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九年级上册第 22 章 二次函数
第 1 课时 《二次函数》
一、基础练习
1．下列函数中是二次函数的是【 】
x
A．y＝2x－1 B．y＝x2－2 C．y＝－ D．y＝x3
8
2．下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是【 】
A．正方体的体积y与棱长x之间的关系
B．某商品在6月的售价为 3 0 元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百
分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系
C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系
D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系
3．一台机器原价 100 万元，若每年的折旧率是 x，两年后这台机器约为 y万元，则 y与 x
的函数关系式为【 】
A．y＝100 (1－x ) B．y＝100－x2 C．y＝100 (1＋x ) 2 D．y＝100 (1－x ) 2
4．如图所示，在Rt△ABO中， AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的
阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为【 】
1
A．S＝t B． S＝ t 2
2
1
. C．S＝ t 2－1 D．S＝t 2
2
1
5．二次函数y＝3x－ x2的二次项系数是__________，一次项系数是__________．
2
6．二次函数y＝(m+3)x2+3x+m－9的图象经过原点，则m＝____________．
7．关于x的函数y＝(m－1)x|m|+1+3x－1是二次函数，则 m =
（第4题）
____________．
8．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为____________．
9．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
1 2
（1）y＝－x－1； （2）y＝－ x2； （3）y＝ ＋x－2；
2 x2
1
（4）y＝ x2＋2x－3； （5）y＝ax2＋bx＋c； （6）y＝m2x2+4x－3 ( m为常数)．
3
10．已知二次函数y＝3 (x－1) 2＋2．
（1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
（2）当x=6时，求y的值；
（3）当y=77时，求x的值．二、拓展提升
11．已知y关于x的函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1.
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
12．如图，某社区欲建一块周长为30 m的矩形绿地，设AB的长为x（单位：m），矩形ABCD
的面积为S（单位：m2）.
（1）求S与x之间的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）若矩形ABCD的面积为50 m2，且AB<AD，请求出此时AB的长．
（第12题）
13．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB=12 cm，BC=24 cm，动点P从点A开始沿边AB向
点B以2 cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s
的速度移动（不与点C重合）．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动的时间
为x s（x>0），四边形APQC的面积为y cm2．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）求自变量x的取值范围．
（3）四边形APQC的面积能否等于172 cm2？能，求出运动的时间；若不能，请说明
理由．
（第13题）三、综合实践
14．在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离之
和等于点Q到x、y轴的距离之和，则称P、Q两点互为“和谐点”，如P(2，3)、Q(1，
4)两点即互为“和谐点”．
（1）已知点A的坐标为(－3，1)．
①在点(0，3)、(－1，－3)、(2，2)中，点A的“和谐点”有____________（写出坐
标）；
②点B是第一象限内直线y＝x＋2上的点，且A、B两点互为“和谐点，”则点B的
坐标为__________；
（2）直线l： y＝kx－3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．
①若T (－1，t )、T (4，t )是直线l上的两点，且T 、T 互为“和谐点”，求k的值；
1 1 2 2 1 2
1 3
②当k＝ 时，点N是线段CD上一点，抛物线y＝x2＋x＋c（0≤x≤ ，c为常数，且
2 2
c＞0）的图象上总存在点M，使得M、N两点互为“和谐点”，请直接写出常数c
的取值范围．八年级上册第 22 章 二次函数
第 2 课时 《二次函数 y=ax2的图象和性质》
一、基础练习
1．抛物线y＝3x2＋2开口方向是【 】
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
2．下列对于二次函数y＝－x2＋1图象描述中，正确的是【 】
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．图象有最低点 D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势
3．已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是【 】
A．a＞0 B．a＜1 C．a≠1 D．a＞1
4．已知a＜－1，点(a－1，y )，(a，y )，(a＋1，y )都在函数y＝3x2－2的图象上，则【 】
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1
5．二次函数y＝－2x2＋9的最大值为__________．
6．若二次函数y＝ax2的图像经过点(－2，3)，则a的值为__________．
7．已知二次函数y＝(m＋1)x|m|－1的图象开口向下，则m的值是_________．
8．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；
③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_________．
1 1
9．在同一直角坐标系中画出二次函数y＝ x2＋1与二次函数y＝－ x2－1的图形．
3 3
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与
不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
10．已知 y = ( k + 2 ) x k 2 + k − 4
（第8题）
是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．二、拓展提升
11．如图，在正方形ABCD中，点A，点B在抛物线y＝2x2上，点C，点D在x轴上．
（1）求点A的坐标；
