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期中测试题
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．设a是9的平方根，B=（ ）2，则a与B的关系是（ ）
A．a=±B B．a=B
C．a=﹣B D．以上结论都不对
2．下面的计算不正确的是（ ）
A．5a3﹣a3=4a3 B．2m•3n=6m+n C．2m•2n=2m+n D．﹣a2•（﹣a3）=a5
3．π、 ，﹣ ， ，3.1416，0. 中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，
∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF
的是（ ）
A．AB=DE B．DF∥AC
C．∠E=∠ABC D．AB∥DE
5．等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（ ）
A．20 B．25 C．20或25 D．15
6．如图，数轴A、B上两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab=0 C． ﹣ ＜0 D． + ＞0
7．下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ）
A．﹣a2﹣4b2 B．﹣1+25a2 C． ﹣9a2 D．﹣a4+1
8．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角
的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点
到直线的距离．其中是真命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
9．若 =2﹣x，则x的取值范围是 ．
10．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ．
11．比较大小： ．（填“＞”、“＜”或
“=”）
12．如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是
（填上你认为适当的一个条件即可）．
13．计算：已知：a+b=3，ab=1，则a2+b2= ．14．计算：（ ）2017×（﹣4）1009= ．
15．如图，点A，B，C在同一直线上，在这
条直线同侧作等边△ABD 和等边△BCE，
连接 AE 和 CD，交点为 M，AE 交 BD 于点
P，CD 交 BE 于点 Q，连接 PQ、BM，有 4
个结论：
①△ABE≌△DBC，
②△DQB≌△ABP，
③∠EAC=30°，
④∠AMC=120°，请将所有正确结论的序号填在横线上 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）分解因式：
（1）5mx2﹣10mxy+5my2
（2）4（a﹣b）2﹣（a+b）2．
17．（10分）计算：
（1）2x2y•（﹣3xy）÷（xy）2
（2） ﹣ +
（3）（x+3）（x+4）﹣（x﹣1）2．
18．（7分）观察以下等式：
第1个等式： + + × =1，
第2个等式： + + × =1，
第3个等式： + + × =1，
第4个等式： + + × =1，
第5个等式： + + × =1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．19．（9分）若我们规定三角“ ”表示为：abc；方框“ ”表示为：
（xm+yn）．例如： =1×19×3÷（24+31）=3．请根据这个规定解
答下列问题：
（1）计算： = ；
（2）代数式 为完全平方式，则k= ；
（3）解方程： =6x2+7．
20．（10 分）如图，已知△ABC 中，∠BAC=90°，
AB=AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，
得到△ACD′．
（1）当∠DAE=45°时，求证：DE=D′E；
（2）在（1）得条件下，猜想：BD2、DE2、CE2有怎样
的数量关系？请写出，并说明理由．21．（10分）分解因式：（a2+2a）2﹣7（a2+2a）﹣8．
22．（10分）观察下列一组等式：
（a+1）（a2﹣a+1）=a3+1
（a+2）（a2﹣2a+4）=a3+8
（a+3）（a2﹣3a+9）=a3+27
（1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．
①（x﹣3）（x2+3x+9）= ；
②（2x+1）（ ）=8x3+1；
③（ ）（x2+xy+y2）=x3﹣y3．
（2）计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．
23．（11分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，
分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个
等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰
三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）参考答案：
一．选择题
1．
【分析】由于正数的平方根有两个，且互为相反数，所以在此题中有 a两种情况，要考虑
全面．
【解答】解：∵a是9的平方根，
∴a=±3，
又B=（ ）2=3，
∴a=±b．
故选：A．
2．
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，对各选项
分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、5a3﹣a3=（5﹣1）a3=4a3，正确；
B、2m与3n与底数不相同，不能进行运算，故本选项错误；
C、2m•2n=2m+n，正确；
D、﹣a2•（﹣a3）=a2+3=a5，正确．
故选：B．
3．
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开
方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．
【解答】解：在π、 ，﹣ ， ，3.1416，0. 中，
无理数是：π， 共2个．
故选：B．
4．
【分析】由EB=CF，可得出EF=BC，又有∠A=∠D，本题具备了一组边、一组角对应相等，
为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成
SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．
【解答】解：A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确．
B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．
C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．
D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误．
故选：A．
5．
【分析】此题先要分类讨论，已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于10，先根据三角
形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．
【解答】解：当5为腰，10为底时，∵5+5=10，
∴不能构成三角形；
当腰为10时，
∵5+10＞10，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为：10+10+5=25．
故选：B．
6．
【分析】本题要先观察a，b在数轴上的位置，得b＜﹣1＜0＜a＜1，然后对四个选项逐一
分析．
【解答】解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项A错误；
B、∵b＜0＜a，∴ab＜0，故选项B错误；
C、∵b＜0＜a，∴ ﹣ ＞0，故选项C错误；
D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴ + ＞0，故选项D正确．
故选：D．
7．
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：不能用平方差公式分解的是﹣a2﹣4b2．
故选：A．
8．
【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另
