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第 28 章 锐角三角函数 章节整合练习（11 个知识点+40 题
练习）
章节知识清单练习
知识点1．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝ ．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝ ．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝ ．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
知识点2．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
知识点3．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 tanA＝
或sinA＝tanA•cosA．知识点4．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
知识点5．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
知识点6．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sin ＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结
果． α
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
知识点7．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
知识点8．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边
的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得
到实际问题的答案．
知识点9．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，
一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系为：i＝h/l＝tan ．
（3）在解决坡度的有关问题α中，一般通过作高构成直角α三角形，坡角即是一锐角，α坡度实际就是一锐角
的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三
角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，
把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定
在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
章节题型整合练习
一、单选题
1．已知 为锐角，且 ，则 的度数为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】根据α为锐角及 解答即可.
【详解】∵α为锐角，
∴90°－α=60°
∴α=30°
故选A.
【点睛】本题解题关键需要熟记特殊角的三角函数值.
2．在 中， ， 于点D，下列式子表示 B错误的是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正弦的概念辨析
【分析】根据三角函数的定义解答即可．
【详解】解： 在 中， 于点D，
∴∠B=∠ACDsin∠ACD=
，
故选D．
【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，关键是掌握正弦函数是对边与斜边的比进行解答．
3．如图，从热气球P处看一栋高楼顶部M的仰角为72°，看底部N的俯角为40°，以下符合条件的示意图
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【详解】试题解析：根据俯角、仰角的定义可以判断选项B符合条件.
故选B.
4．已知∠A为锐角，且sinA＝ ，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数
【详解】解：∵sinA＝ ，∴A=45°．故选C．
5．已知 ，则锐角 的度数大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】给出三角函数值，用计算器求锐角度数
【分析】利用计算器计算判断即可．
【详解】用计算器计算可得， ．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，会用计算器计算三角函数值是解题的关键．6．在 ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，则∠B的度数是( )
△
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】根据题意可知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，从而算出tanB= ；
接下来结合特殊角的三角函数值，求出∠B的度数，进而得到答案.
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，
∴tanB= ，
∴∠B=30°.
故选A.
【点睛】本题是解直角三角形的问题，需要根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值进行解答.
7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理与折叠问题、求角的正切值
【分析】根据折叠后所形成的图形全等，利用三角函数的定义解答即可．
【详解】由题意可知： ，设 ，则 ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切
等于对比邻．
8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，
则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求角的正弦值、切线的性质定理
【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，进而
求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【详解】如图，连接OC，∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COE=∠A+∠OCA=60°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴sinE=sin30°= .
故选A.
9．如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方
照射的光线与水平线的夹角为 ，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【知识点】正切的概念辨析、已知正切值求边长
【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边BC．
【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C，
则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24，
，
∴ ．
故选D．【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键．
10．如果α是锐角,且sinα= ,那么cos(90°-α)的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用互余两角的三角函数关系求解．
【详解】∵sinα=cos(90°−α)，
∴cos(90°−α)=sinα= .
故选A.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键.
11．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA= ，那么tanA等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求角的正切值、求角的余弦值
【详解】试题分析：先根据cosA= 得到 ，再根据正切的定义即可求得结果.
∵∠C=90°，cosA=
∴ ,
∴tanA=
故选A.
考点：三角函数
点评：概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般.
12． 的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】根据sin60°以及tan45°的值求解即可.
【详解】sin60°＝ ，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝ .故选B.
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
13．在锐角△ABC中，cosA= ，cosB= ，BC=13，则△ABC的面积为（ ）
A． B．30 C．78 D．
【答案】D
【知识点】三角函数综合
【详解】 ∵cosA= ，cosB= ，
∴sinA= ，sinB=
∴sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+sinB•cosA= ，
∵ ，
∴ ，c= ，
∴△ABC的面积为 acsinB= ×13× × = .