（2）连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．
12．在平面直角坐标系中，若抛物线y＝2x2与直线y＝x＋1交于点A(a，b)和点B(c，d)，其
中a＞c，点 O
（第11题）
为原点，求△ABO的面积．
（第12题）13．初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数y＝|x2－1|的图象和性
质进行探究，过程如下，请你补充完整．
（1）函数y＝|x2－1|的自变量x的取值范围是______；
（2）①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝______，n＝______；
3 1 1 3
x … －2 － －1 － 0 1 2 …
2 2 2 2
5 5
y … 3 0 m 1 n 0 3 …
4 4
1 1
②描点：根据表中的数值描点(x，y)，请补充描出点(－ ，m)，( ，n)；
2 2
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（3）下列关于该函数的说法，错误的是（ ）
A．函数图象是轴对称图形
B．当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大
C． 函数值y都是非负数
D．若函数图象经过点(m，a)与(－m，b)，则a＝b
（4）点(m，a)与(n，b)在函数图象上，且|n|＜|m|＜1，则a与b的大小关系是______．
（第13题）三、综合实践
14．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y')．给出如下定义：如果
y(x≥0)
y'= ，那么称点Q为点P的“变换点”．例如点（1，2）的“变换点”为
－y(x＜0)
点（1，2），点（－1，2）的“变换点”为点（－1，－2）．
（1）在点E（4，0），F（2，5），G（－1，－1）， H （－3，5）中，________的“变
换点”在函数 y = 2 x + 1 的图象上；
（2）如果一次函数y＝x＋3图象上点M的“变换点”是N(m，2)，求点M的坐标；
（3）如果点P在函数y＝－x2＋4（－2≤x≤a)的图象上，其“变换点”Q的纵坐标
y的取值范围是－4＜y'≤4，结合图象写出实数a的取值范围．
（第14题）八年级上册第 22 章 二次函数
第 3 课时 《二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质》
一、基础练习
1． 关于二次函数y＝－3x2＋5，下列说法中正确的是【 】
A．图象的开口向上 B．当x＞－1时，y随x的增大而增大
C．图象的顶点坐标是（0，5） D．当x＝0时，y有最小值是5
2． 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a的图象可能是【 】
A． B． C． D．
3． 已知a＜－1，点（a－1，y1 ），（a，y2 ），（a＋1，y3 ）都在函数y＝x2－2图象上，则【 】
A．y1 ＜y2 ＜y3 B．y1 ＜y3 ＜y2 C．y2 ＜y1 ＜y3 D．y3 ＜y2 ＜y1
1
4． 已知抛物线y＝－ x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是【 】
3
2 5 7
A．2 B． C． D．
3 3 3
5． 二次函数 y＝2x2－5 的图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标
是 ．当x＝2 2时，y＝ ；当y＝3时，x＝ ．
6． 将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的函数解析式为 ．
7． 抛物线 y＝ax2＋c 与 y＝－3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0，2），
则该抛物线的函数解析式是 ．
8． 若抛物线y＝－x2－2沿x轴折叠，折叠后的抛物线对应的函数解析式为 ．
9． 已知抛物线y＝ax2＋k（a≠0）的顶点坐标为（0，－2），并且经过点（1，1）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）此抛物线对应的函数y有最大值还是最小值？其值是多少？
（3）若（x1 ，y1 ）、（x2 ，y2 ）是抛物线上的两点，且x1 ＜x2 ＜0，直接写出y1 与y2 的大小
关系．
10． 已知二次函数的图象以A（0，1）为顶点，且过点B（2，3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）画出该二次函数的图象；
1
（3）若直线y＝－ x＋2与抛物线交于C，D两点（C在左，D在右），求△ACD的面
2
积．二、拓展提升
11. 如图，对称轴为 y 轴的抛物线与 x 轴分别交于点 A，B，顶点 P 的坐标为（0，－2），
且△ABP的面积为4．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求此抛物线对应的函数解析式；
（3）怎样上下平移该抛物线，可以使平移后的抛物线经过原点？
y
A O B x
P
（第11题）
12. 如图，抛物线 y＝－x2＋4 与 x 轴交于点 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，四边形 ABCD
为平行四边形．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后的抛物线的解析式．
y
D C
A O B x
（第12题）
13． 如图，抛物线 y＝mx2－4m（m＞0）与 x轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OC＝
2OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使x轴平分∠PAC，若存在，求P点坐标；若不存在，
请说明理由．
y
A O B x
C
（第13题）三、综合实践
14． 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n
1 1 1
级限距点”．例如，点（ ， ）是函数 y＝x 图象的“ 级限距点”；点（2，1）是函
3 3 2
1
数y＝－ x＋2图象的“2级限距点”．
2
1 1 2
（1）在①（－ ，－1）；②（－ ，－ ）；③（1，2）三点中，是函数 y＝2x 图象
2 3 3
的“1级限距点”的有 （填序号）；
（2）若y关于x的函数y＝－x2－2n＋1的图象存在“n级限距点”，求n的取值范围．八年级上册第 22 章 二次函数
第 4 课时 《二次函数 y＝a(x－h)2的图象和性质》
一、基础练习
1
1．把抛物线y＝－ x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为【 】
2
1 1 1 1
A．y＝－ x2＋2 B．y＝－ (x＋2)2 C．y＝－ x2－2 D．y＝－ (x－2)2
2 2 2 2
2．对于函数y＝－2(x－1)2的图象，下列说法不正确的是【 】
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝1
C．最大值为0 D．与y轴不相交
3．平行于 x 轴的直线与抛物线 y＝a(x－2)2的一个交点坐标为（－1，2），则另一个交点坐
标为【 】
A．（1，2） B．（1，－2） C．（5，2） D．（－1，4）
4．已知抛物线 y＝－(x＋1)2上的两点 A（－4，y1 ）和 B（－3，y2 ），那么下列结论一定成
立的是【 】
