九年级第5章5.1二次函数单元作业_0作业_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学苏科版试卷_《优秀作业单》_九年级

九年级第五章 二次函数
第一课时 5.1 二次函数
一、基础练习
1．下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=2+√1+x2 B．y=(x−1)2−x2 C．y=3x2−2 D．y＝ax2+bx+c
2．若y=(m−2)xm2−2−x+1是二次函数，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣2或2
3．如图，圆柱的侧面积为 15𝑚2．记圆柱的底面半径为x𝑚，底面周长为𝑙m，高为ℎ𝑚．当x在一定范
围内变化时．𝑙和ℎ都随x的变化而变化，则𝑙与x，ℎ与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，反比例函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系
4．下列函数是不是二次函数？如果是二次函数，请分别写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）y=−0.9x2+2x−3；
（2）y=−2x2−7；
（3）y=−x2+x；
（4）y=(x+1)(x−1)−x2．
5．下列各式中，𝑦一定是x的二次函数的有哪些？y一定不是x的二次函数的有哪些？对于有可能y是
x的二次函数的，请补充条件，使它一定是二次函数．
（1）y=√3x2+2x−5；
（2）y=(3x+2)(4x−3)−12x2；
（3）𝑦＝𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐；
（4）𝑦＝𝑚𝑥2+（𝑚﹣2）𝑥+1；
（5）𝑦＝（𝑏﹣1）x2+3；
（6）𝑦＝2x2+3𝑥﹣𝑘（k为常数）．
6．已知函数y=(m−2)x2+mx−3（m为常数）．
（1）当m满足什么条件时，该函数是二次函数？
（2）当m满足什么条件时，该函数是一次函数？
（3）该函数可能是正比例函数吗？
7．已知函数y=(m+1)x|m|+1+4x−5是关于x的二次函数，则一次函数y=mx−m的图象不经过
第 象限．
8．证明：对于任何实数m,y=(m2+2m+3)x2+2022x−1都是y关于x的二次函数．
9．已知菱形的两条对角线长分别为𝑥𝑐𝑚和2𝑥𝑐𝑚，写出菱形的面积𝑆（𝑐𝑚2）与𝑥（𝑐𝑚）之间的函数
表达式，并判断该函数是否为二次函数．
10．已知函数y=(m2+m)xm2−m−2x是关于𝑥的二次函数，求不等式（𝑚﹣4）𝑥＞𝑚+2的解集．
二、拓展提升
11. 某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头.由于市场原因，减少养殖场的数量，
学科网（北京）股份有限公司 1养殖场每减少 1 个，平均每个养殖场的奶牛数增加 300 头.若养殖场减少x个，求奶牛总数
学科网（北京）股份有限公司 2
y （头）
与 x （个）之间的函数关系式.
12.2 条直线相交有 1个交点,3 条直线相交最多有 3 个交点,4 条直线相交最多有 6 个交点,……,若
有 n 条直线相交,交点最多有 m 个,求 m 关于 n 的函数表达式,并指出它是什么函数？
13.如图,建筑队在工地一边靠墙（墙的最大长度为22 米）处用 45 米长的铁栅栏围成三个相连的长
方形仓库,为方便取物,在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作为通道,在平行于墙的一边留下一个1
米宽的缺口作为小门,设AB长为x米,仓库总面积为 y 平方米.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；
（2）根据实际要求，所围的仓库面积是140平方米，求仓库的长和宽分别为多少米？
三、综合实践
14.同学们通过课本上“水滴激起的波纹”、“圈养小兔的问题”和“加工长方形镜子”三个实例体
会了二次函数的意义。生活中还有许多类似的实例，你能举出一些吗？第二课时 二次函数的图象与性质(1)
一、基础练习
1.关于二次函数y=x2与y= -x2的图像，下列说法错误的是 （ ）
A.对称轴都是y轴 B.顶点都是坐标原点
C.与x轴都有且只有一个交点 D.它们的开口方向相同
2.若二次函数y=ax2的图像经过点P(-1,1),则图像必经过点 （ ）
A.(1,-1) B.(1,1) C. (0,1) D. (1,0)
3. 函数y＝ 的大致图象是 （ ）
A． B． C． D．
4. 二次函数
学科网（北京）股份有限公司 3
y = a x 2 的图像是一条 ，它关于 对称；顶点坐标是 ，
5.函数 y = x 2 的顶点坐标为 ，若点（ a ，4）在其图象上，则 a = ．
6.点A（2，n）在函数 y = − x 2 的图象上，点A在该图象上的对称点的坐标是 .
7．点A（
1
2
， b ）是抛物线y = x2上的一点，则 b = ；点A关于 y 轴对称点B坐标是 ；
点A关于原点的对称点C坐标是 ．
8.函数 y = x 2 与 y = − x 2 的图象关于 对称，也可以认为 y = − x 2 的图象是函数 y = x 2 的图
象绕 旋转_______得到．
9．求直线 y = x 与抛物线y = x2的交点坐标．
10.已知y= m xm2+m是关于 x 的二次函数.
⑴当m取何值时，该二次函数的图像开口向上？
⑵在上述条件下：当y=8时， x = .二、拓展提升
11.函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．
求：（1）a和b的值；
（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）作y=ax2的草图．
12.如图，过点
学科网（北京）股份有限公司 4
F ( 0 , − 1 ) 的直线y=kx+b(k 0)与抛物线y= -x2交于A(x,y )，
1 1
B ( x
2
, y
2
) 两点．
求xx 的值．
1 2
13.在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x2与直线 y = x + 1 交于点 A ( a , b ) 和点 B ( c , d ) ，其中ac，
点O为原点，求  A B O 的面积.
