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八年级下册第 10 章 分式
第3节分式的加减
一、基础练习
1．化简
a −
a
1
+
1
a
的结果是（ ）
A．0 B．1 C．a D．a﹣2
2．计算
1 −
2
m 2
−
m
1
+ 1
的结果是（ ）
1 1 m+3 1
A． B．− C． D．
m+1 m+1 m2 −1 1−m
3．若 x +
2
x
= 4 ，则 −
x
5
2
x
+ 2
的值为（ ）
4
A．− B．
5
−
5
4
C．
4
5
D．
5
4
4．对于任意的x值都有
x
2
2
x
+
+
x
7
− 2
=
x
M
+ 2
+
x
N
− 1
，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4
5．计算： x − 1 −
x
2 x
+ 1
＝ ；
6．已知
1
a
−
1
b
= 3 ，则
2 a
a
−
−
3
2
a
a
b
b
−
−
2
b
b
的值为 ；
7．照相机成像应用了一个重要原理，用公式
1
f
=
1
u
+
1
v
（v≠f）表示，其中f表示照相机
镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则
u＝ ；
8．已知有理数 a 1
1
，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是
a−1 2
1
− 1
= 1 ；−1的差倒
数是
−
1
1 − 1
= −
1
2
1
，如果m的差倒数正好是m，那么m2+ 的值是______．
m2
9．计算：
（1）
a
a 2
− 1
−
a
a
− 1
b ab
； （2） + ．
a+b b2 −a2
10．用漫灌方式给绿地浇水，a 天用水 10t，改用喷灌方式后，10t 水可以比原来多用 5天．喷灌比漫灌平均每天节约用水多少？
二、拓展提升
11．计算：
（1）
a 2 −
a b
b 2
−
a
a
b
b
−
−
b
a
2
2
； （2）
x 2 −
x 2
4
−
x +
4
4
+
x
x
2
−
+
2
2 x
+ 2 ．
12．设 S
1
= 1 +
1
2 1
+
1
2 2
， S
2
= 1 +
1
2 2
+
1
3 2
， S
3
= 1 +
1
3 2
+
1
4 2
，…， S
n
= 1 +
1
n 2
+
( n
1
+ 1 ) 2
，
求
S
1
+ S
2
+ + S
1 4
的值．
13．我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
8 6+2 6 2 2
= = + =2 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次
3 3 3 3 3
数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，
我们称之为“真分式”．如：
2 x
x
+
+ 1
4
，
x
2 x
− 1
3
，这样的分式就是假分式：再如： ，
x+1 x
2
2
x
+ 1
，
这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的
和的形式）．
2x+4 2x+2+2 2(x+1)+2 2
如： = = =2+ ；
x+1 x+1 x+1 x+1
再如：
x
2 x
− 1
=
x 2 −
x
1
−
+
1
1
=
x
x
2 −
−
1
1
+
x
1
− 1
= x + 1 +
x
1
− 1
．
解决下列问题：
1
（1）分式 是 分式（填“真”或“假”）；
x
（2）请你自编一个含字母x且分子的最高项次数是2的假分式，并化为带分式的形式．三、综合实践
14．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，
常数k称为“和整值”．如分式 M =
x
x
+ 1
， N =
x
1
+ 1
， M + N =
x
x
+
+
1
1
= 1 ，则M与N互
为“和整分式”，“和整值”k＝1．
（1）已知分式 A =
x
x
−
−
7
2
， B =
2
x
x
−
+ 1
2
，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请
说明理由；若是，请求出“和整值”k；
3x−4 G
（2）已知分式C= ，D= ，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝3，
x−2 x2 −4
若x为正整数，分式D的值为正整数t．求t的值．
