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第二十八章 锐角三角函数
一、选择题
1． 已知一个不等臂跷跷板AB长3米，支撑柱OH垂直地面，当AB的一端A着地时，AB与地面夹角的
1 1
正弦值为 ，如图①；当AB的另一端B着地时，AB与地面夹角的正弦值为 ，如图②，则支撑柱OH
2 3
的高为【 】米．
3
A．0.4 B．0.5 C． D．0.6
2
图① 图②
（第1题）
2． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是【 】
CD AD AB AD
A． sin C＝ B．sin C＝ C．sin C＝ D．sin C＝
AC DC BC AB
3． 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点P（a，－a），连接AP，交y轴于点B．
若AB∶BP＝2∶1．则sin∠PAO的值是【 】
1 5 10 3 10
A． B． C． D．
3 5 10 10
（第2题） （第3题） （第4题） （第8题）
4
4． 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（5，0），sin∠COA＝ ，若反比例
5
k
函数y＝ （k＞0，x＞0）经过点C，则k的值为【 】
x
A．10 B．12 C．48 D．50
5． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3则cos∠A的值为【 】
3 4 7 3
A． B． C． D．
5 5 4 4
6． 等腰△ABC中，若AB＝AC＝3，BC＝3，则cos∠ABC的值为【 】
1 1 2 2 10
A． B． C． D．
2 3 3 10
2
7． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cos∠B＝ ，则BC的长为【 】
3
A．6 B．2 5 C．3 5 D．9 5
8． 如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是【 】
A．CD＝AB·sinB B．CD＝AD·cosA C．CD＝AC·cosB D．CD＝AC·sinA9． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是【 】
3 4 4 4
A．tanB＝ B．sinB＝ C．sinB＝ D．cosB＝
4 3 5 5
10． 如图，边长为1的正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则tan∠AED的值为【 】
5 2 5 1
A． B． C．2 D．
5 5 2
11．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，AD＝13，BE＝1，则tanA的值为【 】
12 5 12 5
A． B． C． D．
13 13 5 12
D C
A B
E
（第10题） （第11题） （第12题）
12．如图所示，北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念，它的主体形状呈
正六边形，若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠BAC的值为【 】
3 1
A． B． 3 C．2 D．
3 2
1 1
13．已知∠A，∠B均为锐角，且cosA＝ ，sinB＝ ，则下列结论中正确的是【 】
2 2
A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30° C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30°
14．在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝2 3，∠C＝90°，则∠A的度数是【 】
A．30° B．40° C．45° D．60°
1 3
15．当∠A为锐角，且 ＜cosA＜ 时，∠A的范围是【 】
2 2
A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90° C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30°
16．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且|2sinA－1|＋( 3－tanB)2＝0，则△ABC的形状是【 】
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
17．如图，某商场自动扶梯的倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是【 】
A．
B．
C．
D． （第17题）
18．如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下100米，若斜坡的坡比为tan38°∶1，用计算器求下降的高度，
则下列按键顺序正确的是【 】
A．100 tan 3 8 ＝ B．100 sin 3 8 ＝
C．100 cos 3 8 ＝ D．100 tan 3 8 ＝ （第18题）
19．已知cosα＝0.75，则锐角α的取值范围是【 】
A．0°＜α＜30° B．35°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
20．下列各式中，结果的符号为正的是【 】
A．cos80°－sin40° B．tan50°－tan40° C．tan70°－tan80° D．sin89°－tan45°1
21．已知 ＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是【 】
2
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
22．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠ADC＝β，∠B＝α，AB=a，则BD的长度可表示为【 】
a asinα
A．a(cosα－cosβ) B． C．acosα－ D．acosα－asinα•a▪tanβ
tanβ－tanα tanβ
23．直角三角形纸片ABC，两直角边BC＝4，AC＝8，现将△ABC纸片按如图那样折叠，使点A与点B重
合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是【 】
1 3 4
A． B． C．1 D．
2 4 3
C C
E
B A B D A
（第22题） （第23题） （第24题）
24．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动
点．当点D到OB的距离最大时，sin∠BOD的值为【 】
1 10 3 10
A． B．3 C． D．
3 10 10
3
25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝6，则AB的长为【 】
5
A．4 B．6 C．8 D．10
26．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果∠C＝90°，那么下列结论正确的是【 】
A．csin A＝a B．bcos B＝c C．atan A＝b D．ctan B＝b
3