A．0＜y2 ＜y1 B．0＜y1 ＜y2 C．y1 ＜y2 ＜0 D．y2 ＜y1 ＜0
5． 将抛物线y＝ (x－2)2向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 ．
1
6． 顶点坐标为（3，0），且与抛物线 y＝－ x2的形状，开口方向相同的抛物线对应的函
4
数解析式是 ．
7． 已知二次函数y＝3(x－a) 2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范
围是 ．
8． 已知二次函数 y＝(x－h)2＋1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 2≤x≤4 的情况下，与
其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为 ．
9． 已知抛物线y＝a(x＋m)2（a≠0）的对称轴是直线x＝3，且过点（2，－2）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）指出该抛物线的开口方向和顶点坐标；
（3）若把该抛物线向右平移2个单位长度，写出得到的新抛物线对应的函数解析式．10． 如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C（－3，b）在该抛物线上，求S
△ABC
的值．
y
A O
x
B
C
（第10题）
二、拓展提升
11． 如图，以边长为1的正方形ABCO的两边OA、OC所在直线为轴建立坐标系，点O为
原点．
（1）求以A为顶点，且经过点C的抛物线解析式；
（2）求（1）中的抛物线与对角线OB交于点D的坐标．
y
C B
D
x
O A
（第11题）
12． 如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB
为等腰直角三角形．
（1）求a的值；
（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出
点C的坐标，并求S
△ABC
；若不存在，请说明理由
y
．
B
O A x
（第12题）13． 如图，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝a(x－h)2的顶点为A，
且经过点B．
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使PO＋PB的值最小，求出点P的坐标．
y
A
x
O
B
（第13题）
三、综合实践
14. 如图，抛物线y=a(x－2)2过点P（3，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A（2m－1，y ）在抛物线上，且恒有y ＞1，求m的取值范围．
1 1
y
P
O x
（第14题）八年级上册第 22 章 二次函数
第 5 课时 《二次函数 a(x－h)2＋k 的图象和性质》
一、基础练习
1．抛物线y＝2(x＋9)2－3的顶点坐标是【 】
A．（9，－3） B．（－9，－3） C．（9，3） D．（－9，3）
2．把函数y＝－x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝－(x－1)2＋1的图
象【 】
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
1 1
3．设A（－1，y1 ）、B（1，y2 ）、C（3，y3 ）是抛物线y＝
2
(x－
2
)2＋k上的三个点，则
y1 、y2 、y3 的大小关系是【 】
A．y1 ＜y2 ＜y3 B．y2 ＜y1 ＜y3 C．y3 ＜y1 ＜y2 D．y2 ＜y3 ＜y1
4．已知二次函数y＝a(x－h)2＋k中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是【 】
A．0＜x＜3 B．0＜x＜4 C．1≤x≤3 D．0＜x＜8
5．抛物线y＝(x－1)2－2开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是
直线 ．当x 时y随x的增大而增大．
6．将抛物线l向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y＝－(x＋2)2＋3，则抛物
线l的解析式为 ．
7．若二次函数y＝(x－m )2－1．当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
8．已知二次函数y＝a (x－1)2－a（a≠0），当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值
为 ．
1
9. 已知函数y＝－ (x＋1)2－2
2
（1）该函数图象的开口方向是 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；
（2）当x 时，y随x的增大而增大；
1 1
（3）怎样移动抛物线y＝－ x2就可以得到抛物线y＝－ (x＋1)2－2？
2 2
10. 已知抛物线y＝a (x－3)2＋2经过点（1，－2）．
（1）求a的值．
（2）点A（m，y1 ），点B（n，y2 ）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1 与y2 的大小．二、拓展提升
11. 如图，抛物线的顶点为C（1，9），与x轴交于A，B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
y
（2）抛物线与y轴交点为D，求S
△BCD
． C
D
A O B x
（第11题）
12. 已知：二次函数y＝－ (x－1)2＋4．
（1）利用描点法画出所给函数的图象；
（2）当－1＜x＜2时，观察图象，函数值y的取值范围为 ；
（3）设点 M（x1 ，y1 ），N（3，y2 ）在该抛物线上，若 y1 ＞y2 ，直接写出 x1 的取值范围
为 ．
（第12题）13. 如图1，若抛物线l1 的顶点A在抛物线l2 上，抛物线l2 的顶点B也在抛物线l1 上（点A
与点B不重合）．我们称抛物线l1 ，l2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物
线可以有多条．
1
（1）如图2，抛物线l3 ：y＝
2
(x－2)2－1与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的
对称轴对称，则点D的坐标为 ；
（2）求以点D为顶点的l3 的“友好”抛物线l4 的表达式；
（3）若y＝a1(x－m )2＋n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2(x－h )2＋k，直接
写出a1 与a2 的关系式．
图1 图2
（第13题）
三、综合实践
14. 回顾本章第2~5课时，你还记得我们是如何研究二次函数的图象与性质的吗？请你写一
篇200字左右的学习小结，谈谈你的学习体会．九年级上册第 22 章 二次函数
第 6 课时 《二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质》
一、基础练习
1． 二次函数y＝－(x＋1)2＋2图象的顶点所在的象限是【 】
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2． 将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是【 】
A．y＝(x－3)2＋4 B．y＝(x＋3)2＋4 C．y＝(x－3)2－4 D．y＝(x＋3)2－4
