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28.1.3 特殊角的三角函数值
基础篇
一、单选题：
1．下列三角函数的值是 的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】A、 ＝ ，符合题意；
B、 ＝ ，不符合题意；
C、 ＝ ，不符合题意；
D、 ＝ ，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．已知 ，则锐角α的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
【答案】A
【分析】根据 得到 即可求解．
【详解】解：∵ ， 为锐角，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．3．在 中， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】在直角三角形中，求出 的度数，即可求 ．
【详解】解：如图所示，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
4．下列各式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊锐角三角函数值，代入计算即可．
【详解】A． ，此选项不符合题意；
B． ， ，所以 ，此选项不符合题意；C． ， ，所以 ，此选项不符合题意；
D． ，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．
5．若 ，则 的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据非负数的性质得到 ，再由特殊角的三角函数值求出 的度数，再判
断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
由特殊角的三角函数值可知此时 ，
此时 ，
则 的形状是钝角三角形，
故选C．
【点睛】本题考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
6．式子 的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式=0
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
7．若菱形的周长为 ，高为2，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1
【答案】D
【分析】如图， 为菱形 的高， ，利用菱形的性质得到 ，利用正弦的定义得到
，则 ，从而得到 的比值．
【详解】解：如图， 为菱形 的高， ，
菱形的周长为 ，
，
在 中， ，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对
角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
二、填空题：8．已知 是锐角， ，则 ＝______； ______．
【答案】 60°##60度 ##0.5
【分析】根据特殊角的三角函数值，计算求值即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是锐角，
∴ ，
∴ ，
故答案为：60°， .
【点睛】本题考查了60°的正切和余弦，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
9．在Rt ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则 ＝____．
△
【答案】 ##0.5
【分析】利用直角三角形的两锐角互余求得∠ABC的度数，再利用特殊角的三角函数即可求得
的值．
【详解】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵在Rt ABC中， ， ，
∴ △ ，
∴ ．
故答案为∶ ．
【点睛】考查了直角三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
10．已知 ，则锐角 ________．
【答案】
【分析】先由 变形为 ，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．
11．计算： ___________．
【答案】 ##0.75
【分析】将特殊角的三角函数值代入原式，即可求解．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是
解题的关键．12． ﹣|tan45°﹣ |＝_____．
【答案】
【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及绝对值
的定义解答即可．
【详解】原式＝
=
=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算．掌握零次幂，负指数幂，特殊角的三角函数以及绝对值的定义是解
答本题的关键．
13．在 中，若 ，则 的度数为__________
【答案】 ##75度
【分析】根据非负数的性质得出 ， ，根据特殊角的三角函数值、三角形内角和定理计算
即可．
【详解】解：∵
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值、非负数的性质是解题的关键．
14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则 的正切值是______．【答案】1
【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断 ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．
【详解】解：连接AB， △
由勾股定理得：AB＝ ，AO＝ ，OB＝ ，
∴AB＝AO， ，
∴ ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴△ ，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三
角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
三、解答题：
15．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算
是解题的关键．
16．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 ，
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法进行计算，最后代入求出答案即可．
【详解】解：原式
∵
∴原式【点睛】本题考查了特殊三角函数值和分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题
的关键，注意运算顺序．
17．已知：如图， 是 的直径，弦 于点E，G是弧 上一动点且不与点A，C重合，
的延长线交于点F，连结 ． ， ．
(1)求半径长．
(2)求扇形 的面积．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）连接 ．设 的半径为R．在 中，根据 ，构建方程即可解决问
题；
（2）连接 ，根据 可得 ，再由垂径定理可得 ，根据
扇形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ．设 的半径为R．
∵ ，
∴ ，在 中，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
（2）解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴扇形 的面积 ．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数、圆周角定理的推论和垂径定理的应用，掌握圆周角定理的推论、
垂径定理和勾股定理是解题的关键，学会添加常用辅助线．
提升篇
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝BC，若∠BAC＝45°，∠B＝75°，则下列等式成立的是
（ ）
A．AB＝2CD B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OB、OC，过O作AB的垂线，垂足为E，交CD于点F．由已知可得AB∥CD，则OF⊥CD，且∠BOC=90°，E、F分别是AB、CD的中点；易证△BOE≌△OCF，从而BE与CF的关系，即
可得AB与CD的关系．