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，CD＝3，AD＝BC，cos ∠ADC＝ ，则BD的长为【 】
5
A．4 B．3 C．2 D．1
3
28．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝2，sin B＝ ，则AC的长为【 】
5
A．3 B． 13 C．2 3 D．4
（第27题） （第28题）
29．身高相同甲、乙、丙三人放风筝，各人放飞线长分别为30米，25米和20米，线与地面所成的角度分
别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，则三人所放风筝【 】
A．甲的最高 B．乙的最高 C．丙的最高 D．丙的最低
30．如图，AC是电线杆AB的一根拉线，在点C测得A处的仰角是52°，BC＝6米，则拉线AC长为【 】
6 6 6 6
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
sin 52° tan 52° cos 52° cos 48°
31．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，
再向电视塔方向前进 100 米达到 F 处，又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60°，则这个电视塔的高度 AB为【 】
A．50 3米 B．51米 C．（50 3＋1）米 D．101米
32．如图，某数学兴趣小组测一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶
C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则这棵树CD的高度是【 】
A．8(3－ 3) m B．8(3＋ 3) m C．6(3－ 3) m D．6(3＋ 3) m
（第30题） （第31题） （第32题）
33．某人从A点出发向北偏东60°方向走10米，到达B点，再向南偏西15°方向走10米，到达C点．
则∠ABC等于【 】
A．45° B．75° C．105° D．135°
34．已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东63°方向航行，另一轮船以8海里/时的速度
同时从港口A出发向南偏东27°方向航行．则离开港口1小时后，两船相距【 】
A．8 3海里 B．8 5海里 C．16海里 D．24海里
35．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 nmile的小岛A出发，沿正南方向航行
一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是【 】
A．30 3 nmile B．60 nmile C．120 nmile D．（30＋30 3）nmile
36．如图，渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向
航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，灯塔M与渔船的距离是【 】
A．7 2海里 B．14 2海里 C．7海里 D．14海里
（第35题） （第36题）
37．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α 的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了【 】
300
A．300sin α米 B．300cos α米 C．300tan α米 D． 米
tan α
38．若某斜面的坡度为1： 3，则该坡面的坡角的度数为【 】
A．30° B．45° C．60° D．75°
39．下图是河堤的横断面，若堤高BC＝5 cm，迎水坡AB的长为13 m．那么斜坡AB的坡度是【 】
A．1∶2 B．1∶2.4 C．1∶2.6 D．1∶3
40．如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6 m，坝高8 m，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度
i＝1：3，则坝底宽BC为【 】
A．36 m B．72 m C．78 m D．38 m
（第37题） （第39题） （第40题）41．点M（－sin 60°，cos 60°）关于x轴对称的点的坐标是【 】
3 1 3 1 3 1 1 3
A．（ ， ） B．（－ ，－ ） C．（－ ， ） D．（－ ， ）
2 2 2 2 2 2 2 2
4
42．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝ ．⊙O过B，C两点，且⊙O的半径r＝ 10，则OA的长为【 】
5
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
3 12
43．在锐角△ABC中，cos A＝ ，cos B＝ ，BC＝13，则△ABC的面积为【 】
5 13
56 315
A． B．30 C．78 D．
2 8
44．在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时
乙
货船从B港口沿北偏西60°方向出发，2 h后相遇在点P处，问A港与B港相距【 】海里．
A．10 2 B．5 2＋5 6 C．10＋5 6 D．20
1
45．在Rt△ABC中，cos∠A＝ ，那么sin∠A的值是【 】
2
3 3 2 1
A． B． C． D．
2 3 2 2
46．在△ABC中，(2cosA－ 2)2＋|1－tan∠B|＝0，则△ABC一定是【 】
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
47．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sin A的是【 】
AD BD BD DC
A． B． C． D．
AB AD BC BC
3
48．在锐角△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝ ，则底边BC的长为【 】
4
A．6 B．8 C．12 D．16
二、填空题
1． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝ 3，则sinB的值为 ．
2． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB的
长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为 ．
3
3． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠BAC＝ ，若将△ABC三边都扩大3倍得到△A'B'C'，
5
则sin∠B'A'C'＝ ．
1
4． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝ ，则边AB的长为 ．
4
（第1题） （第2题） （第5题） （第6题）5． 如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么cos∠BAC的值为 ．
3
6． 如图，直角坐标平面内，点P与原点O的距离为5，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cosα＝ ,
5
则点P的坐标是 ．
