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期末测试题
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分．请把表示正确答案的字母填入下表中
对应的题号下．）
1．（3分）下列代数式① ，② ，③ ，④ 中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）根据分式的基本性质填空： = ，括号内应填（ ）
A．x2﹣3x B．x3﹣3C．x2﹣3D．x4﹣3x
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．30=0 B．3﹣2=﹣6 C．3﹣2=﹣ D．3﹣2=
4．（3分）若代数式 有意义，则x必须满足条件（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1
5．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别是5cm与6cm，则这个等腰三角形的周长为
（ ）
A．16cm B．17cm C．16cm或17cm D．无法确定
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a是整数，那么a是有理数
B．内错角相等
C．任何实数的绝对值都是正数
D．两边一角对应相等的两个三角形全等
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（﹣4）2的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
9．（3分）已知a，b均为有理数，且a+b =（2﹣ ）2，则a、b的值为（ ）
A．a=4，b=3 B．a=4，b=4 C．a=7，b=﹣4 D．a=7，b=4
10．（3分）方程 的解是x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．无解
二、填空题（每小题3分，共8小题，满分24分）
11 ． （ 3 分 ） 科 学 实 验 发 现 有 一 种 新 型 可 入 肺 颗 粒 物 的 直 径 约 为 2.5μm（1μm=0.000001m），用科学记数法表示这种颗粒物的直径约为 m．
12．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3= ．
13．（3分）实数 ﹣4的绝对值等于 ．
14．（3分）如图，在△BCD中，∠C=30°，∠D=40°，点A为CB的延长线上一点，BE为
∠ABD的角平分线，则∠ABE= °．
15．（3 分）如图，已知 AD=BC，则再添加一个条件 （只填一种），可证出
△ABC≌△BAD．
16．（3分）计算：（ ）2015（ ）2016= ．
17．（3分）巳知等腰三角形一底角为30°，则这个等腰三角形顶角的大小是 度．
18．（3分）如图，已知在△ABC中，BC=10cm，AB的垂直平分线EF交BC与点F，AC的垂
直平分线MN交BC于点N，则△AFN的周长为 cm．
三、解答题（19题每小题8分，20题6分，满分14分）
19．（8分）①化简：
②计算： ．
20．（6分）求当x取何值时，代数式 ﹣ 的值不小于1？四、分析与说理（每小题8分，共2小题，满分16分）
21．（8 分）已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，BD⊥AC，垂足为点 D，
CE⊥AB，垂足为点E．求证：BD=CE．
22．（8分）已知：如图所示，点D、E分别在等边△ABC的边BC、AC上，且AE=CD，AD与
BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．五、实践与应用（每小题8分，共2小题，满分16分）
23．（8分）娄底到长沙的距离约为120km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底
去长沙，小刘比小张晚出发15分钟，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车
速度的1.2倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）
24．（8分）某校组织开展了“娄底是我家，建设娄底靠大家”的环保知识竞赛，共 25道
竞赛题，选对一题得4分，不选或选错每题扣2分，大赛组委会规定总得分不低于80分获
奖，那么至少应选对多少道题才能获奖？（列不等式解答）
六、阅读与探究（每小题10分，共2小题，满分20分）
25．（10分）阅读下列材料，并解决问题：
①已知方程x2+3x+2=0的两根分别为x=﹣1，x=﹣2，计算：x+x= ，x•x=
1 2 1 2 1 2
②已知方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x=4，x=﹣1，计算：x+x= ，x•x=
1 2 1 2 1 2
③已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 有两根分别记作 x ，x ，且 x= ，x=
1 2 1 2
，请通过计算x+x 及x•x，探究出它们与p、q的关系．
1 2 1 226．（10分）在长方形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E
重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边分别与AB、BC分别相交于
点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．参考答案：
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分．请把表示正确答案的字母填入下表中
对应的题号下．）
1．（3分）下列代数式① ，② ，③ ，④ 中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的定义看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字
母则不是分式，即可得出答案．
