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第22章 单元测试
一、选择题（共10小题，每小题3分 ，共30分 ）
1.下列方程中，是一元二次方程共有（ ）
x 1
①x2- +3=0 ②2x2-3xy+4=0 ③x2- =4 ④x2=1 ⑤3x2+x=20．
3 x
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.一元二次方程x2-1=0的根为（ ）
A.x=1 B.x=-1
C.x =1，x =-1 D.x=2
1 2
3.把方程(2x-1)(3x+2)=x2+2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（ ）
A.5，-4 B.5，1 C.5，4 D.1，-4
4.方程x2=x的两根分别为（ ）
A.x =-1，x =0 B.x =1，x =0
1 2 1 2
C.x =-l，x =1 D.x =1，x =1
1 2 1 2
5.已知2是关于x的方程：x2-x+a=0的一个解，则2a-1的值是（ ）
A.5 B.-5 C.3 D.-3
6.用配方法解方程x2-2x-6=0时，原方程应变形为（ ）
A.(x+1) 2=7 B.(x-1) 2=7
C.(x+2) 2=10 D.(x-2) 2=10
7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的
实数根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2-4ac=(2am+b) 2成立，其中正确的
只有（ ）
A.①②④ B.②③ C.③④ D.①④
8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，则m可能取的值为（ ）
A.m>0 B.m>4 C.-4，-5 D.4，5
9.设a、b是两个整数，若定义一种运算“ ”，a b=a2+ab，则方程x (x-2)=12
△ △ △
的实数根是（ ）
A.x =-2，x =3 B.x =2，x =-3
1 2 1 2C.x =-1，x =6 D.x =1，x =-6
1 2 1 2
10.关于x的一元二次方程x2-mx+5(m-5)=0的两个正实数根分别为x ，x ，且
1 2
2x +x =7，则m的值是（ ）
1 2
A.2 B.6 C.2或6 D.7
二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分 ）
11.用配方法解方程时，把方程x2-8x+3=0化成(x+m) 2=n的形式，则m-n=________．
12.某公司一月份的产值为70万元，二、三月份的平均增长率都为x，三月份的产值比二月
份产值多10万元，则可列方程为________．
13.方程√2x2-√3x-1=0的解为________．
14.红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是
________．
15.若两个连续偶数的积为288，则这两个连续偶数的和为________．
√α √β
16.方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则 + 的值为________．
β α
17.已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x-6=0的一个根是2，求方程的另一根x =
1
________和k=________．
18.设a、b是方程x2+x-2014=0的两个实数根，则(a+1) 2+b的值为________．
19.方程√3x-2=x的解是________．
20.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，
使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为
78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程________．
三、解答题（共6小题，每小题10分 ，共60分 ）
21.解方程：
①(2x-1) 2=9（直接开平方法）②x2+3x-4=0（用配方法）
③x2-2x-8=0（用因式分解法）
④(x+4) 2=5(x+4)
⑤(x+1)(x+2)=2x+4
⑥x2+2x-9999=0．
22.已知关于x的方程x2-(2m+1)x-(2m-1)=0的一个根为1，求m的值．
2014
23.已知m是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式2m2-4027m-2+
的值．
m2+1
