文档内容
专题 08 锐角三角函数（11 个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝ ．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝ ．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝ ．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
二．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值． （2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
三．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 tanA＝
或sinA＝tanA•cosA．
四．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
五．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
六．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sin ＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结
果． α
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
七．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
八．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边
的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得
到实际问题的答案．九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，
一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系为：i＝h/l＝tan ．
α α α
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角
的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三
角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，
把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
十一．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定
在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
【专题过关】
一．锐角三角函数的定义（共5小题）
1．（2021秋•遵化市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA的值为（ ）
A． B． C． D．2．（2021秋•南宫市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝6，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022•沈阳模拟）如图，已知AB为 O的直径，∠ADC＝30°，则tan∠CAB的值为（ ）
⊙
A． B．1 C． D．
4．（2022•莲湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的
坐标为（0，3），tan∠ABO＝ ，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．6 C．12 D．8
5．（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，
OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是
（ ）A． B． C． D．3
二．锐角三角函数的增减性（共3小题）
6．（2022•五通桥区模拟）若锐角 满足cos ＜ 且tan ＜ ，则 的范围是（ ）
α α α α
A．30°＜ ＜45° B．45°＜ ＜60° C．60°＜ ＜90° D．30°＜ ＜60°
α α α α
7．（2022春•连山区月考）若∠A为锐角，且cosA＝ ，则∠A的取值范围是 ．
8．（2021秋•泗县期末）如图，半径为13的 O内有一点A，OA＝5，点P在 O上，当∠OPA最大时，
S△OPA 等于（ ） ⊙ ⊙
A．40 B．45 C．30 D．65
三．同角三角函数的关系（共3小题）
9．（2021秋•海淀区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022•海曙区校级开学）已知∠A是锐角tanA＝ ，则sinA＝ ．
11．（2022•娄星区一模）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝
sinx•cosy+cosx•siny．
据此判断下列等式成立的是 （写出所有正确的序号）③cos（﹣60°）＝﹣ ； ②sin75°＝ ；
③sin2x＝2sinx•cosx； ④sin（x﹣y）＝sinx﹣siny．
四．互余两角三角函数的关系（共2小题）
12．（2022•鹿城区校级模拟）已知 ＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°
13．（2022•西湖区校级二模）已知△ABC中，∠A＝90°，tanB＝ ，则sinC＝ ．
五．特殊角的三角函数值（共3小题）
14．（2021秋•八步区期末）计算： ．
15．（2022•石家庄模拟）下列说法中正确的是（ ）
A．在Rt△ABC中，若 ，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则
C．tan30°+tan60°＝1
D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+
16．（2021秋•南宫市期末）已知 是锐角， ，则 ＝ ；cos ＝ ．
α α α
六．计算器—三角函数（共2小题）
17．（2022•文登区一模）利用科学计算器计算 ，下列按键顺序正确的是（ ）A．
B．
C．
D．
18．（2021秋•梧州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanB＝0.75，求AC的长．
七．解直角三角形（共4小题）
19．（2021秋•德保县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的3倍，则∠A的正
弦值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变
20．（2022•湖里区二模）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则
sin∠BAD的值为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022•固原校级一模）阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，
∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sinB＝ ，
sinC＝ ，于是 AD＝csinB，AD＝bsinC，也就是 csinB＝bsinC，即 ．同理有
， ，即最终得到 ．即在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其
余三个未知元素．
（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．
（2）仿照 证明过程，借助图2或图3，证明 和 中的其中一个．22．（2021秋•定安县期末）如图，在4×4的正方形网格中，每格小正方形的边长C都是1，则tan∠ACB
的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
八．解直角三角形的应用（共7小题）