3． 已知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P(a，b)所在的象限是【 】
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（第3题） （第7题）
4． 设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k) ( a＞0， m ， k 是实数)，则【 】
A．当k＝2时，函数y的最小值为－a
B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为－a
D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a
5． 将抛物线 y＝(x＋3)2向下平移 1 个单位长度，再向右平移_______个单位长度后，得到
的新抛物线经过原点．
6． 二次函数y＝－x2－3x＋4的最大值是_______．
7． 如图是二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，该函数的最小值是_______．
8． 若二次函数y＝x2－2x－3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m 的值为
_______．
9． 如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c图象经过点A(1，－2)和B(0，－5)．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
（2）当y≤－2时，请根据图象直接写出 x 的取值范围．
（第9题）10．二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面
直角坐标系上．
y＝2x2 y＝2 (x－3)2＋6
(0，0) (3，m)
(1，2) (4，8)
(2，8) (5，14)
(－1，2) (2，8)
(－2，8) (1，14)
（1）m的值为_______；
1 1
（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝－ x2＋5与y＝ x2的交点坐标；
2 2
（3）点P( x1 ，y1)，Q( x2 ，y2)在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若
y1 ＞y2 ，则x1_______ x2 ．（填不等号）
（第10题）
二、拓展提升
11．在平面直角坐标系xOy中，M( x1 ，y1)，N( x2 ，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c (a＞0)上任意
两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若对于x1 ＝1，x2 ＝2，有y1 ＝y2 ，求t的值；
（2）若对于0＜x1 ＜1，1＜x2 ＜2，都有y1 ＜y2 ，求t的取值范围．12．已知点 (－m，0)和 (3m，0)在二次函数y＝ax2＋bx＋3(a，b是常数，a≠0)的图象上．
（1）当m＝－1时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当－2＜m＜－1时，求n
的取值范围；
（3）求证：b2＋4a＝0．
13．如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造
型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 C 处，对称轴 OC
与水平线 OA 垂直，OC＝9，点 A 在抛物线上，且点 A 到对称轴的距离 OA＝3，点 B
在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆
的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 y＝－x2＋2bx＋b－1(b＞
0)，当4≤x≤6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．三、综合实践
14．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2 (a＞0)型抛物线图象．
1
发现：如图 1 所示，该类型图象上任意一点 P 到定点 F(0， )的距离 PF，始终等于
4a
1
它到定直线l：y＝－ 的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦
4a
1
点，定直线l为图象的准线，y＝－ 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为
4a
1
H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝ ．例如，抛物线y＝2x2，其焦点坐标为
2a
1 1 1
F(0， )，准线方程为l：y＝－ ，其中PF＝PN，FH＝2OF＝ ．
8 8 4
【基础训练】
1
（1）请分别直接写出抛物线y＝ x2的焦点坐标和准线
4
l 的方程：_______，_______；
【技能训练】
1
（2）如图2，已知抛物线y＝
4
x2上一点P( x0 ，y0) (x0 ＞0)到焦点F的距离是它到x轴
距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
1 1
（3）如图3，已知抛物线y＝ x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝ x－3交y轴
4 2
于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1 ，到直线m的距离为d2 ，请直接写出d1 ＋
d2 的最小值；
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2 (a＞0)平移至y＝a(x－h)2＋k (a＞0)．抛
1 1
物线y＝a(x－h)2＋k (a＞0)内有一定点F( h，k＋ )，直线l过点M( h，k－ )且与x
4a 4a
轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1 始终等于点P到点F
25
的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y＝2(x－1)2＋3上的动点P到点F( 1， )
8
23
的距离等于点P到直线l：y＝ 的距离．
8
请阅读上面的材料，探究下题：
3 1
（4）如图4，点D(－1， )是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝ x2－1上一动点．当
2 4
PO＋PD取最小值时，请求出△POD的面积．九年级上册第 22 章 二次函数
第 7 课时 《二次函数图象与一元二次方程的关系》
一、基础练习
1． 抛物线y＝x2＋x＋c与x轴只有一个公共点，则c的值为【 】
1 1
A．－ B． C．－4 D．4
4 4
2． 下列关于二次函数y＝(x－2)2－3的说法正确的是【 】
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．图象与x轴没有交点
C．当x＜2时，y随x增大而增大
D．图象的顶点坐标是(2，－3)
3． 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A (－1，0)，B两点，对称轴是直
线x＝1，下列说法正确的是【 】
A．a＞0
