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期中测试题
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．如果y= +3，那么yx的算术平方根是（ ）
A．2 B．3 C．9 D．±3
2．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（ ）
A．x=1，x=6 B．x=2，x=3 C．x=1，x=﹣6 D．x=﹣1，x=6
1 2 1 2 1 2 1 2
4．用配方法解方程x2﹣ x﹣1=0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣ ）2= B．（x+ ）2= C．（x﹣ ）2=0 D．（x﹣ ）2=
5．下列线段中，能成比例的是（ ）
A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
6．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果
= ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
7．关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+3）x+k=0 的根的情况是
（ ）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
8．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，
设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=108 B．168（1﹣x）2=108
C．168（1﹣2x）=108 D．168（1﹣x2）=108
9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x 和x，且x2﹣xx=0，则a的值是
1 2 1 1 2
（ ）
A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2
10．将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在
边AC上，记为点 B′，折痕为 EF．已知AB=AC=6，BC=8，
若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF
的长度是（ ）
A． B．4 C． 或2 D．4
或二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．计算： = ．
12．已知 = ，则 = ．
13．若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，
∠AFE=50°，则∠ADC的度数为 ．
15．如图，点G为△ABC的重心，GE∥BC，BC=12，则GE= ．
16．如图所示，已知点 F的坐标为（3，0），点A，B分别是
某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点．
设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：
d=5﹣ x（0≤x≤5），则下列结论：
①AF=2；
②S 的最大值是6；
△POF
③当d= 时，OP= ；
④OA=5．
其中正确的有 （填序号）．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．（8分）计算： ﹣（ ）﹣1+ ﹣（π﹣3.14）0+|2 ﹣4|．
18．（8分）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．19．（8分）先化简，再求值：（ ﹣ ） ，其中a=17﹣12 ，
b=3+2
20．（8分）如图，△ABC三个顶点分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4），正
方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△ABC；
1 1 1
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△ABC ，使△ABC 与△ABC位似，且△ABC 与
2 2 2 2 2 2 2 2 2
△ABC的位似比为2：1．
20．（8分）已知关于x的方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0的两根为x ，x ，且满足xx
1 2 1 2
﹣3x﹣3x﹣2=0，求a的值．
1 221．（10分）如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯（图中黑点代
表景观灯），每排相邻两景观灯的间隔都是 10m，在与河岸DE的距离为16m的A处
（AD⊥DE）看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯
的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观
灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．
23．（10分）为迎接G20杭州峰会的召开，某校八年级（1）（2）班准备集体购买一种T
恤衫参加一项社会活动．了解到某商店正好有这种T恤衫的促销，当购买10件时每件
140元，购买数量每增加1件单价减少1元；当购买数量为60件（含60件）以上时，
一律每件80元．
（1）如果购买x件（10＜x＜60），每件的单价为y元，请写出y关于x的函数关系式；
（2）如果八（1）（2）班共购买了100件T恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批
购买数量多于30件且少于60件．已知购买两批T恤衫一共花了9200元，求第一批T恤
衫的购买数量．
24．（13分）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角
三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，
倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索．（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空：
三三角形角形 角的已知量
图2 ∠A=2∠B=90°
图3 ∠A=2∠B=60°
（2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记
为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提
示加以证明；
（3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为 5，6，求第三
边长． （直接写出结论即可）
25．（13分）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连
接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．
（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出