故选D．
点睛：本题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、正弦定理、同角三角函数的关系、三角
形的面积公式，熟练掌握公式是关键．
14．铁路路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为2:3,顶宽6m, 路基高4m,则路基的下底宽( ).A．18m B．15m C．12m D．10m
【答案】A
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】过C作CF⊥AB，过D作CF⊥AB，根据CF的长和坡度即可求得AE、BF的值，根据
AB=AE+EF+BF即可计算AB，即可解题．
【详解】解：如图，过C作CF⊥AB，过D作DE⊥AB，
DE=CF=4m，EF=CD=6m，
坡度= = = ，
∴AE=BF=6m，
∴AB=AE+EF+FB=6+6+6（m）=18m．
故选A．
【点睛】本题考查了坡度的定义，考查了坡度在直角三角形中的运用，作出辅助线构造出直角三角形是解
题的关键．
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、利用垂径定理求值
【分析】如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长
度．则BC=2CD．
【详解】解：设AO与BC交于点D．∵∠AOB=60°， ，
∴∠C= ∠AOB=30°，
又∵AB=AC，
∴
∴AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴在直角△ACD中，CD=AC•cos30°=2× = ，
∴BC=2CD=2 ．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，也考查了解直角三角形．题目难度不大．
16．如图，当某渔船航行至B处时，测得岛C位于正北方向 海里处，由于出现突发状况，该渔
船请求A处的渔监船前往C处护航．已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西 方向上，则A
和C之间的距离为（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
【答案】A【知识点】用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】过点A作 于点D，设 ，通过解直角三角形可得出 ， ，
，结合 即可求出x的值，进而即可得出A和C之间的距离．
【详解】解：如图，过点A作 于点D，
由题意可知， ，
在 中， ，
设 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即A和C之间的距离为 海里，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，通过一元一次方程求出 的长度是解题的关键．
二、填空题
17．如图，已知 的三个顶点均在格点上，则 ．
【答案】
【知识点】求角的正弦值【分析】先求出根据勾股定理求出AC的长，再根据 即可求解．
【详解】如图，在 中，
．
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数，熟知在直角三角形中，正弦值等于对边比斜边是解题的关键．
18．已知 为锐角，且 ，则 ， ， ．
【答案】
【分析】根据条件 可以推出 ，再根据特殊的三角函数值解出α即可.
【详解】∵
∴
∴
∴
故答案为 ； ；
【点睛】此题考查特殊的三角函数值，熟记三角函数值是本题关键.
19．如图，在等腰直角 中， ， 是 边上的中线．（1） ______°， ______ ；
（2）若 ，则 的长为______．
【答案】【答题空1】45
【答题空2】
【答题空3】
【知识点】三线合一、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了等腰直角三角形点性质，三角函数，熟练掌握三线合一是解题的关键；
（1）根据等腰直角三角形点性质，三角函数求解即可；
（2）根据三角函数解题即可；
【详解】（1）解： 是等腰直角三角形， 是 边上的中线，
， ， ，
，
故答案为：45， ；
（2）在 中， ，
故答案为： ；
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，c＝8，则∠B＝ ，a＝ ，b＝ .
【答案】 60°； 4； 4
【知识点】解直角三角形的相关计算、解直角三角形
【分析】在直角三角形中,已知一个锐角,根据两锐角互余可求出另一个锐角；已知∠A＝30°,c＝8,求∠A的
对边可根据正弦三角函数 进行求解,已知∠A＝30°,c＝8,求∠A的邻边可根据余弦三角函数进行求解.
【详解】在Rt ABC中,∠C＝90°,
因为∠A＝30°,△
所以∠B＝90°-30°=60°,
因为 ,
所以
因为 ,
所以 .
【点睛】本题主要考查解直角三角形,解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法.
