九年级下册第 6 章图形的相似
第一课时 图上距离与实际距离
一、基础练习
1．已知A、B两地的实际距离是100千米，量得两地的图上距离是5 cm．则该图所用的
比例尺是 （ ）
A． 1：20 B．20：1 C．2 000000：1 D．1：2 000000
2. 在比例尺为1：8000 000的江苏省地图上，量得泰州到南京的距离约为2 cm，这两个
城市的实际长度约为 （ ）
A．16 km B．160 km C．1600 km D．16000 km
3．下列各组线段中，长度成比例的是（ ）
A. 2 cm、3 cm、5 cm、1 cm B. 1 cm、3 cm、2 cm、7 cm
C. 3 cm、4 cm、6 cm、8 cm D. 2.2 cm、3.3 cm、4.4 cm、5.5 cm
4. 如果a和b都不为零，且3a＝4b，那么下列比例中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5. 线段3 cm、27 cm的比例中项为_______cm．
6. 已知a、b、c、d是成比例的线段，其中a＝2 cm，b＝3 cm，d＝6 cm，则c＝_______cm.
7. 若 x ︰ y ︰ z ＝2︰4︰5，则
x
x
+
−
y
y
+
+
z
z
=
8. 在一张比例尺为1：600的设计图纸上，量得一正方体建筑的边长是20cm．这个建筑物
的实际占地面积是 m2.
9. 已知△ABC周长为54且三边长a、b、c满足 ，求a、b、c的值.10. 如图：
A
D
D
B
=
A
E
E
C
，AD＝12，AB＝32，AC＝30，求AE的长.
A
D E
B C
（第10题）
二、拓展提升
11. 如图， ， AE=16，EF=20，BC=30，GD=4
（1）求AB、AD的长.
（2）试说明
（第11题）
12.如图是两把按不同比例尺进行刻度的尺子，每把尺子的刻度都是均匀的，已知两把尺子
在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度15处与下面的尺子在刻度18处也刚好对齐，求
上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是多少？
13.我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说两
B
E
D
G
A
F
C条线段的比 AB：CD＝m：n，如果把 表示成比值 k，那么 ＝k 或 AB＝k•CD．请完成
以下问题：
（1）四条线段a，b，c，d中，如果 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段．
（2）已知 ＝ ，那么 ＝ 成立吗？请说明理由．
（3）如果 ＝ ＝ ＝m，求m的值．
三、综合实践
14.中国共有24800多个湖泊，按湖水含盐率可分为淡水湖（含盐率＜0.1%）、微盐水湖（0.1%
≤含盐率＜1%）、咸水湖（1%≤含盐率＜3.5%）和盐湖（含盐率≥3.5%）．小刚利用假期
走访四个湖泊，并在其中两个湖泊中采集了湖水样本，记录单如图．
【走访记录】 【实践记录】
运城盐湖：位于山西省，是盐湖 1号样本：质量210 g，含盐分4 g
青海湖：位于青海省，是咸水湖 2号样本：质量600 g，含盐分540 mg
羊卓雍措湖：位于西藏自治区，是微咸水湖
太湖：位于江苏省，是淡水湖
小刚和爸爸用不同的方法研究了青海湖和太湖的实际面积．
爸爸的研究方法为：如图，地图 A 表示太湖的实际面积，地图 B 表示实际面积为 305
平方千米的土地．爸爸找来一块质地相同、厚薄均匀的木板，将两个地图绘制在木板上，
锯下来后称得A 木板重量为 240克，B木板质量为30克．这样，爸爸就根据两块木板
的重量关系推算出太湖的实际面积．小刚的研究方法为：先将青海湖按 1：1000000 绘制在如图方格纸中（每个小方格的边
长表示1 cm），再在方格纸中进行掷骰子游戏，经过多次实验发现落在空白区域C与落
在青海湖区域D（图中阴影部分）的次数比总是约为9：16，然后据此推算出青海湖的
实际面积．
请根据以上信息，解决下面的问题．
（1）判断两份样本分别采自哪个湖泊？（写出分析过程）
（2）根据爸爸的方法推算出太湖的实际面积是多少平方千米？
（3）根据小刚的方法推算出青海湖的实际面积是多少平方千米？第二课时 黄金分割
一、基础练习
1.若P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，则下列说法错误的是（ ）.
A、
P
P
B
A
=
5
2
− 1
B 、 PB2 = PA• AB C 、
P
A
A
B
=
5
2
− 1
D 、
PA2 = PB• AB
2.若线段AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点（AC<BC），则线段BC的长为（ ）.
A．
5
2
− 1
B． 3 − 5 C．
3 −
2
5
D． 5 − 1
3.在方格中写字，为了更美观，字最适宜占格子的（ ）.
A、
1
4
B、
1
2
C、
2
3
4
D、
5
4.若 C、D是线段AB的两个黄金分割点，AB＝2，则CD=____________.
