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九年级上册第 23 章 旋转
一、选择题
1． 下列现象中，不属于旋转变换的是【 】
A．钟摆的运动 B．行驶中的汽车车轮 C．方向盘的转动 D．电梯的升降运动
2． 把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为【 】
A．60° B．90° C．120° D．180°
3． 将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后，得到△ADE，且点B的对应点D恰好落在BC
边，若 ∠B＝70°，则∠CAE的度数是【 】
A．70° B．50° C．40° D．30°
4． 在《数学知识PK赛》上，天逸同学给竞争对手抛出了一道旋转题，做为观赛选手，请
大家都来挑战一下：如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在
线段BC的延长线上，则∠B的大小是【 】
A．45° B．55° C．60° D．100°
（第2题） （第3题） （第4题）
5． 旋转后能与自身重合，旋转角最小的图形是【 】
A．正三角形 B．矩形 C．正五边形 D．正六边形
6． 如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长为1个单位长度，△ABC绕某点旋
转90°后与△DEF重合，则旋转中心的坐标是【 】
A．（﹣1，﹣1） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（1，1）
7． 如图，在正方形网格中，格点△ABC 绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点
△A1B1C1 ，点A与点A1 ，点B与点B1 ，点C与点C1 是对应点，则α＝【 】
A．30° B．60° C．90° D．150°
（第6题） （第7题） （第8题）
8． 如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向夹角为45°，且OA＝2，若将线段
OA绕点O沿逆时针方向旋转105°到线段OA′，则此时点A′的坐标为【 】
A．（ 3，﹣1） B．（﹣1， 3） C．（﹣ 3，1） D．（1，﹣ 3）
9． 如图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是【 】
A． B． C． D．
10．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列说法中，正确的是【 】
A．OC=OC′ B．OA=OB′ C．BC=A′B′ D．∠ABC=∠A′C′B′
（第10题） （第11题） （第13题）
11．如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连结AB，以下结论错误的是【 】A．AD＝CD B．∠C＝∠E C．AE＝CB D．S ＝S
△ADE △ADB
12．下列说法不正确的是【 】
A．关于中心对称的两个图形的对应点到对称中心的距离相等
B．关于中心对称的两个图形的对应点和对称中心三点在同一条直线上
C．关于中心对称的两个图形全等
D．两个图形全等一定构成中心对称
13．如图，BO是等腰三角形ABC的底边中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C
中心对称，连接AP，则AP的长是【 】
A．4 B．4 2 C．2 5 D．2 6
14．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，是中心对称图形的是【 】
A． B． C． D．
15．下列文字中是中心对称图形的是【 】
y
A．端 B．午 C．节 D．日
A
16．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于坐
标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N
的坐标分别为【 】 O x
A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3） B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3） M N
C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3） D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）
17．下列数学符号图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】 （第16题）
A． B． C． D．
18．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是【 】
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣1，﹣2）
19．在平面直角坐标系中，有A（2，﹣1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，1）、D（﹣2，1）四点，
其中，关于原点对称的两点为【 】
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A
20．若点P关于x轴的对称点P1 的坐标是（4，3），那么点P关于原点的对称点P2 的坐标
是【 】
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，﹣3）
21．已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点，则x＋y的值是【 】
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
22．在平面直角坐标系xOy中，点P（2x﹣1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第
四象限内，则x的取值范围是【 】
1 1 1
A．x＜ B．x＞ C．﹣3＜x＜ D．x＞﹣3
2 2 2
（第23题） （第24题）
23．如图，图2的图案是由图1中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是【 】A．①② B．①③ C．①④ D．③⑤
24．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．如图，△CMD的位置经过怎样的运动和△AMB重合【 】
A．沿BD翻折 B．平移 C．绕点M旋转90° D．绕点M旋转180°
26．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图2中的图案是由图1所示的基本图案
以点O为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度a，依次旋转五次而组成，则旋转角
的值不可能是【 】
A．36° B．72° C．144° D．216°
（第25题） （第26题）
27．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是【 】
A．圆 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰三角形
28．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“96”
旋转180°，得到的数字是【 】
A．96 B．69 C．66 D．99
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中
心的坐标为【 】
A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
30．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°，得到△AB′C′，连接CC′，若∠CC′B′
＝25°，则∠BCC′的度数是【 】
A．55° B．60° C．65° D．70°
（第29题） （第30题） （第31题）
31．如图，△AOB中，OA=4，OB=6，∠AOB=60°，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后
点A的对应点A′的坐标是【 】
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2 3 ，﹣4）或（﹣2 3 ，4）
C．（﹣2 3 ，2）或（2 3 ，﹣2）D．（2，﹣2 3 ）或（﹣2，2 3 ）
二、填空题
1． 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角100°，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线
上，则 ∠BED等于 度．
3
2． 如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB＝ ．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得
2
到△A'OB'，连接AA'．则线段AA'的长为 ．
3． 如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝ 2 cm，则BF＝ cm．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
4． 如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜
α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为 ．
5． 在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），将点A绕原点O逆时针旋转90°，则点A
的对应点坐标为 .
