文档内容
2022-2023 学年北京二中朝阳学校八年级（上）
月考数学试卷（11 月份）
一、选择题
1. 如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色.现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个
也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，剩下的一个即为所求．
【详解】如图所示：
从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，使黑色部分成为轴对称图
形，这样的白色小方格有：①，②，③，方格④不可以．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确利用轴对称图形的性质得出是解题关键．
2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. x2+3x+2＝（x+1）（x+2） B. 3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C. m（a+b）＝ma+mb D. （a+2）2＝a2+4a+4
【答案】A
【解析】
【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．
【详解】解：A、x2+3x+2＝（x+1）（x+2），符合因式分解的定义，故正确；
B、3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故错误；
C、m（a+b）＝ma+mb，是整式的乘法，不是因式分解，故错误；D、（a+2）2＝a2+4a+4，是整式的乘法，不是因式分解，故错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义以及运算方法是解题的关键．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的基本性质和运算法则逐一判别即可得．
【详解】A． ，此选项错误；
B． ，此选项正确；
C． ，此选项错误；
D． =x3，此选项错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质和分式的乘除运算法则．
4. 分式 与 的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简公分母的定义求解．
【详解】分式 与 的分母分别是 、 ，故最简公分母是 ；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
5. 如图， ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小
为（ ）△
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，再由
三角形的外角性质则可求得答案．
【详解】∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵∠BEC=∠A+∠ABE
∴∠BEC=40°+40°=80°．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思
想的应用．
6. 已知 ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所
对的顶点△重合于点M，点M一定在（ ）.
A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上
【答案】A【解析】
【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】如图，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
的
∴M在∠BAC 角平分线上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理
是解此题的关键．
7. 对于任意的实数 ，总有意义的分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行判断即可．
【详解】A项当x=±1时，分母为0，分式无意义；
B项分母x2+1恒大于0，故分式总有意义；
C项当x=0时，分母为0，分式无意义；
D项当x=1时，分母为0，分式无意义；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握知识点是解题关键．
8. 如图，已知∠MON及其边上一点A，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，
再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（ ）.A. B. ∠OCB＝90° C. ∠MON＝30° D. OC＝2BC
【答案】D
【解析】
【分析】由作图可得OA=AC=AB=BC，根据等底同高面积相等可对A进行判断，根据三角形一条边上的
中线等于这条边一半的三角形是直角三角形可对B进行判断；根据 ABC是等边三角形， AOC是等腰三
角形可对C进行判断；根据OB=2BC可对D进行判断. △ △
【详解】过C作CD⊥OB，垂足为D，如图所示，
∵S = ，S = ，OA=AB，
OAC ABC
△ △
∴ ，故选项A正确，不符合题意；
∵OA=AC=AB=BC，
∴BC= OB，
∴△OCB是直角三角形，∠OCB=90°，故选项B正确，不符合题意；
在Rt OCB中，∠OCB=90°，BC= OB，
△
∴∠COB=30°，即∠MON＝30°，故选项C正确，不符合题意；
∵OB=2BC，OB＞OC，
.
∴OC≠2BC，故选项D错误，符合题意
故选：D.
【点睛】此题考查了直角三角形和等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得
到OA=AC=AB=BC．
二、填空题
9. 点 M（3，﹣4）关于 x 轴的对称点的坐标是_________．【答案】（3，4）
【解析】
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点M（3，-4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为（3，4）．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）
关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为
相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10. 请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据要求和分式的定义可写出.
【详解】如 ， ，- 等等，只要分母不等于0就好.
故答案为：
【点睛】考核知识点：分式的值为0.理解分式的定义是关键.
11. 一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和为______．
【答案】1080°##1080度
【解析】
【分析】先根据外角和与外角的度数求出多边形的边数，再根据多边形内角和公式 (n−2)×180° 计算即可．
【详解】解：∵多边形的每一个外角都为45°，
∴它的边数： 360°÷45°=8 ，
∴它的内角和： (n−2)×180°=(8−2)×180°=1080° ，
故答案为：1080°．
【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和，关键是正确计算多边形的边数．
12. 分式 约分的结果是 _____．
【答案】【解析】
【分析】根据分式的性质：分子，分母同除一个不为0的整式，分式的值不变，进行化简即可．
【详解】解：原式 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的约分．熟练掌握分式的基本性质，找到分子和分母的公因式是解题的关键．
13. 如图，BE与CD交于点A,且∠C ＝∠D.添加一个条件：____________________，使得 ABC ≌△AED
. △
【答案】AC＝AD
【解析】
【分析】根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定 ABC ≌△AED．
【详解】∵∠C ＝∠D，∠BAC=∠EAD， △
∴当AC=AD时，依据ASA可得， ABC≌△AED．
故答案为：AC=AD（答案不唯一）△．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
14. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使顶点A，C重合，折痕为EF.若∠BAE=28°，则∠AEF的大小为
_______________°.
【答案】59
【解析】
【分析】根据矩形的内角是直角易得∠BAE+∠AEB=90°，求得∠AEB=62°，再根据折叠的性质∠1=∠2，最后根据平角的定义求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°
∴∠BAE+∠BEA=90°
∵∠BAE=28°
∴∠BEA=90°-∠BAE=90°-28°=62°，
由折叠得，∠1=∠2，如图，
∵∠BEA+∠1+∠2=180°
∴∠1=
即∠AEF=59°.
故答案为：59.