B．当x＞－1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为(4，0)
D． 4a＋2b＋c＞0
（第3题） （第7题）
4． 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1 ，x2(x1 ＜x2)，关于x的方程
x2＋2x－3－n＝0的解为x3 ，x4(x3 ＜x4)．则下列结论正确的是【 】
A．x3 ＜x1 ＜ x2 ＜x4 B．x1 ＜x3 ＜ x4 ＜x2 C．x1 ＜x2 ＜ x3 ＜x4 D．x3 ＜x4 ＜ x1 ＜x2
5． 二次函数y＝x2＋3x＋n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是______．（填
一个值即可）
6． 把二次函数y＝x2＋4x＋m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_______．
7． 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A (1，0)、点B (3，0)，与y轴相交于点C，
点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝_______．
8． 规定：如果两个函数的图象关于 y 轴对称，那么称这两个函数互为“Y 函数”．例如：
k
函数y＝x＋3与y＝－x＋3互为“Y函数”．若函数y＝ x2＋(k－1)x＋k－3的图象与x
4
轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为_______．9． 已知二次函数几组x与y的对应值如表：
x … －3 －2 －1 1 3 4 …
y … 12 5 0 －4 0 5 …
（1）求此二次函数的表达式；
（2）直接写出当x取何值时，y≤0．
10．已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解．
二、拓展提升
5
11．已知抛物线y＝x2＋2mx－ m2(m＞0)
4
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且AB＝6，求m
的值．12．抛物线y＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a＜0)经过A (2，0)，B (－4，0)两点．
（1）当b＝－2时，求抛物线的表达式；
（2）求一元二次方程ax2＋bx＋c＝c的根；
（3）求证：a≤c．
13．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2| x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，
请补充完整：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
5
x … －3 － －2 －1 0 1 2 －1 3 …
2
5 5
y … 3 m －1 0 －1 0 3 …
4 4
其中，m＝_______．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部
分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有_______个交点，所以对应的方程x2－2| x |＝0有_______个实数根；
1
②方程x2－2| x |＝－ 有_______个实数根；
2
③关于x的方程x2－2| x |＝a有4个实数根时，a的取值范围是_______．
三、综合实践
14．请认真阅读人教九上教材48页“信息技术应用——探索二次函数的性质”相关内容，
利用几何画板直观感受二次函数的性质以及其与一元二次方程的关系。
在此基础上，进一步探究不等式 ax2＋bx＋c＞0 和 ax2＋bx＋c＜0 的解集，并将探究的
结果进行归纳。（以表格形式呈现，可结合图象进行阐释）．九年级上册第 22 章 二次函数
第 8 课时 《几何图形面积问题》
一、基础练习
1． 某小区有一块绿地如图中等腰直角△ABC 所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书
吧PMBN，其中点P，M，N分别在边AC，BC，AB上，记PM＝x m，PN＝y m，图中
阴影部分的面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y
与x，S与x满足的函数关系分别是【 】
A．一次函数关系，二次函数关系
B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．反比例函数关系，二次函数关系
（第1题） （第2题）
2． 如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、
GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y
关于x的函数图象如图2，则下列说法正确的是【 】
A．矩形ABCD的最大面积为8平方米
B．y与x之间的函数关系式为y＝－x2＋2x
C．当x＝4时，矩形ABCD的面积最大
D．a的值为12
3． 如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余
的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m，有下列结论：①AB的长可以为6
m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2；③菜园ABCD面积的最
大值为200 m2．其中，正确结论的个数是【 】
A．0 B．1 C．2 D．3
4． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝4 3，D为边AB上一动点（B点除外），以CD
为一边在BC边上方作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为【 】
9 7
A． B．4 3 C． D．4 2
2 2
（第3题） （第4题）5． 在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24 m长的篱笆
围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为_______ m2．
（第5题） （第6题）
6． 如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度
为10 m，则这块矩形场地的最大面积为_______ m2．
7． 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用
围墙（墙长9 m）和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ区、Ⅱ区两块矩形劳动实践基地（如图
所示）．要使围成的两块矩形总种植最大，则BC应设计为_______m．
（第7题） （第8题）
8． 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8， D为AB中点，E、F是边AC、BC
上的动点，E从A出发向C运动，同时F以相同的速度从C出发向B运动，F运动到
B停止，当AE为_______时，△ECF的面积最大．
9． 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的
长度为10 m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，