6． 如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE＝CF，连接CE、DF．将
△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是 .
（第6题） （第7题） （第8题）
7． 如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方
向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是 ．
8． 如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，
AD＝1， BD 17， 则BC的长为 ．
9． 如图，在△ABC中，O是AC的中点，△CDA与△ABC关于点O成中心对称．如果AB=6，
∠BAC=40°，那么CD的长为 ，∠ACD 的度数为 ．
（第9题）
（第10题） （第11题）
10．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，
AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为 ．
11．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），
则点C的坐标为__________．
12．给出下列4种图形：①线段，②等边三角形，③矩形，④正六边形，其中既是轴对称图
形又是中心对称图形的是 ．（在横线上填写图形前的标号即可）
C B
A
30°
B C
（第13题） （第14题） （第15题）
13．如图，AC＝BD，∠A＝∠B，点E，F在AB上，且DE∥CF，CD与AB交于点M，小
明经过研究发现该图形是中心对称图形，则该图形的对称中心是 ．14．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝1，则BB′的
长 ．
15．图1和图2中所有的小正方形都全等，若将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位
置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，则应该放到的这个位置的序
号是 ．
16．如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果
将矩形 OABC 绕点 O 旋转 180°，旋转后的图形为矩形 OA1B1C1 ，那么点 B1 的坐标
为 ．
（第16题） （第18题）
17．如果点A（a，b）在第三象限，则点B（﹣a＋1，3b－5）关于原点的对称点在 象限．
18．如图，将等边三角形AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B在第
一象限，将等边△AOB 绕点 O 顺时针旋转 180°得到△A'OB'，则点 B '的坐标
是 ．
19． 在如图3所示的4×4正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分
成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种．
20．如图，将紫荆花图案绕中心旋转n度后能原来的图案互相重合，则n的最小值为 ．
21．如图，在正方形网格中，图①经过 变换可以得到图②，图②经过 变
换得到图③（填“平移”、“旋转”或“翻折”）．
（第19题） （第20题） （第21题） （第22题）
22．如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化（平移、轴对称、旋
转）得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程： ．
23．若点P（5，2－b）关于原点的对称点为Q（a－2，5），则﹣2a＋b＝ ．
24．平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A（a，b），B（n，
3
2n－1），C（﹣a，﹣b），D（﹣ ，m），则m的值是 ．
2
25．如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y＝kx将这16个正
方形分成面积相等的两部分，则k的值是 ．
（第25题）三、解答题
1． 如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，
得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°．求∠AFE的度
数．
（第1题）
2． 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在
线段AB上，连接BE．求证：DC平分∠ADE；
（第2题）
3．如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写
出旋转 中心、旋转方向及旋转角的大小．
（第3题）
4．如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点
A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ．求证：EF＝EQ；
（第4题）
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝ 6 ，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，
得到△ADE，连接CE，交AB于点F．求CE的长；
（第5题）6． 如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，三角形ABC的顶点均在格点
上．将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，得到三角形A2B2C，画出三角形A2B2C（点
