期末测试题
一、选择题（每小题2分，共24分）
1.已知 , 则 的值为（ ）
A. B. C. D.
2.一个正偶数的算术平方根是a 那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根
，
是（ ）
Ａ.a+2 B. a2+2 Ｃ．√a2+2 Ｄ．±√a+2
3
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A= ,BC=6,则AB＝( )
5
A.4 B.6 C.8 D.10
4.若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（ ）
A.a＜1 B.a＞1 C.a≤1 D.a≥1
5.如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影
部分构成轴对称图形的概率是（ ）
第第第第5555题题题题图图图图
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直
角三角形的斜边长是（ ）
A. B.3 C.6 D.9
7.如图，在△ 中， ， （ ）．在△
内依次作∠ =∠ ，∠ ∠ ，∠ ∠
，则 等于（ ）
A. B. C. D.
8.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40
个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是
（ ）
A.24 B.18 C.16 D.6
9.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船
沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所
在位置B处与灯塔P之间的距离为( )
第9题图
A.60海里 B.45海里 C.20 √3 海里 D.30 √3 海里
10.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90° BC=3 AC=4 AB 的垂直平分线DE
， ， ，
交AB于点D，交BC的延长线于点E，则CE的长为（ ）
3 7 25
A. B. C. D.2
2 6 6
A
11.周末，身
高都为 1.6 D
m 的小芳、
小丽来到溪
B E
C
江公园，准
第10题图
备用她们所
学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在
处测得她看塔顶的仰角 为30°．她们又测出 两点的距离为30 m．假设她们的眼
B β
睛离头顶都为10 cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：
≈1.414， ≈1.732）（ ）
A.36.21 m B.37.71 m C.40.98 m D.42.48 m
12.如图，菱形 的周长为 ，DE AB，垂 D
3
sin A
足为E， 5，则下列结论正确的有（ ）
A C
E
B
① ；② ；③菱形面积为 ； 第12题图
④ .
1 2 3 4
Ａ. 个 Ｂ. 个 Ｃ. 个 Ｄ. 个二、填空题（每小题3分，共18分）
13.(2016·江苏南京中考)设x ,x 是方程x2-4x+m=0 的两个根，且x +x -x x =1,则
1 2 1 2 1 2
x +x = ,m= .
1 2
14．若一个一元二次方程的两个根分别是 的两条直角边长， ，请写出
一个符合题意的一元二次方程 .
15.有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同
外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对
称图案的卡片的概率是________．
x y z
= = =k
16.若
y+z z+x y+x
,则 .
4
17. 如图，在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cos B= ，则AC=________.
5
B时 A时
第18题图
18.如图，小明在A 时测得某树的影长为3米，B 时又测得该树的影长为12米，若两次
日照的光线互相垂直，则树的高度为_______米.
三、解答题（共78分）
19.（8分）已知 ，其中 是实数，将式子 +
化简并求值．
20.（8分）计算下列各题：
( 1) −1
−
（1） ；（2） 2
．21. （10分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯
的年销售量2010年为10万只，预计2012年将达到14.4万只．求该地区2010年到
2012年高效节能灯年销售量的平均增长率.
22.（10分）已知线段 ， 为 的中点， 为 上一点，连接 交于
点．
（1）如图①，当 且 为 中点时，求 的值；
（2）如图②，当 ， = 时，求tan∠ .
A A
D
P
D
P
B O
B
C
O
C
②
①
第22题图
23.（10分）(2016·浙江杭州中考)把一个足球垂直于水平地面向上踢，时间为t(秒)时该
足球距离地面的高度h(米)适用公式h=20t-5t2(0≤t≤4).
(1)当t=3时，求足球距离地面的高度；
(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t的值；
(3)若存在实数 和 ,当 或 时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m的取值
t t (t ≠t ) t=t t
1 2 1 2 1 2
范围.24.（10分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树
的高度，设计的方案及测量数据如下：
(1)在大树前的平地上选择一点 ，测得由点 看大树顶端 的仰角为35°；
(2)在点A和大树之间选择一点 （ 在同一条直线上），测得由点 看大树顶端
的仰角恰好为45°；
(3)量出 两点间的距离为 .
请你根据以上数据求出大树 的高度.(结果保留3个有效数字)
25.（10分）（2014·北京中考）阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如下图①，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，
∠CAD=30°,AD=2，BD=2DC，求AC的长.
① ②第25题图
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,通过构造△ACE，经过推理和计算
能够使问题得到解决（如上图②）.
请回答：∠ACE的度数为____,AC的长为____.
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如下图③，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点
E，AE=2，BE=2ED，求BC的长.
③
第25题图
26.(12分)(2016·安徽中考)一袋中装有形状、大小都相同的四个小球，每个小球上各标
有一个数字，分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的
个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数
的十位数.