5.主持人在舞台上主持节目时，站在舞台的黄金分割点时观众的感觉是最好的．若舞台AB
的长为 30m，主持人从舞台一侧进入，假设他最少走 x 米到达最佳位置，请写出 x 满足的
方程______________________.
6.如图，扇子的圆心角∠AOB=x°，余下的扇形的圆心角为 y°，通常 x 与 y 的比按黄金
比（假设取0.6）设计，这样的扇子外形较美观，则此时x=__________°.
7.当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时,越给人一种美感。某女士身高 165cm,下
半身长 96cm,为尽可能达到美的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为_____________cm(结
果精确到1cm)
8.如图，C 是线段 AB 的黄金分割点(CA>CB),若 S 表示以 CA 为边的正方形的面积，S
1 2
表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，请比较S 、S 的大小，S _________S
1 2 1 2。
第6题 第8题
AC BC
9.如果点C把线段AB分成AC和BC两条线段，且满足 = ，则称线段AB被点
BC AB
C黄金分割，点C叫做该线段的的黄金分割点，BC与AB的比叫做黄金比，请计算黄金比.10.如图，正方形ABCD的边长为2，M是CD的中点，连
接AM，在CD的延长线上取点E，使ME=MA，以DE为
边作正方形DEFG，点G在AD上.
(1)求AG，DG的长；
(2)求证：G是线段AD的黄金分割点.
二、拓展提升
11.小知识：当矩形的 宽 : 长 （= 5 − 1 ） : 2 时，该矩形称为黄金矩形.
如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC和AD上，且四边形ABEF为正方形，现满足AB：
AD=EC：EF，判断矩形ABCD是否是黄金矩形，并说明理由.
12.如图，线段 AB＝1，点 C 是 AB 的黄金分割点（AC <BC ），点 C 是线段 AC 的黄金
1 1 1 2 1分割点（AC <C C ），点C 是线段AC 的黄金分割点（AC <C C ），…，求AC 的长度。
2 1 2 3 2 3 2 3 n
13.阅读材料：我们把有一个内角等于 36°的等腰三角形称为黄金三角形。它的腰长与底
边长的比（当底角是36°时）或者底边长与腰长的比（当顶角是36°时）等于黄金分割比
5−1.
2
如图，AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆上，∠BOC=108°，过点 C 的直线分别交圆和直线
AB于点D、E，连接OD，DE=
1
2
AB.
（1）求∠CEB的度数;
（2）在不连辅助线的情况下，写出图中所有的黄金三角形;
（3）如果OE=2，求CD的长;
（4）在（3）的条件下，在直线AB和直线CD上，是否存在点M（不与C、E重合），使
△MOD为黄金三角形，若存在，利用尺规作图在备用图中找出点P；若不存在，说明理由.备用图
三、综合实践：
14.阅读1：如何作已知线段AB的黄金分割点P（AP>BP）
（1）过B点作CB⊥AB，且CB=
1
2
AB；
（2）连接AC，在CA上截取CD=CB；
（3）在AB上找一点P，使得AP=AD。则点P为AB的黄金分割点！
阅读2：我们的国旗、国徽上的五角星都是非常精准的，五角星的
每两条线段的交点，均是所在线段的黄金分割点！
思考：你能利用线段AB，画出一个标准的五角星吗？第三课时 相似图形
一、基础练习
1．在放大10倍的放大镜下所看到的图形( )
A.与原图形不相似;
B.与原图形相似,相似比为1:10;
C.与原图形相似,相似比为10:1;
D.与原图形相似,相似比为不确定.
2．观察下列每组图形，相似图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的
度数为（ ）
第3题
A．135° B．90° C．60° D．45°
4．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三
角形与原三角形相似．
乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩
形与原矩形相似．
丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为 1，则新菱
形与原菱形相似．
对于三人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对
5.已知△ABC∽△ABC，且∠A=50°，∠B=95°，则∠C 等于 .
1 1 1 1
6.若△ABC∽△A′B′C′，且
A
A B
'B '
= 2 ，则△ABC与△A′B′C′相似比是 ，△A′
B′C′与△ABC的相似比是 ．
7．利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放
大到8，那么放大后的那个三角形的周长为 ．
8.△ABC的各边之比为2：5：6，与其相似的△A′B′C′的最大边为18，则△A′B′C′
的最小边为 ．
9.如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，
请在图中画一个△A B C ，使△A B C ∽△ABC(不全等)，且点A 、B 、C 都在单位正方
1 1 1 1 1 1 1 1． 1
形的顶点上。
A
B
C
第9题
10.如图，已知△ABC∽△ADE，AB=30 cm，BD=18 cm，BC=20 cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°.
求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长.
