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八年级上册第 16 章 二次根式
第 1 课时 《二次根式》
一、基础练习
1．下列各式中，一定是二次根式的是【 】
A． 2 B．3 3 C． x D． －3
2．下列判断正确的是【 】
A．带根号的式子一定是二次根式
B．式子 4a＋1一定是二次根式
C．式子 m2＋2一定是二次根式
D．二次根式的值必定是无理数
2x－1
3．使代数式 有意义的x的取值范围是【 】
3－x
1 1 1
A．x≠3 B．x＞ C．x≥ 且x≠3 D．x≠
2 2 2
4．下列等式中，正确的是【 】
3
A． (－3)2＝－3 B．(－ 3)2＝9 C． －9＝－3 D．± 9＝±3
5．如果 (2a－1)2＝1－2a，那么a的取值范围是【 】
1 1 1 1
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
2 2 2 2
3
6．计算：（1）( )2＝ ； （2）(－2 7)2＝ ；
5
（3） 0.82＝ ； （4）－ (－11)2＝ ；
7．使二次根式 －(x＋1)2有意义的未知数x的值为 ．
8．使式子 2a－3有意义的最小整数a是 ．
9．在实数范围内分解因式：
（1）x4－4； （2）3x2－6y2；
（3）x4－3x2y2＋2y4； （4）－x2＋2 2x－2．x2－9－ 9－x2 ＋1
10．已知x，y为实数，y＝ ，求5x＋72y的立方根．
x－3
二、拓展提升
11．请判断是否存在整数a，使它同时满足以下三个条件：
①二次根式 a－13和 20－a均有意义；
② a的值仍为整数；
③若b＝ a，则 b也是整数，
如果存在，那么请求出a的值，并说明理由 ．
12．已知m＝ 2－1．
（1）求代数式m2＋4m＋4的值；
（2）求代数式m3＋m2－3m＋2020的值．
13．已知 11－x＋ 6－x＝7，求 11－x－ 6－x的值．
三、综合实践
14．如图，用两个边长为 18 cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形
纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面
积为30 cm2？请说明理由．八年级上册第 16 章 二次根式
第 2 课时 《二次根式的乘除 1》
一、基础练习
1．下列计算正确的是【 】
A．2 5×3 5＝6 5 B．2 5×3 5＝5 5
C．2 5×3 5＝6×25＝150 D．2 5×3 5＝6×5＝30
2．计算 2× 5的结果是【 】
A． 10 B． 7 C．2 5 D．5 2
3．等式 x＋1· x－1＝ x2－1成立的条件是【 】
A．x≥1 B．x≥－1 C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1
4．已知n是正整数， 28n是整数，则n的最小值是【 】
A．0 B．2 C．3 D．7
5．下列各数中与2＋ 3的积是有理数的是【 】
A．2＋ 3 B．2 C． 3 D．2－ 3
6．比较大小：2 3 3 2， 13－ 12 17－ 6．
7．已知a＝4＋2 5，b＝4－2 5，则a2b－ab2的值为 ．
8．当a＝1＋ 2，b＝ 3时，代数式a2＋b2－2a＋1的值为 ．
9．计算：
1 5
（1） 75× 98； （2）2 14×(－3 2)； （3） 72×(－2 )× 6；
6 12
3 2 5 2 3 1
（4）( 3－ 2)2； （5） 30×(－ 2 )× ； （6） 1 ×2 3×(－ 10)．
4 3 6 5 5 2
10．已知x＝ 2＋1，y＝ 2－1，求下列各代数式的值：
（1）x2y－xy2；（2）x2－xy＋y2．二、拓展提升
11．已知a＝ 2，b＝ 5，用只含a，b的代数式表示 20．
12．学校要在一块长方形的土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长a＝5 10m，宽b＝
4 15m．
（1）求该长方形土地的面积（结果为最简二次根式）；
（2）若绿化长方形土地每平方米造价为180元，则绿化该长方形土地所需的总资金为多
少元（结果为最简二次根式）？
13．已知(x＋ x2＋2011)(y＋ y2＋2011)＝2011，求x2－3xy－4y2的值．
三、综合实践
1 1
14．（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空：4＋3 2 4×3，1＋ 2 1× ，
6 6
5＋5 2 5×5．
（2）由（1）中各式猜想m＋n与2 mn（m≥0，n≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花
圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200 m2的花圃，所
用的篱笆至少需要 m．八年级上册第 16 章 二次根式
第 3 课时 《二次根式的乘除 2》
一、基础练习
3
1．下列各式：① ，② 2，③ 18，④ 0.2，最简二次根式有【 】
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
a－3 a－3
2．等式 ＝ 成立的条件是【 】
a＋1 a＋1
A．a≠－1 B．a≥－3且a≠1 C．a＞－1 D．a≥3
3．下列各式计算正确的是【 】
48 3 2 3 6 2 54a2b