21．计算 的结果是 ．
【答案】1
【知识点】负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】直接利用绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式=
=
=1
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．在 中， 与 都是锐角，且 ，则 的形状是 ．
【答案】等腰三角形
【知识点】绝对值非负性、根据等角对等边证明等腰三角形、由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【分析】根据非负数的性质可得： ，由此可求出 ，即
为等腰三角形．【详解】根据绝对值的非负性可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴ 为等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定．熟记特殊角的三角函数
值是解题关键．
23．用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ
（1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ；
（2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ．
【答案】 α＜γ＜β β＜γ＜α
【知识点】根据三角函数值判断锐角的取值范围
【分析】（1）根据正弦值随度数的增大函数值越来越大得出即可；
（2）根据余弦值随度数的增大函数值越来越小得出即可．
【详解】解：（1）∵ sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，
∴sinα＜sinγ＜sinβ，
∴ α＜γ＜β；
（2）∵cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，
∴cosα＜cosγ＜cosβ，
∴ β＜γ＜α．
故答案为：α＜γ＜β；β＜γ＜α．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，关键在于知道正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角
度的增大而减小．
24．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c= .
【答案】2+
【知识点】解直角三角形的相关计算
【详解】如图， ∠C=90°，∠A=60°,三角函数的定义知， ,a－b=2，
解方程组得，b= +1,
∠B=30° ，
c=2b=2+ .
点睛：（1）锐角三角函数题目，经常需要处理分母有理化问题:
,
.
（2）建立方程和方程组的思想在解三角形中使解题思路更清晰，简洁.
25．如图，已知直线 ∥ ∥ ∥ ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分
别在四条直线上，则 ．
【答案】
【知识点】求角的正弦值
【详解】依题意直线 ∥ ∥ ∥ ，相邻两条平行直线间的距离都是1且正方形ABCD的四个顶点分别在
四条直线上，∴过B,D分别作 ， ， ， 的垂线则形成的直角三角形全等，较长直角边为2，较短直角边为1，∴正方形的边长为 ，∴
故填
26．如图，在△ABC中，AB＝AC， ，点D在BC边上，BD＝6，CD＝AB，则AD的长为
．
【答案】
【知识点】初中数学综合库
【详解】作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴BE＝CE．设DE＝x，则BE＝6＋x，CD＝6＋2x，∵
，AB＝CD＝6＋2x，∴ ，解得x＝2．∴AB＝10，BE＝8．∴ ．∴在Rt△ADE
中， ．
27．如图， 中， ， 是 上一点，连接 ，将 沿 翻折，点 落在 边
的点 处，连接 ．若 ， ，则 长 ．【答案】
【知识点】已知正弦值求边长、勾股定理与折叠问题
【分析】先利用正弦值、勾股定理求出 ，再根据翻折的性质、勾股定理求出AD、CD、BD
的长，然后根据等面积法求出OC的长，由此即可得出答案．
【详解】如图，设BD与 的交点为点O，
在 中， ， ， ，
，即 ，
解得 ，
，
由翻折的性质得： ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
在 中， ，
又 ，
是 的垂直平分线，
，，即 ，
解得 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正弦三角函数、勾股定理、翻折的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌
握翻折的性质和等面积法是解题关键．
28．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．
（结果保留根号）
【答案】40
【知识点】与方向角有关的计算题
【分析】根据题意画出草图，再利用三角函数就可以求解出 的距离．【详解】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，
∵PA＝80，∠PAC＝30°，
∴PC＝40海里，
在Rt△PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°，
∴PB＝40 海里，
故答案为40 ．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来计算未知量，此类题目应
当引起注意，是经常的考题模式．
三、解答题
29．先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【知识点】分式化简求值、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】先根据分式的混合运算化简，再根据特殊角的三角函数值的混合运算求得 的值，代入化简结果
进行计算即可求解．
【详解】解：；
∵
∴原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，正确的计算是解题的关键．
30．如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，
已知α＝25°,求长方形卡片的周长．（精确到1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.