A2 ，B2 分别为点A，B的对应点）．
（第6题）
7．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，△ABC的各顶点及点O都在格点上．若
把△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，试解决下列问题：
（1）画出△ABC旋转后得到的图形△A′B′C′；
（2）以O为坐标原点，过点O的水平直线为横轴、铅垂线为纵轴建立直角坐标系，写
出△A′B′C′各顶点在该坐标系中的坐标．
（第7题）
8．如图①，将边长为2的正方形OABC如图①放置，O为原点．若将正方形OABC绕点O
逆时针旋转60°时，如图②，求点A的坐标；
（第8题）
9． △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长
度．将△ABC绕原点O旋转180°后的图形为△A1B1C1 ．
（1）写出点A的对应点A1 的坐标；
（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2 ；
（3）若P（a，b）为△ABC边上一点，则在△A2B2C2 中，点P对
应的点Q的坐标为 ；
（第9题）
10．如图，在四边形ABCD中．若BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，则AC
平分∠BAD．小明为了证明这个结论，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，
请帮助小明完成他的作图，并说明理由．
（第10题）11．如图，已知四边形 ABCD 和四边形 ABCD 外一点 O．画出四边形
A B C D ，使四边形A B C D 与四边形ABCD关于点O成中心对称．
1 1 1 1 1 1 1 1
（第11题）
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，点O是AB上的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得
△ABD．若∠ABC＝60°，BC＝2，求四边形ACBD的面积．
（第12题）
13．如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．
（1）找出它们的对称中心；
（2）若AC=6，AF=7，求四边形ACDF的周长．
（第13题）
14．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，矩形ABCD面积为6，求四边形
BDEG的面积．
（第14题）
15．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角
形DCE关于点E成中心对称，点E，D，M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点
P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
（第15题）16．如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝BF，连接AF，CE．求证：
四边形AECF是中心对称图形．
（第16题）
17．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若四边形AEFB的面积为15cm2，
求四边形EDCF的面积．
（第17题）
18．如图，O为平行四边形ABCD的对称中心，对角线AC⊥AB，过点O作直线EF∥AB，
分别交AD，BC于E，F，连接AF，CE．
（1）证明：四边形AFCE是菱形．
（2）若四边形AFCE是正方形且BC＝6，求AB的长．
（第18题）
19．在一次数学社团活动上，小明设计了一个社团标识，如图，正方形ABCD与折线D﹣E
﹣F﹣B构成了中心对称图形，且DE⊥EF，AD＝50，DE－EF＝25，求EF的长．
（第19题）
20．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，3）、（4，1），以OA，
OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图象过
点B．则当一次函数y＝kx＋b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值．
（第20题）21．如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，作出△ABC关于原点对称的△A B C
1 1 1
并写出A 、B 、C 的坐标．
1 1 1
（第21题）
22．若点P（m﹣1，﹣5）与点Q（3，n＋2）关于原点成中心对称，求（m＋n）2023的值．
23．若点P（﹣3﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点是第一象限的点，求整数a的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，一个方格的边长为1个单位长度，三角形MNQ是三角形
ABC经过某种变换后得到的图形．
（1）请分别写出点A与点M，点B与点N，点C与点Q的坐标；
（2）已知点P是三角形ABC内一点，其坐标为(a，b)，写出三角形MNQ内的对应点R
的坐标．
（第24题）
25．我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意
x₁＋x₂ y₁＋y₂
两点P(x ，y )，Q(x ，y )的对称中心的坐标为（ ， ）．
1 1 2 2
2 2
（1）如图，在平面直角坐标系中，点P (0，﹣1)，P (2，3)
1 2
的对称中心是点A，求点A的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次
关于点A，B，C做循环跳动，即第一次跳动到点P关于