三、综合实践
14.已知二次函数y= -x2. 借助图象，解决下列问题
(1)当-1<x<2时,求y的取值范围;
(2)当-9<y<-1时,求x的取值范围.第三课时 二次函数的图像与性质（2）
一、基础练习
1.下列关于二次函数
学科网（北京）股份有限公司 5
y = 2 x 2 的说法正确的是（ ）
A.它的图像经过点 ( − 1 ， − 2 ) B.当 x  0 时，y随x的增大而减小
C.当x=0时，y有最大值为0 D.它的图像的对称轴是直线 x = 2
2.抛物线 y = x 2 ， y = − 3 x 2 ， y =
1
2
x 2 的共同性质是（ ）
A.开口向上 B.都有最大值 C.对称轴都是x轴 D.顶点都是原点
3.若二次函数 y = ( m − 1 ) x m 2 − m 的开口向下，则m的值是（ ）
A.2 B.-1 C.2或-1 D.以上答案都不对
4.下列图像中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图像是( )
5.抛物线y＝ax2和直线y＝x+b都经过点P（2，6）则 a= ，b= ，直线不经过第 象限，
抛物线不经过第 象限.
6.二次函数 y＝ax2 的图像和直线 y = −
3
2
x 交于（1，m），则二次函数关系式是 ，当 x＝
时，函数 y有最 值，是 .
7.在平面直角坐标系中，函数y=x2的图像经过点 M ( x ，1 y
1
)， N ( x
2
， y
2
) 两点，若 − 4  x
1
 − 2 ，
0 x 2，则
2
y
1
y
2
．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）
8.如图，菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线 y =
1
2
x 2 上，其中点O为坐标原点，对角线OB在y
轴上，且OB=2.则菱形OABC的面积是 .
9.已知y=(k−1)xk2−2是二次函数.
（1）若其图像开口向下，求k 的值；（2）若当
学科网（北京）股份有限公司 6
x  0 时，y随x的增大而减小，求函数关系式．
10.如图，点A、B分别在二次函数y=x2的图像上，且线段AB⊥y轴，若AB=6，试求点A、B的坐
标．
二、拓展提升
11.有一桥孔的形状是一条开口向下的抛物线 y = −
1
4
x 2 的一部分．
（1）作出这条抛物线；
（2）当水面与抛物线顶点的距离为4m时，利用图像求水面的宽；
（3）当水面宽为6m时，水面与抛物线顶点的距离是多少？
12.已知二次函数y=ax2经过点A（－2，4）
（1）求出这个函数关系式；
（2）写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B的坐标，并求出S ；
△AOB
（3）在抛物线上是否存在另一个点C，使得△ABC的面积等于△AOB面积的一半？如果存在，求出
点C的坐标；如果不存在，请说明理由．
1
13.如图，分别过点P (n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数y= x2（x0）的图像于点
n
2A ，交直线
n
学科网（北京）股份有限公司 7
y = −
1
2
x （ x  0 ）于点B ，求
n
A
1
B
1 1
+
A
1
B
2 2
+  +
A
1
B
n n
的值.
三、综合实践
1
14.下图是一个可以绕O点自由转动的转盘，⊙O的半径为2，C 是函数y= x2的图像，C 是函数
1 2
2
1
y=− x2的图像，C 是函数
3
2
y = 3 x 的图像，则指针指向阴影部分的概率为 .
15.在一个不透明的布袋里装有3个标有1、2、4的小球，它们的形状，大小完全相同，李强从布
袋中随机取出一个小球，记下数字为x，然后放回袋中搅匀，王芳再从袋中随机取出一个小球，记
下数字为y，这样确定了点M的坐标（x，y）．
（1）用列表或画树状图（只选其中一种）的方法表示出点M所有可能的坐标；
（2）求点M（x，y）在函数y= x2图像上的概率．第四课时 二次函数的图像和性质（3）
一、基础练习
1.函数
学科网（北京）股份有限公司 8
y = ( x + 1 ） 2 的图像是一条________,它的开口_______,对称轴是___________,顶点坐标是
_________,当 x =_________时， y 有最____值______.
2.函数 y = x 2 + 1 的图像是一条________,它的开口_______,对称轴是___________,顶点坐标是
_________,当 x =_________时，y有最____值______.
3.如果将抛物线 y = 2 x 2 向上平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式为___________.
4.在函数 y = −
1
2
( x − 1 ) 2 中，当 x  1 时， y 随 x 的增大而__________,当 x =______时， y 有最______
值，为_______.
5.二次函数的 y = 3 x 2 − 2 图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法中，正确的是（ ）
A.开口向下 B.经过点（2,3） C.对称轴为直线 x = 1 D.与 x 轴有2个公共点
6.若点A（2,3）在函数 y = − a ( x + 3 ) 2 的图像上，则点A关于这个函数图像的对称轴对称点B的坐标
为（ ）
A.（5，-3） B.（4，-3） C.（-8，3） D.（-3,2）
7.已知点(−3,𝑦 )、(−1,𝑦 )、(1,𝑦 )在下列某一函数图象上，且𝑦 <𝑦 <𝑦 ，那么这个函数是
1 2 3 3 1 2
( )
A. y = 3 x B. y = 3 x 2 + 1 C. y =
3
x
D. y = −
3
x
8.若二次函数 y = m x 2 + m − 2 的图像的顶点在 轴的负半轴上且开口向上，则 y m 的取值范围为
（ ）
A. m  2 B.m0 C. 0  m  2 D. m  2
9.已知二次函数 y = a x 2 − k ，当 x = 0 时， y 有最大值2，且此函数的图像经过点（1，-3）
（1）求此函数的表达式；
（2）当 x 在什么范围内时，y随x的增大而增大；
（3）怎样平移该抛物线可得到二次函数 y = a x 2 的图像.
1
10.已知二次函数y=− x2 +2，请画出函数图像，并利用图像求当1 x5时，
3
y 的取值范围.
11.若二次函数 y = a ( x − h ) 2 ，当 x =-1时，函数有最小值，且该函数的图像经过点（-3,8）
（1）求次二次函数的表达式；
（2）求将这个抛物线绕其顶点旋转180°后得到的新函数表达式.
