为 ，根据多项式乘以多项式运算法则进行计算，即
可获得答案．
【详解】解： ，
则需要 类卡片张数为5张．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式运算，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键．9．定义： ，若 ，则x的值为（ ）
A． B．14 C． D．15
【答案】D
【分析】根据题目所给运算法则，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
，
，
，
解得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是根据题意，正
确列出方程，掌握平方差公式 和完全平方公式 ．
10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： ， ， ， ，
， 分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将 因式分解，
结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
【答案】C
【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．
【详解】解：原式
由条件可知， 可表示为“爱我中华”，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算 的结果是 ．【答案】
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可．
【详解】解： ．
故答案为 ：
【点睛】本题考查了积的乘方的运算，牢记 （ 是正整数）是解题关键．
12．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式 ，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
故答案为： ．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．若 是一个完全平方式，则常数k的值为 ．
【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．已知 ，则代数式 的值为 ．
【答案】18
【分析】先因式分解再代入数据解题即可．
【详解】解：
，当 时，原式
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查整式的因式分解，能够熟练运用提公因式以及完全平方公式是解题关键．
15．若 的积中不含 项与 项．则代数式 的值为 ．
【答案】 /0.5
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行计算，然后根据题意可得 ， ，从而可得m，n
的值，最后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
的积中不含 项与 项，
， ，
， ，
，
代数式 的值为 ，
故答案为： ．【点睛】此题考查的是多项式乘多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．
16．若 ， ，则用含 的代数式表示 为 ．
【答案】
【分析】根据条件求得 ，根据幂的乘方公式对 进行变形，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
即
∴ ，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂的乘方，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．（1）计算： ；
（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用同底数幂的乘法，积的乘方以及幂的乘方求解即可；
（2）根据整式的乘法，求解即可．
【详解】解：1）原式
；
2）原式
．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方以及整式的乘法，解题的关键是熟练掌握相关
运算法则．
18．因式分解：
(1) ；(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）利用提取公因式法进行因式分解即可；
（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解： ；
（2） ．
【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法，公式法和提公因式法．
19．先化简，再求值：
(1) ，其中
(2) ，其中 ， ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则，完全平方公式和平方差公式进行化简，再合并同类项，最后代
入a的值计算即可；
（2）先去小括号，再合并同类项，根据多项式除以单项式法则进行计算，再代入x和y的值计算即可．
【详解】（1）解：
，
当 时，原式 ．
（2）原式
，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算
顺序．
20．（1）先化简，再求值： ，其中 ，
（2）规定
①求 ；
②若 ，求x的值．
【答案】（1） ； （2）① ②
【分析】（1）先利用积的乘方运算，然后合并计算，并代入数值计算解题；
（2）利用新定义转化为同底数的幂的运算解题即可．
【详解】（1）解：
当 ， 时，原式 ；
（2）① ；
②
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查同底数的幂的运算和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．在学习对复杂多项式进行因式分解时，白老师示范了如下例题：
因式分解： ．解：设 ．
原式 ．
(1)例题中体现的主要思想方法是 ；
A．函数思想；B．整体思想；C．分类讨论思想；D．数形结合思想．
(2)请你模仿以上例题分解因式： ．
【答案】(1)B
(2)
【分析】（1）对解答的过程进行分析，结合相应的思想方法进行判断即可；
（2）仿照所求的求解方式进行解答即可．
【详解】（1）解：例题中体现的主要思想方法是整体思想，
故选：B；
（2）设 ，
．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．观察以下等式：第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：____________________________．
(2)写出你猜想的第n个等式：____________________________，并证明
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式不难得到第 个等式为： ，然后对等式左边进行整理
即可得证．
【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为： ，
（2）解：第1个等式： ，即 ，
第2个等式： ，即 ，
第3个等式： ，即 ，
第4个等式： ，即 ，
……
第 个等式为： ，
证明如下： 左式 ，
右式 ，右式 左式，
．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，整式混合运算，解答的关键是由所给的等式分析出存在的规律．
23．阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值．
解：设另一个因式为 ，由题意，得
，
，
所以 ，解得 ．
所以另一个因式为 ， 的值为 ．
提出问题：
(1)已知二次三项式 有一个因式是 ，另一个因式是________；
(2)已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及 的值．
【答案】(1)
(2)另一个因式为 ， 的值为85
【分析】（1）设另一个因式为 ，由题意得 ，从而得到
，进行计算即可得到答案；
（2）设另一个因式为 ，由题意得： ，从而得到，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设另一个因式为 ，
由题意得： ，
则 ，
，
解得： ，
另一个因式为 ，
故答案为： ；
（2）解：设另一个因式为 ，
由题意得： ，
则 ，
，
解得： ，
另一个因式为 ， 的值为85．
【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．阅读下列材料，观察解题过程：已知 ，求 的值．
解： ，，
，
， ，
， ，
，解得 ，
．
根据你的观察，解答以下问题：
(1)已知 ，求 的值．
(2)已知 ，求 的值．
(3)当 、 分别取何值时，多项式 的值最小？请你求出最小值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ， 时，多项式 的最小值为8．
【分析】（1）对式子进行配方，求得 即可求解；
（2）对式子进行配方，求得 即可求解；
（3）对式子进行配方，利用非负性，求解即可．
【详解】（1）解：由 可得
则 ，
解得 ，
；
（2）解：
则则 ，解得
（3）解：
∵ ，
∴
即多项式 的最小值为 ，此时 ，
即 ， 时，多项式 的最小值为8．
【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练利用完全平方公式进行配方．
25．完全平方公式： 经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若 ， ，求 的值；
解：因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，则 ________；
（3）如图，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和
，求图中阴影部分的面积．【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解；
（2）设 ，则 ，进而根据完全平方公式即可求解；
（3）由正方形，三角形的面积，利用完全平方公式求出 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）设 ，则 ，
∴ ，
故答案为： ．
（3） ， ，
， ，
，
，
阴影的面积 ．
【点睛】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