【答案】190mm．
【知识点】解直角三角形的相关计算
【详解】分析：作AF⊥l ，交l 于E，交l 于F，根据Rt△ABE和Rt△AFD的性质分别求出AB和AD的长度，
4 2 4
从而得出矩形的周长．
详解：解：作AF⊥l ，交l 于E，交l 于F， 则△ABE和△AFD均为直角三角形，
4 2 4
在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝25°，sin∠ABE＝ ∴AB＝20÷0.4＝50，
∵∠FAD＝90°－∠BAE，∠α＝90°－∠BAE， ∴∠FAD＝∠α＝25°
在Rt△AFD中，cos∠FAD＝ ， AD＝ ≈44.4
∴长方形卡片ABCD的周长为（44.4＋50）×2＝190（mm）点睛：本题主要考查的就是解直角三角形，属于基础题型．在这个问题的关键就是将线段AB和AD放入直
角三角形中，从而利用三角函数得出答案．
31．如图，公路某地段安装了一个测速仪器，检测点在公路上方10 的 处，测得一辆汽车从 处行驶到
处所用时间为0．9秒，已知 ， ．（参考数据： ， ）
（1）求 、 之间的距离；
（2）如果此地段限速为 ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．
【答案】（1）27m；（2）这辆汽车超速，见解析
【知识点】解非直角三角形
【分析】（1）根据AD⊥BC于D．则AD＝10m，求出CD、BD即可解决问题．
（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；
【详解】（1）在 中，∵ ,
，
在 中， ,
,
，
（2）结论：这辆汽车超速.理由： ，
∴汽车速度 .
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关
键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
32．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证： ；
（2）若BE＝ ，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）2 ．
【知识点】解直角三角形的相关计算、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】（1）利用菱形的性质，由SAS证明 即可；
（2）证 是等边三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在 和 中，
，
∴ （SAS）；
（2）解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴ 是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝ BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2× ＝2 ．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的面积的计算，掌握以上知识是解题
的关键．
33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD的
值．
【答案】sin∠ACD＝ ，tan∠BCD＝ .
【知识点】求角的正切值、求角的正弦值
【详解】试题分析：由勾股定理可求出AB=5，再由已知条件不难证明∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，所以
求出sinB、tanA的值即可.
试题解析：
∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠B＋∠BCD＝90°，∠A＋∠ACD＝90°.
又∵∠BCD＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴sin∠ACD＝sinB＝ ＝ ，
tan∠BCD＝tanA＝ ＝ .
点睛：本题关键在于将要求的角转化为与之相等的角.
34．在Rt ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
△
（1）a=8 ，b=8 ；（2）∠B=45°，c=14．
【答案】（1）c= ，∠A=30°，∠B=60°；（2）∠A=45°，a=b= ．
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】（1）由a=8 ，b=8 ，根据正切的定义可求出∠A的正切，得到∠A，利用互余得到∠B，然
后根据直角三角形三边的关系得到c；
（2）由∠B=45°，利用互余得到∠A，然后根据等腰直角三角形三边的关系得到a，b．
【详解】（1）∵a=8 ，b=8 ，∠C=90°；
∴c= ，
∴tan∠A=
∴∠A=30°，
∵∠A+∠B=90°
∴∠B=60°，
（2）∵∠B=45°，c=14，∠C=90°，
∴∠A=45°，a=b= ．
【点睛】求出直角三角形中未知的边和角的过程叫解直角三角形；直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则a2+b2=c2，利用此式可求直角三角形的边长，熟练掌握勾股定理及锐角三角函数定义是解本题
的关键．
35．计算下列各式
(1)tan30°×sin45°＋tan60°×cos60°
(2)sin230°＋2sin60°＋tan45°－tan60°＋cos230°.
【答案】（1） ＋ ；（2）2.