二、拓展提升
12.将抛物线c : y =− 3x2 + 3沿x轴翻折，得到抛物线c ，
1 2（1）请直接写出抛物线
学科网（北京）股份有限公司 9
c
2
的表达式；
（2）现将抛物线 C
1
向左平移 m 个单位长度，平移后的到的新抛物线顶点为M,与 x 轴的交点从左到
右依次为 A、B，将抛物线C 也向右平移m个单位长度，平移后的新抛物线顶点为N,与
2
x 轴交点
从左到右依次为 D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m；
②在平移的过程中，是否存在以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，若存在求 m ，若不存在，
请说明理由.
13.已知二次函数𝑦 =2(𝑥−1)2的图象如图所示，
（1）求ABO的面积；
（2）二次函数𝑦 =2(𝑥−1)2的图象向右平移后的图像与原图像交
于点C，
①若向右平移2个单位，求BOC的面积；
②若平移后的二次函数为𝑦=2(𝑥+𝑚)2，点C的纵坐标小于 2，请
直接写出m的范围．
三、综合实践
14.小张家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型（如图1），大棚的一端固定在离地
面高1米的墙体A处，另一端固定在墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已
知大棚上某处离地面的高度（y 米）与其离墙体B的水平距离（x 米）之间的关系满足 y = -
1
6
x 2 +
7
2
3
4
，
现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）求大棚的最高处到地面的距离；
（2）求墙体B的高度．第5课时 二次函数的图像和性质（4）
一、基础练习
1．二次函数𝑦 =𝑥2−4𝑥+5的顶点坐标是（ ）
A. (−2,1) B.(2,−1) C.(2,1) D.(−2,−1)
2．抛物线𝑦 =−𝑥2+6𝑥+3 的对称轴是直线（ ）
A. 𝑥 =3 B. 𝑥 =−3 C. 𝑥 =6 D. 𝑥 =−6
3.把函数𝑦 =−2𝑥2+4𝑥+1的图像向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新函
数图像表达式是（ ）
A.𝑦 =−2(𝑥−4)2−2 B.𝑦 =−2(𝑥+2)2−2
C.𝑦 =−2(𝑥−4)2+8 D.𝑦=−2(𝑥+2)2−1
4.已知二次函数𝑦=𝑥2+2𝑥+4，下列结论不正确的是（ ）
A.开口向上 B.关于直线𝑥 =−1对称 C.当𝑥＞−1时，𝑦随𝑥的增大而增大 D.有最大值3
5.如图是二次函数𝑦 =𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（𝑎，𝑏，𝑐是常数，𝑎 ≠0）图像，与𝑥轴的交点A在点（2,0）和
（3,0）之间，对称轴是直线𝑥 =1 .对于下列说法中：①𝑎𝑏𝑐＜0 ②𝑏−2𝑎 =0 ③3𝑎+𝑐 <0 ④当
−1<𝑥 <3时，𝑦＞0 ⑤ 𝑎+𝑏 >𝑚(𝑎𝑚+𝑏)(m≠1)正确的是（ ）
A.①②③④⑤ B.①②③④ C.①③⑤ D.①③④⑤
（第5题图） （第7题图） （第8题图）
6.已知二次函数𝑦=−2𝑥2+(2𝑚−1)𝑥+1，当𝑥 >−1时，𝑦随𝑥的增大而减小，则𝑚的取值范围是
____________________.
7.如图，抛物线𝑦= 1 𝑥2经过平移得到抛物线𝑦 =𝑎𝑥2+𝑏𝑥，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部
2
分的面积是32，则抛物线𝑦 =𝑎𝑥2+𝑏𝑥的顶点坐标是_______________________.
8.将二次函数𝑦 =−𝑥2+4𝑥−1在𝑥轴下方的图像沿𝑥轴翻折到𝑥轴上方，图像的其余部分不变，得到
一个新的图像（实线部分），若直线𝑦 =𝑚与这个图像恰有 4 个公共点，则𝑚的取值范围是
__________________.
9．已知二次函数𝑦 =𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3𝑎+3（𝑎 ≠0）的图像经过点𝐴（2,3）
学科网（北京）股份有限公司 10（1）求该抛物线的对称轴，以及点𝐴关于对称轴对称的点𝐵坐标.
（2）若该抛物线与𝑥轴交于𝑃（𝑥 ,0）和Q（𝑥 ,0）两点，（其中𝑥 <𝑥 ），若𝑃𝑄=4，求𝑎值.
1 2 1 2
10.如图，抛物线𝑦 =𝑥2+𝑏𝑥−3过点𝐴（-1，𝑚）和𝐵（4，𝑚），与𝑦轴交于点𝐶.
（1）求𝑏和𝑚的值；
（2）连接𝐴𝐵，𝐴𝐵与𝑦轴交于点𝐷.求点𝐷的坐标以及△𝐴𝐵𝐶的面积.
二、拓展提升
11. 在平面直角坐标系中，已知抛物线𝐿：𝑦 =𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+6
学科网（北京）股份有限公司 11
( a  0 )
(1)当𝑎 =2时
①抛物线𝐿的对称轴为直线x= .
②若在抛物线𝐿上有两点(3,𝑦 )，(𝑚,𝑦 )，且𝑦 ≥𝑦 ，则𝑚的取值范围是 .
1 2 2 1
(2)抛物线𝐿的对称轴与𝑥轴交于点𝑀，点𝑀与点𝐴关于𝑦轴对称，将点𝑀向右平移3个单位得到点𝐵，
若抛物线𝐿与线段𝐴𝐵恰有一个公共点，结合图像，求𝑎的取值范围.
