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九年级下册第 27 章相似
第 1 课时《图形的相似》
一、基础训练
1．下列说法中正确的是（ ）
A．人们从平面镜里看到的像与人的关系是相似图形，但不是全等图形
B．人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们是相似的
C．放幻灯片时，投在屏幕上的画面与幻灯片上的图形是全等的
D．拍照时，镜头的取景与照片上的画面是相似的
2．四条线段的长度成比例的一组是（ ）
A．1，2，3，4 B．1， 2，2 2，2 C． 2， 5， 3，1 D．2，5，3，4
3．能判定四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似的条件是（ ）
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′
AB BC CD DA
B． ＝ ＝ ＝
A′B′ B′C′ C′D′ D′A′
AB CD
C．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∠D＝∠D′， ＝
A′B′ C′D′
AB BC CD DA
D． ＝ ＝ ＝ ，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′
A′B′ B′C′ C′D′ D′A′
4．如果两个图形是相似图形，那么这两个图形的形状 ，它们的大小 ．
5．已知两地的实际距离是100米，如果画在地图上两地距离为6厘米，那么地图上距离与
实际距离的比是 ．
6．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′相似，且对应边之比为5∶3.若AB＝10，
A′E′＝4，则A′B′＝________，AE＝________．
C
C′
B D
B′ D′
A E
A′ E′
(第6题)
（第8题）
7．下列命题是真命题的是 ．（填写序号）
①四个内角都对应相等的两个四边形一定相似；②所有的正方形都一定相似；
③所有的直角三角形都一定相似；④所有的等边三角形都一定相似．
8．如图，将一张矩形纸片沿较长边中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
那么原来矩形的长宽比是 ．
A
9．已知：如图，DE∥BC．
2 2.5
AD AE DE D 3 E
（1）求 AB ， AC ， BC 的值； 4 5
B 9 C
（2）求证△ADE与△ABC相似．
（第9题）
10.如图，矩形草坪 ABCD 的长 AD＝30m，宽 CD=20m，沿草坪四周有 1m 宽的环行小路，
小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由．
A D
B C
1 / 27
（第10题）二、拓展提升
11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，EF分别交AB，CD于点E，F，且四边
形AEFD相似于四边形EBCF，已知AD＝2，AB＝6，BC＝8，求AE的长．
（第11题）
12.如图，矩形草坪ABCD的长AD＝30m，宽CD＝20m，沿草坪四周有环行小路，若保证
x
相对两条小路的宽度相等，如果矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，求 的值．
y
A′ D′
x
A D
y y
B C
x
B′ C′
（第12题）
13.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，点 E 在边 BC 上，将△ABE 沿 AE 向上折叠，使点 B
落在边AD上的点F处，如果四边形ECDF与矩形ABCD相似，求边AD的长．
F
A D
B C
E
（第13题）
三、综合实践
14．如果一个图形能分割成若干个彼此全等而又与原图形相似的小图形，那么我们把这个图
形称为“可缩图形”．可缩图形分割的方法是：从面积相等和形状相似出发，根据等分
的份数对原图进行等分切割，再各取一份构建基本图形，运用基本图形来分割．
图（1）为一个“可缩图形”，将它按图（2）方式分割，可以得到4个彼此全等且与原
图形相似的小图形．
（1） （2） （3）
（第14题）
如图（3），是一个正方形被剪去四分之一后所得的图形，这个图形是“可缩图形”吗？
如果是，请你尝试分割，给出你的分割方案，在图中画出并标识．
2 / 27第 2 课时《相似三角形判定（1）》
一、基础练习
1.已知△ABC∽△A′B′C′，若AC=3，A′C′=1.8，则△ABC与△A′B′C′的相似比为（ ）
2 3 5 3
A. B. C. D.
3 2 3 5
2.在△ABC 与△A′B′C′中，AB=AC，A′B′=A′C′，若添加一个条件可使两个三角形相似，甲添
加的条件是∠A＝∠A′＝60°；乙添加的条件是∠A＝∠A′＝90°，对于甲、乙添加的条
件判断正确的是（ ）
A. 甲对乙错 B. 甲错乙对 C.两人都对 D.两人都错
3.如图，已知直线AB∥CD∥EF，下列结论中不成立的是（ ）
AC BD AC CE AE BF AE BD
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
CE DF BD DF CE DF BF AC
A B A
C D
E G
B D F C
E F
（第3题） （第4题）
4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB
于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
AB AG DF DG FG EG AE CF
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
AE AD CF AD AC BD BE DF
AD
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽________，那么 ＝________＝________，若
AB
AE＝3cm，EC＝2cm，△ABC与△ADE的相似比为________．
6.如图，CD∥AB∥EF，则图中与△OEF相似的三角形为______________．
A
D E
B C
（第5题） （第8题）
（第7题）
（第6题）
7.如图，在△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形____________．
AE 1
8.如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，AD＝3，则BD的长为____________．
EC 2
BC
9.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，求 的值.