第10题
二、拓展提升
11．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张
A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．（1）A4纸较长边与较短边的比为 ；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
12．如图，我们规定菱形与正方形，矩形与正方形的接近程度称为“接近度”，在研究“接
近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣
β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形．
①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为 ；
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形；
（2）设矩形的长和宽分别为m，n（m≤n），试写出矩形的“接近度”的合理定义．
第12题
13．阅读下面的短文，并解答下列问题：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同．就
把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等
于相似比：a：b，设 S ：S 分别表示这两个正方体的表面积，则 ，又
甲 乙
设V 、V 分别表示这两个正方体的体积，则 ．
甲 乙
（1）下列几何体中，一定属于相似体的是 A．两个球体；B．两个圆锥体；C．两
个圆柱体；D．两个长方体．
（2）请归纳出相似体的3条主要性质：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ；
②相似体表面积的比等于 ；
③相似体体积的比等于 ．第13题
三、综合实践
14．数学阅读
金字塔的高度
泰勒斯看到人们都在看告示，便上去看。原先告示上写着法老要找世界上最聪明的人
来测量金字塔的高度。于是就找法老。
法老问泰勒斯用什么工具来量金字塔。泰勒斯说只用一根木棍和一把尺子，他把木棍
插在金字塔旁边，等木棍的影子和木棍一样长的时候，他量了金字塔影子的长度和金字塔
底面边长的一半。把这两个长度加起来就是金字塔的高度了。泰勒斯真是世界上最聪明的
人，他不用爬到金字塔的顶上就方便量出了金字塔的高度。第四课时探索三角形相似的条件（一）
一、基础练习
1.如图，△ABC中，D、E分别为BA、CA延长线上的点，DE∥BC，AB＝2AD，若AC＝4，
则AE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.如图，l ∥l ∥l ，且
1 2 3
n m
A D l1
B E l2
C F l3
A
D
D
F
＝
3
2
，则错误的是（ ）
A．
A
A
D
F
=
3
5
B．
B
C
C
E
=
3
2
C．
A
E
B
F
=
2
3
D．
B
B
C
E
=
3
5
3.如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB
＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为（ ）
A．9 B．6 C．12 D．15
第1题 第2题 第3题
4.已知：l ∥l ∥l ，直线m、n与l ,l ,l 相交，交点分别为A,B,C,D,E,F．
1 2 3 1 2 3
（1）如图1，AB=2，BC=4，DE=3，则DF= ．
（2）如图2，点A与点D重合，AB=2，AC=5，EF=4，则AE= ．
l1 l2 l3
n F D E
m
A
B
C
图1 图2
第4题 第5题 第6题
5.如图，AD、BC相交于点O，点E、F分别在BC、AD上，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，
EB＝5，AF＝3，那么AD＝ ．
BBBB
EEEE
AAAA
OOO
DDDD
CCCC6.已知：如图，DE∥BC，若AD=2,CD=4，则OC:OE=
7.如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，
如果E是BC中点，则
B
B
F
D
=
第7题
8.如图，在△ABC 中，已知 MN∥BC，DN∥MC，小明由此得出了以下
四个结论：①
A
A
N
C
=
A
A
M
B
AD DN DN MN
；② ＝ ；③ ＝ . ④
DM MC MC BC
A
A
D
M
=
A
A
M
B
其中正确结论的是 （写序号）
第8题
9.已知△ABC,EF∥BC，AD交EF于点G
（1）图中有几对相似三角形？是哪几对？（2）若G是EF中点，求证:D是BC中点
A
E G F
B D C
10.如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，
AE＝BC
（1）图中有几对相似三角形？是哪几对？（2）求二、拓展提升
11.如图，已知AB、CD、EF都垂直于直线l，AB=9,EF=6,DF:BD=2:1,求CD
12. 如图在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，
DA 上，EF与GH交于O，∠FOH=90°
（1）求证：HG=EF
（2）连接 HF,EG，
若HF∥GE，试说明
HF+EG= 2 HG
13.如图，△ABC 的顶点均在正方形网格图中的格点上，请用无刻度的直尺找出 AB 边的三
等分点E、F三、综合实践
14.请阅读下列材料，并解决相应问题
塞瓦定理
塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大
利伟大的水利工程师，数学家．
定理内容：如图1，塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交
对边于D，E，F，则 ．
数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来
进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基
本定理，具有重要的作用．
下面是该定理的部分证明过程：
如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N．则∠N＝∠FCB，
∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴ ①．
同理可得△NOA∽△COD．∴ ②．
问题一：
（1）请分别写出与△MOA，△MEA相似的三角形；
（2）写出由（1）得到的比例线段；
问题二：结合①②和（2），完成该定理的证明；第五课时 探索三角形相似的条件（2）
一、基础作业
1．如图所示的三个三角形，相似的是( )
A．(1)和(2)和(3) B．(2)和(3) C．(1)和(3) D．(1)和(2)
2．如图，点A，B在格点上，若BC＝2.6，则AC的长为（ ）
A．1 B．4 C．5.2 D．3
3.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5.若E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,则BF的
长为( )
A. B. C. D.
4．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝6，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为 （ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．3
5．如图，已知∠BFC＝∠CEB，则△BDE∽________，△ABF∽________．6．如图，已知∠1＝∠2，请添加一个条件后，能够判定△ABC∽△ADE，这个条件可以
是 ．（写出一个即可）
7．如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝2∶3，AE＝5，BD＝4，则DC的长
等于 .