12. 在平面直角坐标系中，二次函数𝑦 =𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎 ≠0)的图像经过𝐴（0，−6）和
𝐵（4,0）．
（1）求𝑐的值及𝑎，𝑏满足的关系式；（2）若二次函数的图像在𝐴和𝐵两点间，从左到右呈上升趋势，求𝑎的取值范围；
（3）二次函数的图像同时经过两个不同的点𝑀(p，m)，𝑁（−4−p，n）.
①若𝑚 =𝑛，求𝑎的值； ②若𝑚 =−3𝑝−2,𝑛 =3𝑝+10，求𝑎的值．
13.已知二次函数𝑦 =−𝑥2+𝑚𝑥+𝑚+1图像的对称轴是直线𝑥 =2
（1）求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点的坐标；
（2）若抛物线𝑦 =−𝑥2+𝑚𝑥+𝑚+1与𝑥轴相交于点𝐴、𝐵（点𝐴在点𝐵的左侧），与𝑦轴相交于点𝐶 ，
请问： ①如果点𝑃是抛物线的顶点，求四边形𝑃𝐶𝑂𝐵的面积；
②如果点𝑃是直线BC上方抛物线的一点，求四边形𝑃𝐶𝑂𝐵的最大面积.
学科网（北京）股份有限公司 12三、综合实践
14.定义：若抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐与𝑥轴交于𝐴、𝐵两点，与𝑦轴交于𝐶点，且
∠𝐴𝐶𝐵=90°，则称抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐是“准勾股抛物线”，其中较短直角边所
在的直线叫“准勾线”，较长直角边所在的直线叫“准股线”．
(1)若“准勾股抛物线”𝑦 = 2𝑥2 +𝑚𝑥−𝑛的“准勾线”经过点(1，1)，求𝑚和𝑛的
值；
(2)若“准勾股抛物线”𝑦 = − 1 𝑥2 +𝑏𝑥 +𝑐与𝑥轴的一个交点为(－1，0)，其“准股
3
k
线”与反比例函数𝑦＝的一个交点的横坐标是－3，求反比例函数解析式；
x
3
(3)已知“准勾股抛物线”𝑦＝ 𝑥2＋𝑏𝑥－ 3𝑐(𝑏 ≠ 0)的“准勾线”、“准股线”及𝑥
3
轴围成的三角形面积𝑆的取值范围是2 3 ≤ 𝑆 ≤ 4 3，设𝑡＝－2𝑏4＋4𝑏2＋5，求𝑡的最
大值．
学科网（北京）股份有限公司 13第六课时 用待定系数法确定二次函数表达式
一、基础练习
1．抛物线的对称轴为直线x=2，y的最大值为−4，且与y= 1 𝑥2图象开口大小相同．则这条抛物线
2
解析式为（ ）
A．𝑦=− 1 (𝑥+2)2+4 B． 𝑦=− 1 (𝑥−2)2−4
2 2
C．y= 1 (x+2)2+4 D．y= 1 (x−2)2−4
2 2
2.已知二次函数的图象经过（0，0），（4，0），（1，﹣6）三点，则该函数的解析式为（ ）
A．y=x2−4x B．y=2x2−4x C．y=2x2−8x D．y=x2−8x
3.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y= 3 (x−1)2−3 B．y= 3 (x+1)2−3
4 4
C．y=− 3 (x−1)2−3 D．y=− 3 (x+1)2−3
4 4
4. 若抛物线y=a(x−h)2+k的顶点为A（1，﹣2），且经过点A关于原点O的对称点A′，
则抛物线的解析式为（ ）
A．y=(x−1)2−2 B．y=(x+1)2+2
C．y= 1 (x−1)2−2 D．y= 1 (x+1)2+2
2 2
5.已知函数y=2𝑥2+3−2𝑘的最小值为﹣1，则𝑘＝ ．
6.已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣4），且与y轴的交点坐标为（0，5），则该抛物线的解析式
为 ．
7.已知二次函数y=a𝑥2+𝑏𝑥+𝑐图象经过点A（﹣2，0）、点B（0，﹣4）和点C（3，5），求
该二次函数的解析式 ．
8.抛物线y=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点（﹣1，0），且对称轴是直线𝑥 =2，该抛物线的解析式
是 ．
学科网（北京）股份有限公司 149.已知二次函数y=−x2+bx+3的图象经过点（3，0）
（1）求b的值；（2）求这个图象的顶点坐标与对称轴．
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，3），C（0，3）．
（1）求出此二次函数的解析式，并把它化成y=a(x−h)2+k的形式；
（2）请在坐标系内画出这个函数的图象，并根据图象写出函数值y为负数时，自变量x的取值范
围．
二、拓展提升
11.已知抛物线y=ax2+bx+2经过点（1，﹣1），（﹣2，14）．
（1）求a,b的值；
（2）若(3,𝑦 ),(𝑚,𝑦 )是抛物线上不同的两点，且𝑦 =𝑦 −1，求𝑚的值．
1 2 2 1
12.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的形状与抛物线y=−x2+2的形状相同，且经过A
（2，0）、B（0，﹣8）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
学科网（北京）股份有限公司 15（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
13.如图，已知点A（0，4），点B（12，4），抛物线y＝﹣（x﹣m）2+n（m，n均为常数）与线段
AB交于C，D两点．
（1）若AC＝CD＝BD，求抛物线的解析式；
1
（2）若𝐶𝐷 = 𝐴𝐵，求n的值．
2
三、综合实践
14．如图，某建筑大门的截面图是由抛物线 ADB 和矩形 OABC 构成．矩形 OABC 的边𝑂𝐴=1米，
𝑂𝐶 =10米，以 OC 所在的直线为 x 轴，以 OA 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，抛物线
学科网（北京）股份有限公司 1631
顶点D的坐标为(5, )．
6
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，
ON＝6米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交
OM于点F,求EF的最大值．
学科网（北京）股份有限公司 17第七课时5.4 二次函数与一元二次方程（1）
一、基础练习
1.已知抛物线y=ax2 +bx+c的图象与
学科网（北京）股份有限公司 18
x 轴分别交于点 A（-2,0），B（-4,0），则关于x的方程
ax2 +bx+c=0的两根为 （ ）
A．2,4 B．-2,4 C．2，-4 D．-2，-4
2.对于二次函数 y = ( x + 1 ) ( x − 3 ) ，下列说法中，正确的是（ ）
A．其图象与 x 轴有两个公共点 B．其图象与 x 轴没有公共点
C．其图象与 x 轴有且只有一个公共点 D．其图象与 y 轴有两个公共点
3.若函数 y = x 2 − 2 x + b 的图象与 x 轴没有交点，则 b 的取值范围是（ ）
A． b ≤1 B． b ＞1 C．0＜ b ＜1 D． b ＜1
4.抛物线 y = x 2 − ( 2 m − 1 ) x + m 2 − m （m为常数）与 x 轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5.已知二次函数 y = a x 2 + b x + c ．若其图象与 x 轴有两个公共点，则 b 2 − 4 a c 0，若其图象
与x轴有且只有一个公共点，则 b 2 − 4 a c 0；若其图象与 x 轴没有公共点，则 b 2 − 4 a c
0．
6.若抛物线 y = x 2 − 2 x − 3 与𝑥轴分别交于𝐴，𝐵两点，则𝐴𝐵的长为 ．
7．已知二次函数y= x2 −2x+c的图象顶点在 x 轴的上方，则一元二次方程 x 2 − 2 x + c = 0 的根的
情况是 ．
8.如图是二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象，图象过点𝐴(−3,0)，对称轴为直线𝑥 =−1，则另
一个与𝑥轴的交点坐标是 ．
9.已知抛物线 y = x 2 + ( k − 5 ) x + k − 6 .求证：该抛物线与𝑥轴总有交点.