CE
A B
G
C D
E F
（第9题）
3 / 2710.如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB 与CD 相交于点 E，过点 E 作EF⊥AC，交AC 于点F，
写出图中所有相似的三角形，并说明你的理由．
（第10题）
二、拓展提升
11.已知点D，E分别在△ABC边AB，AC所在的直线上，DE∥BC，且AD＝3，BD＝5．求
AC
的值．
AE
12.如图，设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，且 OF∥CD，OE∥CB，则四边形
AEOF与四边形ABCD相似吗？试说明理由．
（第12题）
13.如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，点 G 在对角线 AC 上，且 AG：GC
DF
＝1：5，连接EG并延长，交边AD于点F，求 的值．
AF
D
C
F G
A E B
三、综合实践 （第13题）
14．我们在学习平行线分线段成比例的基本事实时，老师利用面积法进行了证明．
如图，l ∥l ∥l ，它们分别交直线a，b于点A，C，E，B，D，F．
1 2 3
AC BD
求证： ＝ ． a b
CE DF A B
l
证明：分别连接AD，BC，CF，DE． 1
C D l
因为l ∥l ∥l ，所以S =S ，S =S ． 2
1 2 3 △ACD △BDC △CDE △DCF
S S
所以 △ACD＝ △BDC．
S S E F
△CDE △DCF l
3
S AC S BD AC BD
又因为 △ACD＝ ， △BDC＝ ，所以 ＝ ．
S CE S DF CE DF
△CDE △DCF
老师让我们进一步思考，把直线 b 向左平移，至过点 A 位置，简化图形得下图，在这
种特殊情况下，是否也可运用面积法，类似地证得上述结论.
A（ B）
C D
E F
（第14题）
4 / 27第 3 课时《相似三角形判定（2）》
一、基础练习
1.已知△ABC与△DEF满足下列条件，其中无法判定两个三角形相似的是（ ）
A. AB＝10，BC＝15，CA＝20，DE＝7，EF＝10.5，FD＝14
B. AB＝10，BC＝15，CA＝20，DE：EF：FD＝2：3：4
C.∠A＝57°，AB＝12，AC＝15，∠D＝57°，ED＝16，EF＝20
D.∠A＝57°，AB＝12，AC＝15，∠D＝57°，DE＝16，DF＝20
2.已知△MNP如图，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（ ）
A. B. C. D.
（第2题）
3.在△ABC中，BC＝15 cm，CA＝45 cm，AB＝63 cm，另一个和它相似的三角形的最短边
长是5 cm，则最长边长是（ ）
A．18 cm B．21 cm C．24 cm D．19.5 cm
4.点D在△ABC的边AB上，且AC2＝ADAB，则△ABC∽△ACD，理由是 ．
5.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝3，AC＝4，要使△ABC∽△ACD，只要CD＝ ．
AB AC
6.如图，已知 ＝ ＝k，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD，添加的条件可以
AC AD
是 ．（写一个即可）
7.如图，在钝角△ABC 中，AB＝6cm，AC＝12cm，点D从A点出发沿AB以1cm/s的速度
向B 点移动，点E从C点出发沿CA以2cm/s的速度向A点移动，如果两点同时移动，
经过 秒时，△ADE与△ABC相似．
8.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为 4cm，5cm，
6cm．另一个三角形框架的一边长为2cm，你有种制作方案，它的另外两条边长分别为 ．
A
A
D
D
E
D C
B C
A B （第7题 ）
B C
（第5题） （第6题）
9.如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，△ABC和△DEF相似
吗？说明理由．
A B
C
D
F E
（第9题）
5 / 2710.在△ABC中，D是AC边上一点，BC＝4，AC＝8，CD＝2，求证：△BCD∽△ACB．
A
D
B C
（第10题）
二、拓展提升
11.如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形．
A D E H
（1）△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．
（2）求∠1＋∠2的大小．
2 1
B C F G
（第11题）
1
12.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝ DC，连接
4
EF并延长交BC的延长线于点G． A E D
（1）求证：△ABE∽△DEF．
F
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
B C G
（第12题）
13.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC和线段DE对应的五个点的坐标分别为
A（0，3），B（－1，2），C（1，0），D（2，1），E（3，1）．
y
（1）画出一个以DE为边的三角形，使它与△ABC相似；
4
（2）以线段DE为最短边作△DEF，
使得△DEF与△ABC相似， 3 A
写出所有满足条件的顶点F
的坐标． B 2
1 D E
C
-2 -1 O 1 2 3 4 x
-1
-2
（第13题）
三、综合实践
14.如图，已知△ABC（三个内角不等，且∠A＞∠C＞∠B），你能过三角形的一个顶点画一
条直线把△ABC分割成两个三角形，使得其中一个三角形与原三角形相似吗？
A
B C
（第14题）
6 / 27第 4 课时《相似三角形判定（3）》
