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河南专用华东师大九年级数学(下册) 系 则抛物线对应的函数表达式为 ．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出 如果不
, (A ) １４ ,
第 章综合训练
考虑空气阻力 足球飞行的高度h 与足球飞行的时间t
２６ y． ３x２ y． ３x２ y． ３x２ y． ３x２ , (m) (s)
A ＝ B ＝ C ＝－ D ＝－ 之间具有二次函数关系 其部分图象如图所示 则足球从踢出
４ １６ ４ １６ , ,
(考查范围:第 ２６ 章 二次函数) ８ ．在同一平面直角坐标系中 , 函数y ＝ ax２ ＋ bx与y ＝－ bx ＋ 到落地所需的时间是 ． ．
１６s
满分: １２０ 分 训练时间: １００ 分钟 a的图象可能是 (D ) １５ ．如图 ,“ 爱心 ” 图案是由函数y ＝－ x２ ＋６ 的部分图象与其关于
一、选择题
(
每小题
３
分
,
共
３０
分
)
下列各小题均有四个选项
,
其 直线y
＝
x的对称图形组成．点A是直线y
＝
x上方
“
爱心
”
图
中只有一个是正确的．
案上的任意一点 点B是其对称点．若AB 则点A的坐
, ＝４２,
１
．下列关于x的函数一定为二次函数的是
(B ) 标是 (－２,２) 或 (１,５) ．
y． x y． x２ x 三、解答题 本大题共 个小题 共 分
A ＝４ B ＝５ －３ A B C D ( ８ , ７５ )
y． ax２ bx c y． x３ x ．数学课上 老师把一个二次函数图象给甲 乙 丙 丁四位同 ． 分 二次函数的图象经过A B 两点 且B是该二
C ＝ ＋ ＋ D ＝ －２ ＋１ ９ , 、 、 、 １６(９ ) (１,３)、 (２,４) ,
．二次函数y x２ x 的二次项系数 一次项系数和常数 学看过后 四位同学分别进行了描述 甲说 该函数的图象经 次函数图象的顶点．求二次函数的表达式．
２ ＝ －４ ＋３ 、 , , :
项分别是 (C ) 过点 (１,０); 乙说 : 该函数的图象经过点 (３,０); 丙说 : 该函数 解 : 设二次函数的表达式为 y ＝ a ( x －２) ２ ＋４ ．
． ． ． ． 的图象与x轴的交点位于y轴的两侧 丁说 该函数的图象 把A 代入 得a ．解得a ．
A１、４、３ B０、４、３ C１、－４、３ D０、－４、３ ; : (１,３) , ＋４＝３ ＝－１
３ ．抛物线y ＝－２( x －３) ２ －４ 的顶点坐标为 (D ) 的对称轴为直线x ＝１ ．老师告诉全班同学这四个人中只有 所以 y ＝－( x －２) ２ ＋４＝－ x２ ＋４ x．
A．(－３,４) B．(－３,－４)
一个人说错了
,
请你判断说错的是
(A )
所以二次函数的表达式为 y
＝－
x２
＋４
x．
甲 乙 丙 丁 ． 分 已知二次函数y x ２ 的图象如图所示 求 ABO
C．(３,４) D．(３,－４) A． B． C． D． １７(９ ) ＝２( －１) , △
．探索一元二次方程x２ x 的一个正数解的过程 ．如图 在 ABC 中 的面积．
４ ＋３ －５＝０ １０ ①, Rt△ ,
如表 ACB A 解 由 y x ２ 可得点A的坐标为
: ∠ ＝９０°,∠ ＝３０°, : ＝２( －１) (１,０),
P是AB 边上一动点 过 点B的坐标为
x , (０,２),
－１ ０ １ ２ ３ ４
点P 作PQ AB 交边 所以OA OB ．
x２ ＋３ x －５ －７ －５ －１ ５ １３ ２３ ⊥ , ＝１, ＝２
可以看出方程的一个正数解应介于整数a和b之间
,
则整数 AC
(
或BC
)
于点Q．设AP
＝
x
,△
APQ 的面积为y
,
如图 所以
