文档内容
专题28.1 锐角三角函数
知识点1：锐角三角函数定义
锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c
余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c
正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b
锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构
造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
知识点2：特殊角的三角函数值
角度 30° 45° 60°
正弦(sin) 1/2 √2/2 √3/2
余弦(cos) √3/2 √2/2 1/2
正切(tan) √3/3 1 √3
（注 θ是锐角：00）
知识点3：锐角三角函数值的符号及其变化规律
（1）锐角三角函数值都是正值。
（2）当角度在0°——90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
知识点4：同角三角函数基本关系式
5互为余角的三角函数间的关系
总结：本节课会求一个角的三角函数值；会求一个角的度数；会已知三角函数值，求边的比值或另一个三
角函数值。
【例题1】计算：（﹣1）3+ ﹣（π﹣112）0﹣2 tan60°
【答案】-5
【解析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即可；
原式＝﹣1+3﹣1﹣2 × ＝1﹣2×3＝﹣5；
【点拨】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值；牢记特殊角的三角函数值，掌握实数的
运算性质是解题的关键．
【例题2】如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan,
即ctan =角的邻边 AC
角的对边 BC
根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30◦= ；3
（2）如图，已知tanA= ，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
4
4
【答案】（1） 3（2）
3
【解析】可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定
义进而求出ctan30◦；tanA=3 为了计算方便，可以设BC=3 ，AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．
，
4
（1）设BC=1, ∵α=30◦
∴AB=2
∴由勾股定理得：AC=
3
AC
ctan30◦= = 3
BC
3
(2) ∵tanA=
4
∴设BC=3 AC=4
AC 4
∴ctanA= =
BC 3
【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接
FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∴
∵AE：EB=4：1，∴ =5，
∴ = ，
设AB=2x，则BC=x，AC= x．
∴在Rt△CFB中有CF= x，BC=x．
则tan∠CFB= = ．
【例题4】已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ |+ =0，则α+β= ．
【答案】75°．
【解析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数。
∵|sinα﹣ |+ =0，
∴sinα= ，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
【例题5】观察下列等式
①sin30°= cos60°=
②sin45°= cos=45°=
③sin60°= cos30°=
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．
【答案】1．
【解析】此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2
（90°﹣a）=1是个恒等式，以后记住并可以运用．根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）
=1，继而可得出答案．
由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；
sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；
sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．
一、选择题
1． 计算：cos245°+sin245°=（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】考点是 特殊角的三角函数值．首先根据cos45°=sin45°= ，分别求出cos245°、sin245°的
值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
∵cos45°=sin45°= ，
∴cos245°+sin245°
=
= =1．故选：B．
2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】见解析。
【解析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．如图：，
由勾股定理，得
AC= ，AB=2 ，BC= ，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B= = ，故选：D．
3
3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为 ，AC 2，
2
sinB的值是（ ）
2 3 3 4
A． B． C． D．
3 2 4 3
【答案】A.
【解析】连接CD,由 的半径为3 得AD=3.
⊙O
.
2
sinB=
4.如图，在 中， ， ， ，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在直角三角形ABC中， ， ，
所以AC＝ ；
所以 ， ， ；
， ， 。
5.如图，在 中， 是斜边 上的中线，已知 ， ，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】由 是 斜边 上的中线，得AB=2CD=4.