8．如图，在边长为6的正三角形ABC中，BD＝2，∠ADE＝60°，则AE的长为 .
9. 如图，CB平分∠DCA，点A在线段BC的垂直平分线上，AD与BC相交于点E.
求证：△ABE∽△DCE．
10. 如图,点B、C、D在一条直线上,AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D，AC⟂EC.求证:△ABC∽△CDE.【拓展性作业】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
(1)求证：△ABC∽△DBE；
(2)已知AC＝3，BC＝4，求线段AD的长．
2．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，CD=AE，AD与BE相交于点
F.
（1）证明：△ABD≌△BCE；
（2）证明：△ABE∽△FAE；
（3）若AF＝6，DF2，求BD的长．
3．阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：
(1)请写出正确的比例式及后续解答．
(2)请指出题中的另一个错误，并给出正确解答．
【综合实践性作业】
1．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，
过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝6，AC＝10．设AP的长为x．
(1)AB＝_______；当x＝2时， ＝______；
(2)试探究： 是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；第六课时 探索三角形相似的条件（3）
一．基础练习
1．如图，在三角形纸片 ABC 中，∠A＝70.17°，AB＝5，AC＝10．将△ABC 沿图示中的
线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
① ② ③ ④
2．剪下的两个三角形纸片△ABC与△A1B1C1 ，根据度量得到得各组条件，相似的有（ ）
①∠A＝35°，AB＝12，AC＝16，∠A1 ＝35°，A1B1 ＝15，A1C1 ＝20
②∠B＝∠B1 ＝65°，∠C＝60°，∠A1 ＝55°
③∠C＝∠C1 ＝90°，AB＝10，AC＝8，A1B1 ＝15，A1C1 ＝9
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
3．在△ABC和△DEF中，∠A＝50°，∠D＝60°，∠E＝70°， ，那么∠B的度
数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．如图，△ABC 中，P 为 AB 上一点，在下列四个条件中：①∠APC＝∠ACB；②∠ACP
＝∠B；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
5．在△ ABD 和△CBD 中,∠BDA＝∠BDC，AD＝20，CD＝5，当 BD＝
时，△ABD∽△BCD．
6．如图，已知△ABC，D、E是边AB、AC上的点，请从①△ADE∽△ABC ，② ＝
，③ ＝ ④DE∥BC 四个选项中选一个作条件，再选一个作结论，组成命题。其中正
，
确的命题有 个.
7．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，Q是AB的中点，过 Q点的直线交 AC于点
P，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以 A、B、C 为顶点的三角形相似，则 AP 的长
为 ．
8．在直角坐标系中有两点A（0，2）、B（4，0），如果点C在y轴上（C与A不重合），由
B、O、C组成的三角形与△AOB相似，则满足条件的点C有 .
9．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6．
（1）试在AB上确定点D的位置，△ACD∽△ABC，求此时的AD；
（2）尺规作图：试在AC的延长线上确定点E的位置，使△AEB∽△ABC。此时CE多
长？BE与DC有怎样的位置关系？为什么？
10． 如图1，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）△ACD与△CBE相似吗？请说明理由．
（2）△ABC与△DCE相似吗？请说明理由．
（3）图中还有哪些三角形相似？请说明理由．
（4）如图2，CD、BE是△ABC的高，若AB=15,BC=13,AC=14,求DE,BF的长．二、拓展提升：
11．【方法探究】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE•BD；
（2）若 D 是 AC 的中点，判断∠EAD 与∠ABD 是否相等，并
说明理由．
12．【方法感悟】（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是 CD 上一点，且
DF＝3CF，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．
【拓展提升】（2）如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥ED交CB于F，连
结FC．（AB＞AE）
①求证：△AED∽△EFD；
②设AB＝2，BC＝a，是否存在a值，使得△BEF与△DFC相似．若存在，请求出a的
值；若不存在，请说明理由．【迁移应用】（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=∠AEF，E为BC的中点，图中
有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．
13．如图，矩形ABCD 中，点 G 在CD 上，CB＝CH＝12，点G 是CH 的中点，延长 AD
和BH交于点E，EG的延长线交BC于点I，GF∥AD交AB于点F，已知CI比ED小1．
（1）求AB的长；
（2）判断以E，A，F三点构成的三角形与以F，B，H三点构成的三角形是否相似，并
说明理由．
三、综合实践
学校里有一片池塘，同学们想知道池塘的宽度，但不方便直接度量，请你用皮尺作为测量
工具设计一个可行的测量方案。第七课时 相似三角形的性质（1）
一、基础练习
1.若 ，相似比为1:2，则 与 的周长的比为（ ）
A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1
2.若△ABC∽△A′B′C′且 ,△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′的周长为（ ）cm.