一、基础练习
1．结合图形及所给条件，下图中无相似三角形的是（ ）
A.∠ADE＝∠C B.∠ACD＝∠B C.∠B＝∠AEB D.AB∥DE
2．如图，∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
AB BC AB AC
A.∠C＝∠ADE B．∠B＝∠D C． ＝ D． ＝
AD DE AD AE
（第2题） （第3题）
3．如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后
向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已
知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆
的水平距离为10 m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使△ACD∽△ABC，
根据下列作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中， D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长
为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交
DB于点M′；③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′：
BE
④过点N′作射线DN′交BC于点E．若BD：AB＝2：3，则 的值为 ．
CE
A
C
P
B O D
（第8题）
（第5题） （第6题） （第7题）
6.如图，⊙O中的弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝ .
7.如图，D 是△ABC 的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，则
线段CD＝ ．
8.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，中线 AD、BE 相交于点 O．若 AC＝4，CB＝3，则
OB的长为 ．
7 / 279．如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝4，AB＝8，AC＝6，求DC
的长．
（第9题）
10.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．
（第10题）
二、拓展提升
11.如图，在△AEC中，B为EC上一点，且满足∠ABD＝∠C＝∠E．
（1）求证：△AEB∽△BCD；
（2）当AE∥BD时，AD＝2，CD＝3，求BE的长．
（第11题）
12．在△ABC中，P为边AB上一点．
（1）如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
（2）如图2，若∠PBM＝∠ACP，M为CP的中点，AC＝2，AB＝3，求BP的长；
（第12题）
8 / 2713.正方形ABCD中，AB＝2，点E在边AD上，连接BE，在线段BE上取一点P，连接CP．
（1）如图1，当CP⊥BE时，求证：△ABE∽△PCB；
（2）如图2，当AE＝1且∠BPC＝60°时，求PC的值；
3
（3）如图3，当∠BPC＝2∠ABE，AE＝ 时，求PC的长．
2
（第13题）
三、综合实践
14.在一次数学活动课上，有一小组学生在剪纸的时候进行如下讨论：有一位学生问小明：“任
意一张直角三角形纸片，都能剪成三个两两相似的小三角形纸片吗？”于是小明在自己
的作业本上画了草图，并给出了解决方案.如图所示，任意一张直角三角形纸片Rt△ABC，
都能剪成三个两两相似的小三角形纸片．
第一步：过Rt△ABC的直角顶点，作斜边AC上的高BD，沿BD剪开，得到两个小的
直角三角形纸片，分别记为Rt△ABD，Rt△BCD；
第二步：选择其中的一个小直角三角形纸片，不妨选择Rt△BCD.再过其直角顶点D，
作斜边BC上的高DE，沿DE剪开，得到两个更小的直角三角形，分别记为
Rt△BDE，Rt△CDE．
剪得的三个小的直角三角形，它们两两相似．
听了小明的解释，小丽也向大家提出了一个观点：“任意一张钝角三角形纸片，都能剪
成三个小三角形纸片，其中两个三角形与原三角形相似．”
请你判断一下，小丽同学的观点是否正确？如果正确，请画出图形，并证明；如果不正
确，请简单说明理由．
B
E
A D C
（第14题）
9 / 27第 5 课时《相似三角形判定（4）》
一、基础练习
1.如图，在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，过点D 作DE∥BC，交 AC 点E．若AD＝2，BD
AE
＝3，则 的值是（ ）
AC
2 1 3 2
A． B． C． D．
5 2 5 3
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2.如图，在△ABC 中，AB＜AC，将△ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到△ADE，点 D 在
BC边上，DE交AC于点F．下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF
＝∠BAD，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3.如图，在△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D 为AB 的中点．若点 E 在边AC
AD DE
上，且 ＝ ，则AE的长为（ ）
AB BC
3
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
2