【解答】解：①是分式；②分母中不含字母，不是分式；③分母中不含字母，不是分式；
④分母中含有字母是分式．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，明确π不是字母是一个常数是解题的关键．
2．（3分）根据分式的基本性质填空： = ，括号内应填（ ）
A．x2﹣3x B．x3﹣3C．x2﹣3D．x4﹣3x
【分析】把分式的分母与分子同时除以x即可得出结论．
【解答】解：∵分式的分母与分子同时除以x得， = ．
∴括号内应填x2﹣3．
故选C．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等
于0的整式，分式的值不变是解答此题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．30=0 B．3﹣2=﹣6 C．3﹣2=﹣ D．3﹣2=
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0），负整数指数幂：a﹣p= （a≠0，p为正整数）进
行计算．
【解答】解：30=1，3﹣2= ，
故选：D．
【点评】此题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数；任
何非0数的0次幂等于1．
4．（3分）若代数式 有意义，则x必须满足条件（ ）
A．x≥﹣1 B．x≠﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得，x≥﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数
是解题的关键．
5．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别是5cm与6cm，则这个等腰三角形的周长为
（ ）
A．16cm B．17cm C．16cm或17cm D．无法确定
【分析】分腰为6cm和腰为5cm两种情况，再求其周长．
【解答】解：当腰为6cm时，则三角形的三边长分别为6cm、6cm、5cm，满足三角形的三
边关系，周长为17cm；
当腰为5时，则三角形的三边长分别为5cm、5cm、6cm，满足三角形的三边关系，周长为
16cm；
综上可知，等腰三角形的周长为16cm或17cm．
故选C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果a是整数，那么a是有理数
B．内错角相等
C．任何实数的绝对值都是正数
D．两边一角对应相等的两个三角形全等
【分析】根据有理数的分类对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据绝对值
的意义对C进行判断；根据全等三角形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、如果a是整数，那么a是有理数，所以A选项正确；
B、两直线平行，内错角相等，所以B选项错误；
C、任何实数的绝对值都是非负数，所以C选项错误；
D、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形，所以D选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设
和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成
“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能为（ ）
A． B． C． D．
【分析】写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就是不等式．这两个式子组成的
不等式组就满足条件．
【解答】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的线且﹣1处是空心圆，表示x＞﹣1；从2出发向左画出的线且2处是实心圆，表示x≤2，所以这个不等式组为 ．
故选A．
【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞
≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示
解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．
在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
8．（3分）（﹣4）2的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【分析】根据平方根的概念，推出16的平方根为±4．
【解答】解：（﹣4）2的平方根是±4，
故选B
【点评】本题主要考查平方根的定义，关键在于推出（±4）2=16．
9．（3分）已知a，b均为有理数，且a+b =（2﹣ ）2，则a、b的值为（ ）
A．a=4，b=3 B．a=4，b=4 C．a=7，b=﹣4 D．a=7，b=4
【分析】利用完全平方公式去括号，进而得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（2﹣ ）2=a+b ，
∴4+3﹣4 =a+b ，
∴a=7，b=﹣4，
故选C
【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用完全平方公式得出a，b的值是解题关键．
10．（3分）方程 的解是x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得
到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+2=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
故选D
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
二、填空题（每小题3分，共8小题，满分24分）
11 ． （ 3 分 ） 科 学 实 验 发 现 有 一 种 新 型 可 入 肺 颗 粒 物 的 直 径 约 为 2.5μm