A．10 B．20 C． D．
3.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S ：
△DOE
S =1：16，则S 与S 的比是（ ）
△COA △BDE △CDE
第1题
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
4.如图，等边△ABC是面积为9cm2，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图
中阴影部分的面积为（ ）
第4题A．2 cm2 B．3 cm2 C．4cm2 D．5cm2
5.如图,已知△ABC∽△DBE,AB=4,DB=3,则S ∶S =____.
△ABC △DBE
6.两个相似三角形的最短边长分别为5cm和2cm，它们的周长之差为12cm，那么较大三角
形的周长为_____cm．
7.如图， A B C D
第5题
□ 的面积是12中，E是边AB的中点，EC交BD于点F，则 为________．
第6题
8.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，
FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的周长之比等于_______．
第8题9.两个相似三角形一组对应边的长分别是15cm和9cm，若他们面积的和是34cm2，求这两
个三角形的面积．
10.如图，四边形 ABCD 为菱形，M 为 BC 上一点，连接 AM 交对角线 BD 于点 G，并且
∠ABM=2∠BAM．
第10题
（1）求证：△ABM∽△BGM；
（2）若点M为BC的中点，同时S =1，求菱形ABCD的面积．
△BMG
二、拓展提升
11. .△ABC∽△A′B′C，顶点A、B、C分别与A′、B′、C′对应，它们的周长分别为12cm和18cm，
且AB＝3cm，B′C′＝6cm，求BC、AC、A′B′、A′C′的长度．
12. 已知O为矩形ABCD边BC上一点，以AO为折痕翻折，使得顶点B恰好落在 CD 边上
的 P 点处．
第12题
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若BC=8，△OCP与△PDA 的面积比为1：4，求边AP的长；13. 在正方形ABCD中，BC＝12，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．
（1）求PD的长；
（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝ ，求CE的长．
第13题
三、综合实践
14．在我国古代数学著作《九章算术》勾股章中有这样一道题:今有邑方不知大小，各
中开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步见木.问：邑方几何？.意思是：有一座正方
形的城池，不知道它的边长，在城墙的正中间开一道城门，从北门出发30步的距离有一棵
树，从西门出发750步能看见这棵树，你知道这座城池的边长为多少么？
第14题第八课时 相似三角形的性质（2）
一、基础练习
1.若 ，且相似比为 ，则 与 对应高的比为（ ）
A． 1 : 2 B． 2 : 1 C． 4 : 1 D． 1 : 4
2.已知 ，BD和 B D 分别是两个三角形对应角的平分线，且 ，
若 ，则 B D 的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
3. .已知 △ A B C ∽ △ D E F ，且面积比为 ，则它们对应高的比是（ ）
A． B． C． 3 : 5 D．
4. 如果两个相似三角形的面积之比是4︰9，那么它们对应的角平分线之比是________．
5. 在 R t △ A B C 中， A C B = 9 0 ， A = 3 0 ， C D ⊥ A B 于点D，那么 与 的面
积之比为________．
6. 若△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的角平分线，且 AD︰
A′D′＝1︰2，则△ABC的周长︰△A′B′C′的周长＝________．
7.如果两个相似三角形的对应高之比为1：3，已知其中小三角形的一条角平分线长 6 c m ，
则大三角形对应角的平分线长____ c m ．
8. 如图，要在底边 ，高 的三角形铁皮余料上，截取一个面积为
的矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E，F在BC上，AD交HC于点M，则EH的
长为_______cm．9. 已知 ， ， 的中线 ，其周长为20cm， 的
面积为64cm2，求：
（1） A B 边上的中线CD的长；
（2） 的周长；
（3） 的面积．
10. 如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=4cm，AD=3cm．从这
张硬纸片剪下矩形EFGH使得HG=2HE．点E、F在在线边BC上，顶点G，H分别在AC，AB
上．AD与HG的交点为M．
（1）求证：
A
A
M
D
=
H
B
G
C
；
（2）求这个矩形EFGH的周长．
二、拓展提升
11. 如图，在 中， A B = A C ，AD⊥BC于D，作 D E ⊥ A C 于E，F 是AB中点，连
结 E F
第8题
第10题
交AD于点G．（1）求证： A D 2 = A B A E ；
（2）若 ， ，求
A
A
D
G
的值．
12. 如图， R t A B C ， C = 9 0 ， ，BC=6 cm．点P从点 C 出发，以2cm/s的速
度沿CA向点A匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以 1 c m / s 的速度沿 B C 向点 C 匀速运动，
当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，PCQ的面积等于ABC面积的 ？
（2）经过几秒，PCQ与 A B C
第11题
第12题
相似？
13. 如图,在△ABC中,AB＝2.5cm,BC＝1.5cm,AC＝2cm,动点E (与点 A,C不重合)在AC边
上,EF∥AB交BC于F 点．第13题
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时,求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时,求CE的长；
（3）试问在边AB上是否存在点P,使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在,请简要说明理
由;若存在,请求出EF的长．
三、综合实践
14. 测面距高
学生甲的身高是1.8m，在甲与旗杆之间的水平地面上平放一面镜子。固定镜子的位置，
观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶部。此时，测出他
的脚与镜子的距离BE=2.4m、旗杆底部与镜子的距离DE= 8m你能求出旗杆的高度么。
【提示】入射角=反射角
第14题第九课时 用相似三角形解决问题（1）
一、基础练习
1. 在平行光的照射下，物体所产生的影称为 .（选填“平行投影”或“中心投影”）
2. 在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长的比值 .（选填“相
等”或“不相等”）
3. 在阳光下，身高为1.68 m的小强在地面上的影子长为2 m.在同一时刻，旗杆的高度与
旗杆在地面上的影长的比值为 .