4.如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，
DE＝2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，
垂足为点D，则AD的长为 ．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，正方形ABCD中，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．
7．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上
一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝_____cm．
8.如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP⊥AC，则AP的长
为 ．
10 / 279.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
（1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
（第9题）
10.如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC和AC上，点G在线段BE上，∠BGD＝
∠BAD=∠C．
（1）求证：△BDG∽△BEC；
（2）连接AG，问：图中是否还有其他相似三角形？如果有，请写出．
（第10题）
二、拓展提升
11.如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB
于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF与直线CD延长线交于点
G．求证：BC2＝BG·BF．
（第11题）
12.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D在边AC上，AD＝2．
（1）过点D画直线，使它截△ABC的两边所得的小三角形与△ABC相似（标出所截三角
形中与∠B相等的角）；
（2）在（1）的条件下，若截线与边AB交于点E，求线段ED的长．
A A A A
D D D D
B C B C B C B C
（第12题）
11 / 2713.已知直线l分别交△ABC的边AB，AC所在的直线于点E，D，且∠AED＝∠C．
（1）如图（1），直线l分别交△ABC的边AB，AC于点E，D，问：线段AB，AC，AD，
AE具有什么数量关系？这个数量关系在图（2）、图（3）中成立吗？
（2）如图（1）分别连接 BD，EC，如果直线 BD，EC 交于点 O，问：线段 BO，CO，
DO，EO具有什么数量关系？这个数量关系在图（2）、图（3）中成立吗？
l
D
A E
A
E A
l
D
l E
C
B
B C
D B C
（第13题）
三、综合实践
14.如图，已知四边形ABCD．
1
（1）画一个四边形A′B′C′D′，使得所画四边形A′B′C′D′与原四边形ABCD相似比为 ．
2
（2）在画四边形A′B′C′D′时，你需要测量四边形ABCD的哪些边和角？请简述理由．
A
D
B C
（第14题）
12 / 27第 6 课时《相似三角形性质》
一、基础练习
1.如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 与 S ，周长
1 2
分别是C 与C ，则下列说法正确的是（ ）
1 2
C 3 S 3 OA 3 OB 3
A. 1＝ B. 1＝ C. ＝ D. ＝
C 2 S 2 OD 2 CD 2
2 2
2.如图，在△ABC 中，M、N 分别是边 AB、AC 的中点，若△AMN 的面积为 2，则四边形
MBCN的面积为（ ）
A.4 B. 5 C.6 D. 7
（第1题） （第2题） （第3题） （第5题）
3.如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为 2∶5，AG⊥BC 于点 G，交 DE 于点 F，AF∶AG
＝（ ）
A．2∶5 B．5∶2 C．5∶1 D．1∶5
4.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3∶1，则对应角平分线之比为（ ）
A．9∶1 B．6∶1 C．3∶1 D． 3∶1
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE交BD于点F，△DEF的面积
与△BAF的面积之比4：9，则DE：EC= ．
AE AF 1
6.如图，已知，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且 ＝ ＝ ，若△AEF的
EB FC 2
周长为2，则△ABC的周长为 ．
A
P
B C
（第6题） （第7题） （第8题）
7.如图，在△ABC中，点P是AB边上的一点，若∠ACP＝∠B，AP＝1，AC＝2，△APC的
面积为1，则△BCP的面积为 ．
8.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，
阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于________．
9.如图，A，B分别是△PCD边PC，PD上的点，AB∥CD，已知AB＝2，CD＝6．
（1）如果点P到直线CD的距离为3，求点P到直线AB的距离； P
（2）如果直线AB与CD间的距离为2，求点P到直线AB的距离．
A B
C D
（第9题）
13 / 27AD2 BD
10.如图，已知点D是△ABC的边BC上的点，且∠BAD=∠C，求证： ＝
AC2 BC
A
B C
D
（第10题）
二、拓展提升
11.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形
DE 1
BFED是平行四边形， ＝ .
