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八年级上册第 12 章 全等三角形
第 1 课时 《全等三角形》
一、基础练习
1．如图，若△ABC≌△DEF，四个点 B、E、C、F 在同一直线上，BC＝5，EC＝3，则 CF
的长是【 】
A．2 B．3 C．5 D．7
2．如图，B，D，E，C四点在一条直线上，且△ABD≌△ACE，若∠AEC＝105°，则∠DAE
的度数为【 】
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图，△ABC≌△DBE，AB＝4，BE＝10，则CD的长是【 】
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，△ABC≌△AMN，点M在BC上，连接CN，下列结论：①AM平分∠BMN；②∠
CMN＝∠BAM；③∠MAC＝∠MNC其中，所有正确结论的序号是【 】
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
5．如图，△ABD≌△ACE，且点E在BD上，∠CAB＝40°，则∠D的度数为 ．
6．如图所示的2×2正方形网格中，∠1+∠2等于 ．
7．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于点F，交DE于点G．若∠D＝28°，∠E＝
115°，∠DAC＝50°，则∠DGB的度数为 ．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
8．如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s速度从
点 A 出发向点 C 运动，到点 C 停止运动．点 Q 在射线 AM 上运动，且 PQ＝AB．若△
ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为 ．
9．如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D，CF的延长线交AB于点E．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．（第9题）
10．如图，△AEC≌△ADB，点E和点D是对应顶点．
（1）写出它们的对应边和对应角；
（2）若∠A＝50°，∠ABD＝39°，且∠1＝∠2，求∠1的度数．
（第10题）
二、拓展提升
11．如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．
（第11题）
12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．
求证：（1）OA＝OB；（2）AB∥CD．
（第12题）
13．判断命题“全等三角形对应边上的高线相等”是真命题还是假命题．若是真命题，请给予
证明（要求写出已知，求证和画出图形）；若是假命题，则请举出反例．
三、综合实践
14．方案设计：有一个正方形的花坛，现要将它分成八块全等图形，分别种上不同颜色的花，
请你画出几种设计方案.为了画出更多的设计方案，你能从中找出一般规律吗？（第14题）
八年级上册第 12 章 全等三角形
第 2 课时 《全等三角形的判定》
一．基础练习
1．如图，△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，若∠B＝20°，则∠C等于【 】
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一
个条件是【 】
A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对
3．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以判定【 】
A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE D．△ABC≌△EBC
4．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，则与△ABC有一条公共
边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有【 】
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝20°，DE⊥AC于E，则∠EDC＝ °．
6．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长
为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的大小为 度．
7．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD＝BE，已知AC＝DF，BC＝EF．若
∠A＝70°，∠E＝60°，则∠C的度数为 ．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：①△ABD≌△ACD；②
∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正确的有 （填序号）.（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
9．如图，AB＝AC，BD＝CD．求证：∠B＝∠C．
（第9题）
10．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线，求证：∠3＝∠1+
∠2．
（第10题）
二．拓展提升
11．已知：如图，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）判断AE与CF的位置关系，并说明理由．
（第11题）
12．如图，已知AB＝DC，DB＝AC
（1）求证：∠ABD＝∠DCA．（注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．）
（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？（第12题）
13．如图，已知AD＝CB，E、F是AC上的两动点，且有DE＝BF．
（1）若E、F两点运动至如图（1）所示的位置，且有AF＝CE，试说明：AD∥CB；
（2）若E、F两点运动至如图（2）所示的位置，仍有AF＝CE，那么AD∥CB还成立吗？
为什么？
（3）若E、F两点不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
（第13题）
三．综合实践
14．如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S ，S ．