7． 在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边AC的长是 ．
4
8． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且∠DCB＝∠A，若AC＝10，cos∠DCB＝ ，
5
则AD的长为 ．
9． 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan∠A的值为 ．
1
10．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tan∠A＝ ．
4
11．在△ABC中，AB＝AC＝4，S ＝4 3，则tan∠ACB＝ ．
△ABC
5 4
12．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD＝ ，BP＝ ，以点P为直角顶点的直角三角形两条直
3 3
角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF的值为 ．
A
B
C
（第9题） （第12题） （第15题） （第16题）
3
13．若sin(x－10°)＝ ，则锐角x＝ °．
2
14．比较大小：sin35° cos45°．
15．如图，将三角尺放置在矩形纸片上，∠EFG＝90°，EG＝2FG，∠1＝73°，则∠2＝ °．
16．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，4为半径画弧，交网格线
︵
于点A，B，则AB 的长为 ．
5–1
17．用科学计算器计算： sin37.5°（比较大小）．
2
18．用计算器求得tan65°＝ （精确到0.01）．
19．已知tanA＝1.3864，则锐角∠A的度数为 （精确到分）．
4
20．△ABC是锐角三角形，若sin∠C＝ ，则sin∠A的取值范围是 ．
5
21．如图，方格中的两条线段所夹锐角为∠1，则tan∠1＝ ．
22．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2 3，则它的面积为 ．
（第21题） （第22题） （第23题） （第24题）
23．如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cosθ的值等于 ．
4 AB
24．如图，PA，PC分别与圆O相切于A，C两点，AB,BC为⊙O的两条弦，PA∥BC，若tanP＝ ，则
3 BC
的值为 ．
A
25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2 3，则cos ＝ ．
2
4
26．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，BC＝8，则△ABC的面积为 ．
3
27．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子
顶端到地面的距离BC为 ．（用含α的式子表示）
28．如图，为测量河宽AB（假设两岸平行），测得∠ACB＝30°，测得∠ADB＝60°，又CD＝60 m，则河宽
AB为 m．（结果保留根号）．
（第27题） （第28题） （第29题）
29．如图，小颖利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，
AB为1.5 m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是 m．
30．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角
分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1 200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江
的宽度AB为 米（结果保留根号）．
（(第第360题题）） （（第第731题题）） （ 第 （8第题3）2 题 ）
31．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的
俯角为45°，旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是 m．（结
果保留根号）．
32．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的
方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧
A，B两点间的距离为 米．
33．如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此
时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于 海里．
（第33题） （第34题）34．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏
东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离
是 海里．
35．如图，一艘船以40 nmile/h的速度由西向东航行，行至A处时，测得灯塔P在船的北偏东30°方向上，
继续航行2.5 h，到达B处，测得灯塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的距离为 nmile．
（结果保留根号）
（第35题） （第36题）
36．在实践课上，小组要测量一条河的宽度．如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测
得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东
30°方向，此时，其他同学测得 CD＝10 米．请根据这些数据求出河的宽度为 米．（结果保留
根号）
37．测得某坡面铅直高度h＝2 m，水平宽度l＝4 m，则坡度i为 ．
38．如图，山坡的坡度为i＝1∶ 3，小辰从山脚点A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升
了 米．
(第38题） (第39题） (第40题）
39．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6 m，迎水坡AB的坡度为1∶ 3，则AB的长为 ．
40．如图，现有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设
台阶的起点为点A，斜坡的起始点为点C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是 cm．
41．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，AB＝10，则AD的长为 ．
3
42． 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若sin∠AOC＝ ，OA＝5，则点B的坐标为 ．
5
（第41题） （第42题） （第43题） （第44题）
3
43．如图，AD是等腰△ABC底边上的高，tan∠B＝ ，AC边上有一点E，满足AE∶CE＝2∶3，
4
则tan∠ADE的值是 ．
44．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AB＝ 5，连结 AB 并延长至 C，连结 OC，若满足 OC 2＝BC•AC，
1
tanα＝ ，则点C的坐标为 .
