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河南专用华东师大九年级数学(下册) ．如图 P为矩形ABCD的外接圆 O上的动点 连结PBPD
１５ , ☉ , 、 、
第 章综合训练 POAB AD 当PO平分 BPD 时 PBA的度数
２７ , ＝１, ＝ ３, ∠ ,∠
为 或 ．
(考查范围:第 章 圆) １５° １０５°
２７ 三、解答题 本大题共 个小题 共 分
( ８ , ７５ )
满分: 分 训练时间: 分钟 第 题图 第 题图 第 题图
１２０ １００ ８ ９ １０ ． 分 如图 OM 是 O的半径 过点M 作 O的切线AB 且
１６(９ ) , ☉ , ☉ ,
一、选择题 每小题 分 共 分 下列各小题均有四个选项 其 ．如图 O为 ABC的内切圆 切点分别为M N Q 已
( ３ , ３０ ) , ９ ,☉ Rt△ , 、 、 , MA MBOAOB分别交 O于点CD．求证 AC BD．
＝ , 、 ☉ 、 : ＝
中只有一个是正确的．
知 ∠ ABC ＝９０°, CM ＝２, AM ＝３, 则 ☉ O的半径为 (C ) 证明 :∵ OM 是 ☉ O的半径 , AB是 ☉ O的切
．下列说法中 正确的是
１ , (B ) 线 OM AB．
过圆心的直线是圆的直径 １ ３ ,∴ ⊥
A． A． B． C．１ D．２ MA MB
２ ２ ∵ ＝ ,
直径是圆中最长的弦
B． ．如图 O是等边三角形ABC的外接圆 D 是A︵C上一动 OM 垂直平分AB．OA OB．
１０ ,☉ , ∴ ∴ ＝
相等长度的两条弧是等弧
C． 点 不与点A C 重合 下列结论 ADB BDC OC OD OA OC OB OD 即AC BD．
顶点在圆上的角是圆周角 ( 、 ), :①∠ ＝∠ ; ∵ ＝ ,∴ － ＝ － , ＝
D． AD CD 当BD 最长时 BD CD AD CD
．已知 O的直径是 点O到直线l的距离为 则直线l与 ② ＝ ;③ , ＝２ ;④ ＋ ＝
２ ☉ ５, ３,
BD．其中一定正确的有
O的位置关系是 (C )
☉ (A ) ． 分 如图 BD 是 O的直径 点AC在 O上 AB AD
个 个 个 个 １７(９ ) , ☉ , 、 ☉ , ＝ ,
相离 相切 相交 无法判断
A． B． C． D． A．１ B．２ C．３ D．４ 连结AC交BD于点E．若 COD 求 AEB的度数．
二、填空题 每小题 分 共 分 ∠ ＝１３０°, ∠
３
．已知扇形的圆心角为
６０°,
半径为
３,
则弧长为
(D ) ( ３ , １５ ) 解 BD是 O的直径 BAD ．
．如图 已知点A在 O内 点B在 O上 点C在 O外．若 :∵ ☉ ,∴∠ ＝９０°
A．４π B．３π C．２π D．π １１ , ☉ , ☉ , ☉ AB AD B D ．
∵ ＝ ,∴∠ ＝∠ ＝４５°
．若一个圆内接正多边形的中心角是 则这个多边形是 OA OC 则OB的长可能为 答案不唯一 ．写
４ ４０°, ＝３, ＝５, ４( ) (
DAC １ COD １
一个即可 ∵∠ ＝ ∠ ＝ ×１３０°＝６５°,
(D )
) ２ ２
正六边形 正七边形 正八边形 正九边形
AEB DAC D ．
A． B． C． D． ∴∠ ＝∠ ＋∠ ＝６５°＋４５°＝１１０°
．如图 已知四边形ABCD 是 O的内接四边形 BOD
５ , ☉ ,∠ ＝
则 BCD的度数是
８０°, ∠ (D )
． 分 如图 正方形ABCD 是半径为 的 O的内接四边形
A．８０° B．１００° C．１２０° D．１４０° １８(９ ) , ６ ☉ ,
第 题图 第 题图 第 题图
１１ １２ １３ 求正方形ABCD的边长和边心距．
１２ ．如图 , 在 ☉ O中 , AC ＝ BD , 若 ∠ AOC ＝１２０°, 则 ∠ BOD ＝ 解 : 如图 , 过点O作OE ⊥ BC , 垂足为E．
． BEO BE CE．
１２０ ° ∴∠ ＝９０°, ＝
．如图 圆锥形烟囱帽的底面圆半径为 侧面展开图为 正方形ABCD为 O的内接四边形
第 题图 第 题图 第 题图 １３ , １２cm, ∵ ☉ ,
５ ６ ７ 半圆 则它的母线长为 ．
６
．如图
,
直线AB与
☉
O相切于点C
,
OA交
☉
O于点D
,
连结 , ２４ cm
∴∠
BOC
＝
３６０°
＝９０°,
OB
＝６
．
