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期末测试题
一、选择题（每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1．（5分）若反比例函数y= 的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（5分）已知反比例函数y=﹣ ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，2） B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则0＞y＞﹣2
3．（5分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=19
4．（5分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
5．（5分）如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等
▱
于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
6．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=10m，则坡面AB的长度
是（
A．15m B．20 m C．20m D．10 m
8．（5分）对于抛物线y=x2+2x﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．顶点坐标是（﹣1，﹣4）
B．对称轴是直线x=﹣4
C．与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0）
D．与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
二、填空题（每题5分，共30分）
9．（5分）已知A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数 图象上的两个点．则m的值 ．
10．（5分）某果园2013年水果产量为100吨，2015年水果产量为144吨，求该果园水果
产量的年评价增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，依题意可列方程为 ．
11．（5分）已知2是关于x的方程：x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是
等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长是 ．
12．（5分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，
已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 ．
13．（5分）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量共计，测量学校旗杆AB的高度，移动
竹竿，使O、C、A在同一直线上，此时OD=6m，DB=12m，则旗杆AB的高为 ．
14．（5分）青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞 20
只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出 40只青蛙，其中有标
记的青蛙有4只，估计这个池塘里大约有 只青蛙．
三、解答题（每题8分，共16分）
15．（8分）计算：sin245°﹣2（cos230°+tan30°）+sin60°．
16．（8分）解方程：（x+3）2=2x+6．
四、解答题（每题10分，共40分）
17．（10分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运
动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？
（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
18．（10分）如图，A、B是双曲线y= 上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中
点．
（1）求k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAC的面积．19．（10分）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到
相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点 A俯角为30°
方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前
飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F
点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整
数，参考数值： ≈1.7）
20．（10分）今年，中央提出大力发展校园足球的方案，我县中小学校相继成立校园足球
队，加紧足球训练．在某次运动会上足球比赛实行单循环赛（即每两个队都比赛一场），
如果所有队伍总共比赛15场，那么共有多少个球队参赛？四、解答题（每题12分，共24分）
21．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且
∠ADE=45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB=2，BD=1，求CE的长．
22．（12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A
（1，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角
形是否能够与△OBC相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；
若不能，请说明理由．参考答案：
一、选择题（每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1．（5分）若反比例函数y= 的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】反比例函数的性质．
【分析】反比例函数y= 的图象位于第二、四象限，比例系数k﹣1＜0，即k＜1，根
据k的取值范围进行选择．
【解答】解：∵反比例函数y= 的图象位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，即k＜1．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y= （k≠0），（1）k＞0，反
比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
2．（5分）已知反比例函数y=﹣ ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，2） B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则0＞y＞﹣2
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每
一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．
【解答】解：A、图象必经过点（﹣1，2），说法正确，不合题意；
B、k=﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；
C、k=﹣2＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意；
D、若x＞1，则﹣2＜y＜0，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：
（1）反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
3．（5分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=19
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=10，
配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，
故选D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（5分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【考点】根的判别式．
【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后可以求出
k的取值范围．
【解答】解：由题意知k≠0，△=4+4k＞0
解得k＞﹣1且k≠0．
故选D．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
2、一元二次方程的二次项系数不为0．
⇔
5．（5分）如图，在 ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等
▱
于（ ）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出 = ，利用点E是边AD的中点得出答
案即可．
【解答】解：∵ ABCD，故AD∥BC，
▱
∴△DEF∽△BCF，∴ = ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE= AD，
