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八年级下册第 10章 分式
小结与思考（第一课时）
一、基础练习
1．下列代数式中，是分式的是
第1页（共3页）
( )
A．
5
3
x B．
x 1
+
C．
2 x
x
D．
1
2
x − 3
2．若分式
x
x
−
+
2
1
的值为0，则 x 的值为( )
A．2 B．−1 C．0或2 D． − 1 或2
3．根据下列表格信息， y 可能为 ( )
x − 2 − 1 0 1 2
y 0 * * 无意义 *
x+2 x−2
A． B． C．
x−1 x+1
x
x
+
+
2
1
D．
x
x
−
−
2
1
4．下列变形正确的是 ( )
A．
a
b
=
a
b
2
2
B．
4
3
a
=
3 b
4 a b
C． −
a
1
− b
=
− a
1
− b
D．
a 2
a
+
2 −
2 a
1
+ 1
=
a
a
−
+
1
1
x y
5．已知 = ，则
2 3 x
2
+
x
y
= ．
6．化简
x
x
−
2
2
−
x
2
−
x
2
的结果是 ．
7．已知
x
2
=
y
3
=
z
4
0 ，则
3 x
x
2
y
+
+
2
y
y
z
2
+
−
z
z
x
2
的值为 ．
8．已知 x −
1
x
= 3
1
，则x2 + = ．
x2
9．化简
（1）
a
a 2
+ 1
−
a
1
+ 1
； （2） 1 −
a −
a
1
a
a
2
2
+
− 1
2 a
．
a−1 a2 −4 2 1
10．先化简，再求值： − ，其中a= ．
a−2 a2 −2a+1 a−1 2二、拓展提升
11．先化简，再求值：
第2页（共3页）
(
x
x
+
+
3
2
−
x
6
+ 2
)
x 2 +
x
4
−
x
3
+ 4
，其中 x 从−2，2，3 三个数中任取一个
合适的值．
12．在化简分式
x
2
2
x
− 1
−
x
1
− 1
时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．
解：原式 =
( x +
2
1 )
x
( x − 1 )
−
x
1
− 1
①
=
( x +
2
1 )
x
( x − 1 )
( x + 1 ) ( x − 1 ) −
x
1
− 1
( x + 1 ) ( x − 1 ) ②
= 2 x − ( x + 1 ) ③
= 2 x − x − 1 ④
= x − 1 ． ⑤
（1）甲同学从第 步开始出错（填序号）；
（2）请你写出正确的解法．
13．阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
x
x
+
+
2
3
−
x
x
+
+
1
2
=
x
1
+ 2
−
x
1
+ 3
；①
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
x
x
+
+
3
4
−
x
x
+
+
2
3
=
x
1
+ 3
−
x
1
+ 4
；②
x
x
+
+
4
5
−
x
x
+
+
3
4
=
x
1
+ 4
−
x
1
+ 5
；③
x+5 x+4 1 1
− = − ；④
x+6 x+5 x+5 x+6
第3页（共3页）
c ．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n
为正整数）；
d ．小亮对第 n 个等式进行了证明．
解答下列问题：
（1）第⑤个等式是 ；
（2）第 n 个等式是 ；
（3）请你证明第 n 个等式成立．
三、综合实践
14．类比
光和声，这两类现象具有许多相同的性质，如它们都是直线传播、都有折射与反射现
象等．荷兰物理学家、数学家、天文学家惠更斯(Christiaan Huygens 1629 -1695年)，在当时
已经知道“声具有波动性质”的基础上，通过光与声的类比提出“光可能有波动性质”的
猜想．后来，光的波动性质通过实验得到了证实．像这样，由两个对象具有某些相同的性
质，推出它们的其他性质也可能相同的思想方法，称为类比．
运用类比的思想方法研究问题时，不仅要关注两类事物的相同点，而且要关注它们的不同
点．例如，将一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类比时，应当注意它们的不同
点：方程两边同乘(除以)一个不为0的数时，不必考虑这个数是正数，还是负数；但不等式
的两边同乘(除以)一个不为0的数时，必须注意这个数是正数，还是负数，当这个数是负数
时，所得不等式的不等号的方向要改变．
在我们的生活，学习和科学研究等方面，类比常常发挥独特的作用．请你结合本章的
学习，谈谈有哪些地方运用了类比的思想方法．