1 2
（1）不通过计算，你能推断S ＝S ，S ＜S ，S ＞S 中哪一个正确？
1 2 1 2 1 2
（2）若大正方形的边长为18cm，你能否算出S ，S 的大小？
1 2
（第14题）
八年级上册第 12 章 全等三角形
第 3 课时 《全等三角形的判定》
一．基础练习
1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，补充下列哪一个条件后，能直接应
用“SAS”判定△ABC≌△DEF【 】
A．BF＝EC B．∠ACB＝∠DFE C．AC＝DF D．∠A＝∠D
2．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点B，D，E在同一
条直线上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE＝130°，则∠ADE的度数为【 】
A．50° B．65° C．70° D．75°
3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝50°，则∠A的度数是【 】
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝a，EF＝a，BF＝b，则AC的长为【 】
A．a+b B．2b C．1.5b D．b
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
5．如图，已知AO＝CO，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△COD，还要添加的条件 ．
6．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝ °．
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝6，AC＝4，延长AD至点E，使得
DE＝AD，连接CE，则AD长的取值范围是 ．
8．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠BAE＝80°，则∠EAC
的度数为 ．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
9．如图，C是AB的中点，CD∥BE，且CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
（第9题）
10．已知：如图，四边形ABCD中，BC＞AB，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，
求证：AD＝CD．
（第10题）
二．拓展提升
11．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．
（第11题）
12．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，
点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同
时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少厘米/秒时，能够
使△BPE与△CQP全等．
（第12题）
13．问题背景：
如图1所示，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F
分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，如图2所
示，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他 的结论应是 ；
（2）如图所示，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，
1
CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由．
2
（第13题）
三．综合实践
14. 数学写作：三角形全等的条件就是确定三角形的形状和大小的条件．根据这一思路，
两边一对角分别相等的两个三角形是否全等的问题，可以转化为两边一对角是否能确
定三角形的形状和大小的问题．从这个角度出发，请结合本节课内容，请你对于已知
“两边一对角分别相等”的情形分析要满足什么样的情况两个三角形全等．（200字左右）
八年级上册第 12 章 全等三角形
第 4 课时 《全等三角形的判定》
一．基础练习
1. 如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定△ABC≌△BAD的是【 】
A．AC＝BD B．∠1＝∠2 C．AD＝BC D．∠C＝∠D
2. 如图是一个平分角的仪器，其中 AB＝AD，BC＝DC．将点 A 放在一个角的顶点，AB 和
AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，
这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是【 】
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
3. 已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是【 】
A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
4. 如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于【 】
A．DC B．BC C．AB D．AE+AC
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
5. 已知，如图，在△ABC中，∠CAD＝∠EAD，∠ADC＝∠ADE，CB＝5cm，BD＝3cm，则
ED的长为 cm．
6. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝11，DE＝7，
则BE的长为 ．
7. 如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木
墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点
A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH
＝EB＝3，AE＝5，则CH的长为 ．（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
9. 如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AD 上，已知∠ABE＝∠ACE，∠BED＝∠