（1μm=0.000001m），用科学记数法表示这种颗粒物的直径约为 2. 5 × 1 0 ﹣ 6 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前
面的0的个数所决定．【解答】解：2.5μm=2.5×0.000001m=2.5×10﹣6m，
故答案为：2.5×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3= （ x + ）（ x﹣ ） ．
【分析】把3写成 的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【解答】解：x2﹣3=x2﹣（ ）2=（x+ ）（x﹣ ）．
【点评】本题考查平方差公式分解因式，把3写成 的平方是利用平方差公式的关键．
13．（3分）实数 ﹣4的绝对值等于 4﹣ ．
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【解答】解： ﹣4的绝对值等于4﹣ ，
故答案为：4﹣ ．
【点评】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数．
14．（3分）如图，在△BCD中，∠C=30°，∠D=40°，点A为CB的延长线上一点，BE为
∠ABD的角平分线，则∠ABE= 35 °．
【分析】由外角性质可得∠ABD的度数，再利用角平分线的定义可得结果．
【解答】解：∵∠C=30°，∠D=40°，
∴∠ABD=∠C+∠D=30°+40°=70°，
∵BE为∠ABD的角平分线，
∴ =35°，
故答案为：35．
【点评】本题主要考查了外角的性质和角平分线的定义，利用外角的性质得∠ABD的度数
是解答此题的关键．
15．（3 分）如图，已知 AD=BC，则再添加一个条件 AC=BD （只填一种），可证出
△ABC≌△BAD．
【分析】本题是开放题，要使△ABC≌△BAD，已知AD=BC，AB是公共边，故添加AC=BD，
即可根据SSS判定两三角形全等．
【解答】解：添加AC=BD．
∵AD=BC，AB=AB，AC=BD∴△ABC≌△BAD．（SSS）
故答案为AC=BD．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个
三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方
法，看缺什么条件，再去证什么条件．
16．（3分）计算：（ ）2015（ ）2016= 2﹣ ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而求出答案．
【解答】解：（ ）2015（ ）2016
=[（ ）2015（ ）2015]（ ﹣2）
=[（ ）×（ ）]2015（ ﹣2）
=2﹣ ．
故答案为：2﹣ ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确应用积的乘方运算法则是解题关键．
17．（3分）巳知等腰三角形一底角为30°，则这个等腰三角形顶角的大小是 120 度．
【分析】由已知给出等腰三角形一底角为30°，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和
不难求得等腰三角形的顶角．
【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等
∴顶角度数是：180°﹣30°﹣30°=120°．
故填120．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．等腰三角形的两个底角相等
三角形内角和为180度．找着底角的关系，利用三角形的内角和求解时非常重要的方法，
注意掌握．
18．（3分）如图，已知在△ABC中，BC=10cm，AB的垂直平分线EF交BC与点F，AC的垂
直平分线MN交BC于点N，则△AFN的周长为 10 cm．
【分析】根据垂直平分线性质得AF=BF，AN=CN，所以△ANF周长=BC．
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于F，N，
∴AF=BF，AN=CN，
∴C =AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=10．
△AFN
故答案为：10．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段
两端点的距离相等是解答此题的关键．
三、解答题（19题每小题8分，20题6分，满分14分）19．（8分）①化简：
②计算： ．
【分析】①先通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后约分即可；
②先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：①原式= +
=
= ；
②原式=2+ + ﹣3
=2﹣ ．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根
式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，
灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了分式的加减
法．
20．（6分）求当x取何值时，代数式 ﹣ 的值不小于1？
【分析】根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可求得x的取值范围．
【解答】解：根据题意得： ﹣ ≥1，
3（3x﹣5）﹣7（x+4）≥21，
9x﹣15﹣7x﹣28≥21，
9x﹣7x≥21+28+15，
2x≥64，
x≥32．
故当x≥32时，代数式 ﹣ 的值不小于1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，解此题的关键是能根据题意得出一元一次
不等式，应按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1这个步骤来解．
四、分析与说理（每小题8分，共2小题，满分16分）
21．（8 分）已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，BD⊥AC，垂足为点 D，