2
45．如图要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河PA边取的垂线PB上的一点C，测得
PC＝50米，∠PCA＝44°，则小河宽PA为 米．
46．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝a（B′C为水平线），
测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为 米．
（第45题） （第46题） （第47题） （第48题）
3
47．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，cos∠ADE＝ ，AB＝4，则AD的长为 ．
5
48．当“神舟”飞船完成变轨后，就在离地球表面 400 km 的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表
面上P点的正上方的A处时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点与P点相距 km．（地球
半径约为6 400 km，π≈3，sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，结果保留整数）
三、解答题
1． 在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12．求sin∠B的值．
A
B C
（第1题）
2． 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且满足a∶b∶c＝3∶4∶5．求sinA的值．
3
3． 如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC＝ ，求对角线AC的长．
5
B
A C
D
（第3题）
4． 如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是AB延长线上的一点，且BP＝2，求sin∠OPA．
O
P
B A
（第4题）5． 如图，在△ABC中， CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E，F，如果△AEF的面积是四边形BCFE
1
面积的 ，求sin∠A的值．
3
A
E
F
B C
（第5题）
6． 已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，求cosA的值．
7． 如图，将Rt△ABC沿斜边AB翻折得到△ABD，O为AB的中点，连接DO并延长DO，使DO＝OE，
连接AE．若AC＝9，BC＝3，求cos∠CAE的值．
（第7题）
1
8． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AC＝1，cosA＝ ．求CD的长．
2
A
D
C B
（第8题）
3 A
9． 如图，在△ABC中，AB＝AC．如果sinB＝ ，求cos 的值．
5 2
A
B C
（第9题）4
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝8，BC＝16，sinC＝ ，求：
5
（1）CD的长；
（2）cosB的值．
（第10题）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝ 7．求：
（1）BC的长；
（2）tan∠A的值．
（第11题）
3
12．如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD＝6，BC＝12，tan∠C＝ ，求：
2
（1）CD的长；
（2）cos∠B的值．
（第12题）
13．如图，△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．（第13题
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点B，A，与反比例函数的图象交于点C，
1
D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO＝ ，OB＝4，OE＝2．
2
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积．
（第14题）
15．如图，小明同学为了测量电视塔OC的高度，发现电视塔在某一时刻的塔影一部分OA在地面，还有
一部分AP在坡度为1∶ 3的山坡上，且点O，A，B在同一直线上，测得OA＝50 m，AP＝20 m，在
P处测得塔顶C的仰角为45°，求电视塔OC的高度．（结果保留根号）
（第15题）
a2 a2
16．先化简，再求值：(a－ )÷ ，其中a＝2cos60°＋1．
a＋1 a2－1
︵
17．如图，以点O为圆心的圆形纸片中，AB是⊙O的弦，将该纸片沿直线AB折叠，劣弧AB 恰好经过
圆心O．若AB＝6，求图中阴影部分的面积．
（第17题）
18．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边向外作△BCF，点E为BF上的一点，连接AE．若四边形
AEFC是菱形，求∠EAB的度数．（第18题）
19．如图，⊙O是一个圆柱体管道的横截面，管道中有部分液体，液面横截面宽度AB为 3 m，管道直径
为2 m，求弦AB所对圆周角的度数．
（第19题）
20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝4，以点A为圆心，AB为半径的圆与CD相切于
点E，交AD于点F．用扇形BAF围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径．
（第20题）
21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，BC＝6，求AB的长．（用计算器计算，结果精确到0.1）
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，
点A落在矩形ABCD的边CD上，连结CE，CF，若∠CEF＝α，求tanα的值．
（第22题）23．用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值和正切值．
（第23题）
24．如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB
＝0.75 m，斜坡AC的坡比为1∶2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离
ED＝2.55 m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1 m）
（第12题）
25．（1）利用计算器计算，并验证sin25°＋sin46°与sin71°之间的大小关系；
（2）若α，β，α＋β，都是锐角，猜想sinα＋sinβ与sin(α＋β)之间的大小关系；
（3）请借助如下图形证明上述猜想．
（第25题）
4－x 12
26．先化简，再求代数式 ÷(x－2－ )的值，其中x＝－8sin30°＋tan60°．
x＋2 x＋2
27．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶
杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平
线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长．(结果保留一位小数)
(参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14，sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，
2≈1.41)．
图1 图2（第27题）
28．如图，将半径为5 cm的扇形AOB沿西北方向平移 2 cm，得到扇形O'A'B'，若∠AOB＝90°，求阴影
1
部分的面积．（sin12°≈ ）
5
（第12题）
（第28题）
29．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD
的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝4，BF＝5，求cos∠BAC的值．
（第12题）
（第29题）
30．在△ABC中，∠ABC＝60°，点D是直线BC上一点，AB＝16，BD＝10(BC＞BD），求sin∠BAD的值．
31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ 6，AC＝ 2，求AB，∠A，∠B的值．
（第31题）
32．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，求BC的长．
（第32题）33．如图，A，B，D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝60 m．求：
（1）点B到AC的距离；
（2）线段CD的长度．
（第33题）
1 2
34．如图，AD是△ABC的中线，tan∠B＝ ，cos∠C＝ ，AC＝ 2．求：
3 2
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
（第34题）
35．小宇想测量位于池塘两端的A，B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C
处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°．若直线AB与EF之间的距离
为60米，求A，B两点的距离．
(第35题）
36． 如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，求该高
楼的高度．
（第36题）37．如图，两座建筑物AB，DC的水平距离BC为30 m，从点A测得点D的俯角为30°，测得点C的俯角
为45°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）．
(第37题）
38．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼
B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为30°，已知AB＝6 m，DE＝10 m．求乙楼的高度．
(第38题）
39．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一
方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无
人飞机的飞行高度（结果保留根号）．
(第39题）
40．如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上
B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，
A处测得点P的仰角为45°，试求A，B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视
为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）
（第40题）
41．如图，一艘轮船离开 A 港沿着东北方向直线航行60 2海里到达 B 处，然后改变航向，向正东方向航
行20海里到达C处，求AC的距离．
(第41题）42．如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时
间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．
（第42题）
43．如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森
林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C
在点B的北偏西60°方向上．MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据： 3≈1.732）
(第43题）
44．如图，一艘海轮位于灯塔 C 的北偏东 30°方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，海轮沿正南方向匀速航行
一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．
（1）求灯塔C到航线AB的距离；
（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）．
（参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732）