∴
6.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上
种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】A
【解析】由坡度为0.75知，相邻两树间的水平距离为4m，相邻两树间的垂直距离为h，则 ，则h＝3m，
所以坡面距离为5m。
7.如图，小明要测量河内小岛 B到河边公路 l的距离，在 A点测得 BAD30°，在 C点测得
BCD60°，又测得AC 50米，则小岛B到公路l的距离为（ ）米．
A．25 B． C．100 3 D．
25 3 2525 3
3
【答案】B
【解析】过点B作BE⊥AD 于点E，在直角三角形BAE中，
则 在直角三角形BCE中， 则 。
所以AE-CE=AC=50,即 解得BE＝
二、填空题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，
连接AP，则tan∠HAP＝ ．
【答案】 ．
【解析】连接PB，交CH于E，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到CH垂直平分BP，∠APB
＝90°，即可得到AP∥HE，进而得出∠BAP＝∠BHE，依据Rt△BCH中，tan∠BHC＝ ＝ ，即可得出
tan∠HAP＝ ．解：如图，连接PB，交CH于E，
由折叠可得，CH垂直平分BP，BH＝PH，
又∵H为AB的中点，
∴AH＝BH，
∴AH＝PH＝BH，
∴∠HAP＝∠HPA，∠HBP＝∠HPB，
又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB＝180°，
∴∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠HEB＝90°，
∴AP∥HE，
∴∠BAP＝∠BHE，
又∵Rt△BCH中，tan∠BHC＝ ＝ ，
∴tan∠HAP＝
【点拨】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前
后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中
阴影部分的面积为 ．
【答案】 + ．
【解析】如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，
∴∠D＝30°，
则∠COE＝2∠D＝60°，
∵CD＝4，
∴CO＝DO＝2，
∴OF＝ OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝2× ＝ ，
∴DE＝2DF＝2 ，
∴图中阴影部分的面积为 + ×2 ×1＝ +
3
3.在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6 cm，sinA ，则AB的长是 cm．
5
【答案】10
【解析】 解得AB=10cm
3
4.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA ，则这个菱形的面积= cm2．
5
【答案】60
【解析】 解得DE=6cm.
∴ cm2.
5.如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹
角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为 m．【答案】10.
【解析】因为sin∠ACB = ,所以AC=10
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB= ．
【答案】 ．
【解析】 根据锐角三角函数定义直接进行解答．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，
∴sinB= = ．
三、解答题
0
1.计算： 1 ．
2sin60°3tan30°
(1)2009
3
【答案】0
【解析】原式= 3 3 =0．
2 3 11
2 3
2.计算：
【答案】2.5
【解析】 =2.5
3.计算：| ﹣1|+20120﹣（﹣ ）﹣1﹣3tan30°．
【答案】3
【解析】根据绝对值概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可．
原式= ﹣1+1﹣（﹣3）﹣3× = +3﹣ =3．
4. 计算：（﹣2）3+3tan45°﹣ ．【答案】-8
【解析】先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则
进行计算即可．
原式=﹣8+3×1﹣3
=﹣8+3﹣3
=﹣8．
5. 计算： + ﹣4sin60°+|﹣ |
【答案】-2
【解析】本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简几个考点．针
对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
+ ﹣4sin60°+|﹣ |
=﹣3+1﹣4× +2
=﹣3+1﹣2 +2 =﹣2．
6．计算： ﹣tan45°﹣（1﹣ ）0；
【答案】0
【解析】直接利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案；
解：（1） ﹣tan45°﹣（1﹣ ）0
＝2﹣1﹣1
＝0
7.计算：（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣ +2sin30°．
【答案】-3
【解析】先分别计算幂、三角函数值、二次根式，然后算加减法．
解：原式＝﹣1+1﹣4+2×
＝﹣4+1
＝﹣3．
【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
8．计算：（﹣1）2019﹣ +tan60°+（π﹣3.14）0．
【答案】﹣ ．
【解析】原式＝﹣1﹣2 + +1＝﹣ ．
9.计算：（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣ +2sin30°．
【答案】-3
【解析】先分别计算幂、三角函数值、二次根式，然后算加减法．
解：原式＝﹣1+1﹣4+2×
＝﹣4+1
＝﹣3．
【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键．
10.计算：|﹣ |+（﹣1）2019+2sin30°+（ ﹣ ）0
【答案】
【解析】|﹣ |+（﹣1）2019+2sin30°+（ ﹣ ）0
＝ +（﹣1）+2× +1
＝ +（﹣1）+1+1
＝