24.把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)5x2=3x；
(2)(√2-1)x+x2-3=0；(3)(7x-1) 2-3=0；
x x
(4)( -1)( +1)=0；
2 2
(5)(6m-5)(2m+1)=m2．
25.设x 、x 是关于x的方程x2-4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得
1 2
x ⋅x >x +x 成立，请说明理由．
1 2 1 2
26.已知：关于x的方程x2+(2m+4)x+m2+5m没有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若关于x的一元二次方程mx2+(n-2)x+m-3=0有实数根，求证：该方程两根的符号
相同；
(3)设(2)中方程的两根分别为α、β，若α:β=1:2，且n为整数，求m的最小整数值．参考答案：
1.B
2.C
3.A
4.B
5.B
6.B
7.D
8.C
9.A
10.B
11.-17
12.70(1+x) 2=70(1+x)+10
√6+√3√2+8 √6-√3√2+8
13.x = ，x =
1 4 2 4
14.√2-1
15.34或-34
16.3
17.-3-2
18.2014
19.x =1，x =2
1 2
20.(30-2x)(20-x)=6×78
21.解：①(2x-1) 2=9，
开方得：2x-1=3或2x-1=-3，
解得：x =2，x =-1；
1 2
②x2+3x-4=0，
方程变形得：x2+3x=4，
9 25 3 25
配方得：x2+3x+ = ，即(x+ ) 2= ，
4 4 2 4
3 5
开方得：x+ =± ，
2 2
解得：x =1，x =-4；
1 2
③x2-2x-8=0，
分解因式得：(x-4)(x+2)=0，
解得：x =4，x =-2；
1 2
④方程整理得：(x+4) 2-5(x+4)=0，
分解因式得：(x+4)(x+4-5)=0，解得：x =-4，x =1；
1 2
⑤方程整理得：(x+1)(x+2)-2(x+2)=0，
分解因式得：(x+2)(x+1-2)=0，
解得：x =-2，x =1；
1 2
⑥方程移项得：x2+2x=9999，
配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1) 2=10000，
开方得：x+1=100或x+1=-100，
解得：x =99，x =-101．
1 2
22.解：把x=1代入x2-(2m+1)x-(2m-1)=0得1-2m-1-2m+1=0，
1
解得m= ．
4
23.解：∵m是方程x2-2014x+1=0的一个根，
∴m2-2014m+1=0，
∴m2=2014m-1，m2+1=2014m，
2014
∴原式=2(2014m-1)-4027m-2+
2014m
1 m2+1 2014m
=m+ -4= -4= -4=2014-4
m m m
=2010．
24.解：(1)方程整理得：5x2-3x=0，
二次项系数为5，一次项系数为-3，常数项为0；
(2)x2+(√2-1)x-3=0，
二次项系数为1，一次项系数为√2-1，常数项为-3；
(3)方程整理得：49x2-14x-2=0，
二次项系数为49，一次项为-14，常数项为-2；
1
(4)方程整理得： x2-1=0，
4
1
二次项系数为 ，一次项系数为0，常数项为-1；
4
(5)方程整理得：11m2-4m-5=0，
二次项系数为11，一次项系数为-4，常数项为-5．
25.解：∵方程有实数根，∴b2-4ac≥0，
∴(-4) 2-4(k+1)≥0，即k≤3．
4±√(-4) 2-4(k+1)
∵x= =2±√3-k，
2
∴x +x =(2+√3-k)+(2-√3-k)=4，
1 2
x ⋅x =(2+√3-k)⋅(2-√3-k)=k+1若x ⋅x >x +x ，即k+1>4，∴k>3．
1 2 1 2 1 2而k≤3，因此，不存在实数k，使得x ⋅x >x +x 成立．
1 2 1 2
(1) x x2+(2m+4)x+m2+5m
26.解： ∵关于 的方程 没有实数根，
=(2m+4) 2-4×1×(m2+5m)<0
∴△ ，
∴m>4，
∴m的取值范围是m>4；
(2) mx2+(n-2)x+m-3=0 m≠0
由于方程 有两个实数根可知 ，
m-3
m>4 >0
当 时， m ，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．
n-2
(3) m≠0 α+β=-
m
由已知得： ， ，α·β= ．
∵α:β=1:2，
n-2 m-3
3α=- 2a2=
∴ m ， m ．
(n-2) 2 m-3 9
= (n-2) 2= m(m-3)
9m2 2m 2
，即 ．
∵m>4，且n为整数，
∴m为整数；
9
m=6 (n-2) 2= ×6×3=81
当 时， 2 ．
∴m的最小值为6．