已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？10．某建筑工程队借助一段废弃的墙体 CD，CD 长为 18 米，用 76 米长的铁栅栏围成两个
相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平
行于墙的一边留下一个 1 米宽的缺口作小门．现有如下两份图纸（图纸 1 点 A 在线段
DC 的延长线上，图纸 2点A 在线段DC上），设 AB＝x米，图纸1，图纸 2 的仓库总
面积分别为y 平方米，y 平方米．
1 2
（1）分别写出y ，y 与x的函数关系式；
1 1
（2）小红说：“y 的最大值为384，y 的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．
1 2
二、拓展提升
11．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利
用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线 ABC 表示墙面，已知 AB⊥BC，AB＝3 米，BC
＝1米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF（细线表示篱笆，
小型农场中间GH也是用篱笆隔开），点D可能在线段AB上（如图1），也可能在线段
BA的延长线上（如图2），点E在线段BC的延长线上．
（1）当点D在线段AB上时，
①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；
②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；
（2）当点 D 在线段 BA 延长线上，DF 为多少时，小型农场 DBEF 的面积最大？最大
面积为多少平方米？12．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600 cm2的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形
纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长
方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．
（1）若矩形纸板ABCD的一边长为90 cm，
①当纸盒的底面积为1056 cm2时，求x的值；
②求纸盒的侧面积的最大值；
（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．
13．如图，用一段长30的篱笆围成一个一边AD靠墙（无需篱笆）的矩形ABCD菜园，并
且中间也用篱笆EF隔开，EF∥AB，墙长12 m．
（1）设AB＝x m，矩形ABCD的面积为y m2，则y关于x的函数关系式为_______，x
的取值范围为_______．
（2）求矩形ABCD面积的最大值，并求出此时BC的长；
（3）在（2）的情况下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲
种农作物的年收入W（单位：元）和种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W ＝60S；
1 1
乙种农作物的年收入W （单位：元）和种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W ＝
2 2
－S2＋120 S，若两种农作物的年收入之和不少于5184元，求BF的取值范围．三、综合实践
14．【问题背景】为了保持室内空气的清新，某仓库的门动换气窗采用了以下设计：如图1，
窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形 ABCD 和一个△CDE 组成，该窗子
关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通
风口为△FMN（阴影部分均不通风），点 F 为 AB 的中点，MN 是可以沿窗户边框上下
滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
已知边框AB＝3 m，设AD为a m，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为
h m．
【初步探究】
（1）若a＝2，h＝4．
①MN与AB之间的距离为1 m，求此时△FMN的面积．
②MN与AB之间的距离为x m，试将通风口的面积y m2表示成关于x的函数．
③伸缩杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【拓展提升】
（2）若金属杆 MN 移动到高于 CD 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．h 需
要满足的条件是_______，通风口的最大面积是_______ m2（用含a，h的代数式表示）九年级上册第 22 章 二次函数
第 9 课时 《销售利润问题》
一、基础练习
1．某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润y（元）与降价金额x（元）之间满足函数
关系式y＝－x2＋50x＋600，若降价10元，则获利为【 】
A．800元 B．600元 C．1200元 D．1000元
2．某种商品每天的销售利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式为y＝－0.1（x－3）2
＋25．则这种商品每天的最大利润为【 】
A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元
3．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销
售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为【 】
A．5000元 B．8000元 C．9000元 D．10000元
4．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平
均每天能售出8件，而当销售价每降低 2元，平均每天能多售出 4件，为使该服装店平
均每天的销售利润最大，则每件的定价为【 】
A．21元 B．22元 C．23元 D．24元
5．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关
系式y＝－2x2＋60x＋800，则获利最多为 元．
6．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，当时，每天的销
售量 y（个）与销售价格 x（元/个）之间满足关系式 y＝－x＋30，设该食品零售店每天
销售这款冷饮产品的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为 ．
7．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，
若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销量就增加 1 个，为了获取最大利
润，则应降价 元．
8．某便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）
之间的关系满足y＝－2（x－20）2＋1558，由于某种原因，价格只能满足15≤x≤19，那
么一周可获得最大利润是 元．