（第44题）
45．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2 km，点B位于点A北偏东60°
方向且与A相距10 km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航
行，5 min后该轮船行至点A的正北方向的D处．
（1）求观测点B到航线l的距离；
（2）求轮船航行的速度（结果精确到0.1 km/h）．（参考数据： 3≈1.73，sin 76°≈0.97，cos 76°≈0.24，
tan 76°≈4.01）
（第45题）46．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4（如图）．如果改动
后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．
（第46题）
47．如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1∶ 3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一
条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．
（第47题）
48．如图，某水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽5米，坝高5 3米，斜坡AD的坡度i＝1∶ 3，坡
角∠B＝45°．求：
（1）坡角α的度数；
（2）坝底AB的长度．
(第48题）
49．如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰
角为60°，沿山坡向上走到 B 处测得宣传牌顶部C的仰角为 45°．已知山坡AB 的坡度 i＝1∶ 3，AB
＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1米．参考
数据： 2≈1.414， 3≈1.732．）
（第49题）50．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的
夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4 2米．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点 C 的左侧留出 2 米的通道，试判断距离 B 点 5米的货物 MNQP 是否需要
挪走，并说明理由．（参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7．）
(第50题）
51． 四边形ABCD中，BC⊥CD，∠BCA＝60°，∠CDA＝135°，BC＝10，S ＝40 3．求AD的长．
△ABC
C
D
B A
（第51题）
k
52．如图，反比例函数y＝ （k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A（1，a）,B两点，点C
x
在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°．求：
（1）k的值及点B的坐标；
y
（2）tan∠C的值．
4
3
2 A
1
–4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 x
–1
B –2
–3
C
–4
（第52题）
–5
53．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，
被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为
45°，沿着山坡向上行走40 m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．
（参考数据： 2、≈1.41， 3≈1.73，结果保留整数）
（第11题）
（第53题）54．如图，矩形ABCD中，点E为AD上一点，BE⊥AC于F点．
1
（1）若AD＝4，tan∠EAF＝ ，求AF的长；
2
2
（2）连接DF．若tan ∠EAF＝ ，求证DF＝AB．
2
A
E
D
F
B C
（第54题）
55．如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且横坐标
为3．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．
（第55题）
56．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD
顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°．已知侧倾器AB的高度为1.6
米，求楼房CD的高度．（结果精确到0.1米）
（第56题）
57．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20 m，背水坡BC的坡度为i ＝1∶1．为了对水库大坝进行升
1
级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i ＝1∶ 3，求背水坡新起点A
2
与原起点B之间的距离．（参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73．结果精确到0.1 m）
（第57题） x2 1 1 x2
58．先化简，再求值： ，其中x 27 2 3tan60．
x2 2x1 x1 x1
59．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 2，BC＝ 6．解这个直角三角形．
A
C B
（第59题）
60．如图，△ABC表示学校内的一块三角形空地，AB＝20 m，AC＝30 m，∠BAC＝150°．为美化校园环
境，准备在空地内种植草皮．已知某种草皮每平方米售价为200元，则购买这种草皮需花费多少元？
A
B C
（第60题）
四、综合实践
1． 在本节课的学习后，小明观察了自己的量角器，发现中心点与内刻度0°至90°之间，可以围成一个圆
心角为90°的扇形．如图所示，如果有一点A在弧PQ上（不与点P，Q重合），过点A作AB⊥OQ，
垂足为点B，连接AO，记∠AOB＝α．
( )
（1）当点A在20°处时，sinα＝ ；
OA
1
（2）当sinα＝ 时，请在图中画出点A的位置；
2
⌒