(1)写出按上述规定得到的所有可能的两位数；
(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率.
参考答案：
1.A 解析：由题意,知 ， ，所以 ， ，所以 .
2.C 解析：一个正偶数的算术平方根是a，则这个正偶数是a2 与这个正偶数相邻的下
，一个正偶数是 ，算术平方根是 .
a2+2 √a2+2
BC 3
3. D 解析：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= = .
AB 5
∵ BC=6，∴ AB=10，故选D.
第3题图
点拨：在 Rt△ABC中，∠C=90°，则三角形的边角关系式为：①角之间的关系：
BC
∠A+∠B=90°；②边之间的关系：AC2+BC2=AB2；③边角之间的关系：sin A= ，
AB
AC BC
cos A= ，tan A= .熟记直角三角形的边角关系是解决问题的关键.
AB AC
4.B 解析：由题意，得 ，解得
a>1
.
5. C 解析：解决此题可采取逐个尝试的办法，如将①涂黑后阴影部分不是轴对称图形，
将②涂黑后阴影部分是轴对称图形，…，共有5种可能的结果，其中将②④⑤分别涂黑后
3
阴影部分是轴对称图形，共有3种情况，所以概率是 .
5
点拨：此题是一道考查概率与轴对称结合的题目，主要考查对轴对称图形概念的理解以及
简单的概率的计算，解决此题的关键是正确理解轴对称图形的概念.
6.B 解析：方法1：∵ ，
∴ x=
-b±√b2-4ac
=
8±2√2
，∴ x2+x2=
(8+2√2) 2
+
(8-2√2) 2
=9 ∴ 这个
2a 4 1 2 4 4 ，
直角三角形的斜边长是3，故选B.
方法2：设 和 是方程 的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可
{x
+
x
=
4
¿¿¿
¿
1 2
，
得： ∴ ，∴ 这个直角三
角形的斜边长是3，故选B.
7.C
8.C 解析：∵ 摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45% ，∴ 摸到白色球的频率
为 1-15%-45%=40% ，故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16( )．
个
9. D 解析：根据题意，得∠APB=180°-60°-30°=90°，∠A=60°，AP=30，在
Rt△APB中，
BP
tan A= ，BP=30×tan 60°=30 √3(海里)，所以D项正确.
AP
10. B 解析：在Rt△ABC 中，∠ACB=90° BC=3 AC=4 由勾股定理得
， ， ，
AB=5.
5
因 为 DE AB 所 以 BD= . 又 因 为
垂直平分 ， 2ACB= EDB=90° B= B 所以
∠ ∠ ，∠ ∠ ，
BE BD BD•AB 25
△ ABC∽ △ EBD 所 以 = ， 所 以 BE= = 所 以
， AB BC BC 6，
25 7
CE=BE-BC= -3= .
6 6
11.D 解析：如图，AB=EF=30 ，CD=1.5 ，∠GDE= ，∠DEG= ，∠
DFG= DG=x DGF DFG
．设 ，在Rt△ 中，tan∠ ＝ ，即 ＝
DF= DGE GDE= DEG=
，∴ ．在Rt△ 中，∵ ∠ 90°，∠ 45°，
DE=DG=x x-x=30 x= ≈40.98
∴ m．根据题意，得 ，解得 ．
∴ CG=40.98+1.5=42.48(m)．
12.C 解析：由菱形 的周长为 ，知 .因为
3
sin A
5，所以 .再由勾股定理可得 ，所以 ,所以菱
形的面积 .
13. 4 3 解析：根据一元二次方程根与系数的关系,得x +x = 4,x x =m.
1 2 1 2
∵ x +x -x x =1，∴ 4-m=1，∴ m=3.
1 2 1 2
b c
点拨：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x ，x ，那么x +x =- ,x x = .
1 2 1 2 a 1 2 a
14. （答案不唯一）
15. 解析：在圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形中，只有等腰三角形不是中心对
称图形，所以抽到有中心对称图案的卡片的概率是 .1 x y z x+y+z 1
−1 = = = =
16.
2或
解析： 当
x+ y+z≠0
时，
y+z z+x y+x 2(x+y+z) 2
；
当x+ y+z=0 时， x=-(y+z) y=-(z+x) z=-(x+ y)
， ， ，
x −(y+z)
k= = =−1
所以
y+z y+z
.
4 3 3
17.5 解析：在Rt△ABC中，∵ cos B= ，∴ sin B= ，tan B= ．
5 5 4
3 20
在Rt△ABD中，∵ AD=4，sin B= ，∴ AB= ．
5 3
3 20 20 3
在Rt△ABC中，∵ tan B= ，AB= ∴ AC= × =5．
4 3， 3 4
18.6 解析：如图，因为 CDF= FDE=90o，
∠ ∠
，
B时 A时
所以 DFE= DCF，
所以 ∠ △DFE∽ ∠ △DCF， F
DF DE
所以 = ，
DC DF
所以 DF2=DE•DC=36
所以DF=6 . ， C D E
米
第18题答图
19. 解 ： 原 式 = +
=
+ =
=
.