A． ＝16 B． ÷ 3 ＝1 C． ＝ D． ＝9 ab
3 11 3 6 3 2 6a
4．设 2＝a， 3＝b，则 2× 0.03可以表示为【 】
ab ab 1
A． B．10ab C． D．
100 10 ab
－a3
5．化简 的结果是【 】
a
A． －a B．－ a C．－ －a D． a
3
6． 35÷ 5＝ ； 147＝ ； ＝ ；
5
1 1 3
( )2＋( )2＝ ；－5 3 ＝ ；
4 2 5
b2c
＝ （a＞0，b＞0，c＞0）．
4a2
7．若 3a＋1 是最简二次根式，且a为整数，则a的最小值是 ．
1
8．把(1－a) － 根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ．
1－a
9．计算：
9 6 4 my2
（1） ÷ ； （2）9 5÷(－ 1 )； （3） ；
15 25 5 5m3y
1 1 3 2 1 a 2 2
（4） 3÷ × 27； （5）9 45× 2 ÷3 ； （6）4 8a2÷2 ×(－ )．
2 12 2 3 5 2 3 a10．在一条长为56米的传输带上，有一件物品随传输带在3 2秒时间内匀速前进了12米，
求传输带的速度和该物品在传输带上停留的时间．
二、拓展提升
1 3
11．先化简再求值：(a＋ )÷(a－2＋ )，其中a＝ 3＋1．
a＋2 a＋2
b a
12．已知a＋b＝－3，ab＝2，求代数式 ＋ 的值．
a b
13．阅读下列解题过程：
1 2－1
＝ ＝ 2－1；
2＋1 ( 2＋1)( 2－1)
1 3－ 2
＝ ＝ 3－ 2；
3＋ 2 ( 3＋ 2)( 3－ 2)
1 4－ 3
＝ ＝ 4－ 3 ＝2－ 3；
4＋ 3 ( 4＋ 3)( 4－ 3)
……
解答下列各题：
1
（1） ＝ ；
10＋ 9
1
（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子 ＝ ．
n＋ n－1
（3）利用这一规律计算：1 1 1 1
( ＋ ＋ ＋…＋ )( 2022＋1)．
2＋1 3＋ 2 4＋ 3 2022＋ 2021
1 1 1 1
（4）推广： － ＋ － ＝ ．
3－1 5－ 3 7－ 5 9－ 7
三、综合实践
14．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我
们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：
82－1×15＝ 64－15＝ 49＝7， 242－17×31＝ 576－527＝ 49＝7．
不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．八年级下册第 16 章 二次根式
第 4 课时 二次根式的加减（1）
一、基础练习
1．计算 3＋ 12的结果是【 】
A． 15 B．3 3 C．3 2 D．4 3
2．下列二次根式中，不能与 3合并的是【 】
A． 12 B． 8 C． 48 D． 108
3．下列各式中，正确的有【 】
①2＋3 3＝5 3；② 2＋ 3＝ 5；③4 7－ 7＝4；④3 2－2 2＝1．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．下列算式正确的是【 】
A． 2＋ 5＝ 7 B．5 x－2 x＝3 x
8＋ 50
C． ＝ 4＋ 25＝7 D．3 3a＋ 27a＝9 3a
2
5．若 45＋ a＝b 5（b为整数），则a的值可以是【 】
1
A． B．27 C．20 D．24
5
6．计算： 20＋ 5＝ ．
1
7. 计算： 32－4 ＋ 8＝__________．
2
8．已知最简二次根式 a＋2与 18是同类二次根式，则a的值为 ．
1
9．计算：（1） 28－ 63； （2） － 32．
8
2 1
10． 计算：（1） 18－( 98－2 75＋ 27)； （2）( 24－ 0.5－3 )－( － 6)．
3 8
二、拓展提升
3 1 y x 7
11．化简：（1）2 25a－ a3＋5 36a－2a ； （2）8 xy3－3x －4y ＋ x3y．
a a x y x1 a 1
12．化简： a 4a＋16a －4a2 ，并任取一个a的值使其结果为正整数．
2 9 a
y x
13．数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知x＋y＝－6，xy＝4，求 ＋ 的值．
x y
y x y x xy xy xy(x＋y)
小刚是这样解的： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ．
x y x y x y xy
xy(x＋y) 4×(－6)
把x＋y＝－6，xy＝4代入，得 ＝ ＝－3．
xy 4
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程．
三、综合实践
14．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几
a＋b＋c
何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 a，b，c，记 p＝ ，
2
则其面积S＝ p(p－a)( p－b)( p－c)，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．在△ABC
中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积