BC 4
（1）若AB＝8，求线段AD的长；
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
（第11题）
12.已知，四边形ABCD的两条对角线相交于点P，∠ADB＝∠BCA．
（1）求证：△ADP∽△BCP；
（2）若DC＝AP＝6，DP＝3，求AB的长．
C
D
P
A B
（第12题）
13．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工
成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）当PN长为多少时，矩形POMN的面积最大？
（第13题）
14 / 27三、综合实践
14.如图，河流两岸a，b互相平行，在河岸a上每间隔5米有一颗树，C，D是河岸b上间
隔50米的两根电线杆所在处.小华站在距离河岸a 的岸边的A 处看河岸b，发现 C，D
处的电线杆恰好被河岸a上的P，Q处的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树．如
果点A到河岸a的距离是12米，求河流的宽度．
（第14题）
15 / 27第 7 课时《相似三角形应用》
一、基础练习
1．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB＝2 m，
CD＝5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是（ ）
5 6 6 10
A. m B. m C. m D. m
6 7 5 3
E
P
A B C
A
E'
C D D
B F
（第1题） （第2题） （第3题）
2．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆
的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为 2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为 16 m，
若小明的眼睛与地面距离为1.5 m，则旗杆的高度为（ ）
16 64
A． m B．9 m C．12 m D． m
3 3
3．如图，一人拿着一支刻有厘米分度的小尺，站在距电线杆约有20m的B处，把手臂向前
伸直，小尺竖直，看到尺上约10个分度恰好遮住电线杆，已知手臂E′D长约50cm，则电线
杆EF的高为（ ）（单位：m）．
A．3 B．4 C．5 D．6
4.如图，量具 ABC 是用来测量试管口直径的，AB 的长为 10cm，AC 被分为 60 等份，如果
试管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么试管口直径DE是____cm．
（第4题） （第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
5.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升
高______m（杆的宽度忽略不计）．
6.如图，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛 AB，AB 经小孔O 形成的像A′B′恰好
浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm．
7.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，
Q，S在一条直线上，且直线 PS 与河垂直，在过点S 且与PS垂直的直线a上选择适当
的点 T，PT 与过点 Q 且与 PS 垂直的直线 b 的交点为 R，如果 QS＝60m，ST＝120m，
QR＝80m，则河的宽度PQ为 m．
8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设
法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，
EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，则树高AB＝ m．
9.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿
BD方向走到点G，DG＝5米，这时小明的影长GH＝4米，如果小明的身高为1.7米，
求路灯A离地面的高度．
16 / 27（第9题）
10.为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）
中的树高各是多少？
（第10题）
二、拓展提升
11.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子
BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，求木竿PQ
的长度．
（第11题）
12.如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点 E 处有一棵小树，他们想利用皮尺、
测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长），小华站在点B处，让同伴移
动平面镜至点 C 处，此时小华在平面镜内看到点 E，且测得 BC＝6m，CD＝22m，∠
CDE＝135°，已知小华的身高AB为1.6m，请根据以上数据，求DE的长．（结果保留
根号）
E
A
B C D
（第12题）
17 / 2713.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望
月阁”及环阁公园，小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月
阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望
月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进
行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线 BM上平放一平面镜，
在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C．镜子不动，小亮看
着镜面上的标记，他来回走动，走到点 D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像
与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度 ED＝1.5 米，CD＝2 米；然
后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从 D
点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG
的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．
如图，已知 AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略
不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
（第13题）
三、综合实践
14.如图，如果分别让你利用物体影子或标杆或镜子等为工具，测量了操场上旗杆的长，你
能吗？若能，请你①画出示意图，说出测量的方法？②指出需测量的数据，说出计算的
方法？
利用影子 利用镜子
利用标杆
（第14题）
18 / 27第 8 课时《位似（1）》
一、基础练习
1．下图中的两个图形不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列命题中：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是
位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得三角形与原三角形是
位似图形，其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，△A′B′C′是△ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′与△ABC 的
面积比是4∶9，则OB′∶OB为（ ）
（第3题）
A．2∶3 B．3∶2 C．4∶5 D．4∶9
4.如图所示的图形中，是位似图形的是________．（填对应的序号）
（第4题）
1
5.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，点O为位似中心，OB＝ OB′，那
2
么A′B′：AB＝________．
（第5题）
（第8题） （第9题）
6.若两个位似图形的对应线段长分别为3和5，且较小图形周长为30，则较大图形周长为.