【详解】如图，连接OB、OC，过O作AB的垂线，垂足为E，交CD于点F．
∵AD=BC，
∴ ，
∴∠ACD=∠BAC=45°．
∴AB∥CD．
∵OE⊥AB，
∴AB=BE，OF⊥CD．
∴CD=2CF．
∵∠BAC、∠BOC对着同一弧，
∴∠BOC=2∠BAC=90°．
∴∠EOB+∠COF=90°．
∵∠EOB+∠OBE =90°，
∴∠OBE=∠COF．
∵∠OEB=∠CFO=90°，OB=OC，
∴△BOE≌△OCF．
∴OE=CF．
∵OB=OC，
∴∠OBC=45°．
∵∠ABC=75°，
∴∠OBE=∠ABC-∠OBC=30°．
∴ ．
∴ ．
∵AB=2BE，CD=2CF，
∴ ．
故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，构造辅助线并
证明△BOE≌△OCF是问题的关键．
2．如图，已知点M，N分别是矩形 边 和 的中点，点E在 边上，将 沿 折叠，使
点C恰好落在线段 上的点F处，得到三角形 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证四边形 是矩形，得到 ，由折叠的性质可 ， ，
，得到 ，可以得到 ，则 ，得
，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∵点M，N分别是矩形 边 和 的中点，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，∵ 沿 折叠，使点C恰好落在线段 上的点F处，得到三角形 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、特殊角的三角函数、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是
解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其
中点C的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接AC'，首先求出tan∠BAC，然后根据勾股定理求出AC的长，最后根据S ＝S ﹣S
阴 扇形ACC′ AB′C′
△
代入数值即可求解．
【详解】连接AC'，在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝ ，BC＝1，
∴tan∠BAC＝ ＝ ，
∴∠BAC＝30°，
∵旋转角为30°，
∴A、B′、C共线．
∴AC＝ ＝ ＝2，
∵S ＝S ﹣S ，
阴 扇形ACC′ AB′C′
△
∴S ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
阴
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积，锐角三角函数，关键是要作出辅助线将阴影面积转化成扇
形面积减去三角形面积．
4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在
弧AB上点D处，折痕交OA于点C，整个阴影部分的面积______．
【答案】
【分析】首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三
角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径
OA=6，即可求得扇形OAB的面积，继而求得阴影部分面积．【详解】解：如图，连接OD，
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO= ∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB•tan∠CBO=6 ，
∴S BDC=S OBC= ×OB×OC= ×6× =6 ，
△ △
S AOB= π×62=9π，
扇形
∴整个阴影部分的面积为：S AOB-S BDC-S OBC=9π-6 -6 =9π-12 ，
扇形
△ △
故答案为： .
【点睛】本题考查了折叠的性质、扇形面积公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思
想的应用，注意辅助线的作法．
5．如图，四边形 是正方形，以 为边向外作 为 上的一点，连接 ．若四边形
是菱形，则 的度数为________．
【答案】 ##15度【分析】过点 作 的垂线，垂足分别为 ，四边形 是矩形，得出
，可得 ，进而即可求解．
【详解】∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
如图，过点 作 的垂线，垂足分别为 ，
∴四边形 是矩形，
∵四边形 是菱形，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，特殊角的三角函数值，求得 是
解题的关键．
6．如图， 中， ，顶点A，B分别在反比例函数 与 的图象上，
则 的度数为______．【答案】 ##60度
【分析】过A作 轴于C，过B作 轴于D，得到 ，根据反比例函数的性
质得到 ， ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出 与 的比值，从
而得到 的值，即可得到 的值
【详解】过A作 轴于C，过B作 轴于D，
则 ，
∵顶点A，B分别在反比例函数 与 的图象上,
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌
握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作 ，垂是为E，连接DE，F为线段DE上一点，且
∠AFE＝∠B
(1)求证： ；
(2)若 ，求∠ADE的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）易证∠ADF=∠CED和∠AFD=∠DCE，即可证明 ADF∽△DEC．
△
（2）根据平行四边形对边相等可求得CD的长，根据 ADF∽△DEC可得 ，即可求得DE的长，
△
根据勾股定理可以求得AE的长，根据tan∠ADE= 即可解题．
(1)
证明：∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠DCE=180°，∠ADF=∠CED，
∵∠B=∠AFE，∠AFD+∠AFE=180°，
∴∠AFD=∠DCE，
∴△ADF∽△DEC；
(2)
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，AD∥BC，
∴ ，
∵
∴AE⊥AD，∵△ADF∽△DEC， ，
∴ ，即 ，
∴DE=12，
∵在RT ADE中，AE2=DE2-AD2，
∴AE=6，△
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形对边平行且相等的性质、勾股定理等知识，解
题的关键是证明 ADF∽△DEC，学会转化的思想．
△
8．已知：如图，在 中， ， cm， cm， 为 边上的高，点 从点
出发，沿 方向匀速运动，速度为 cm/s；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 cm/s．
设运动时间为 ．
解答下列问题：
(1)当 为何值时， ；
(2)当 中点在 上时，求 的值；
(3)设四边形 的面积为 ，求 与 的函数关系式，并求 最小值；
(4)是否存在某一时刻 ，使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) s；(3) ， 取得最小值为 ；
(4)存在某一时刻 s，使得
【分析】（1）证明 得到 ，即 ，求出t即可；
（2）设 与 相交与点 ，则 为 中点，过 作 于点 ，利用三角函数求出 ，
进而得到 ， ， ，求出 ，得到 ，求出
t；
（3）根据 求出函数解析式，利用二次函数的性质解答；
（4）当 时，过 作 交 于 ，利用等腰三角形三线合一的性质得到 ，
表示出AN、AP，利用三角函数求出t．
（1）
由题意可知 ， ， ，
，
，
，
解得 ，
当 时， ；
（2）
设 与 相交与点 ，则 为 中点，
过 作 于点 ，， ， ，
∴cosA= ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
s；
（3）
当 s时，S取得最小值为 ；
（4）
当 时，过 作 交 于 ，则 ，
， ，
，
解得： s．
所以存在某一时刻 s，使得 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质，三角函数，求函数解析式，二次函数的最值，等腰三角形
三线合一的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