9．一种商品每件的进价为100元，在某段时间内以每件a元的价格出售，可卖出（200－a）
件．若要使利润最大，则商品的定价为多少元？
10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增
加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价 1 元，商场平均每天
可多售出2件．求每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大？最大利润是多少元？二、拓展提升
11．某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 m（件）
与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162－3x．
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润 y（元）与每件销售价 x（元）之间的函数
关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；
如果不能，说明理由．
12．某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现
在计划提高该商品的售价增加利润，市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上
每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨x元（x为整数且
x≥0）时，每星期的销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润
是多少？
13．某商场销售一种成本为20元/kg的商品，市场调研反映：在某个月的第x天（1≤x≤30）
的销售价格为（40＋x）元/kg，日销售量y（kg）与x的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？
（3）结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于2250元？
（第13题）三、综合实践
14．某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元
/件（10＜x＜24）．调查发现，线上的销售量为 600 件；线下的销售量 y（单位：件）与
售价x（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表：
x（元/件） 12 13 14 15 16
y（件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等；
（3）若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大．九年级上册第 22 章 二次函数
第 10 课时 《建立坐标系解“抛物线”形问题》
一、基础练习
1．向空中发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 米，且时间与高度的关系为 y＝ax2＋bx＋c
（a≠0）、若此炮弹在第 8 秒与第 16 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最
高的是【 】
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
2．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在 AB
位置时，水面宽度为20m，此时水面到桥拱的距离是16m，则抛物线的函数关系式为【 】
25 25 4 4
A． y＝ x2 B． y＝－ x2 C．y＝－ x2 D．y＝ x2
4 4 25 25
（第2题） （第3题） （第4题）
3．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体
4
轴截面ABC是抛物线y＝ x2＋5的一部分，则杯口的口径AC为【 】
9
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所
40
在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点 M 离墙 1m，离地面 m，则水流落地点 B
3
离墙的距离OB是【 】
A．2m B．3m C．4m D．5m
5．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度h（m）与弹出的时间t（s）满
足的关系式为 h＝15t－5t2．当小球第一次距离地面 10m 时，小球弹出的时间为
秒．
6．如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）
1 2 5
的函数解析式为y＝－ x2＋ x＋ ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离
12 3 3
为 米．
（第6题） （第7题）
7．某座石拱桥的桥拱近似抛物线形，以拱顶O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，1
则其解析式为y＝－ x2，当水面宽度AB是10米时，水面到拱顶的高度OC
20
是 米．
8．在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已
知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为
1 1
xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为y m，y与x的函数关系式为y＝－ x2＋ x＋2
32 2
（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
（第8题）
9．如图，喷泉的喷头喷出的水珠在空中形成抛物线，在抛物线各个位置上水珠的竖直高度
y（单位：m）与它喷头的水平距离x（单位：m）满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋6．
（1）求水珠运动过程中距离地面的最大高度；
（2）观赏的人站在距离喷头水平距离3.5m的地方，会不会被喷泉喷出的水打湿．
（第9题）
10．一场足球比赛中，某球员在离球门6 m远的地方抬脚劲射，从高速摄影机拍得的资料，
足球沿抛物线飞向球门，并且在如图的直角坐标系中，该抛物线对应的二次函数为 y＝a
（x－4）2＋3.2，若球门的横梁高为2.44 m，此球有进门的可能吗？
（第10题）
二、拓展提升11．如图，隧道的截面由抛物线DEC和矩形ABCD构成，矩形的长AB为4m，宽BC为3m，
以DC所在的直线为x轴，线段CD的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物
线的对称轴，最高点E到地面距离为4米．
（1）求出抛物线的解析式．
13
（2）在距离地面 米高处，隧道的宽度是多少？
4
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高 3.6 米，宽
2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
（第11题）
12．如图是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度 y（m）与水平
距离x（m）的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，已