△
ABO的面积为１OA
OB
＝
１
×１×２＝１,
a 、 b分别是 (C ) ②
是y与x的函数关系的大致图象
,
则BC的长为
(D ) 即 ABO的面积是
２
．
２
△ １
A．－１、０ B．０、１ C．１、２ D．２、３
A．２ B．４ C．４３ D．
４３
１８
．
(９
分
)
如图
,
已知二次函数y
＝
x２
＋
bx
＋
c的图象经过点
５ ．若点 (２,５)、(４,５) 在抛物线y ＝ ax２ ＋ bx ＋ c上 , 则它的对称 二、填空题 每小题 分 共 分 ３ A (１,－２)、 B (０,－５) ．
轴是直线 ( ３ , １５ ) 求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标
(C )
．请写出一个开口向上 并且与y轴交于点 的抛物线对
(１) ;
x x x x １１ , (０,２) 当y 时 请根据图象直接写出x的取值范围．
A．＝５ B．＝４ C．＝３ D．＝２ (２) ≤－２ ,
６ ．已知二次函数y ＝ a ( x －１) ２ ＋４ 的图象开口向上 , 若点A (－２, 应的函数表达式 : y ＝ x２ ＋２( 答案不唯一 ) ． 解 :(１) 把A (１,－２) 和B (０,－５) 代入 y ＝ x２ ＋
y １)、 B (－１, y ２)、 C (５, y ３) 都在该函数图象上 , 则y １、 y ２、 y ３ １２ ．将抛物线y ＝( x －１) ２ －２ 先向左平移 ２ 个单位 , 再向上平 bx ＋ c , 得
三者之间的大小关系是 (C ) 移h个单位．若得到的抛物线经过点 (－２,３), 则h的值是 { １＋ b ＋ c ＝－２,解得 {b ＝２,
y． y y y． y y ． c c
A １＜ ２＜ ３ B １＜ ３＜ ２ ４ ＝－５, ＝－５,
C y． ２＜ y １＜ y ３ D y． ３＜ y １＜ y ２ １３ ．已知二次函数y ＝－ x２ ＋２ x ＋ m的部分图象如图所示 , 则关 所以二次函数的表达式为 y ＝ x２ ＋２ x －５ ．
７ ．如图 ① 是一只葡萄酒杯 , 酒杯的上半部 于x的方程 － x２ ＋２ x ＋ m ＝０ 的解为 x １＝３, x ２＝－１ ． 因为 y ＝ x２ ＋２ x －５＝( x ＋１) ２ －６,
分以抛物线为模型设计而成 从正面看 所以图象的顶点坐标为 ．
, (－１,－６)
葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线的 x ． 解析 如图．因为点A 关于对称轴直
(２)－３≤ ≤１ 【 】 (１,－２)
一部分
,
且是轴对称图形．若AB
＝４,
线x
＝－１
的对称点C的坐标为
(－３,－２),
所以当
y ≤－２
时
,
CD 以顶点C为原点建立如图 所示的平面直角坐标 第 题图 第 题图 第 题图 x的取值范围是 x ．
＝３, ② １３ １４ １５ －３≤ ≤１
数学 ７５ 华东师大九年级·下册
－ －
． 分 如图 小明的爸爸在相距 的两树等高位置处拴 水头的高度 喷水头到喷灌架底部的距离 OC 当喷 m x ２ m ．
１９(９ ) , ４m ( ) ＝１m, ３＋ ＝(－１)＋ －４
了一根绳子 做成一个简易的秋千 绳子自然下垂呈抛物线 射出的水流与喷灌架的水平距离为 时 达到最大高度 由题意可知抛物线y x２ bx c m与线段BC恰好有一个交点有以下
, , １２m , 两种情况 ＝ ＋ ＋ ＋
形 , 已知身高 １ ． ５m 的小明站在距离树 １m 的地方 , 头部刚 ７m, 草坪上与O的水平距离为 １８m 的点A 处有一棵高 当抛物线 : y x２ bx c m的顶点在线段BC上时 顶点坐标为
① ＝ ＋ ＋ ＋ , (１,－３),