∵ ，∴ 且 ，
解得 , ∴ , ∴
=4x+2=22.
原式
20.解：（1） =
= - .
( 1) −1 √3
− =2√3−3× +1−2
（2） √12 −3tan30° + 2 3 =√3−1.
21.解：设该地区2010年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率为x.
依据题意，列出方程 化简，得
10(1+x) 2=14.4 (1+x) 2=1.44
， ，解这个方程，得1+x=±1.2 ∴ x=0.2 -2.2.
， 或
∵ 该地区2010年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数,
∴ x=-2.2舍去，∴ x=0.2.
答：该地区2010年到2012年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%.
22.解：（1）过点 作 ∥ 交 于点 ，则△ ∽△ .
又 为 的中点，所以 ,所以 .
AP AD
= =2
PC CE
再由 ∥ 得△ ∽△ ，所以 .
（2）过点 作 ∥ 交 于点 ，设 ，则 ， .
由△ ∽△ ，得 .
PD AD 2
= =
再由△ ∽△ ，得 PE CE 3 .
PD 2
=
由勾股定理可知 ， ，则 DE−PD 3 ，可得 ，
CO 1
=
则∠ ∠ ∠ ，所以tan∠ tan∠ = AO 2.
23. 分析：(1)求当t=3时足球距离地面的高度，只需将t＝3代入后求出h的值；(2)求
h=10时，t的值，只需将h＝10代入，转化为关于t的一元二次方程，求解即可；(3)题意
告诉我们t 和t 是方程20t 5t2=m的两个不相等的实数根，可得b2－4ac>0，得到关于m
1 2
－
的不等式，解这个不等式即可.
解：(1)当t=3时，h=20t 5t2=20×3－5×9=15(米)，
－
所以，此时足球距离地面的高度为15米.
(2)当h=10时，20t 5t2=10，
－
即t2－4t+2=0，解得t=2+ √2或2－ √2.
所以，经过（2+ √2）秒或（2－ √2）秒时，足球距离地面的高度为10米.
(3)因为m≥0，由题意得t 和t 是方程20t 5t2=m的两个不相等的实数根，
1 2
－
所以b2 4ac=202－20m>0，
－
所以m<20.
所以m的取值范围是0≤m<20.
点拨：已知自变量的值求函数值，其实质是求代数式的值，只需将自变量代入求函数的值
根据函数值求自变量的值，其实质是解一元二次方程，并根据方程的特征选择合适的方法
求解；求字母参数的取值范围，不要忽视隐含条件，本题m是高度，它是一个非负数，这
点容易被忽视.
24.解：∵ ∠CDB=90°, ∠CBD=45°，∴ CD=BD.
∵ AB=4.5 m ，∴ AD=BD+4.5.
设树高 为 ，则BD=x m， .x
CAD= CAD= =
∵ ∠ 35°，∴ tan∠ tan 35° x+4.5.
整理，得 ≈10.5.
故大树CD的高度约为10.5 m.
25.解：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.
过点D作DF⊥AC于点F，如下图.
第25题答图
∵ ∠BAC=90°，∴ AB∥DF，∴ △ABE∽△FDE.
∴ ∴ EF=1,AB=2DF.
∵ 在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°,
∴ ∠ACD=75°，∴ AC=AD.∵ DF⊥AC,∴ ∠AFD=90°.
在△AFD中，AF=2+1=3,
∴ DF=AFtan 30°=
26. 分析：(1)用列表法或画树状图法分析出所有可能出现的情况，得到所有的两位数；
(2)先判断出算术平方根大于4且小于7的数应大于16且小于49，再确定(1)中在这个范围
内的两位数的个数，运用概率公式求解.
解：(1)用列表法分析所有可能的结果：
第一次摸球 1 4 7 8
结果
第二次摸球
1 11 14 17 18
4 41 44 47 48
7 71 74 77 78
8 81 84 87 88
所得的两位数为：11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88,共16个数.…6
分
(2)算术平方根大于4且小于7的共6个，分别为17,18,41,44,47,48，
6 3
则所求概率P= = .
16 8
方法：解决概率的问题，通常用列表法或画树状图法，它们可以不重复不遗漏地列出所有
可能的结果．列表法与画树状图法的区别：列表法一般适合于两步完成的事件，画树状图
法一般适合两步或两步以上完成的事件.根据画树状图或列表来得出事件有n种等可能的结
m
果，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率可表示为P(A)= ．另外用列表法
n
或画树状图法分析所有可能的结果时要注意放回与不放回的区别.