CED．求证：BE＝CE．
（第9题）
10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
（第10题）
二．拓展提升
11. 如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，AB∥
DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
（第11题）
12. 如图1，△ABC中，∠ABC＝∠ACB．点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝
CF．（1）若∠DEF＝∠ABC，求证：DE＝EF；
（2）若∠A+2∠DEF＝180°，BC＝9，EC＝2BE，求BD的长．
（第12题）
13. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，点M从A点出发沿A→C→B路
径向终点运动，终点为 B 点，点 N 从 B 点出发沿 B→C→A 路径向终点运动，终点为A
点，点M和N分别以2cm/s和3cm/s的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终
点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，要
使以点 M，E，C 为顶点的三角形与以点 N，F，C 为顶点的三角形全等，则 t 的值为多
少？
（第13题）
三．综合实践
14．数学故事：
与全等三角形有关的故事
很久很久以前，有一个小村庄，村庄里的人们非常爱好几何学．他们相信通过理解几何
学的原理，可以获得智慧和幸福．
有一天，村里的年轻人们发现了一个神秘的地图，地图上标记着三个不同的地点．这些
地点分别是村庄、一座山峰和一片湖泊．年轻人们对这些地点产生了浓厚的兴趣，并想知道
它们之间的准确距离．于是，他们找到了村里最聪明的几何学家．几何学家告诉他们可以使
用全等三角形的概念来计算距离．他们首先在村庄附近选择了一个可以测量的基准点，然后
利用三角测量的原理，在山峰和湖泊之间建立了一个全等三角形． 通过测量基准点到山峰
的距离和在全等三角形中已知的角度，他们成功地计算出了山峰到湖泊的距离．
年轻人们兴奋不已，因为他们发现了一个简单而有趣的方法来解决实际问题． 从那以
后，村里的人们开始广泛运用全等三角形的原理，解决了许多几何难题，并将这一知识代代
相传．他们发现，无论是在建筑、测绘还是日常生活中，全等三角形都是一种强大而有用的
工具．
通过这个故事，我们了解到全等三角形的重要性和应用．它们不仅在几何学中有着重
要地位，还在我们的日常生活中发挥着作用。掌握全等三角形的概念和性质，可以帮助我们
更好地理解和解决各种几何问题，从而促进我们对世界的认知和发展．八年级上册第 12 章 全等三角形
第 5 课时 《全等三角形的判定》
一．基础练习
1. 下列说法不正确的是【 】
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
2. 如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝BF，若利用“HL”证明△DEC≌△
BFA，则需添加的条件是【 】
A．EC＝FA B．DC＝BA C．∠D＝∠B D．∠DCE＝∠BAF
3. 如图，BD＝CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE＝CD，若∠AFD＝145°，则
∠EDF的度数为【 】
A．45° B．55° C．35° D．65°
4. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，∠1＝∠2．图中
全等的三角形共有【 】
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
（第2题） （第3题） （第4题）
5. 如图，已知 AB⊥CD，垂足为 B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需
要添加的一个条件是 ．
6. 如图，已知点P（2，2），点A（8，0），点B 在y 轴正半轴上，PA＝PB，则点B 的坐标
为 ．
7. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 是 BC 上一点，DE⊥AB 于点 E，AE＝AC，连接 AD，
若BC＝8，则BD＋DE等于 ．
8. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC
和射线AX上运动，且AB＝PQ（不考虑PQ＝0 的情况），当点P运动到AP＝ ，
△ABC与△APQ全等．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
9. 已知：BE⊥CD于E，BE＝DE，BC＝DA．（1）求证：△BEC≌△DEA；
（2）求证：BC⊥FD．
（第9题）
10. 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB＝DC．求证：∠ABD＝∠ACD．
（第10题）
二．拓展提升
11. 求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．
12. 如图所示，△ABC与△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AH，DG是高，且AH＝DG．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）你认为“有两边和第三边上的高分别对应相等的两个三角形全等”这句话对吗？为
什么？
（第12题）
13. 八年级数学社团活动课上，《致远组》同学讨论了这样一道题目：
如图所示，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，且CD＝BE．试说明：
∠ADC＝∠AEB．
其中一个同学的解法是这样的：
ìAB＝AC
ï
在△ACD和△ABE中，íBE＝CD ，
îï∠BAE＝∠CAD
所以△ABE≌△ACD，所以∠ADC＝∠AEB．
这种解法遭到了其他同学的质疑．理由是错在不能用“SSA”说明三角形全等．请你给出
正确的解法．
（第13题）三．综合实践
14. 用全等三角形研究“筝形”：如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我们把这种
两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝性，通过观察、测量、折纸
等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
（第14题）
八年级上册第 12 章 全等三角形