证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，
交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．参考答案：
一．选择题
1．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，求出 x、y的值，根据算术
平方根的概念解答即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得，x=2，
∴y=3，
则yx=9，
9的算术平方根是3．
故选：B．
2．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式=2，不符合题意；
B、原式为最简二次根式，符合题意；
C、原式= ，不符合题意；
D、原式= ，不符合题意，
故选：B．
3．
【分析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x﹣6）（x+1）=0，然后根据“两式相乘值
为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．
【解答】解：x2﹣5x﹣6=0
（x﹣6）（x+1）=0
x=﹣1，x=6
1 2
故选：D．
4．
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右
两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：∵x2﹣ x﹣1=0，∴x2﹣ x=1，
∴x2﹣ x+ =1+ ，
∴（x﹣ ）2= ．
故选：D．
5．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、∵3×9≠6×8，故此选项错误；
B、∵3×9≠5×6，故此选项错误；
C、∵3×9≠6×7，故此选项错误；
D、∵3×18=6×9，故此选项正确；
故选：D．
6．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出 = ，再由角平分线性质即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴ = ，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴ = ；
故选：B．
7．
【分析】先计算判别式得到△=（k+3）2﹣4×k=（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△
＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．
【分析】设每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分
率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此
即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2=108．
故选：B．9．
【分析】根据x2﹣xx=0可以求得x=0或者x=x ，所以①把x=0代入原方程可以求得
1 1 2 1 1 2 1
a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．
【解答】解：解x2﹣xx=0，得
1 1 2
x=0，或x=x，
1 1 2
①把x=0代入已知方程，得
1
a﹣1=0，
解得：a=1；
②当x=x 时，△=4﹣4（a﹣1）=0，即8﹣4a=0，
1 2
解得：a=2．
综上所述，a=1或a=2．
故选：D．
10．
【分析】根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到 = ，设BF=x，则
CF=8﹣x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案．
【解答】解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，
∴BF=B′F，
设BF=x，则CF=8﹣x，
∵当△B′FC∽△ABC，
∴ = ，
∵AB=6，BC=8，
∴ = ，
解得：x= ，
即：BF= ，
当△FB′C∽△ABC，
，
，
解得：x=4，
当△ABC∽△CB′F时，同法可求B′F=4，
故BF=4或 ，
故选：D．二．填空题
11．
【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．
【解答】解：原式=3．
故答案为：3
12．
【分析】根据比例的性质，可得a、b间的关系，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由比例的性质，得b= a．
= = = = ，
故答案为： ．
13．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018
故答案为：2018
14．
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD=2EF=12，根据勾股定理的逆定
理得到∠BDC=90°，计算即可．
【解答】解：连接BD，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD=2EF=12，
∴∠ADB=∠AFE=50°，
BD2+CD2=225，BC2=225，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=140°，
故答案为：140°．15．
【分析】首先根据G点为△ABC的重心，判断出AG：AD=2：3；然后根据平行线的性质，判
断出 = ，即可求出GE的值是多少．
【解答】解：∵点G点为△ABC的重心，
∴CD= BC= ×12=6；
∴AG：GD=2：1，
∴AG：AD=2：3，
又∵GE∥BC，
∴ = ，
∴GE= CD= =4．
故答案为：4．
16．
【分析】当P和A重合时，PF=AF，则x﹣3=5﹣ x，求得OA=5，进一步求得AF=2，即可判
断①④；当P和B重合时△POF的面积最大，此时x=0，代入d=5﹣ x，求得BF的长，
求得S 的最大值，即可判断②；把d= 代入d=5﹣ x求得点P的横坐标为3，证得
△POF
PF⊥OA，然后根据勾股定理即可求得OP的长，即可判断③．
【解答】解：当P和A重合时，PF=AF，
∴x﹣3=5﹣ x，
∴x=5，
∴OA=5，AF=OA﹣OF=5﹣3=2，故①④正确；
∵OF=3是定值，
∴当P和B重合时△POF的面积最大，
把x=0代入d=5﹣ x得d=5，则此时，BF=5，
∴OB= =4，
∴S 的最大值= OF•OB= ×3×4=6，故②正确；
△POF
当d= 时，则 =5﹣ x，解得x=3，∵F（3，0），
∴PF⊥OA，
∴OP= = = ，故③错误．
故答案为①②④．
三．解答题
17．
【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算．
【解答】解：原式=2 ﹣2+ ﹣1+4﹣2
= ．
18．
【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），
移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，
整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，