1
7.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积是原正六边形面积的 ，
3
已知原正六边形边长为3，那么缩小后的正六边形边长为________．
8.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC与△DEF是位似图形，则△ABC与△DEF的
面积比是________．
9.如图，△DEF 是△ABC 经过位似变换得到的，位似中心是点 O，确定点 O 的位置，如果
OC＝3.6cm，OF＝2.4cm，求它们的相似比 ．
19 / 271
10.已知△ABC 和点 O，以点 O 为位似中心，利用位似，把△ABC 缩小为原来的 ，当点 O
2
在图（1）的位置时，作图步骤如下：
①过点O分别作射线OA，OB，OC；
OA′ OB′ OC′ 1
②分别在射线OA，OB，OC上取点A′，B′，C′，使得 ＝ ＝ ＝ ；
OA OB OC 2
③顺次连接A′B′，B′C′，C′A′，得到所要画的△A′B′C′，如图（1）所示．
当点O在图（2）位置时，作出△ABC的位似图形△A′B′C′．
（第10题）
二、拓展提升
11.如图，四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′是位似图形，相似比 k ＝2，四边形A′B′C′D′和四
1
边形A″B″C″D″是位似图形，相似比k ＝1．问：四边形ABCD和四边形A″B″C″D″是位
2
似图形吗？如果是，写出相似比；如果不是，请说明理由．
（第11题）
12.如图，已知矩形 ABCD 与矩形 AB′C′D′是位似图形，点 A 为位似中心，若矩形 ABCD 的
周长为24，BB′＝4，DD′＝2．求边AB与AD的长．
（第12题）
13.如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交
点）为顶点的△ABC和格点O．
（1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A B C ，在网格中画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A B C ，画出△A B C ．
2 2 2 2 2 2
（第13题）
20 / 27三、综合实践
14.如图，△ABC是方格纸中的格点三角形．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使△ABC 顶点 A，C 的坐标分别为 A（2，3），
C（6，2），并写出点B的坐标；
（2）在（1）中建立的平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象
限内把△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′，并求出△A′B′C′的面积．
A
C
B
（第14题）
21 / 27第 9 课时《位似（2）》
一、基础练习
1．如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A(6，6)，B(8，2)，以原点 O 为位似中心，在第
1
一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
2
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
（第1题） （第2题） （第3题）
2.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，
格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A．（－1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
3.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)．以点C为位似
中心，在 x轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2
倍．设点B的对应点B′的横坐标是3，则点B的横坐标是（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
4.在平面直角坐标系中，已知点A（－4，2），B（－6，－4），以原点O 为位似中心，相似
比为2，把△ABO放大，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（－3，－2） B．（－3，－2）或（3，2）
C．（－12，－8） D．（－12，－8）或（12，8）
5.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为（－2，5），（0，5），
（0，－1），（4，－1）若线段AB和CD是位似图形，位似中心在y轴上，则位似中心
y
的坐标为________． C
y
y
A
B A
D A C
B O x
O x
C O B D x
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6.如图，△OAB的顶点O（0，0），A（－6，4），B（－3，0），以点O为位似中心，在第四
1
象限内作与△OAB的相似比为 的位似图形△OCD，则点C坐标为________．
2
1
7.如图，直线y＝ x＋1与x轴，y轴分别交于A，B两点，△BOC与△B′O′C′是以点A为位
3
似中心的位似图形，且相似比为1∶2，则点B′的坐标为________．
8.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD＝90°，
∠AOB＝60°．若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是________．
22 / 279．如图，在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
（第9题）