（3）请判断当点A在PQ上运动时，sinα的值随着α的变化如何变化，请说说你的理由．
P
A
O B Q
（第1题）2． 结合本课的学习，让我们一起尝试探究15°角的余弦值吧！
方法如下：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°．
A
B C
（第13题）
步骤一：在Rt△ABC中构造15°角；
步骤二：找到含有15°角的直角三角形，并用未知数表示15°角的邻边与斜边；
步骤三：计算15°角的余弦值．
根据15°角的余弦值的自主学习，尝试求22.5°角的余弦值．
3． 今天，让我们一起尝试探究15°角的正切值吧！
方法如下：
如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°．
A
B C
步骤 操作方法 具体过程
过点E作EH⊥FG，垂足为点H；
在顶角为30°的等腰三角形中
步骤一 过点G作GP⊥EF，垂足为点P；
构造15°角
可以找到15°的角有：____________
（请自己写出具体过程）
找到含有15°角的直角三角形，
步骤二 并用未知数表示15°角的对边
与邻边
（请自己写出具体过程）
步骤三 计算15°角的正切值
根据15°角的正切值的自主学习，尝试求22.5°角的正切值，也可以试着挑战求36°角的正切值．4． 小明学习了本节课之后，带领兴趣小组来到了操场，将一根长为2米的木棍的下端A放在地面上，它
的上段B靠着墙面，地面与木棍所成的夹角α为45°．小明将木棍的两端沿着地面和墙面滑动，下端
A移动到了A′处，上段B移动到了B′处，此时木棍与地面的夹角β为60°，小明他们想解决一个问题：
在木棍的移动过程中，点A和点B移动的距离相等吗？如果不相等，两者之间有什么联系吗？请你也
参与该兴趣小组的研究！
B′
B
A A′
（第4题）
5． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4.4，AC＝7.2，用计算器求出∠A的度数（结果精确到1′）．
B
A C
（第5题）
现在，小明和小红有两种不同的想法：
小明：我觉得可以先求出∠A的正切值，再用计算器求出∠A的度数．
小红：我认为先用勾股定理求出斜边AB的长，再求出∠A的正弦值，最后用计算器求出∠A的度数．
小明和小红通过求解，发现两人求出的∠A的度数不相等．
谁的更精确呢？你能说说这是为什么吗？
6． 我们通过借助30°角，构造有关15°角的直角三角形，求出了15°角的正切值．善于反思的小丽同学提
出这样一个问题：已知任意一个锐角2α的三角函数值，是否能求出锐角α的三角函数值呢？
3
（1）尝试探究：已知sin2α＝ ，求tanα；
5
（2）逆向思考：若已知任意锐角α（0°＜α＜45°）的三角函数值，是否也能求出2α的三角函数值呢？
请你和你的小伙伴合作探究，解决小丽的问题，并梳理你们的探究思路、探究过程、探究成果等，
写一篇数学小论文吧．7． 本节课我们学习了解直角三角形的相关知识，已知其中除直角外的两个元素（至少有一个是边），就
可以求出其余三个未知元素．对于等腰三角形各元素的求解，我们也可以给出如下定义：等腰三角形
有四个元素，即：腰、底边、顶角和底角，由等腰三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，
叫做解等腰三角形，那么接等腰三角形需要知道哪些元素呢？
小明认为：要解等腰三角形，需要已知三个元素，其中有一条必须是边．
小丽认为：要解等腰三角形，只要已知两个元素就可以了．
你同意哪位同学的观点呢？说说你的理由．
8． 如图（1），圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标
竿（称为“表” ）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”) ，当正午太阳照射
在表上时，日影便会投影在圭面上．如图（2），圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最
短的那一天定为夏至．不同的地理位置正午太阳高度角（指太阳光与水平线的夹角）不同，如图（3），
我国某城市夏至正午太阳高度角∠ADC为82°，冬至正午太阳高度角∠ABC为35°，如果表AC长10
厘米，你能求出夏至杆影长CD与冬至杆影长CB的差吗？
A
C D B
（1） （2） （3）
9． 据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小海同学所在的学习小组从数学学科角度进行了
一项研究：规定以下情境中的速度不得超过15 m/s．在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如
平面几何图，AD＝24 m，∠D＝90°，第一次探测到一辆轿车从位于点A 南偏西59°方向的B 处，正
沿公路自西向东行驶，2秒后到该汽车行至点A南偏西40°的C处．通过计算，判断此轿车是否超速．
（tan 59°≈1.7，tan 40°≈0.8，结果精确到1 m）
(第9题）10．“欲穷千里目，更上一层楼”，小明从家里5楼爬到6楼（顶楼），声称就能看到千里之外，你同意
他的观点吗？（请参考人教版数学九年级下册74页例3，将其转化为数学问题并作出判断）
11．某中学在一次社会实践中开展了定向越野活动，通过地图上所给信息，寻找到目标点P．如图，所有
学生都从点A出发，地图中有两处标记，分别为凉亭B和观景台C，凉亭B位于起点A的北偏西35.93°，
距离起点A 3千米，观景台C位于起点A的正西方，距离起点A 4千米．为例能准确找到目标点P，
老师为同学们准备了四个锦囊．
定向越野地图
锦囊1：目标点P位于凉亭B的南偏西20.32°
凉亭B
锦囊2：目标点P位于观景台C的北偏东59.25°
锦囊3：目标点P与凉亭B相距1.5千米
锦囊4：目标点P与观景台C相距2千米
观景台C 起点A
（1）请选用尽可能少的锦囊，在图中画出目标点P，并说说你的理由；
（2）求出目标点P相对于起点A的方向和距离．（结果保留两位小数）12． 三角函数起源于5 000多年前的古埃及和古巴比伦时期，由于天文学的需要，古希腊学者确立了三角
形边与角的明确关系，是天文观测结果推算的一种方法．最早测量地球周长的人，叫做埃拉托色尼，
是一位生活在2 300年前的古希腊人，被称为“地球学之父”．他仅仅使用了一根棍子就估算出了地
球的周长．同学们，请你们通过相关资料的查找，探索历史上有关地球周长（直径）测量方法的故
事，并完成调查报告．
历史上有关地球周长测量方法的调查报告
班级 姓名
调查时间 调查来源
历史人物简介：
历史背景介绍：
测量方法、过程介绍：
调查感悟：