∴ = ．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出
△DEF∽△BCF是解题关键．6．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数的关系．
【分析】根据三角函数的定义，sinA= = ，因而可以设BC=5k，则AB=13k，根据勾股
定理可以求得AC的长，然后利用正切的定义即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= = ，
∴设BC=5k，则AB=13k，
根据勾股定理可以得到：AC= =12k，
∴tanA= = = ．
故选B．
【点评】本题考查了三角函数的定义，正确理解三角函数可以转化成直角三角形的边的比
值，是解题的关键．
7．（5分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=10m，则坡面AB的长度
是（
A．15m B．20 m C．20m D．10 m
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形
即可求出斜面AB的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC=10m，tanA=1： ，
∴AC=BC÷tanA=10 m，
∴AB= =20（m）．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理
是解答本题的关键．
8．（5分）对于抛物线y=x2+2x﹣3，下列结论错误的是（ ）
A．顶点坐标是（﹣1，﹣4）
B．对称轴是直线x=﹣4
C．与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0）
D．与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】分别确定抛物线的顶点坐标、对称轴及与两坐标轴的交点坐标后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），对称轴为直线x=﹣1，
故A正确，B错误；
∵令y=x2+2x﹣3=0，
解得：x=﹣3或x=1，
∴与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0），
故C正确；
令x=0，得：y=﹣3，
∴与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
故D正确，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够将二次函数配方并确定其顶点坐
标及对称轴，难度不大．
二、填空题（每题5分，共30分）
9．（5分）已知A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数 图象上的两个点．则m的
值 2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
【解答】解：∵A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数 图象上的两个点，
∴（﹣1）×m=2×（m﹣3），解得m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中 k=xy为定值是
解答此题的关键．
10．（5分）某果园2013年水果产量为100吨，2015年水果产量为144吨，求该果园水果
产量的年评价增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为 x，依题意可列方程为 100
（ 1 + x ） 2 =144 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】2015年的产量=2013年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：2014年的产量为100（1+x），
2015年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2=144，
故答案为：100（1+x）2=144．
【点评】考查根据实际问题列一元二次方程；得到2015年产量的等量关系是解决本题的关
键．
11．（5分）已知2是关于x的方程：x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是
等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长是 14 ．
【考点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】计算题．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义把 x=2 代入方程求出 m 得到原方程为 x2﹣
8x+12=0，再解此方程得到得x=2，x=6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为
1 2
6，底边为2，再计算三角形的周长．
【解答】解：把x=2代入方程得4﹣4m+3m=0，解得m=4，
则原方程为x2﹣8x+12=0，解得x=2，x=6，
1 2
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
所以△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2=14．
故答案为14．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一
元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
12．（5分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，
已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是 12 ．
【考点】位似变换．
【分析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的
平方进行解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，
∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于
相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13．（5分）如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量共计，测量学校旗杆AB的高度，移动
竹竿，使O、C、A在同一直线上，此时OD=6m，DB=12m，则旗杆AB的高为 9m ．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】先证明△OCD∽△OAB，则根据相似三角形的性质得到比例式，然后利用比例的性
质求AB即可．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴ = ，即 = ，
∴AB=9，
即旗杆AB的高为9m．
故答案为：9m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
14．（5分）青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞 20
只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出 40只青蛙，其中有标
记的青蛙有4只，估计这个池塘里大约有 200 只青蛙．
【考点】用样本估计总体．
【分析】从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，即在样本中有标记的所占
比例为 ，而在整体中有标记的共有20只，根据所占比例即可解答．
【解答】解：∵从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，
∴在样本中有标记的所占比例为 ，
∴池塘里青蛙的总数为20÷ =200．
故答案为：200．
【点评】此题主要考查了用样本去估计总体，解题的关键是了解统计的思想就是用样本的
信息来估计总体的信息．
三、解答题（每题8分，共16分）
15．（8分）计算：sin245°﹣2（cos230°+tan30°）+sin60°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=（ ）2﹣2[（ ）2+ ]+
= ﹣ ﹣ +
=﹣1﹣ ．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关
键．
16．（8分）解方程：（x+3）2=2x+6．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先变形得到（x+3）2﹣2（x+3）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x+3）2﹣2（x+3）=0，
（x+3）（x+3﹣2）=0，
x+3=0或x+3﹣2=0，
所以x=﹣3，x=﹣1．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通
过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能
得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解
一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
四、解答题（每题10分，共40分）17．（10分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运