第 6 课时 《角平分线的性质》
一、基础练习
1．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．下列结
论不一定成立的是【 】
A．∠AOP＝∠BOP B．PC＝PD
C．∠OPC＝∠OPD D．OP＝PC+PD
2．点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，
下列选项正确的是【 】
A．PQ＜5 B．PQ＞5 C．PQ≥5 D．PQ≤5
3．三角形中，到三边距离相等的点是【 】
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，且 DE＝DG，则∠AED+∠AGD
和是【 】
A．180° B．200° C．210° D．240°
（第1题） （第4题） （第5题） （第6题）
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，
1
AB 于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，
2
作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是 ．
6．如图，AD 是△ABC 的角平分线，若 S ＝10，S ＝4，则 AB：AC＝ ．
△ABC △ACD
7．如图，已知△ABC的面积为12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是 ．
8．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB
的度数为__________．
（第7题） （第8题） （第9题）
9．如图，点E在AB上，CD＝CA，DE＝AB，∠DCA＝∠DEA．
求证：CE平分∠BED．
10．如图，∠B＝∠C＝90°，DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，求证：E是BC的中点．
（第10题）
二、拓展提升
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为AC的中点．
（1）利用 无刻 度的直 尺 和圆规 按 下列要求作图，并在图中 标 明相应 字母（ 保留 作图 痕迹 ，
不要求写作法）；
①作∠DAC的平分线AP；
②连接BE并延长交AP于点F．
（2）猜想AF与BC位置和数量的关系，并说明理由．
（第11题）
12．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．
（1）求∠AEB的度数；
（2）求证：CE＝DE．（第12题）
13．（1）如图①，小明同学作出△ABC 两条角平分线 AD，BE 得到交点 I，就指出若连接 CI，
则CI平分∠ACB，你觉得有道理吗？为什么？
（2）如图②，Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，△ABC的角平分线CD上有一点
I，设点I到边AB的距离为d．（d为正实数）
60
小季、小何同学经过探究，有以下发现：小季发现：d的最大值为 ．小何发现：当
13
d＝2时，连接AI，则AI平分∠BAC．
请分别判断小季、小何的发现是否正确？并说明理由．
（第13题）
三、综合实践
14．数学写作：学习了本章的知识，你对角的平分线有了哪些新的认识？我们认识一个新的
几何图形是从哪些角度去研究的？请结合所学知识写一写你的认识．（200字左右，可
结合图形或案例阐释）
八年级上册第 12 章 全等三角形
第 7 课时 《角平分线的性质 2》
二、基础练习
1．如图，∠AOB＝40°，OP平分∠AOB，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，则∠PAB的度
数为【 】
A．20° B．50° C．70° D．35°
2．如图，点 O 是△ABC 的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点 O 到 AB、
AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A 的平分线上．其中
结论正确的个数是【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，直线l 、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求到三条公
1 2 3
路的距离相等，则可供选择的地址有【 】
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，高AD与角平分线BE相交于点F，∠DAC的平分
线AG分别交BC、BE于点G、O，连接FG，下列结论：①∠ABD＝∠DAC；②∠AFE
＝∠AEF；③AG⊥EF；④FG∥AC，其中所有正确结论的序号是【 】
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AB
＝10cm，AC＝6cm，则BE的长度为 cm．
6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，
CD＝4，则四边形ABCD的面积是 ．
7．如图，四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若将四边形ABCD沿BD折叠后，顶点
A恰好落在边BC上的点E处（E与C不重合），则∠CDE的度数为 ．
8．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝
90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是 ．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
9．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC．
求证：∠1＝∠2．
（第9题）
10．如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F，BE＝
CF．求证：AD是△ABC的角平分线．（第10题）
二、拓展提升
11．如图，在△ABC中，∠ACB、∠ABC的平分线l 、l 相交于点O．
1 2
求证：点O在∠BAC的平分线上；
（第11题）
12．如图：在△ABC 中，∠C＝90°，AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E，F 在AC 上，
BD＝DF，证明：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF+2EB．
（第12题）