10.如图，△ABC 与△DOE 是位似图形，A（0，3），B（－2，0），C（1，0），E（6，0），
△ABC与△DOE的位似中心为M．
（1）写出D点的坐标；
（2）在图中画出M点，并求M点的坐标．
（第10题）
二、拓展提升
11.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A B C 关于点E成中心对称，
1 1 1
（1）在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
（2）点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标
为（a－6，b+2），请画出上述平移后的△A B C ，此时 A 的坐标为 ，C
2 2 2 2 2
的坐标为 ；
（3）若△A B C 和△A B C 关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ．
1 1 1 2 2 2
（第11题）
23 / 2712.如图，在平面直角坐标系中，已知线段A B 与线段AB关于原点O中心对称，
1 1
点A （﹣1，2）是点A的对应点，点B 是点B（3，1）的对应点．
1 1
（1）画出线段AB和A B ；
1 1
（2）画出线段AB以点O为位似中心，位似比为1：2的线段A B ．
2 2
（第12题）
13.如果两个一次函数y＝k x＋b 和y＝k x＋b 满足k ＝k ，b ≠b ，那么称这两个一次函数
1 1 2 2 1 2 1 2
为“平行一次函数”．如图，已知函数y＝－2x＋4 的图象与x轴、y轴分别交于A，B两
点，一次函数y＝kx＋b与y＝－2x＋4是“平行一次函数”．
（1）若函数y＝kx＋b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，且位似
y
中心为原点，相似比为1∶2，求函数y＝kx＋b的表达式．
B
A
O x
（第13题）
三、综合实践
14.如图（1），△ABC 是一块三角形的铁片，利用其剪裁出一个正方形，使正方形的一条边
落在边BC上，另外两个顶点分别在边AC，AB上，探究怎样在铁片上准确地画出该正
方形？
（1）小亮给出的画法如下：
①在边AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC，垂足为D′；
②以G′D′为边，在△ABC内作正方形G′D′E′F′；
③连接BF′并延长，交边AC于点F；
④作FE∥F′E′，交边BC于点E，作FG∥F′G′，交边AB于点G，作GD∥G′D′，
交边BC于点D，那么四边形DEFG即为所求，如图（2）所示．
你认为小亮的作法正确吗？说明理由．
（2）请模仿上述方法，在图（3）的半圆中作出其内接正方形，即正方形的一边在直径
上，另两个顶点在弧上．
（第14题）
24 / 27第 10 课时《单元复习》
一、基础练习
a 2 b－a
1．已知 ＝ ，那么 的值为（ ）
b 3 b
1 1 3 1
A． B． C． D．－
2 3 2 2
2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a＝1，b＝ 2，c＝ 3，d＝ 6
C．a＝5，b＝6，c＝7，d＝8 D．a＝4，b＝6，c＝6，d＝8
AC 3
3．如图，AB∥CD∥EF，若 ＝ ，BD＝12，则DF的长为（ ）
CE 2
A．2 B．4 C．6 D．8
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD·AB D．BC2＝BD·AB
5.如图，△ABC 和△DEF 是以点 O 为位似中心的位似图形，若 OA：AD＝2：3，则△ABC
与△DEF的周长比是 ．
6.如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若
AC＝2OA，B点坐标为（4，2），则点D的坐标为 ．
7．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD：AB＝2：3，则S ：S ＝ ．
△ADE △ABC
（第7题） （第8题）
8．如图，正方形DGFE的边EF在△ABC边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH
⊥BC于H，交DG于P，已知BC＝48，AH＝16，那么S ＝ ．
正方形DGFE
9．如图，∠CAB＝∠CBD，AB＝4，AC＝6，BD＝7.5，BC＝5．求CD的长．
（第9题）
25 / 2710．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与
路灯的水平距离BP＝4m，求路灯的高度OP．
（第10题）
二、拓展提升
11．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、
G，AF2＝FG·FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG·AE＝AB·AG．
（第11题）
12．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成
矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）当点P恰好为AB中点时，PQ＝ ．
（2）当PQ＝40mm，求出PN的长度．
（3）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2．则这个矩形的长、宽各是多少？
（第12题）
13．如图，PA切⊙O于点A，PC交⊙O于C，D两点，且与直径AB交于点Q．
（1）求证：AQ·BQ＝CQ·DQ；
（2）若CQ＝2，QD＝3，BQ＝1.5，求线段PD的长．
（第13题）
26 / 27三、综合实践
14.一块直角三角形木板的一条直角边 AB＝1.5m，BC＝2m，工人师傅要把它加工成一个正
方形桌面，请甲、乙两位选学生进行设计方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方
案如图（2）所示．哪位同学设计的正方形面积较大？说明理由．
（第14题）
27 / 27