点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N
处，第
三次再跳到点N关于点C的对称点处，…，如此下去．求
经过第2017次跳动后，棋子落点与点P的距离．
（第25题）26． 如图，在由边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点
上．
（1）请先画出△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移5个单
位长度后得到的△A1B1C1 ；
（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2 ．
（第26题）
27．如图，在△OAB中，∠1＝∠2．将△OAB绕点O顺时针旋转180°，点A的对应点记为
C，点 B的对应点记为D，顺次连接BC，CD，DA得到四边形ABCD．
（1）补全图形；
（2）所得四边形ABCD为 （从①矩形；②菱形；③正
方形中选择，只填写序号即可），并说说理由．
（第27题）
28．如图，在4×3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此
图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、
白方块的个数要相同）
（1）在图（1）中设计一个轴对称图形，并作出对称轴；
（2）在图（1）中设计一个中心对称图形，并标出对称中心．
（第28题）
29．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C
（3， 4）．
（1）请将△ABC先向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位
长度的△A1B1C1 ；并画出△ABC 绕原点逆时针旋转 90°后得到的
△A2B2C2 ；；
（2）在平面内有一动点P，使得以点P、A、B、C为顶点的四边
形是平行四边形，满足条件的点P的坐标为 ．
（第29题）
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将线段CA绕点C逆
时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC＝1，求线段BD的长．
（第30题）31．如图，在直角坐标平面内，已知点A（0，4）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣3）．
（1）点C关于原点对称的点C′的坐标是 ；
（2）在x轴负半轴上找一点D，使S ＝S ，求点D坐标．
△DBC′ △ABC′
（第31题）
32．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
（第32题）
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n
度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．若F是DE的中点，判断四边形ACFD的
形状，并说明理由．
（第33题）
34．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，
若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．
（第34题）
35．已知，点P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5，线段AP绕点A逆时针旋
转60°到AQ，连接PQ．
（1）求PQ的长．
（2）求∠APB的度数．
（第35题）四、综合实践
1．请认真阅读人教九上教材60页“探究”相关内容，在探究旋转的性质的过程中，你发现了
哪些边是相等的？哪些角是相等？哪些三角形是全等的？请从边、角、三角形三个方面
写一写你对旋转的认识（200字左右，可结合图形阐释）．
2．请认真阅读人教版九上教材61页相关内容，利用基本图形 通过平移、旋转、
翻折等方法设计出一个美丽的图案，并编写出一个与之相关的数学小故事（200字左右，
可结合设计的图形进行编写）．
3．对称之美无处不在，无论是别致典雅的中国古典建筑，还是美轮美奂的艺术品都完美诠
释了对称之美．请你收集更多的中心对称图案，尝试设计出美丽的中心对称图案，并简
要说明你所设计图案的含义．
4．乾隆和纪晓岚楹联中的对称：传说乾隆下江南时，曾光顾了一个小酒店。当时，大雪飘
飘，顾客寥寥。乾隆有兴而发，出了一个上联——“水冷酒一滴二滴三滴”，要随从纪晓
岚对下联。纪晓岚看后，觉得这副对联很难对上，因为水冷酒三个字很特殊，它们的偏
旁正好是一滴二滴三滴 ，要找到这样的三个字，既要有意义，又要与数字有联系 ，还
要保证对称，确实不容易。他稍加思索，写出了下联——“丁香花百头千头万头”。这真
是太妙了！丁香花三个字出很特殊，丁字的头与百字头一样，香字的头是千，花字的头
与万字头一样。水冷酒使人联想到寒冬腊月，而丁香花使人联想到春意融融。数学的对
称美体现在这副对联中，不禁叫人拍案叫绝．请收集几个体现数学中的对称美的诗句．5．在平面直角坐标系中，请分别选择△ABC外部一点，△ABC的边上某一点，△ABC内部
某一点为中心，设计一个与△ABC成中心对称的图形，并说明你的设计理念．
（图1） （图2） （图3）
（第14题）
6．我们可以利用平移、轴对称、和旋转中的一种进行图案设计，还可以利用它们的组合进
行图案设计，请利用基本图形 用两种或两种以上它们的组合设计一个美丽图形，
并说说你的设计理念（200字左右，可结合图形阐释）．
360°
7．阅读材料：把正n边形绕着它的中心旋转 的整数倍后所得的正n边形与原图形重合．我
n
360°
们说，正n边形关于其中心有 的旋转对称．一般地，如果将一个图形绕着某点O旋
n
转∠α（0 ＜α＜360°）后所得到的图形与原图形重合，则称此图形关于点O有∠α的旋
转对称．下图就是具有旋转对称性质的一些图形．
根据阅读材料，请自主选择一个基本图案，利用平移、轴对称或旋转进行图案设计，使
设计出的图案具有旋转对称性质，并简要阐述一下你是如何设计的．