4. 在阳光下，小明发现自己在地面上的影长等于身高.在同一时刻，测得附近一座建筑物
的影长为54 m，则建筑物的高度为 m.
5. 下列哪种光线形成的投影是平行投影（ ）
A.太阳 B.路灯 C.台灯 D.手电筒
6. 在阳光的照射下，矩形窗户的边框在房间地面上的投影可能是（ ）
A.圆 B.三角形 C.平行四边形 D.五边形
7. 古埃及国王曾请一位学者测量金字塔的高度.当这位学者
确认在阳光下他的影子长等于他的身高时，要求他的助理 A
同时测出金字塔的影长 BD 以及金字塔底部正方形的边
长，这样他就知道了金字塔的高度.这种测量原理就是我
D
们所学的（ ） C B
A.图形的平移 B.图形的相似
（第7题图）
C.图形的旋转 D.图形的轴对称
8. 小李和爸爸在阳光下散步，爸爸身高1.8 m，小李比爸爸矮0.15 m，当爸爸在地面上的
影长为2.4 m时，小李在地面上的影长为（ ）
A.2.25 m B.2.2 m C.1.95 m D.1.8 m
9. 如图，AB表示窗户的高，AE和BD表示射入室内的光线，窗户下端到地面的距离BC=1.2
m.已知，某一时刻BC在地面的影长CD=0.6 m，AE和BD射入室内光线在地面上的间距
ED=0.8 m，求窗户的高AB的值.
A
B
C
E D
（第9题图）
10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中记载这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步见木.问邑方几何？”题意是：如图，
在正方形城邑ABCD 中，点E、F分别为边AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，GH过
点A，且GE=30步，FH=750步，求正方形城邑边长的步数.
G
A B
E
H F
D C
（第10题图）
二、拓展提升
11. 如图，在阳光照射下，某树AB在m时形成影子BC=9 m，在n时形成影子BD=16 m.
若两次日照的光线互相垂直，求树AB的高度.
m时☀
n时☀
A
C D
B
（第11题图）
12. 如图，小丽的身高如图中线段AB所示，在阳光的照射下，她在地面上的影子如图中线
段BC所示，线段DE表示旗杆，线段FG表示一堵高墙.
（1）请在图中画出同一时刻旗杆在阳光照射下形成的影子示意图；
（2）已知，小丽身高AB=1.6 m，她的影子BC=2 m，旗杆高度DE=16 m，旗杆与高墙
的距离EG=18 m，试判断旗杆的影子是否会落在高墙上？若旗杆影子落在高墙上，请
求出落在高墙上的高度；若旗杆影子未落在高墙上，请说明理由.
F
D
A
13. 【数学活动】数学活动课上，小军想到了利用光B 的反C射 定律（E反 射角等于G入 射角）测
（第12题图）量旗杆高度的方法．如图1，在地面点E处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然
后人向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直至站在点B处恰好看到旗杆CD
的顶端C在镜子中的像与镜子上的标记重合.