10.已知二次函数y= x2 −(m−1)x−m的图像与𝑥轴只有一个公共点，求𝑚的值及公共点的坐标.二、拓展提升
11.已知抛物线
学科网（北京）股份有限公司 19
y = x 2 + b x + 3 与𝑥轴交于点A(1,0)
(1)求𝑏的值；(2)若抛物线与𝑥轴的另一个交点为点𝐵，与𝑦轴的交点为𝐶，求△𝐴𝐵𝐶的面积．
12.已知二次函数 y = m x 2 − ( m − 3 ) x − 1 ．
（1）求证：不论 m 取何值，这个二次函数的图象都与 x 轴有两个公共点；
（2）当 m =
9
2
时，这个二次函数的图象与 x 轴交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）设第（2）题中抛物线的顶点为P，求△ABP的面积．
13.如图，二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a ? 0 ) 的图象与𝑥轴交于点(1,0)、(3,0)
(1)写出方程ax2 +bx+c=0的两个根；
(2)当 x 为何值时， y > 0 ？当𝑥为何值时， y < 0 ？
(3)写出 y 随 x 的增大而减小时自变量𝑥的取值范围．
三、综合实践
14.某班兴趣小组对函数y =- x2 +2 x 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：学科网（北京）股份有限公司 20
x … -3 -
5
2
-2 -1 0 1 2
5
2
3 …
y … -3 -
5
4
0 1 0 1 0 -
5
4
-3 …
(1)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图
象的另一部分；
(2)观察函数图象，当𝑦随𝑥增大而减小时，则𝑥的取值范围是______；
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与𝑥轴有______个交点，所以对应方程- x2 +2 x =0有______个实数根；
②方程- x2 +2 x =-1有______个实数根；
③若关于x的方程 - x 2 + 2 x = n 有4个实数根，则𝑛的取值范围是______．第八课时 二次函数与一元二次方程（2）
一、基础练习
1．小亮同学在求一元二次方程
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− 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 的近似根时，先在直角坐标系中使用软件绘制了
二次函数的图像 y = − 2 x 2 + 4 x + 3 （如图），接着观察图像与 x轴的交点A 和 B的位置，然后
得出该一元二次方程两个根的范围是 − 1  x
1
 0 ， 2  x
2
 3 ，小亮同学的这种方法主要运用的
数学思想是（ ）
A．整体思想 B．类比思想 C．数形结合 D．模型思想
2．下表是一组二次函数 y = a x 2 + b x + c （a≠0）的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.6 1.7 1.8 1.9
y ﹣2 ﹣0.44 -0.11 0.24 0.61
那么方程 a x 2 + b x + c = 0 的一个根x的范围（ ）
A．1＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．x＞1.9
3．下表是一组二次函y =ax2 +bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的对应值：
x 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30
y -0.0848 -0.0442 m 0.0382 0.08
已知方程 a x 2 + b x + c = 0 的一个近似根是0.28，则m可能值范围为（ ）
A．m＝-0.0848 B．|m|＜0.0382
C．﹣1＜m＜0.0442 D．0.08≥m≥0.0382
4．已知二次函数y =ax2 +bx+c（a≠0）图像的对称轴为直线x=3，一元二次方程ax2 +bx+c =0
的其中一个根约为1.4，则一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 的另一个根约为_______.
5．利用函数图像求方程 x 2 + 2 x − 2 = 0 的实数根（精确到0.1）时，要先作函数y =________的图
像，若函数图像与x轴的公共点的横坐标大约是0.7、-2.7，所以方程x2 +2x−2=0的实数
根为x≈ ，x≈ ．
1 2
6．对于二次函数y = −x2 + x+1，当 x＝-0.61 时，y＝0.0179，当 x＝-0.62 时，y＝-0.0044，所
以方程−x2 + x+1=0的一个负根的近似值是 ．（精确到0.1）7．小明在探究一元二次方程
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a x 2 + b x + c = 0 的近似解时，填好了下面的表格：
x 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
ax2+bx+c -0.68 -0.43 -0.12 0.25 0.68
根据以上信息请你确定方程 a x 2 + b x + c = 0 的一个解的范围是 ．
8．已知二次函数y =ax2 +bx+c（a≠0）中x和y的值如下表
x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14
y ﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8
则 a （ x − 1 ） 2 + b （ x − 1 ） + c = 0 的一个根的范围是_______________
9．已知二次函数y =−x2 −3x+1．
（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像；
3
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 − ﹣1 0 1 …
2
y … …
（2）结合函数图像，直接写出方程 − x 2 − 3 x + 1 = 0 的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．
10．已知二次函数y = x2 −mx−5（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）当m=4时，求该函数图像与x轴的交点坐标.