S为【 】
A．10 3 B．30 C．6 6 D．45八年级下册第 16 章 二次根式
第 5 课时 二次根式的加减（2）
一、基础练习
1．化简： 8－ 2( 2＋2)的结果是【 】
A． －2 B． 2－2 C． 2 D．4 2－2
2．下列计算中，正确的是【 】
A．( x－ y)2＝x－y B．( 2＋ 3)× 5＝ 5× 5＝5
C．( 2＋1)( 2－1)＝2－1＝1 D．2 3＋3 2＝5 5
3．计算：( 10＋3)2( 10－3) 的值是【 】
A． 10－3 B． 10＋3 C． 3 D．－3
4．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为 2，则最后输出的结果是【 】
A．14 B． 16 C．8＋5 2 D．14＋ 2
5．计算：(5＋ 6)(5 2－2 3)＝__________．
6．已知x＝2＋ 3，则代数式x2＋(2－ 3)x的值为__________．
7．已知m＝ 5＋2，n＝ 5－2，则m2－mn＋n2的值为__________．
1 1
8．已知0＜a＜1，且a＋ ＝7，则 a－ 的值为__________．
a a
9．计算：（1）(1－ 5)( 5＋1)－( 5－1)2； （2）( 3＋ 2)2－(2＋ 5)(2－ 5)．
10．如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬行3个单位长度到达点 B ，若点 A 表示－ 3，设
点B所表示的数为 m ．
（1）求m的值．
（2）求|m－1|＋ 3(m＋6)＋1的值．二、拓展提升
2
11．先化简，后求值：(a＋ 5)(a－ 5)－a(a－ 2)，其中a＝ －1．
2
12．小明在做作业的过程中发现一个计算题目“■”处印刷不清楚，
1
“计算：(■ －2 45)÷(－ 5)”
5
（1）他把“■”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；
（2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“■”
处的数字到底是多少？
13．已知x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求x2＋xy＋y2的值．
（1）请用两种方法解决上面课本原题；
（2）变式探究：若x＝3－ 2，y＝2＋ 2，则代数式(x2－6x＋9)(y2－4y＋4)的值为 ；
（3）变式探究：已知x＝ 3＋ 2，y＝ 3－ 2，求x2＋y2＋2xy－2x－2y的值．
（4）拓展延伸：若4－ 3的小数部分是a，整数部分是b，求代数式(4＋ 3b)·a的值．三、综合实践
14．（1）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝）
a＋b
①当a＝1，b＝2时， ab；
2
a＋b
②当a＝2，b＝2时， ab；
2
a＋b
③当a＝3，b＝2时， ab；
2
……
a＋b
（2）根据第（1）问，当 a≥0，b≥0 时，判断 与 ab的数量关系并证明．（提示：
2
( a－ b)2≥0）
（3）实践应用：要制作面积为2平方米的长方形画框，利用第（2）问证明得出的结论
直接写出画框周长的最小值为 ．八年级上册第 16 章 二次根式
《小结与复习》
一、基础练习
1．若二次根式 a－4在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是【 】
A．a≥4 B．a＞4 C．a＞－4 D．a≥－4
2．下列计算正确的是【 】
A．2 5＋3 2＝5 7 B．3 2×3 5＝3 10 C．5 2÷ 2＝5 D． 12－ 2＝ 10
3．已知ab＜0，则 －a2b化简后为【 】
A．－a －b B．－a b C．a b D．a －b
4．计算：( 3－2)2022( 3＋2)2023的结果是【 】
A．1 B．－1 C． 3＋2 D． 3－2
5．化简： ( 7－3)2＝ ．
6．若最简二次根式3 2m＋5与5 4m－3可以合并，则m＝ ．
7．已知a＝ 11－1，则a2＋2a＋1的值是 ．
8．已知：如图，化简代数式 (a＋2)2－ (b－2)2＋ (a－b)2＝ ．
b a 0 2
9．计算：
1
（1） 40－5 ＋ 10； （2）( 2＋1)2＋( 3＋2)( 3－2)；
10
1
（3） × 15＋( 3－ 2)2－( 30＋5)÷ 5；
31
（4）－12－(－ )－1＋(π－3.14)0－ (1－ 2)2．
2
10．已知：x，y为实数，且y＜ x－1＋ 1－x＋3，化简：|y－3|－ y2－8y＋16．
二、拓展提升
a＋b
11．已知a2＋b2＝6ab且a＞b＞0，试求 的值．
a－b
12．已知实数a满足|2023－a |＋ a－2024＝a，求a－20232的值．
13．若 x－2023＋ y＋2023＝2，其中x，y均为整数，求x＋y的值．三、综合实践
14．阅读材料，解答下列问题．
材料：已知 5－x－ 2－x＝1，求 5－x＋ 2－x的值．
小明同学是这样解答的：
∵( 5－x－ 2－x)( 5－x＋ 2－x)＝( 5－x)2－( 2－x)2＝5－x－2＋x＝3，
又 5－x－ 2－x＝1，
∴ 5－x＋ 2－x＝3，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知 9＋x＋ 3＋x＝3．
（1）求 9＋x－ 3＋x的值；
（2）求x的值．