好触到绳子． ４ 的小树 小树垂直水平地面且点A到水平地面的距离 所以m 解得m
m , －４＝－３, ＝１;
求抛物线对应的函数表达式和自变量的取值范围 ３ 当抛物线y x２ bx c m与y轴的交点在点B的
(１) ; 为 ． ② ＝ ＋ ＋ ＋
３m { m
求绳子最低点与地面的距离． 水流能否浇灌到小树后面的草地 并说明理由 下方时 如图 易得 －３＋ ＜－３,
(２) (１) ? ; , , ２ m
解 :(１) 设抛物线对应的函数表达式为y ＝ (２) 记水流的高度为y １m, 斜坡的高度为y ２m, 求y １－ y ２ 所以 －８≤ m ＜０ ．
(４－１)＋ －４≥－３,
ax２ ＋ bx ＋ c． 的最大值． 所以抛物线y x２ bx c m与线段BC恰好有一个交点时 m的取值范
由题意可知抛物线经过点 (０,２ ． ５)、(１, 围为 m ＝ 或 ＋ m ＋ ． ＋ ,
－８≤ ＜０ ＝１
． ．
１５)、(４,２５), ． 分 如图 已知抛物线的顶点坐标为 且与x轴
ì
ï
２３(１０ ) ①, (－１,４),
ì ï ï c ＝２ ． ５, ï ï
a
＝
１
３ ,
交于点A
(－３,０)
和点B
,
与y轴交于点C．
所以ía b c ． 解得í 抛物线对应的函数表达式为 y x２ x 点C的
î
ïï
１６
＋
a ＋
＋
４ b
＝
＋ c
１
＝
５
２
,
． ５, î
ï
ï ï c
b
＝－ ．
４
３ ． , 解 水流能浇灌到小树后面的草地．理由如下
(１)
坐标为 (０,３) ;
＝－ －２ ＋３ ,
＝２５ :(１) : 若点P是抛物线对称轴上的一个动点 当 PBC周长最小
由题意可知 抛物线的顶点坐标为 (２) , △
所以抛物线对应的函数表达式为y １x２ ４x ． x ． , (１２,７), 时 求点P的坐标
＝ ３ － ３ ＋２５(０≤ ≤４) 故设水流形成的抛物线对应的函数表达式为y ＝ a ( x －１２) ２ ＋７ ． , ;
如图 若点M 是抛物线第二象限内一点 连结AM 过点
因为y １x２ ４x ． １x ２ ７ 且１ 将C 代入 得a １ (３) ②, , ,
(２) ＝ － ＋２５＝ (－２)＋ , ＞０, (０,１) , ＝－ , C作CN AM 交x轴于点N 连结MN 是否存在点M
３ ３ ３ ６ ３ ２４ ∥ , , ,
所以当x ＝２ 时 , y取得最小值７． 所以抛物线对应的函数表达式为y ＝－ １ ( x －１２) ２ ＋７ ． 使得 △ AMN 的面积最大 ? 若存在 , 求出点M 的坐标 ; 若不
６ ２４ 存在 请说明理由．
,
所以绳子最低点与地面的距离为７ ． 当x 时y １ ． ４ 解 因为抛物线的对称轴为直线
６
m ＝１８ ,＝－
２４
×３６＋７＝５５＞
３
＋３, :(２)
． 分 某商场购进一批新型玩具．已知这种玩具进价为 所以水流能浇灌到小树后面的草地． x ＝－１, 点A的坐标为 (－３,０),
２０
１
(
间
９
７ 满 元 / 足
)
件 一 , 次 且 函 该 数 玩 关 具 系 的月 下 销 表 售 是 量 月 y 销 ( 件 售 ) 量 与 与 销 销 售 售 单 单 价 价 x 的 ( 元 几 ) 之 组 ( 则 ２) 直
由
线
题
O
意
A
可
为
知
y
点
２＝
A
１
的
x
坐
,
标为
(１８,３),
所
如 的
以
图 交
点
点 ①
B
为 , 设 P
的
直
坐
点 线
标
P A
为
C 即
(１
为 与
,０
所 直
) ．
求 线 ． x ＝－１
, ６ ,
对应关系 : 所以y １－ y ２＝－ １ ( x －１２) ２ ＋７－ １x ＝－ １ ( x －１０) ２ ＋ ３１． m 设 x 直线 n A 将 C A 对应的函数 C 表达式 代 为 入 y ＝ 得
２４ ６ ２４ ６ ＋ , (－３,０)、(０,３) ,