．如图 AB是半圆O 的直径 C D 是半圆弧的三等分点 ４
CDOC．若 AOC 则 ACD的度数为 １４ , , 、 ,
、 ∠ ＝５０°, ∠ (C ) CE ⊥ AB于点E , 连结DE．若AB ＝４, 则图中阴影部分的 又 ∵ OB ＝ OC ,∴∠ OBC ＝ １ (１８０°－∠ BOC )＝４５°,∠ BOE ＝
A．３５° B．３０° C．２５° D．２０° ２
．如图 在平面直角坐标系中 点A BC的坐标分别为
７ , , 、 、 (１, 面积为 ３ ２ ． １ BOC ．
则 ABC外接圆的圆心坐标是
２
＋
３
π
２
∠ ＝４５°
４)、(５,４)、(１,－２), △ (A )
OBC BOE．BE OE．
∴∠ ＝∠ ∴ ＝
A．(３,１) B．(３,２) C．(１,３) D．(２,３)
８
．如图是一个底部呈球形的烧瓶
,
球的半径为
５cm,
瓶内液体 在
Rt△
OBE中
,
OE
＝
BE
＝
OB
sin４５°＝３２,
的最大深度是 则截面圆中弦AB的长为 BC BE ．
１cm, (B ) ∴ ＝２ ＝６２
第 题图 第 题图 正方形ABCD的边长为 边心距为 ．
A．４２cm B．６cm C．８cm D．８．４cm １４ １５ ∴ ６２, ３２
数学 ７７ 华东师大九年级·下册
－ －
． 分 如图 已知AC为 O的直径 B为 O上一点． 小明同学的思路是 如图 在BE上截取BF AD 连结
１９(９ ) , ☉ , ☉ 易得 OAD的面积 ３OA２ ． : ②, ＝ ,
用尺规作图 过点O作AB的垂线 垂足为D 交劣弧 △ ＝ ＝９３ ACBCCDCF 请你按照小明的思路完成上述问题
(１) : , , ４ 、 、 、
AB于点E 不写作法 保留作图痕迹 阴影部分的面积 扇形AOD的面积 OAD的面积 的证明过程
;( , ) ∴ ＝ －△ ＝ ;
根据 中作图 若BC AB 求DE的长． ． 【结论运用】如图 ABC是 O的内接正三角形 D 是
(２) (１) , ＝６, ＝８, ６π－９３ (２) ③,△ ☉ ,
解
:(１)
如图
,
垂线OE即为所求．
２２ ． (１０ 分 ) 如图 ①, 石碾是我国古代劳动人民发明的一种用石 A︵B上一点 ,∠ ACD ＝４５°, 连结BD , 过点A 作AE ⊥ CD ,
AC为 O的直径 ABC ． 头和木材等制作的使谷物等破碎或去皮用的工具 由碾盘
(２)∵ ☉ ,∴∠ ＝９０° , 垂足为E．若AB 求 BCD的周长
＝６２, △ ;
BC AB 碾台 碾砣 碾磙子 碾碌碡 碾框 碾管芯 碾棍孔 碾棍
∵ ＝６, ＝８, ( )、 ( 、 )、 、 、 、 【变式探究】如图 若将 中 C为A︵B的中点 改为 C
∴ AC ＝ BC２ ＋ AB２ ＝ ６ ２ ＋８ ２ ＝１０ ． 等组成．如图 ② 为从石碾抽象出来的几何模型 , BD 是 ☉ O (３) 为优弧ACB的中 ④ 点 , 其他 (１ 条 ) 件 “ 不变 请写出BEA ” D D “ E
”, , 、 、
的直径 点C在BD 的延长线上 BE 平分 ABC交 O
OE OA １AC ． , , ∠ ☉ 之间的数量关系 并加以证明．
,
∴ ＝ ＝ ＝５ 于点EBA CE于点A．
２ , ⊥
OD AB D为AB的中点． 求证 直线AC是 O的切线
∵ ⊥ ,∴ (１) : ☉ ;
又 O为AC的中点 OD是 ABC的中位线．
若 O的半径为 AB 求线段CE的长．
∵ ,∴ △ (２) ☉ ４, ＝６,
证明 如图 连结
OD １BC ．DE OE OD ． (１) : ②,
∴ ＝ ２ ＝３∴ ＝ － ＝２ OE 则OE OB
． 分 如图 AB 是 O 的直径 点C 在 O 上 点D 在 , ＝ , 解 完成证明过程如下
２０(９ ) , ☉ , ☉ , OEB CBE． :(１) :
A (１ B ) 求 的 证 延 : 长 ∠ 线 AC 上 O , C ＝ D ∠ B 是 C ☉ D O ; 的切线． ∴ ∵ B ∠ E AB 平 E 分 ＝ ∠ ∠ A C B B C E , ． ∵ 在 C △ D 为 A A C ︵B 和 的 △ 中 F 点 BC ,∴ 中 A︵C , ＝ B︵C． ∴ AC ＝ BC．
若 O的半径是 CD 求BD的长． ∴∠ ＝∠
(２) ☉ ５, ＝１２, OEB ABE．OE AB． ∵ AD ＝ BF ,∠ DAC ＝∠ FBC , AC ＝ BC ,