23．（2022春•历城区校级月考）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将
平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑
板 CB 长 80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点 A 到底座 CD 所在平面的距离为
（ ）（结果精确到1mm）．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75， ≈1.41， ≈1.73）
A．246 mm B．247mm C．248mm D．249mm
24．（2022•长春模拟）如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河一侧岸边选定点 P和点B，在河
对岸选定一点 A，使 PB⊥PA，测得 PB＝40 米，∠PBA＝36°，根据测量数据可计算小河宽度 PA 为
（ ）A．40tan36°米 B．40cos36°米 C．40sin36°米 D． 米
25．（2021秋•义乌市期末）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其侧
面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN为0.5米，主臂MP
长为3 米，主臂伸展角 的范围是：0°＜ ≤60°，伸展臂伸展角 的范围是：45°≤ ≤135°．当 ＝
α α β β α
45°时（如图3），伸展臂PQ恰好垂直并接触地面．
（1）伸展臂PQ长为 米；
（2）挖掘机能挖的最远处距点N的距离为 米．
26．（2021秋•殷都区期末）某校数学社团利用自制测角仪和皮尺测量河宽（把河两岸看作平行线）．如
图，他们在河岸MN一侧的A处，观察到对岸P点处有一棵树，测得∠PAN＝31°，向前走45m到达B
处，测得∠PBN＝45°．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60， ）（1）求河的宽度（精确到1m）；
（2）据河道建造碑文记载，该河实际宽70m．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合
理化建议．
27．（2022•普兰店区二模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，
获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上
点C在DE上，支杆DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求滑竿DE的长度；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，
tan37°≈ ， ≈1.414．28．（2022•夏邑县模拟）如图（1）是一种迷你型可收缩式乐谱支架，图（2）是其侧面示意图，其中AB
＝BC＝CD＝24cm，DB⊥BA，Q是CD的中点，P是眼睛所在的位置，PM⊥BA于点M，AM＝12cm，
当PQ⊥CD时，P为最佳视力点．
（1）若∠ABC＝ ，则∠DCB＝ ；
α
（2）当∠ABC＝37°且PM＝53cm时，请通过计算说明点P是不是最佳视力点．（参考数据：sin37°＝
cos53°≈ ，cos37°＝sin53°≈ ，tan37°≈ ，tan53°≈ ）29．（2022春•沙坪坝区校级月考）点C处有一灯塔，CD与直线L垂直，一轮船从点B出发驶到点A，
（A、B、D三点都在直线L上），测量得到CD为30千米，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）轮船从B点出发时，另一快艇同时从C点出发给轮船提供物资，一个小时后刚好在M点与轮船相
遇，已知快艇行驶了50千米，问轮船相遇后能否在1.3小时之内到达点A．（参考数据： ≈1.73，
≈1.41）九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共3小题）
30．（2022•汇川区模拟）如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，
其中斜坡AD与地平线的夹角为20°，地下停车场层高CD＝3米，如果在停车场的入口处设置一块限高
牌，则限高牌上的限高数值比较恰当的是（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）（ ）
A．3.2米 B．3米 C．2.75米 D．2.6米
31．（2022•南岗区校级开学）如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1：2，河堤高BC＝5m，则坡面AB的长
为（ ）
A．5 m B．10m C．15m D．20m
32．（2021秋•德保县期末）如图，一个小球由坡底沿着坡度为1：2的坡面前进了10米，此时小球在竖
直方向上上升了（ ）A．4米 B． 米 C．5米 D． 米
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
33．（2022•五华区校级模拟）近日，有很多人收到防疫部门的电话或短信提示是“时空伴随者”，那什
么是时空伴随者呢？时空交集与时空伴随是相同概念，是公安和电信部门的专业术语．如图（1）是指
本人的电话号码和确诊患者号码在同一时空网格内（范围是800×800）共同停留超过10分钟，且最近
14天任一方号码累计停留时长超过30小时以上，查出的号码为“时空伴随号码”，本人的绿色健康码
就会变为带有警告性质的黄色码并被系统标记为“时空伴随者”．如图（2），某工人在点B处，用测
倾仪测得移动电话基站顶端（点D）的仰角为 ，测得移动电话基站的高度CD为50米，测倾仪高BE
为1米，若此时在A处一位确诊患者出现在某移α动电话基站800×800的范围内，患者、移动电话基站、
工人正好共线，患者与工人分别位于该移动电话基站两侧，且与这个工人共同停留超过 10分钟，则这
个工人（ ）收到“时空伴随者”电话或短信提示．
（参考数据：sin ＝ ，cos ＝ ，tan ＝ ）
α α α
A．会 B．不会 C．可能会 D．无法确定
34．（2021秋•崇左期末）如图，为了测量某建筑物AB的高度，小颖采用了如下的方法：先从建筑物底端
B点出发，沿斜坡BC行走26米至坡顶C处，在C点测得该建筑物顶端A的仰角为60°，斜坡BC的坡
度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物AB的高度（参考数据： ≈1.732，结果精确到0.1）．35．（2021秋•全州县期末）如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为
24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8 米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯
角为45°．
（1）求点E到水平地面的距离；
（2）求楼房AB的高．
一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）
36．（2022•深圳模拟）如图，点A到点C的距离为200米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在
A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（
）A．100米 B．200米 C． 米 D．100 米
37．（2021秋•碧江区 期末）一艘渔船以每小时40km的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°
方向；继续航行1h到达B处，测得灯塔C在北偏东30°方向．已知灯塔C的四周30km内有暗礁，问这
艘船继续向东航行是否安全？
38．（2022•锦州二模）某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮
船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和
北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A处测得轮船在北偏东75°方向上，
求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据： ≈1.414， ＝1.732）