二、拓展提升
11．已知二次函数y = x2 +bx+c的图像的顶点横坐标为1.
（1）求b的值；
（2）若 x、x 是一元二次方程x2 +bx+c =0的两个根，其中−2 x  −1，求 x 的取值范
1 2 1 2
围.12．已知二次函数
学科网（北京）股份有限公司 23
y = a x 2 + b x + 1 （a≠0）的图像过点（4m，0）和 ( − 2 m ， 0 ) ．
（1）当m=1时，求二次函数的表达式；
（2）若二次函数图像经过点A（n，1）且n为奇数，当1 m  2时，求n的值；
13．已知二次函数y =mx2 +3x−（4 m0）.
（1）当m =1时，求二次函数图像与x轴的交点坐标；
（2）若二次函数图像的对称轴在y轴的左侧，当 − 2  x  0 时，对应的函数值y均为负数，
求m的取值范围.
三、综合实践
14．知识再现：
利用图像法解一元二次方程x2 +x−2=0时，我们可以把二次函数y = x2 + x−2的图像与 x
轴交点的横坐标看成是方程的解.
知识拓展：
利用图像法解一元二次方程x2 +x−2=0时，我们还可以把方程的解看成是二次函数 y = x 2
的图像与一次函数 y=__________的图像的交点的横坐标，图 1 中已经画出二次函数 y = x 2 的图像，
请在图中画出一次函数的图像，由图像直接写出一元二次方程 x 2 + x − 2 = 0 的解；学科网（北京）股份有限公司 24
y
知识迁移：
2 2
（1）已知反比例函数y = 的图像如图2所示，利用图像法求分式方程 −x+1=0 的解；
x x
（2）利用图像法解一元二次不等式x2 −x−60.
第九课时 用二次函数解决问题（1）
一、基础练习
1．在一个边长为 1 的正方形中挖去一个边长为 x （ 0  x  1 ）的小正方形，如果设剩余部分的面积
为 y ，那么 y 关于 x 的函数关系式为（ ）
A.y=x2 B. y = x 2 − 1 C. y = 1 − x 2 D. y = 1 − 4 x
2．用 16 米长的栅栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小明提出了围
城矩形、正方形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这四种方案，最佳方案是（ ）
方案1 方案2 方案3 方案4
A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案43．某超市一种干果现在的售价是每袋 28 元，每星期可卖出 110 袋，经市场调研发现，如果在一定
范围调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出3袋.已知这种干果的进价为每袋 20元，设每袋涨价
x元，，每星期的销售量为
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y 袋，每星期销售这种干果的利润为 z 元，则 y 与x， z 与 x 满足的函数
关系分别是（ ）
A.一次函数、二次函数 B.一次函数、一次函数
C.反比例函数、二次函数 D.二次函数、一次函数
4．某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润𝑦（元）与降价金额𝑥（元）之间满足函数关系式𝑦 =
−𝑥2+50𝑥+600，若降价10元，则获利为 （ ）
A.800元 B.600元 C.1200元 D.1000元
5．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经
市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．若设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润为 y 元，
请写出y与x的函数关系式 .
6．正方形的边长为2。若边长增长 函数关 x ，面积增加 y ， y 与 x 的
系式为 .
7．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱 笆围成
一 个 矩 形 （ ABCD ） 花 园 ， 这 个 花 园 的 最 大 面 积
是 。
8．发射一枚炮弹，经𝑥秒后的高度为𝑦米，且时间与高度的关系为𝑦 =𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎 ≠0)．若此炮弹
在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 秒时炮弹位置达到最高.
9．如图，一块矩形土地ABCD由栅栏围着，并且由一条与CD边平行的栅栏EF分开。已知栅栏的
总长为600米（栅栏的厚度忽略不计），当矩形土地ABCD的面积最大时，AB边的长为多少米？
10．某水产品市场销售某种水产品，已知该水产品每千克的进价为20元，经过调查发现，当该水产
品以每千克 x
A D
B C
元（20x60）售卖时，可售出（80−x）千克，则这段时间内获得最大利润时，该
水产品每千克售价为多少？二、拓展提升
11．张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购量y（元/吨）与采购x
（吨）之间的函数关系的图像如图中的折线段ABC所示（不包含端点A，但包含端点C）．
⑴求
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y 与 x 之间的函数表达式；
⑵已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么当张经理的采购量为多少时，老王在这次买
卖中所获得的利润 w 最大？最大利润是多少？
12．某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天200元时，房间会全部住满，当每个
房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20
元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元．设每个房间的房价每天增加 x 元
（ x 为10的正整数倍）．
（1）设一天订住的房间数为𝑦，直接写出𝑦与𝑥的函数关系式；
（2）当房价为多少时，宾馆每天的利润为10560元；
（3）求出宾馆每天获得的最大利润．
13．2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前
5天的某型号口罩销售价格 p(元/只)和销量q(只)与第𝑥天的关系如下表:
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从
第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只.据统计，该药店从第6天起销量𝑞(只)与第𝑥天的关系为 𝑞 = −2𝑥2+80𝑥−200 (6≤𝑥 ≤30,且𝑥为整数),已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只.
(1)直接写出该药店该月前5天的销售价格𝑝与𝑥和销量
学科网（北京）股份有限公司 27
q 与𝑥之间的函数关系式；
(2)求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W(元)与x的函数关系式，并判断第几天的利润最
大.