动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：
（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？
（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数．
【分析】（1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；
（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；
（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．
【解答】解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，
∴本次调查共抽样了500名学生；
（2）1.5小时的人数为：500×24%=120（人）
如图所示：
（3）根据题意得： ，即该市中小学生一天
中阳光体育运动的平均时间约1小时．
【点评】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是
解题关键．
18．（10分）如图，A、B是双曲线y= 上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中
点．
（1）求k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAC的面积．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）把A的坐标代入y= ，即可求得k的值；
（2）根据A的坐标求得B的纵坐标为2，代入y= 求得x=2，即可求得B的坐标；
（3）根据A、B的坐标求得直线AB的解析式，求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即
可求得．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y= 得4= ，
解得k=4；
（2）由B是AC的中点可得B点的纵坐标是A点纵坐标的一半，即y=2，
把y=2代入y= 求得x=2，故B点的坐标为（2，2）；
（3）由A、B点的坐标求得直线AB的解析式为y=﹣2x+6，
令y=0，求得x=3，
∴C点的坐标为（3，0）
∴△OAC的面积为 ×3×4=6．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式的解析式，反比例函数
图象上点的坐标特征，三角形面积等，求得B点的坐标是解题的关键．
19．（10分）“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到
相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点 A俯角为30°
方向的F点处有疑似飞机残骸的物体（该物体视为静止）．为了便于观察，飞机继续向前
飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F
点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度CF约为多少米？（结果保留整
数，参考数值： ≈1.7）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【专题】几何图形问题．
【分析】易得BC=CF，那么利用30°的正切值即可求得CF长．【解答】解：∵∠BCF=90°，∠CBF=45°，
∴BC=CF，
∵∠CAF=30°，
∴tan30°= = = = ，
解得：CF= ≈ ≈1046（米）．
答：竖直高度CF约为1046米．
【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角
形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
20．（10分）今年，中央提出大力发展校园足球的方案，我县中小学校相继成立校园足球
队，加紧足球训练．在某次运动会上足球比赛实行单循环赛（即每两个队都比赛一场），
如果所有队伍总共比赛15场，那么共有多少个球队参赛？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设应邀请x个球队参赛，则每个队要打（x﹣1）场，就可以由总场数= x（x﹣
1）场建立方程求出其解即可．
【解答】解：设共有x个球队参赛，
则根据题意可列方程： x（x﹣1）=15，
解得x=﹣5（舍去），x=6．
1 2
答：共有6个球队参赛．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解
题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再
求解．
四、解答题（每题12分，共24分）
21．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且
∠ADE=45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB=2，BD=1，求CE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）要证△ABD∽△DCE，根据已知，可知∠B=∠C，只需要再证∠DEC=∠ADB，利
用三角形的外角等于不相邻的两内角之和，可证．那么△ABD∽△DCE；
（2）由AB=2，可得到BC=2 ，由（1）知△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质即可得
到结论．【解答】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），
同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD，
∴∠DEC=∠ADB，
又∠ABD=∠DCE=45°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）∵AB=2，
∴BC=2 ，
∵△ABD∽△DCE，
∴ ，
∴ ，
∴AE= ．
【点评】本题利用了三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，相似三角形的判定和性质
熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
22．（12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A
（1，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角
形是否能够与△OBC相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；
若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）把点A坐标代入抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）求得抛物线的解析式即可；
（2）求出抛物线的对称轴，再求得点B、C坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，再把B、
C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，求得k和b即可；
（3）设N（x，ax2﹣5ax+2），分两种情况讨论：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根据
相似，得出比例式，再分别求得点N坐标即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，
∴a﹣5a+2=0，∴a= ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x+2；
（2）抛物线的对称轴为直线x= ，
∴点B（4，0），C（0，2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得
，
解得k=﹣ ，b=2，
∴直线BC的解析式y=﹣ x+2；
（3）方法一：设N（x， x2﹣ x+2），分三种情况讨论：
①当△OBC∽△HNB时，如图1，
= ，即 = ，
解得x=5，x=4（不合题意，舍去），
1 2
∴点N坐标（5，2）；
②当△OBC∽△HBN时，如图2，
= ，即 =﹣ ，
解得x=2，x=4（不合题意舍去），
1 2
∴点N坐标（2，﹣1）；
③当N（x， x2﹣ x+2）在第二象限时，
H（x，0）在x轴的负半轴上，
∴BH=4﹣x，
∵△OBC∽△HNB，
∴ ，即 = ，
得到x2﹣x﹣12=0
解得x=4（舍去）； x=﹣3，
1 2
∴N点的坐标为（﹣3，14）
综上所述，N点的坐标为（5，2）、（2，﹣1）或（﹣3，14）．
方法二：以B，N，H为顶点的三角形与△OBC相似，∴ ， ，
设N（2n，2n2﹣5n+2），H（2n，0），
①| |= ，∴| |=2，
∴2n=5，2n=﹣3，
1 2
②| |= ，∴| |= ，
∴2n=2，2n=0（舍）
1 2
综上所述：存在N（5，2），N（2，﹣1），N（﹣3，14），
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使得以点B、N、H为顶点的三角形与△OBC相似．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定
以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（3）问时需要进行分
类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．