证明 AB 是 O ∴∠ ＝∠ ∴ ∥
(１) :∵ ☉ BA CE A ． DAC FBC．CD CF．
的直径 ∵ ⊥ ,∴∠ ＝９０° ∴△ ≌△ ∴ ＝
∴∠ A A C C O , B ＝９０ O ° C ． B ． ∴ ∵ O ∠ E OE 是 C ☉ ＝ O ∠ 的 A 半 ＝９ 径 ０° , , 即AC ⊥ OE． ( 又 ２) ∵ 如 CE 图 ⊥ ③ B , D 连 , 结 ∴ A D D E , ＝ 在 E C F E ． ∴ 上 BE 截取 ＝ E C F F ＋ ＝ B B F D ＝ , 连 DE 结 ＋ A A F D ． ．
∴∠ ＋∠ ＝９０° 直线AC是 O的切线． ABC是等边三角形 BC AC AB ．
CD是 O的切线 OCD ． ∴ ☉ ∵△ ,∴ ＝ ＝ ＝６２
∵ ☉ ,∴∠ ＝９０° 解 如图 过点O 作OF AB 于点F 则 OFB 在 ABD和 ACF中
BCD OCB ． ACO BCD． (２) : ②, ⊥ , ∠ ＝ △ △ ,
∴∠ ＋∠ ＝９０°∴∠ ＝∠ OFA ． AB AC ABD ACFBD CF
解 在 OCD中 OC CD ∠ ＝９０° ∵ ＝ ,∠ ＝∠ , ＝ ,
(２) : Rt△ , ＝５, ＝１２, OFA A OEA ABD ACF．AD AF．
则OD ＝ OC２ ＋ CD２ ＝ ５ ２ ＋１２ ２ ＝１３ ． ∵∠ 四边形O ＝ E ∠ AF ＝ 是 ∠ 矩形． ＝９０°, ∴ 又 △ ∵ AE ⊥ C ≌ D △ ,∴ DE ∴ ＝ EF ＝ ．
∴
BD OD OB ．
∴ ＝ － ＝１３－５＝８ O的半径为 AF OE OB ． CE EF CF DE BD．
． 分 如图 AB是 O的直径 CD为 O上两点 CF ∵☉ ４,∴ ＝ ＝ ＝４ ∴ ＝ ＋ ＝ ＋
２１(１０ ) , ☉ , 、 ☉ , ⊥ AB BF AB AF ． BD CD BD DE CE CE．
AB于点FCE AD交AD的延长线于点E 且CE CF． ∵ ＝６,∴ ＝ － ＝６－４＝２ ∴ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝２
, ⊥ , ＝
OF OB２ BF２ ２ ２ ． 在 ACE中 ACE 易得CE ２AC
求证 C是B︵D的中点 ∴ ＝ － ＝ ４－２ ＝２３ Rt△ ,∠ ＝４５°, ＝ ＝６,
(１) : ; OF ２
(２) 若 ∠ EAB ＝６０°, OA ＝６, 求图中阴影部分的面积． ∴tan∠ OBF ＝BF＝ ３ ． BCD的周长为BD CD BC CE BC ．
∴△ ＋ ＋ ＝２ ＋ ＝１２＋６２
(１) 证明 :∵ CE ⊥ AD , CF ⊥ AB , CE ＝ CF , ∵ OE ∥ AB ,∴∠ EOC ＝∠ ABC． (３) DE ＝ BE ＋ AD．证明如下 :
DAC BAC．D︵C B︵C．C是B︵D 如图 在线段DE上截取DF AD 连结BCCFCDAC．
∴∠ ＝∠ ∴ ＝ ∴ CE ④, ＝ , 、 、 、
EOC ．
的中点．
∴tan∠ ＝OE＝ ３
C为优弧ACB的中点
∵ ,
(２)
解
:
如图
,
连结OD．
∴
CE
＝ ３
OE
＝４３
．
∴
A︵C
＝
B︵C．
∴
AC
＝
BC
,∠
ADC
＝∠
BDC．
∵∠
E
OA
AB
D ＝ 是 ６０ 等 ° 边 ,
OD
三角 ＝
O
形
A
． ＝６, ２３ ． (１０ 分 ) 某数学活动小组在一次活动中 , 对一个数学问题做
在
△
ADC和
△
FDC中
,
了如下探究 DA DF ADC FDCCD CD
∴△ : ∵ ＝ ,∠ ＝∠ , ＝ ,
AOD ．
∴∠ ＝６０° 【问题探究】如图 AD BD 为 O的两条弦 AD ADC FDC．AC FC．
(１) ①, 、 ☉ ( ＜ ∴△ ≌△ ∴ ＝
扇形AOD的面积 ６０π×６ ２ ． BD C为A︵B的中点 过点C作CE BD 垂足为E． ∵ AC ＝ BC ,∴ FC ＝ BC．
∴ ＝ ３６０ ＝６π ), , ⊥ , 又 CE BD BE EF．DE EF DF BE AD．
求证 BE DE AD． ∵ ⊥ ,∴ ＝ ∴ ＝ ＋ ＝ ＋
: ＝ ＋
数学 ７８ 华东师大九年级·下册
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