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】（1）首先代入特殊角的三角函数值，然后化简二次根式即可；
（2）首先代入特殊角的三角函数值，然后化简二次根式即可．
【详解】解：(1)原式＝ × ＋ ×
＝ ＋ ；
(2)原式＝ 2＋2× ＋1 ＋ 2
＝ ＋ ＋1 ＋
＝2.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．
36．如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣
4）． △
（1）请在图中，画出 ABC向左平移6个单位长度后得到的 ABC ；
1 1 1
△ △
（2）以点O为位似中心，将 ABC缩小为原来的 ，得到 ABC ，请在图中y轴右侧，画出 ABC ，
2 2 2 2 2 2
△ △ △
并求出∠AC B 的正弦值．
2 2 2【答案】（1）见解析（2）
【知识点】求角的正弦值、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
【详解】（1）如图所示： ABC ，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示： A
2
B
2
C
2
，△即为所求，由图形可知，∠A
2
C
2
B
2
=∠ACB，
过点A作AD⊥BC△交BC的延长线于点D，
由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），
故AD=2，CD=6， ，
∴ ，
即 ．【点睛】此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本
题的关键．
37．如图，小明从点A出发，沿着坡度为为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα= ，然后又沿着
坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留
根号）？
【答案】 ．
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【详解】试题分析：根据题意画出图形，构造直角三角形，进而利用锐角三角函数关系分别求出BF，CE
的长，即可得出点C相对于起点A升高的高度．
试题解析：解：如答图所示，过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CD⊥AD于点D，
由题意得：AB=0.65千米，BC=1千米，
∴sinα= .∴BF=0.65× = .
∵斜坡BC的坡度为：1：4，∴CE：BE=1：4.
设CE=x，则BE=4x，由勾股定理得： ，解得：x= .
∴CD=CE+DE=BF+CE= .
答：点C相对于起点A升高了 千米．
考点：1.解直角三角形的应用（坡度坡角问题）；2.锐角三角函数定义；3.勾股定理；4.方程思想的应用．
38．如图所示，AD是 ABC的外接圆的直径，∠C＝62°，BD＝4，则AD的长是多少？(精确到0.01)．
△
【答案】约8.52.
【知识点】已知余弦求边长
【分析】由AD是 ABC的外接圆直径可以推出∠ABD=90°，由圆周角定理得∠D=∠C=62°，再由cosD=
△
，求得AD的值．
【详解】解: 由题意知∠D＝∠C＝62°，∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°.
在Rt ABD中，cos ∠ADB＝ ，
△
∴AD＝ ≈8.52.
【点睛】本题利用直径对的圆周角是直角，圆周角定理，余弦的概念求解．
39．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝10．(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图：在BC边上作出点E，使得cos∠BAE＝ ； （不要求写作法，但要保
留作图痕迹）
(2)在（1）作出的图形中，①在CD上作出一点F，使得点D、E关于AF对称；②四边形AEFD的面积＝ ．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形性质理解、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）以A为圆心，AD为半径作弧，与AB交于点E，点E即为所求；
（2）①作∠DAE的平分线交CD 于F，点F即为所求； ②在Rt△ABE中，AB=6，AE=10，推出BE=8，
EC=2，设DF=EF=x，则CF=6-x，在Rt△EFC中，根据EF2=EC2+CF2，构建方程求出x即可解决问题；
【详解】（1）解：以A为圆心，AD为半径作弧，与AB交于点E，点E即为所求；
（2）解：①作∠DAE的平分线交CD于F，点F即为所求；
②在Rt△ABE中，AB=6，AE=10，
∴ ，
∴EC=2，
设DF=EF=x，则CF=6-x，
在Rt△EFC中，
∵EF2=EC2+CF2，
∴x2=22+（6-x）2，
解得 ，∴S =2× ×AD×DF= ，
四边形AEFD
故答案为 ．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
40．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点
共线）.当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时，设
AD=x．
（1）则△FMN的形状是_______,△ADM的形状是_______；
（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．
【答案】（1）直角三角形；等腰三角形；（2）当0