经测得，小军眼睛离地面的距离AB=1.65 m，BE=1.1 m，ED=8 m，求旗杆CD的高度．
【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图2）：
他让小军站在点B处不动，将镜子移动至点E 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端
1
F在镜子中的像与镜子上的标记重合，测出BE =1.5 m；再将镜子移动至点E 处，恰好
1 2
通过镜子看到广告牌的底端G在镜子中的像与镜子上的标记重合，测出E E =0.5 m．
1 2
经测得，小军眼睛离地面的距离AB=1.65 m，BD=12 m，求这个广告牌FG的高度．
C F
G
A A
B D B D
E E E
1 2
（图1） （图2）
三、综合实践
14. 【阅读材料】
将相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就
把它们叫做相似体.如图，甲、乙虽是两个大小不相等的正方体（甲、乙棱长分别为a、
b），但它们形状完全相同，所以正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于
相似比（a:b）.
b
a
【解决问题】（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
A.两个球体 B.两个圆柱体 C.两个锥体 D.两个长方体
（2）设甲、乙两个正方体的表面积分别为S 、S ；体积分别为V 、V ，则
甲 乙 甲 乙
S :S = : ，V :V = : ；
甲 乙 甲 乙
【总结提升】
请归纳出相似体的三条重要性质：
（1）相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ；
（2）相似体的表面积的比等于 ；
（3）相似体的体积的比等于 ；
【实践应用】
假定在完全正常发育的情况下，不同时期的同一个人的身体是相似体.在不考虑不同时
期人体平均密度的变化的前提下，结合物理相关知识及自身现在的身高与体重，请选
取一个你理想中将来的身高值去预估将来的体重.第十课时 用相似三角形解决问题（2）
一、基础练习
1. 在点光源的照射下，物体所产生的影称为 .（选填“平行投影”或“中心投影”）
2. 一般地，在点光源的照射下，同一物体在不同的位置，它的物高与影长 .（选
填“成比例”或“不成比例”）
3. 身高1.6 m的小丽，从路灯的正下方走到距离路灯底部6 m处，测得自己的影长为2 m，
则路灯的高度为 m.
4. 如图，圆桌正上方的灯泡O（看作一个点）发出的光线照射到桌面后，在地面上形成影.
设桌面的半径AB=0.6 m，桌面与地面的距离AC=1.2 m，灯泡与桌面的距离OA=1.8 m，
则地面上形成影的面积为 m2.
☀
O
y
P
A B
A B
C D O x
（第4题图） （第5题图） （第7题图）
5. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是小时候常玩的游戏，
其属于（ ）
A.平行投影 B.中心投影 C.既是平行投影也是中心投影 D.无法判断
6. 同一地点、同一时刻的阳光下，甲的影子比乙的影子短，那么在同一路灯下（ ）
A.甲的影子比乙的影子短 B.甲的影子比乙的影子长
C.甲、乙的影子一样长 D.无法确定
7. 给出下列结论正确的有（ ）
①在同一时刻，物体在阳光照射下，影子的方向都是相同的；
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的；
③物体在点光源照射下，影子的方向与点光源的位置无关；
④物体在点光源照射下，影子的长短仅与点光源的位置有关．
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8. 如图，在平面直角坐标系中，点 P（2，4）是一个点光源．木杆 AB 两端的坐标分别为
（0，2）、（4，2）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
9. 小李把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端 C、D，不断调整站立
E
C的位置，使在点B处刚好能看到旗杆的顶部E和底部F（如图）.设小李的手臂长l=50 cm，
小尺CD=20 cm，点B到旗杆底部的距离BF=45 m，求旗杆的高度.
10. 如图，竖立在点D处的标杆CD高2.5 m，站在点B处的观察者刚好看到标杆C、树顶E
在一条直线上.设BD=3 m，DF=11 m，观察者的眼睛离地面AB=1.6 m，求树高EF.
E
C
A
B D F
（第10题图）
二、拓展提升
11. 如图，身高1.6 m的小华站在两根等高的灯杆之间（小华的脚、两灯杆的底端在同一直
线上）.当小华站在点B处时，在灯E的照射下小华的影长正好为BM，在灯C的照射
下小华的影长为BN.测得BM=6 m，BN=4 m，DF=30 m.
（1）求灯杆的高度；
（2）当小华在两灯杆之间走动时（不包含两灯杆的正下方），小华在C、E两灯照射
下的影长之和MN是否发生不变？若不变，请求出MN的值；若变化，请说明理由.
C E
A
D F
M B N
（第11题图）12. 如图1，身高1.7 m的小明想通过测量自己的影长来估计路灯的高度，具体做法如下：
小明站在点C 处时，影子的端点在点E 处，沿自己的影子向前走6步到点E处，继续
沿自己影子向前走8步，刚好到达小明站在点E处时影子的端点G处.
☀ ☀
A A
D F
B C E G M B N
图1 （第12题） 图2
（1）求路灯的高度AB； 图）
（2）如图2，小明从点M处经过路灯的正下方沿直线走到点B处，他的影长y随他与
路灯底部的水平距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为
( ).
y y y y
O x O x O x O x
A. B. C. D.
13. 如图，AB、DE、GH三根木杆的底部在同一条直线上，其中AB、DE两根木杆在同一灯
光下的影长分别为BC、EF.