第𝑥天 1 2 3 4 5
销售价格𝑝/(元/只) 2 3 4 5 6
销量𝑞/只 70 75 80 85 90
三、综合实践
14．（真实问题情境）请根据下列对话，完成问题：
明明，咱家水果店卖的车厘子都是30元进的
货，现在一天能卖出160千克.我调查了下，
如果每千克涨3元，每天虽会少卖12千克，
但利润却能比现在多，只要我每天都涨3
元，咱的利润一定能一直涨下去！
爸爸，你说错啦，咱们目前售
价是55元/千克，一直涨价，
利润是不可能一直涨下去的！
问：你认为明明说的对吗？请说明你的理由.第十课时 用二次函数解决问题（2）
一、基础练习
1．已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是
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y = − ( x − 2 ) 2 + 9 ，则该同学
此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
2．一座抛物线型的拱桥按如图所示建立平面直角坐标系，得到函数 y = −
1
1
6
x 2 ，在正常水位时水面
宽AB=20米，当水位上升（ ）米时，水面宽CD=16米？
A．1.75 B．2.15 C．2.25 D．2.5
3．某工厂的大门是抛物线型水泥建筑物，大门地面宽为10 m，两侧距地面4m处各有一个壁灯，两
壁灯之间的水平距离为6 m，则大门的高为（ ）m.．
A．6.15 B．6.25 C．6.35 D．6.75
4．如图，物体从点A抛出，物体的高度（y m）与飞行时间（t s）近似满足函数关系式 y = −
1
6
(t − 3 ) 2 + 6
y
x
C D
A B
，
在飞行的过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是（ ）．
A．0<t<6 B．0≤t≤6 C．0<t≤6且t≠3 D．0≤t≤6且t≠3
y
A
O x
5．一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高10米，跨度为50米，如图所示，建立平面直角坐标系，则该
抛物线的表达式为 ．
y
10
O 50 x
1
6．如图所示，拱桥是抛物线形，其函数表达式是y=− x2，当水位线在 AB 位置时，水面宽为 12
6
米，这时水面离桥顶的高度是 米．7．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：
m），则池塘最深处到水面CD的距离为 m．
8．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面
宽度为20 m，顶点距水面6 m，小孔顶点距水面4 m，当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽
度为 m．
9．桥拱在水面的跨度 OA 约为 24 米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主拱桥所在抛物
线可以表示为
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y = −
1 3
1 4 4
( x − 1 2 ) 2 + k ，则主拱桥最高点P与其在水中倒影P′之间的距离为多少米？
y
P
O A x
P'
10．如图是某地一座抛物线形拱桥，拱桥在竖直平面内与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C
到AB的距离为10 m，AB=40 m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为
6 m．求DE的长．
C
A B
D E二、拓展提升
11．如图，在一次高尔夫球争霸赛中，小明从山坡下O点打出一球直接落入山坡上A点球洞，球
的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，那么当球达到最大高度DB=8米时，球移动的水
平距离为OD=8米，球洞A距离地面的高度AC=6米．
（1）求出球的飞行路线所在的抛物线对应的函数关系式；
（2）求球洞A与山坡下O点之间的距离． y B
A
O
D C x
12．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，从喷水头喷
出的水柱形状近似是一条抛物线．记喷出的水与池中心的水平距离为 x m，距地面的高度为 y m 测
量得到如表数值：
水平距离x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
竖直高度y/m 2.25 2.81 3.00 2.81 2.25 2.31 0
建立直角坐标系，抛物线如下图所示：
（1）求抛物线的近似函数关系式； y
（2）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过4 m，如果只调 整水管
的高度，其他条件不变，结合函数图像，估计出水口最多可以 3 ______
（填“升高”或“降低”）______m（结果保留小数点后两位）．
2
1
O
1 2 3 4
x
13．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门底部地面宽4米，一身高为1.75米的同学站在门
内，在离门脚0.5米处垂直地面站直拍照，其头顶恰好顶在抛物线形门上。
（1）该该大门的高h．
（2）现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，该车要想通过此门，装货后的高
度应小于多少米？
学科网（北京）股份有限公司 30h
0.5 m
4 m
三、综合实践
14．在生活中大家经常看到形状是抛物线的物体或形象，如拱桥、隧道、抛出去的篮球飞行的路径、
喷泉喷出去的水柱等，请你经历“实际问题—数学化—数学解—问题解决”的过程，自编一道关于
抛物线的题目并写出求解过程或者写一篇数学小论文．
学科网（北京）股份有限公司 31第十一课时 二次函数-活动 单元作业
1.活动：悬索桥模型设计.
如图是泰州长江大桥的效果图及部分示意图，泰州大桥位于江苏省长江中段，北接泰州市，南连镇
江市和常州市，全桥长62.088km，跨越长江与夹江.主桥为三塔两跨吊连续钢箱梁悬索桥，相邻两
座桥塔之间的水平间距为1080m.主拉索呈抛物线型，塔顶距离桥面约为123m，主拉索最低处距离
桥面约3m，且位于相邻两座桥塔的中间位置，连接主拉索和桥面的垂直吊索间距为16m.
（1）请利用示意图，根据提供的数据，建立恰当的平面直角坐标系，求出相邻两座桥塔AB、CD
之间主拉索对应的函数表达式；
（2）请求出垂直吊索EF、GH的长度（精确到1m）；
（3）请利用网络等渠道收集更多关于悬索桥的相关信息.如果条件允许，请你选择适当的材料，按
照1：50比例制作大桥主体的模型.
A C
E
G
B F H D
2.活动：如何提高投篮命中率？
篮球是初中学生特别喜欢的体育活动．某校学生为了参加学校组织的“三分投篮大赛”，利用课后时
间进行积极的备赛训练.如图，篮筐距离地面的高度为 3.05 m，小明站在与篮筐水平距离 7m 处尝试
投三分球，他起跳时投篮出手点距离地面大约 2.05 m.小明查阅资料了解到：在 7m 远处投三分球，
篮球飞行的抛物线最高点在超过篮板上沿（篮板上沿高度3.95m）0.5m左右时，命中率会更高.于是，
小明尝试投出最高点约为4.55m的三分球抛物线.
