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第 28 章 锐角三角函数 章节整合练习（11 个知识点+40 题
练习）
章节知识清单练习
知识点1．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝ ．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝ ．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝ ．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
知识点2．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
知识点3．同角三角函数的关系
（1）平方关系：sin2A+cos2A＝1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 tanA＝
或sinA＝tanA•cosA．知识点4．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
知识点5．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝ ； cos30°＝ ；tan30°＝ ；
sin45°＝ ；cos45°＝ ；tan45°＝1；
sin60°＝ ；cos60°＝ ； tan60°＝ ；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
知识点6．计算器—三角函数
（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．
（2）求锐角三角函数值的方法：
如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果．
注意：不同型号的计算器使用方法不同．
（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：
如已知sin ＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结
果． α
注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
知识点7．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，tanA＝ ＝ ．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
知识点8．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边
的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得
到实际问题的答案．
知识点9．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，
一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系为：i＝h/l＝tan ．
（3）在解决坡度的有关问题α中，一般通过作高构成直角α三角形，坡角即是一锐角，α坡度实际就是一锐角
的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三
角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，
把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定
在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
章节题型整合练习
一、单选题
1．已知 为锐角，且 ，则 的度数为（ ）．
A． B．
C． D．
2．在 中， ， 于点D，下列式子表示 B错误的是
A． B． C． D．
3．如图，从热气球P处看一栋高楼顶部M的仰角为72°，看底部N的俯角为40°，以下符合条件的示意图
（ ）
A． B． C． D．
4．已知∠A为锐角，且sinA＝ ，那么∠A等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．已知 ，则锐角 的度数大约为（ ）
A． B． C． D．
6．在 ABC中，∠C=90°，AC=1，BC= ，则∠B的度数是( )
△
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
则 的值是（ ）A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，
则sin∠E的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方
照射的光线与水平线的夹角为 ，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
10．如果α是锐角,且sinα= ,那么cos(90°-α)的值为( )
A． B． C． D．
11．Rt△ABC中，∠C=90°，已知cosA= ，那么tanA等于( )
A． B． C． D．12． 的值等于（ ）
A． B． C． D．1
13．在锐角△ABC中，cosA= ，cosB= ，BC=13，则△ABC的面积为（ ）
A． B．30 C．78 D．
14．铁路路基的横断面为等腰梯形,其腰的坡度为2:3,顶宽6m, 路基高4m,则路基的下底宽( ).
A．18m B．15m C．12m D．10m
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
16．如图，当某渔船航行至B处时，测得岛C位于正北方向 海里处，由于出现突发状况，该渔
船请求A处的渔监船前往C处护航．已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西 方向上，则A
和C之间的距离为（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
二、填空题
17．如图，已知 的三个顶点均在格点上，则 ．18．已知 为锐角，且 ，则 ， ， ．
19．如图，在等腰直角 中， ， 是 边上的中线．
（1） ______°， ______ ；
（2）若 ，则 的长为______．
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，c＝8，则∠B＝ ，a＝ ，b＝ .
21．计算 的结果是 ．
22．在 中， 与 都是锐角，且 ，则 的形状是 ．
23．用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ
（1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ；
（2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ．
24．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c= .
25．如图，已知直线 ∥ ∥ ∥ ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分
别在四条直线上，则 ．26．如图，在△ABC中，AB＝AC， ，点D在BC边上，BD＝6，CD＝AB，则AD的长为
．
27．如图， 中， ， 是 上一点，连接 ，将 沿 翻折，点 落在 边
的点 处，连接 ．若 ， ，则 长 ．
28．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．
（结果保留根号）
三、解答题29．先化简，再求值： ，其中 ．
30．如图：把一张给定大小的矩形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，
已知α＝25°,求长方形卡片的周长．（精确到1mm，参考数据： sin25°≈0，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5）.
31．如图，公路某地段安装了一个测速仪器，检测点在公路上方10 的 处，测得一辆汽车从 处行驶到
处所用时间为0．9秒，已知 ， ．（参考数据： ， ）
（1）求 、 之间的距离；
（2）如果此地段限速为 ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．32．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证： ；
（2）若BE＝ ，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．
33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求sin∠ACD和tan∠BCD的
值．34．在Rt ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
△
（1）a=8 ，b=8 ；（2）∠B=45°，c=14．
35．计算下列各式
(1)tan30°×sin45°＋tan60°×cos60°
(2)sin230°＋2sin60°＋tan45°－tan60°＋cos230°.
36．如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣
4）． △
（1）请在图中，画出 ABC向左平移6个单位长度后得到的 ABC ；
1 1 1
△ △
（2）以点O为位似中心，将 ABC缩小为原来的 ，得到 ABC ，请在图中y轴右侧，画出 ABC ，
2 2 2 2 2 2
△ △ △
并求出∠AC B 的正弦值．
2 2 237．如图，小明从点A出发，沿着坡度为为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα= ，然后又沿着
坡度为i=1：4的斜坡向上走了1千米达到点C．问小明从A点到点C上升的高度CD是多少千米（结果保留
根号）？
38．如图所示，AD是 ABC的外接圆的直径，∠C＝62°，BD＝4，则AD的长是多少？(精确到0.01)．
△39．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝10．
(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图：在BC边上作出点E，使得cos∠BAE＝ ； （不要求写作法，但要保
留作图痕迹）
(2)在（1）作出的图形中，①在CD上作出一点F，使得点D、E关于AF对称；②四边形AEFD的面积＝ ．
40．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点
共线）.当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时，设
AD=x．
（1）则△FMN的形状是_______,△ADM的形状是_______；
（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．