13．△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC边上的一个动点，连接AD，过点B作
BF⊥AD于点F．
（1）如图1，分别延长AC，BF相交于点E，求证：BE＝AD；
（2）如图2，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长；
（3）如图3，M是FB延长线上一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数
量关系并说明理由．
（第13题）三、综合实践
数学故事：倒过来想
宋朝有个历史学家叫司马光，他不仅因编著《资治通鉴》而流芳百世，而且他在小时侯砸
缸救人的故事至今仍广为流传。司马光有一次跟一群小伙伴玩耍，其中一个小孩不小心跌入
储满水的大缸里，由于缸太高,同伴们无法救出这个小孩,大家都慌了神．这时司马光把缸砸
破，这样人便得救了。在“让人离开水”有困难时，司马光设法“让水离开人”，这就是司马光
的聪明所在．
倒过来想，就是逆向思考,这是数学中常用的一种思维方式．比如，本章中对“角平分线上
的点到角两边的距离相等”进行逆向思考，经过证明就得到了它的逆定理——到角的两边距
离相等的点在这个角的平分线上;又如，对整式乘法法则和公式进行逆向思考,就得到了多项
式因式分解的方法;再如,探求证明的途径时，如果不能顺利地从条件出发推出结论，不妨逆
向思考,即从结论出发,寻找使结论成立的条件,往往能找到证明的途径．
学会“倒过来想”，有助于不断提高你提出问题和解决问题的能力．
八年级上册第 12 章 全等三角形
第8课时 《小结与复习》
一、基础练习
1．下列命题中：
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
（3）全等三角形对应边上的高、中线 及 对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有【 】
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为【 】
A．54° B．66° C．60° D．76°
3．已知∠1＝∠2，AC＝AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在以下条件中
不能选择的是【 】
A．AB＝AE B．∠C＝∠D C． BC＝ED D．∠B＝∠E
4．如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α
与β之间的数量关系为【 】
A．α＝2β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋2β＝180°
（第2题） （第3题） （第4题）
5．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3＝ ．
6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若点
P到BC的距离是4，则AD的长为 ．
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，DF＝DC，△ADE和△ADF的面积分别为a和b，则△DEC的面积为 ．
8．如图，∠AOB＜90°，点M在OB上，且OM＝6，点M到射线OA的距离为a，点P在
射线OA上，MP＝x，若△OMP的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
9．如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
（第9题）
10．如图，已知点M是AB的中点，DC是过点M的一条直线，且∠ACM＝∠BDM，AE⊥
CD，BF⊥CD分别交CD于点E、F．
（1）试说明△AME≌△BMF．
（2）猜想MF与CD之间的数量关系，并说明理由．
（第10题）
二、拓展提升
11．如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝
OC．
求证：∠1＝∠2．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DOB＋∠B＝∠EOC＋∠C＝90°．
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C．……第一步
又OA＝OA，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
（第11题）
12．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD于E．求证：BD＝2CE．
（第12题）
13．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，M是BD的中点，E是
射线CA上一动点，且CE＝CD，连接AD，作DF⊥AD，DF交EM延长线于点F．
（第13题）
（1）如图1，当点E在CA上时，填空：AD DF（填“＝”、“＜”或“＞”）．
（2）如图 2，当点E 在 CA 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断AD 与 DF 的
数量关系，并证明你的结论．
三、综合实践
14．数学故事
生活中的全等图形
现代生活中，全等图形无处不在，存在于我们手中的各种电子产品、家里的家具以及
外面的建筑等等，它们扮演着极其重要的角色，他们在空间变换中为我们提供了许多方
便．
全等图形的最常见的例子就是三角形。全等三角形的一个基本性质就是它们的三边长
度对应相等，在实际应用中有广泛的用途，比如家具的拼接，两个三角形的相接点处刚好
可以形成一个应用的连接，并且更加牢固。另外，三角形也常见于建筑设计中，它们可以
用来组成一些会牢固耐用的框架，比如以三角形为主要结构的建筑屋顶，尽管用三角形建
一个完整的房屋可能比较困难，但是在建筑物的架子构造上三角形仍然是一种常用的结构．
除了三角形，正方形也是一种全等图形，它的每条边都具有相同的长度和宽度，在我
们的日常生活中，正方形也经常被用来建构一些实用性很强的物件，比如桌子和椅子，他
们能提供足够的空间使我们能够使用，而且正方形由于每条边相等，可以更容易的拼接．
此外，圆形也是一种全等图形，它最常用于建筑设计，比如用圆形建造的大厅等等，
它可以提供舒适的使用空间，而且由于圆形的特殊性，可以更容易的进行结构的设计，工
程师也可以更加精准的进行计算。而在电子产品中也广泛存在着各种圆形外形的零件，比
如智能手机里的按键，他们圆润柔和的曲线能够更舒适的被人摸抚，使得产品体验更高
级．
总之，全等图形在我们的日常生活中有着非常广泛的应用，它们既可以为建筑结构带
来更多的新的可能，又可以使用在电子产品的设计中，这些图形的共同特点就是他们的每
条边都具有相同的长度，它们能为我们的生活提供无限的可能性．