（1）根据上述数据，建立恰当的平面直角坐标系，并求出篮球处于最高点4.55m时，篮球距离篮筐
的水平距离约是多少？（结果精确到0.1m）
（2）课后请通过网络、报刊等媒体查阅投篮的相关资料，了解提高投篮命中率的相关因素有哪些？
（3）请你和同学相互配合观察，按照上述计算结果尝试投出相应的三分抛物线.
3.活动：跳大绳游戏.
学科网（北京）股份有限公司 32跳大绳游戏时，当大绳摇到最高处时可看作一条抛物线.摇绳的甲、乙两名同学拿绳手AB之间的距
离为8m，到地面的距离AO和BD均为1m，绳子摇到最高点C处时，最高点恰好在两人中间，且
距地面的垂直距离为2.2m，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求图中抛物线的解析式；
（2）若身高为1.6m的小英站在OD之间的点E处，当绳子摇到最高处时，若要使绳子不碰到小明
的头，求OE的取值范围；
（3）如果参与跳大绳的同学共有14人且身高均为1.6m，其中两人负责摇绳子，剩下的12个同学
若一起跳绳，则绳子摇到最高点时需超过所有人头顶，且每个同学同方向站立时的间距不小于
0.5m（此处忽略人身体的厚度），问剩下的12个同学是否可以在OD之间一起玩跳大绳?
（4）邀请你的小伙伴一起玩跳大绳游戏，尝试一下最多可以多少人一起跳.
学科网（北京）股份有限公司 33第十二课时 小结与思考
一、基础练习
1.将抛物线
学科网（北京）股份有限公司 34
y = − 2 x 2 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为
（ ）
A. y = − 2 ( x + 3 ) 2 + 2 B. y = − 2 ( x − 3 ) 2 + 2 C. y = − 2 ( x − 3 ) 2 − 2 D. y = − 2 ( x + 3 ) 2 − 2
2.函数y=ax2 +bx+c 的图象如图所示，关于 x 的一元二次方程ax2 +bx+c=4的根的情况是
（ ）
A.有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3.二次函数y=−x2 + ( k−1 ) x+1的图象上，当 x  2 时， y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是
（ ）
A． k = 5 B．k 5 C． k = 3 D． k  5
4.如图，若开口向下的抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 与 x 轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直
线 x = 1 ，则下列结论正确的有（ ）
① a b c  0 ；② 2 a + b = 0 ；③ a − b + c = 0 ；
( )
④点P m,n 在抛物线上， m  1 时， n  − 4 a ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.若二次函数 y = m x 2 − 3 x + m − m 2 的图象过原点，则 m 的值是 .
6.抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表，则抛物线与 x 轴的交点坐
标为____________________.
x …… ﹣2 ﹣1 0 1 ……
y …… 0 4 5 5 ……
7.南京红山森林动物园中以网红动物明星为原型的文创产品非常火爆，2023 年上半年收入达到 500
万元.若此收入每半年平均增长率为x，2024年上半年文创收入为y（万元），则y关于x的函数关
系式为________________．
8.若c、d ( cd ) 是关于x的一元二次方程2− ( x−a )( x−b ) =0的两个根，且ba，则a,b,c,d的大小关系是___________________．
9.已知抛物线
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y = x 2 − 2 m x + m 2 − 9 ．
(1)求证：无论 m 为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；
(2)抛物线与 x 轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，求A、B两点坐标（用含 m 的代数式表
示）．
(3)在(2)的条件下，若 m  0 ，且OA=2OB时，求 m 的值．
10.如图，直线 l 过 x 轴上一点A（4，0），且与抛物线 y = a x 2 相交于B、C两点．B点坐标为
（2，4）．
(1) 求抛物线解析式；
(2) 若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得 S
 A O D
= S
 C O B
，求点D的坐标．
二、拓展提升
11.如图，二次函数y=−x2 +4x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．已知，点A的坐标为（–1，0）．
(1) 求这个二次函数图象的顶点坐标；
(2) 已知第一象限内的点D
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(
m , m + 1
)
在二次函数图象上，探究CD与 x 轴的位置关系；
(3) 在（2）的条件下，求点D关于直线BC的对称点D’的坐标．
12.已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、 C（3，0）三点，O为坐标原点，过点B作BD//
x轴，过点C作CD// y 轴，交点为D，BD交抛物线于E.点M为射线BD上一动点，连接OM ，
交BC于点F .
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 求证：∠BOF＝∠BDF ；
(3) 是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长
13. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2 +bx−5a ( a0 ) 与y轴交于点A，将点A向左平
移4个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．(1)抛物线的对称轴是：直线
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x = ______；
(2)若M
(
x
1
, y
1
)
，N
(
x
2
, y
2
)
为抛物线上两点，满足 x
1
+ x
2
 − 4 ， x
1
 x
2
，当 a  0 时，判定 y
1
与
y
2
的大小关系，请直接写出结果；
(3)已知点D的横坐标为1，且点D在直线 y = 3 ( a + 1 ) x − a + 1 上．点C的坐标为

− 2 ， −
5
2
a

，若
抛物线与线段CD恰有一个公共点，请结合函数图象，求 a 的取值范围.
三、综合实践
14.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为10 m ，宽AB为2 m ，并
且隧道左右两侧都要留1.5 m 的逃生车道.现以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为 y 轴，
建立平面直角坐标系（如图1）， y 轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)现有一辆载满货物的货运卡车，高3.9 m ，宽2.4 m
E E
，它能通过该隧道吗？
(3)如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m的隔离带，则该辆
货运卡车还能通过隧道吗？