x﹣3=0或2﹣3x=0，
解得：x=3或x= ．
1 2
19．
【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为 ，由a=17﹣12 =（3﹣2
）2、b=3+2 =（ +1）2，代入计算可得．
【解答】解：原式=（ ﹣ ）•
=[ ﹣ ]•
= •
= ，
∵a=17﹣12 =32﹣2× ×（2 ）2=（3﹣2 ）2，
b=3+2 =（ ）2+2 +1=（ +1）2，
∴原式= = = = ．
20．
【分析】（1）分别作出点A、B、C向上平移6个单位得到的对应点，再顺次连接可得；
（2）根据位似变换的定义作出点A、B的对应点，再顺次连接可得．【解答】解：（1）如图所示，△ABC 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示，△ABC 即为所求．
2 2 2
21．
【分析】由根与系数的关系可用a表示出x+x 和xx 的值，利用条件可得到关于a的方程，
1 2 1 2
可求得a的值，再利用根的判别式进行取舍．
【解答】解：
∵方程x2+2（a﹣1）x+a2﹣7a﹣4=0的两根为x，x，
1 2
∴△≥0，即4（a﹣1）2﹣4（a2﹣7a﹣4）≥0，解得a≥﹣1，
由根与系数的关系可得x+x=﹣2（a﹣1），xx=a2﹣7a﹣4，
1 2 1 2
∵xx﹣3x﹣3x﹣2=0，
1 2 1 2
∴a2﹣7a﹣4﹣3×[﹣2（a﹣1）]﹣2=0，解得a=4或a=﹣3，
∵a≥﹣1，
∴a=4．
22．
【分析】根据相似三角形的性质，列出式子构建方程即可解决问题；
【解答】解：由题意：AD⊥DE，DE∥BC，DE=20m，BC=50m，AD=16m，
∴AB⊥BC，△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，
∴AB=40（m），
∴BD=AB﹣AD=40﹣16=24（m），
答：这条河的宽度为24m．
23．
【分析】（1）若购买x件（10＜x＜60），每件的单价=140﹣（购买数量﹣10），依此可
得y关于x的函数关系式；
（2）设第一批购买x件，则第二批购买（100﹣x）件，分两种情况：①当30＜x≤40时，
则60≤100﹣x＜100；②当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60；根据购买两批T恤衫一
共花了9200元列出方程求解即可．
【解答】解：（1）购买x件（10＜x＜60）时，y=140﹣（x﹣10）=150﹣x．
故y关于x的函数关系式是y=150﹣x．（2）设第一批购买x件，则第二批购买（100﹣x）件．
①当30＜x≤40时，则60≤100﹣x＜100，则x（150﹣x）+80（100﹣x）=9200，
解得x=30（舍去），x=40；
1 2
②当40＜x＜60时，则40＜100﹣x＜60，
则x（150﹣x）+（100﹣x）[150﹣（100﹣x）]=9200，
解得x=30或x=70，但40＜x＜60，所以无解；
答：第一批购买数量为40件．
24．
【分析】（1）图2的三角形，显然是等腰直角三角形，可设斜边c为2，那么a=b= ，
即可求得 、 的值，图3的解法同上．
（2）由（1）的结论，可猜测a、b、c的等量关系应该是 ，可通过构造相似三角
形来证明；延长CA至D，是得AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即
可证得△CBD∽△CAB，由此得到所求的结论．
（3）将已知的边长代入（2）的结论进行计算即可．
【解答】解：（1）
三角形 角的已知量
图2 ∠A=2∠B=90°
图3 ∠A=2∠B=60°
；（2分）
（2）猜测a，b，c的关系是 延长CA至D，使AD=AB（如图4）；
∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠CBA，
∴∠D=∠CBA，
又∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴ 即 ．
（3）①当a=5，b=6时，
由（2）得： ，解得c=﹣ （不合题意舍去）；
②当a=6，b=5时，
，解得c= ；
③当a=5，c=6时，
，解得b= ﹣3（负值舍去）；④当a=6，c=5时，
，解得b=4（负值舍去）；
⑤当b=5，c=6时，
，解得a= （负值舍去）；
⑥当b=6，c=5时，
，解得a= （负值舍去）．
综上可知：第三边的长为 或 或 或4或 ．
25．
【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出
∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判
断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．
（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后
根据 EH⊥BF，∠BCE=90°，可得 C、H 两点都在以 BE 为直径的圆上，判断出
∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．
（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，
CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出
DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；
最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．
【解答】解：（1）如图1，连接BE， ，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵点E是DC的中点，DE=DF，
∴点F是AD的中点，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
故答案为：CH=AB．
（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．
如图2，连接BE， ，
在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，
∵AD=CD，DE=DF，
∴AF=CE，
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE，
∴∠1=∠2，
∵EH⊥BF，∠BCE=90°，
∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，
∴∠4=∠HBC，
∴CH=BC，
又∵AB=BC，
∴CH=AB．
（3）如图3，，
∵CK≤AC+AK，
∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，
∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，
∴∠KDF=∠HDE，
∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，
∠DFK+∠DFH=180°，
∴∠DFK=∠DEH，
在△DFK和△DEH中，
∴△DFK≌△DEH，
∴DK=DH，
在△DAK和△DCH中，
∴△DAK≌△DCH，
∴AK=CH
又∵CH=AB，
∴AK=CH=AB，
∵AB=3，
∴AK=3，AC=3 ，
∴CK=AC+AK=AC+AB= ，
即线段CK长的最大值是 ．