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，
位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．
15. 如图，等边 ABC中，AD是BC边上的中线，且AD＝4，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP
的最小值等于__△_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
【详解】作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF是 ABC的中线，
∴CF=A△D=4，
即EP+CP的最小值为4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关
键．
16. 我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了
的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．
（例：第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应 展开式中各项
的系数．）（1） 展开式中 的系数为_______；
（2） 展开式中各项系数的和为_______．
【答案】 ①. 5 ②. 128
【解析】
【分析】根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数,并求出系数之和即可.
【详解】解:（1）根据题意中例子所示，( a+b )5展开式中各系数应与第6行的6个数对应，则a4b 的系数
为5.
（2）当n=1、2、3、4..时,
( a+b ) n展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、... ,
由此可知( a+b ) n展开式的各项系数之和为2n,
所以( a+b )7展开式中所有项的系数和是27=128.
故答案为: 128 .
的
【点睛】此题考查了整式 运算和规律探索,弄清“杨辉三角”中系数规律是解本题的关键.
三、解答题
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先算积的乘方，再算单项式÷单项式即可．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查单项式的除法．熟练掌握单项式除法的运算法则：把被除式与除式的系数和相同字母的
幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的字母的幂也作为商的因式，是解题的关键．
18. 计算： ．【答案】
【解析】
【分析】根据分式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．
19. 分解因式： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式和公式法进行因式分解．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．注意，有公因式时，要先提公因
式．
20. 分解因式： ．
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式 即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．21. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】0.
【解析】
【分析】根据完全平方公式得 ， ，把代数式化简得：原式= .
【详解】∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴原式=
22. 如图，在 ABC和 ADE中，∠BAC＝∠DAE ，AD＝AE.连接BD,CE,∠ABD＝∠ACE. 求证：AB＝AC.
△ △
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据AAS证明 BAD≌△CAE即可得到答案.
【详解】证明：∵∠BAC△＝∠DAE,
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD.
即∠BAD＝∠CAE.
在 BAD和 CAE中,
△ △
∴ BAD≌ CAE（AAS）.
∴△ AB＝AC△.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能正确应用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，难度适中．
23. 老师给同学们布置了一个在平面内找一点，使该点到等腰三角形的三个顶点的距离相等”的尺规作图
任务：
下面是小聪同学设计的尺规作图过程：
已知：如图， 中， ．
求作：一点P，使得 ．
作法：
①作 的平分线 交 于点D；
②作边 的垂直平分线 ， 与 相交于点P；
③连接 ， ．
所以，点P就是所求作的点
根据小聪同学设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ， 平分 交 于点D，
∴ 是 的垂直平分线：（ ）（填推理依据）
∴ ．
∵ 垂直平分 ，交 于点P，
∴ ：（ ）（填推理依据）
∴ ．（3）过点D作 ， ，垂足分别为G，H．
∵ 平分 ，
∴ ＝ （ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）等腰三角形的三线合一，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
（3） ， ，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作角平分线 和 的垂直平分线，它们相交于P点；
（2）根据等腰三角形的性质得到 ．再根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到
，从而得到 ．
（3）根据角平分线的性质定理求解即可．
【小问1详解】
如图，点P为所求；
【小问2详解】
证明：∵ ， 平分 交 于点 ，
的
∴ 是 垂直平分线；（等腰三角形的三线合一）
∴ ．
∵ 垂直平分 ，交 于点 ，
∴ ；（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）∴ ．
故答案为： 等腰三角形的三线合一，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【小问3详解】
过点D作 ， ，垂足分别为G，H．
∵ 平分 ，
∴ （角平分线上的点到角的两边的距离相等）（填推理的依据）．
故答案为： ， ，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24. 已知：△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连接AD，在线段AD的右侧作射线DP且使
∠ADP=30°，作点A关于射线DP的对称点E，连接DE、CE．
（1）当点D在线段BC上运动时，
① 依题意将图1补全；
② 请用等式表示线段AB、CE、CD之间的数量关系，并证明；（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB、CE、CD之间的数量关系，不需证明．
【答案】（1）①见解析；②AB=CE+CD，证明见解析
（2）AB= CE+CD，AB= CE－CD，AB= CD－CE
【解析】
【分析】（1）①根据题意，作出图形如下；
②根据轴对称的性质可得：DP垂直平分AE，得出 ， ，确定 是等边三角形，
利用等边三角形的性质及各角之间的数量关系可得 ，依据全等三角形的判定和性质可得
， ，结合图中线段间的数量关系即可证明；
（2）数量关系有三种，可分三种情况讨论：①当点D在线段BC上时，（1）中已证明；②当点D在CB
的延长线上时，根据题意可得 是等边三角形，利用等边三角形及各角之间的数量关系得出
，根据全等三角形的判定和性质可得 ， ，结合图形利用线段间
的数量关系即可证明；③当点D在BC延长线上时，由（1）得， 是等边三角形，利用等边三角形
性质及各角之间的数量关系得出 ，依据全等三角形的判定和性质可得 ，
，结合图形中线段间的数量关系即可证明．
【小问1详解】
解：①补全图形如下：
② ．
证明：∵ 点A关于射线DP的对称点为E，
∴ DP垂直平分AE，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∴ ，
即： ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
【小问2详解】
解： ， ， ；
①当点D在线段BC上时， ，证明过程为（1）；
②当点D在CB的延长线上时，如下图所示， ，证明如下：由（1）得， 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
即： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
③当点D在BC延长线上时，如图所示， ，证明如下：由（1）得， 是等边三角形，
∴ ， ，
又∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
即： ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质等，理解题意，进行
分类讨论，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