（1）请在图中画出光源的位置；
（2）相邻的两根木杆之间的距离都是 4 m，已知，AB、DE 在路灯光下的影长分别为
BC=3.6 m，EF=1.6 m．求木杆GH的影长.
A D G
C B F E H
（第13题图）三、综合实践
14. 【古代故事】大约两千四五百年以前，我国的学者
墨翟(墨子)和他的学生，做了世界上第一个小孔成
倒像的实验。《墨经》中这样纪录了小孔成像：“景。
光之人，煦若射，下者之人也高；高者之人也下。
足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成景于下。
在远近有端，与于光，故景库内也。”
译文：“光线照到人，人反射的光线像箭一样直线前进。照射在人上部的光线，则成像
于下部；而照射在人下部的光线，则成像于上部。于是，直立的人通过针孔成像，投影
便成为倒立的。”
【数学建模】对于物理中的小孔成像实验（如图1），可以将其抽象为数学问题如图2：
蜡烛火焰为线段AB，小孔为点O，蜡烛火焰在光屏上倒立的像为线段CD，则AB∥CD，
AC与BD相较于点O.
D
A
O
B
C
（图1） （图2）
【学以致用】
若点O到AB的距离为6 cm，点O到CD的距离为9 cm，蜡烛火焰在光屏上倒立的像
CD的高度为1.5 cm，则蜡烛火焰AB的高度为？
【探索发现】
（1）若保持小孔O到光屏的距离不变，改变蜡烛火焰AB到小孔O的距离，则蜡烛火
焰在光屏上倒立的像CD会如何变化？并简要说明理由；
（2）若保持蜡烛火焰AB到光屏的距离不变，改变小孔O到蜡烛火焰AB的距离，则
蜡烛火焰在光屏上倒立的像CD会如何变化？并简要说明理由；
【总结反思】
结合小孔成像故事及通过数学建模解决相关问题，谈谈自己的收获.第十一课时 测量两地间的距离
一、基础练习
1.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为2.5米的标杆DF，
如图1所示，量出DF的影子EF的长度为2米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，
那么旗杆的高度为（ ）．
A．6米 B．7米 C．7.5米 D．8米
2.如图2，A、B两点被池塘隔开，在A、B外取一点C，连接AC和BC，并在AC、BC上
各取一点M、N，使得MN∥AB，且AM＝2CM，若MN＝20米时，则A、B两点间的距
离为（ ）．
A．５０米 B．６０米 C．7０米 D．8０米
图1 图2 图3 图4
3.为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根
据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图 3 所示的测量方案：把
一面很小的镜子放在离树底（B）6.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰
好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.8米，则树（AB）
的高度约为（ ）．
A．4.2米 B．４.5米 C．4.8米 D．5.0米
4.阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2m宽的亮区(如图4所示)，已知亮区到窗口下
的墙脚距离EC=３m，窗口高AB=2.8m，则窗口底边离地面的距离BC为（ ）.
A．4米 B．４.2米 C．4.8米 D．5米
5.如图5，矩形ABCD，AB＝8，AD＝6，点E、F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FE⊥AD，
EG=15，HG经过A点，则FH= ．
6.如图6，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员小丽把球从N点击到了对方内的B
点，已知网高 OA=1.52 米，OB=4 米，OM=5 米，则小丽起跳后击球点 N 离地面的距离NM=_______米．
7.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了
光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图 7 所示，光线经过小孔 O，物体 AB 在幕布上
形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6 cm，小孔O到
物体和实像的水平距离BE、CE分别为10 cm、5 cm，则实像CD的高度为 cm．
8.如图8，小明晚上散步时，由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子
的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行25 m到达Q点时，发现身前他影子的
顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知小明同学的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是10 m，
则两路灯之间的距离是_________.（精确到0.1 m）
图5 图6 图7 图8
9.如图9，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河的宽度），你有哪些方法？
请写出你的方案.
A
B
图9
10.如图10，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的
面积是△ABC的面积的四分之一，若AB=4，求此三角形移动的距离AD的长.
图10
二、拓展提升
11.相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图11，一根电杆钢索系在离地面3米处，另一
根电杆钢索系在离地面 5 米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面多少米？
图11
12.某天，小芳走到如图12所示的C 处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路.上有一辆
汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12 m的广告牌AB挡住，
4 s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是8m/s，假设AB PQ，
公路宽为12 m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
图12
13.如示意图13，小华家（点A处）和公路（ l ）之间竖立着一块45 m长且平行于公路的巨
型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的
那段公路计为BC．一辆以72 km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是4 s，已知广告牌和
公路的距离是50 m，求小华家岛公路的距离（精确到1m）．
图13A
D
C
B E
N
三、综合实践
14.某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂
正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝90米，AD＝BC＝170
米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN、BC两厂之间的公路与自来水管道交于E
处，EC＝50米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价5000元．
（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图
14中画出；
（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？
图14