知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．羽毛球沿水平方向运动4m时，
5
达到羽毛球距离地面最大高度是 m．
3
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；
（2）通过计算判断此球能否过网；
31
（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为 m的Q处时，乙扣球成功求此
24
时乙与球网的水平距离．
（第12题）
13．某体验馆建造了一幢“森林”主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架AB，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔
离出一片矩形区域ABCD，且CD在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x
轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量OE长8米．
45
（1）若（3， ）在抛物线上，求该抛物线表达式．
8
（2）在（1）的条件下，若隔离区其中一条边长为2米，则隔离区的面积为多少？
（第13题）
三、综合实践
14．阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个图1所示的喷水池，水池中心O处立着一个高为2m的实
心石柱OA，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，
并在石柱顶点A处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大
高度，且离池面的高度为2.25m．
【素材 2】距离池面 1.25 米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响
水流．
【任务解决】
（1）小张同学设计的水池半径为 2m，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合
要求．
（2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？
（第14题）
九年级上册第 22 章 二次函数第 11 课时 《小结复习》
一、基础练习
1．下列函数的图象与y＝5x2的图象形状相同的是【 】
A．y＝2x2 B．y＝－5x2＋2 C．y＝x2＋5x＋1 D．y＝5x－1
2．下列点中，一定在抛物线y＝ax2＋2ax＋3上的是【 】
A．（2，3） B．（－2，3） C．（3，0） D．以上都不在
3．如表给出了二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中 x，y 的一些对应值，则可以估计一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个近似解x1 的范围为【 】
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … －1.16 －0.71 －0.24 0.25 0.76 …
A．1.2＜x1 ＜1.3 B．1.3＜x1 ＜1.4 C．1.4＜x1 ＜1.5 D．1.5＜x1 ＜1.6
1
4．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt－ gt2，其
2
中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝
20m/s，则下列说法正确的是【 】
A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点
B．当h＝25 m时，对应一个时刻点
C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点
D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点
5．将抛物线y＝x2－2向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线
解析式是 ．
6．若二次函数y＝x2－2x＋k的图象与x轴只有一个公共点，则k＝ ．
7．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则ab 0（填“＞”“＜”或“＝”）．
（第7题）
8．已知函数y＝x2－6x＋2，当－2＜x＜4时，则y的取值范围为 ．
9．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出100件，现需降价处
理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出10件．在确保盈利的前提下，解答下
列问题：
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，
并求出自变量x的取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
10．已知抛物线y＝x2－（2m－1）x＋m2－m．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线y＝x－3m＋3的一个交点在y轴上，求m的值．
二、拓展提升
11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点（1，－2），（－2，13）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将此抛物线沿x轴平移m（m＞0）个单位，当自变量x的值满足－1≤x≤3时，与
其对应的函数值y的最小值为6，求m的值．
12．已知抛物线y＝ax2－4ax＋3a与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点
C（0，3）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线上第二象限内一点，过点P作PQ⊥x轴交直线y＝x＋t于点Q，t＝3，
PQ＝6，求点P的坐标；
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋1过点（2，1）．
（1）求b（用含a的式子表示）；（2）抛物线过点M（－2，m），N（1，n），P（3，p），
①判断：（m－1）（n－1） 0（填“＞”“＜”或“＝”）；
②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．
（第13题）
三、综合实践
14．规定：P（x1 ，y1 ），Q（x2 ，y2 ）为函数图象上不重合的两点，若PQ∥x轴，则称点P，
Q互为这个函数的对“平行点”．
3
（1）函数①y1 ＝|x|，②y2 ＝2x＋1，③y3 ＝
x
，其中有“平行点”的函数为 （填
序号）；
（2）若点C（－5，y1 ），D（1，y2 ）为二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上的一对“平行点”，
E（x0 ，y0 ）在函数图象上，当－2≤x0 ≤1时，－1≤y0 ≤1，求c的值；
（3）若点 F（1，m），G（3，n）在函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）图象上，且 m＜n≤c，
设该函数图象上点F的“平行点”H的横坐标为x0 ，求－x0 2－4x0 ＋2的最大值．