CE⊥AB，垂足为点E．求证：BD=CE．【分析】利用垂直的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，然后根据三角形全等的判定方法可得到
△BCD≌△BCE，则根据全等的性质即可得到BD=CE．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
在△BCD和△CDE中，
，
∴△BDC≌△CDE（AAS），
∴BD=CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角分别相等，且其中一组角所对的
边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．
22．（8分）已知：如图所示，点D、E分别在等边△ABC的边BC、AC上，且AE=CD，AD与
BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
【分析】（1）通过SAS可得△ABE≌△ACD．
（2）根据全等三角形的性质推出∠ABE=∠CAD，再通过角之间的转化即可求解∠BFD的度
数．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，AE=CD，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AD=BE．
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质问题，解决本题
的关键是证明△ABE≌△CAD．
五、实践与应用（每小题8分，共2小题，满分16分）
23．（8分）娄底到长沙的距离约为120km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底
去长沙，小刘比小张晚出发15分钟，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车
速度的1.2倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）
【分析】首先设大货车的速度为xkm/时，则小轿车的速度为1.2xkm/时，根据题意可得等
量关系：大货车行驶时间﹣小轿车行驶时间= 小时，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设大货车的速度为xkm/时，由题意得：
﹣ = ，
解得：x=80，
经检验：x=80是分式方程的解，
1.2x=1.2×80=96，
答：大货车的速度为80km/时，小轿车的速度为96km/时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系
列出分式方程，注意不要忘记检验．
24．（8分）某校组织开展了“娄底是我家，建设娄底靠大家”的环保知识竞赛，共 25道
竞赛题，选对一题得4分，不选或选错每题扣2分，大赛组委会规定总得分不低于80分获
奖，那么至少应选对多少道题才能获奖？（列不等式解答）
【分析】读懂题列出不等式关系式即可求解，关系式为：得奖的分数≥80．
【解答】解：设做对x道．根据题意列出不等式：
4x﹣2×（25﹣x）≥80，
解得：x≥ ，
∵ =21 ，
∴x最小取22．
答：至少应选对22道题才能获奖．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合
题意的不等关系式，及所求量的等量关系．
六、阅读与探究（每小题10分，共2小题，满分20分）
25．（10分）阅读下列材料，并解决问题：
①已知方程x2+3x+2=0的两根分别为x=﹣1，x=﹣2，计算：x+x= ﹣3 ，x•x= 2
1 2 1 2 1 2
②已知方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x=4，x=﹣1，计算：x+x= 3 ，x•x= ﹣4
1 2 1 2 1 2
③已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 有两根分别记作 x ，x ，且 x= ，x=
1 2 1 2，请通过计算x+x 及x•x，探究出它们与p、q的关系．
1 2 1 2
【分析】根据题目中所给的方程的两根，分别求出x+x ，x•x ，然后可得出x+x=﹣p，
1 2 1 2 1 2
xx=q．
1 2
【解答】解：①∵x=﹣1，x=﹣2，
1 2
∴x+x=﹣3，x•x=2；
1 2 1 2
②∵x=4，x=﹣1，
1 2
∴x+x=3，x•x=﹣4；
1 2 1 2
③∵x= ，x= ，
1 2
∴x+x= + =﹣p，
1 2
xx= • =q，
1 2
即x+x=﹣p，xx=q．
1 2 1 2
故答案为：﹣3，2；3，﹣4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解答本题的关键是根据方程所给的两根求出两根之
和和两根之积，然后得出根与系数的关系．
26．（10分）在长方形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与点E
重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边分别与AB、BC分别相交于
点M，N时，观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．
【分析】作辅助线EF⊥BC于点F，然后证明Rt△AME≌Rt△FNE，从而求出AM=FN，所以BM
与CN的长度相等．
【解答】解：BM与与CN的长度相等．
证明：在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，
如图，作EF⊥BC于点F，则有AB=AE=EF=FC，
∵∠AEM+∠DEN=90°，∠FEN+∠DEN=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
在Rt△AME和Rt△FNE中，，
∴Rt△AME≌Rt△FNE，
∴AM=FN，
∴MB=CN．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，本题的关键是证明Rt△AME≌Rt△FNE，利用
全等的性质和等量代换求解．