销售单价x(元) ２０ ２５ ３０ ３５ 因为 － １ ＜０, 所以y １－ y ２ 的最大值为３１． { －３ m ＋ n ＝０,解得 {m ＝１,
(１)
月
求
销
y
售
关
量y
于
(
x
件)
的函 ３ 数 ３０ 表 ０ 达式 ２ ; ８００ ２３００ １８００ ２２ ． ( 点 １０ A 分
、
B
２
)
４
,
如 抛 图 物 , 线 直 y 线
＝
y x ＝ ２ x
＋
b － x ３
＋
c 与x 经
６
过 轴 A 和
、
y B 轴 两 的 点 交 ． 点分别为 所 当
n
x 以 ＝３
＝
直 ,
－
线
１
A 时 C
,
y 对
＝
应
２
的
,
n
所 函 ＝ 以 数 ３ 点 表 , P 达式 的 为 坐 y 标 ＝ 为 x
(
＋
－
３
１
．
,２)
．
当销售单价为多少元时 月销售利润最大 最大利润是 求抛物线对应的函数表达式 存在．如图 连结MCAC 过点M作MD x轴于点D 交直线AC于
(２) , ? (１) ; (３) ②, 、 , ⊥ ,
多少元 将点B向右平移 个单位得到点C 若抛物线y x２
点E．
? (２) ４ , ＝ ＋ 因为CN AM 所以S S ．
解 :(１) 设y关于x的函数表达式为y ＝ kx ＋ b ( k ≠０) ． bx ＋ c ＋ m 与线段BC恰好有一个交点 , 求m 的取值 设点M的 ∥ 坐标为 , m △ m AM ２ N＝ m △ AMC m 则点E的坐标为 m
{ k b {k 范围． ( ,－ －２ ＋３)(－３＜ ＜０), ( ,
由题意 得 ２０ ＋ ＝３３００,解得 ＝－１００, m
, k b ． b ． 解 在y x 中 当x 时y 当y ＋３),
２５ ＋ ＝２８００ ＝５３００ :(１) ＝ －３ , ＝０ ,＝－３, ＝０ 所以ME m２ m m m２ m
所以y关于x的函数表达式为y x x ． 时x 所以B A ． ＝－ －２ ＋３－( ＋３)＝－ －３ ,
＝－１００ ＋５３００(１７≤ ≤５３) ,＝３, (０,－３)、 (３,０) ( )
(２) 设月销售利润为w元 , 因为抛物线y ＝ x２ ＋ bx ＋ c经过A 、 B两点 , 所以S △ AMC＝ １ME OA ＝ １ ×(－ m２ －３ m )×３＝－ ３ m ＋ ３ ２ ＋ ２７．
则w
＝(
x
－１７)(－１００
x
＋５３００)＝－１００
x２
＋７０００
x
－９０１００＝
所以将A
(３,０)、
B
(０,－３)
代入y
＝
x２
＋
bx
＋
c
, 因为 ３
２ ２ ２ ２ ８
－１００( x －３５) ２ ＋３２４００ ． 得 { ９＋３ b ＋ c ＝０,解得 {b ＝－２, － ２ ＜０,
因为 所以当x 时 w最大 最大值为 ． c c
－１００＜０, ＝３５ , , ３２４００ ＝－３, ＝－３, 所以当m ３时S 取得最大值 即S 取得最大值 此时点M 的
答
:
当销售单价为
３５
元时
,
月销售利润最大
,
最大利润是
３２４００
元． 所以抛物线对应的函数表达式为y
＝
x２
－２
x
－３
． ＝－
２
,△ AMC , △ AMN ,
． 分 如图 一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地 (２) 点B (０,－３) 向右平移 ４ 个单位得到点C (４,－３) ． 坐标为 ( ３ １５ ) ．
２１(１０ ) ①, 由 知抛物线y x２ bx c m对应的函数表达式为y x２ x － ２ , ４
看成抛物线 图 是喷灌架为一坡地草坪喷水的示意图 喷 (１) ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ －２ －
, ② ,
数学 ７６ 华东师大九年级·下册
－ －