一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进
行判断．
【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；
②两直线平行，同位角相等；②假命题；
③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；
真命题的个数为0，
故选：A．
二．填空题
9．
【分析】根据已知得出x﹣2≤0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵ =2﹣x，
∴x﹣2≤0，
x≤2
则x的取值范围是x≤2
故答案为：x≤2．10．
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等
应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
11．
【分析】通分后做差，借助于平方差公式即可求出9﹣4 ＞0，进而即可得出 ＞ ．
【解答】解：∵ = ，
∴ ﹣ = ．
∵（9﹣4 ）×（9+4 ）=81﹣80=1＞0，9+4 ＞0，
∴9﹣4 ＞0，
∴ ﹣ ＞0，即 ＞ ．
故答案为：＞．
12．
【分析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又AE公共，所以根据全等三角形的判定方法容易
寻找添加条件．
【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，
又 AE公共，
∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；
或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；
或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．
13．
【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．
【解答】解：∵a+b=3，ab=1，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2=9﹣2=7．
故答案为：7
14．
【分析】本题既可以运用负整数指数幂的公式，也可以运用幂的乘方法则即可求出答案．
【解答】解：（ ）2017×（﹣4）1009，
=2﹣2017×（﹣22×1009），
=﹣2﹣2017+2018，
=﹣2，
故答案为：﹣2．15．
【分析】根据题意、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质可以判断各小题是否成
立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵等边△ABD和等边△BCE，
∴AB=BD，BE=BC，∠ABE=∠DBC=120°，∠DBQ=60°，
∴在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确，
∴∠EAB=∠CDB，
即∠BAP=∠BDQ，
在△DQB和△ABP中，
，
∴△DQB≌△ABP（ASA），故②正确，
题目中没有说明AP平分∠DAB，故无法推出∠EAC=30°，故③错误，
∵∠EAB=∠CDB，∠AMC+∠MAC+∠MCA=180°，
∴∠MAC+∠MCA=∠CDB+∠DCB=∠DBA=60°，
∴∠AMC=120°，故④正确，
故答案为：①②④．
三．解答题
16．
【分析】（1）首先提公因式5m，再利用完全平方公式进行分解即可；
（2）直接利用平方差进行分解即可．
【解答】解：（1）原式=5m（x2﹣2xy+y2）=5m（x﹣y）2．
（2）原式=[2（a﹣b）]2﹣（a+b）2=[2（a﹣b）+（a+b）][2（a﹣b）﹣（a+b）]=（3a﹣
b）（a﹣3b）．
17．
【分析】（1）原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得
到结果；
（2）原式利用平方根、立方根定义计算即可得到结果；（3）原式利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=2x2y•（﹣3xy）÷（x2y2）=﹣6x；
（2）原式=5﹣2+2=5；
（3）原式=x2+7x+12﹣x2+2x﹣1=9x+11．
18．
【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次
加1，每个分子分别是1和n﹣1
【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5
故应填：
（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1
故应填：
证明： =
∴等式成立
19．
【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；
（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
=[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
=﹣6÷4
=﹣ ．
故答案为：﹣ ；
（2）
=[x2+（3y）2]+xk•2y
=x2+9y2+2kxy，
∵代数式 为完全平方式，
∴2k=±6，解得k=±3．
故答案为：±3；
（3） =6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）]﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]=6x2+7，
解得x=﹣4．
20．
【分析】（1）利用旋转的性质得 AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，再计算出
∠EAD′=∠DAE=45°，则利用“SAS”可判断△AED≌△AED′，所以DE=D′E；
（2）由（1）知△AED≌△AED′得到ED=ED′，∠B=∠ACD′，再根据等腰直角三角形的性
质得∠B=∠ACB=45°，则根据旋转的性质得 BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，所以
∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=90°，于是根据勾股定理得 CE2+D′C2=D′E2，所以
BD2+CE2=DE2．
【解答】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°
∴∠EAD′=∠DAD′﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，
∴∠EAD′=∠DAE，
在△AED与△AED′中
，
∴△AED≌△AED′，
∴DE=D′E；
（2）解：BD2+CE2=DE2．理由如下：
由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD′
∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，
∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°，
在Rt△CD′E中，CE2+D′C2=D′E2，
∴BD2+CE2=DE2．
21．
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式=（a2+2a﹣8）（a2+2a+1）=（a+4）（a﹣2）（a+1）2．
22．
【分析】（1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果；
（2）将第一个因式利用平方差公式分解，结合后，利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）①（x﹣3）（x2+3x+9）=x3﹣27；
②（2x+1）（4x2﹣2x+1）=8x3+1；
③（x﹣y）（x2+xy+y2）=x3﹣y3；
故答案为：①x3﹣27；②8x3+1；③x3﹣y3；
（2）原式=[（a﹣b）（a2+ab+b2）][（a+b）（a2﹣ab+b2）]=（a3﹣b3）（a3+b3）=a6﹣b6．
23．
【分析】（1）先以底边为腰作顶角为45°的等腰三角形，然后再作腰的垂线得到含顶角
为90°的等腰三角形和顶角为135°的等腰三角形；
（2）先过腰上的高得到顶角为 90°的等腰三角形，再作此高的垂直平分线得到顶角为
135°的等腰三角形和顶角为45°的等腰三角形．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
