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七年级上册第六单元 平面图形的认识（一）
第一课时 6.1线段、射线、直线（1）
一、基础练习
1．下列说法错误的是（ ）
A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线
C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短
2．如图，甲、乙、丙、丁、戊五名同学有以下说法：
A
甲说：“直线BC不过点A”；
乙说：“点A在直线CD外”；
丙说：“D在射线CB的反向延长线上”；
丁说：“A，B，C，D两两连接，有5条线段”； B C D
(第2题图)
戊说：“射线AD与射线CD不相交”．
其中说明正确的有（ ）
A．3人 B．4人 C．5人 D．2人
3．下列生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，尽可能沿直线AB架设；
④打靶时，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上．
其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
4．往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就
不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
5．如图，C，D是线段AB上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB的长
度是（ ）
A C D B
(第5题图)
A．8 B．9 C．8或9 D．无法确定
6．高速公路的建设带动我国经济的快速发展．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道
路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是 ．7．如图，共有直线 条，线段 条，射线 条．
A
D
B C
(第7题图)
8．如图，已知线段AB，在AB上逐一画点，数一数，图（1）中有 条线段，图（2）中有 条
线段，当线段AB上有（n+1）个不相同的点时，共有 条线段．
A A1 B A A1 A2 B
(图1) (图2)
(第8题图)
9．（1）如图 1，在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄，现在要在公路 l 上建一座火力发电厂，
向A，B两个村庄供电，为使所用的电线最短，请问供电厂P应建在何处？画出图形，写出作法并简要
说明理由．
（2）如图2，若要向4个村庄A，B，C，D供电，供电厂P又该建在何处呢？画出图形并写出作法．
A
D
A
B
l C
B
(图2)
(图1)
10．探索：
（1）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成 4部分，三条直线最多可以把平
面分成 部分，四条直线最多可以把平面分成 部分，试画图说明；
（2）n条直线最多可以把平面分成几部分？
二、拓展提升
11．根据题意填空：
（1）l1 与 l2 是同一平面内两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线 l3 ，
那么这三条直线最多有 个交点．
（2）如果在（1）的基础上在这个平面内再画第四条直线l4 ，那么这四条直线最多可有
个交点．（3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有 个交点，n（n＞1）条直
线最多可有 条交点．（用含有n的代数式表示）
(第12题图)
12．阅读下列材料并填空：
【探究】平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多
少条直线？
2×1
我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画 ＝1条直线，平面内有3个点时，一共
2
3×2 4×3
可以画 ＝3条直线，平面上有 4 个点时，一共可以画 ＝6 条直线，平面内有 5 个点时，一共可以画
2 2
条直线，……平面内有n个点时，一共可以画
条直线．
【运用】
（1）某足球比赛中有22个球队进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行
场比赛；
（2）一次联欢活动中，共有60人，若每人与其他人握一次手，则60人共握手 次；
（3）已知往返于甲、乙两地的客车，中途停靠五个站，（每两站之间距离不等），则客运公司要定
种不同的票价；准备 种不同的车票.
13．如图，一条笔直的街道上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k栋楼恰好有k（k＝
1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在街道上建一车站，为使这
5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？
(第13题图)
三、综合实践
14．线段的历史可以追溯到古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》，基本事实：“两点确定一条直线”
正是源自此书。请你在此基础上进一步研究：过平面内三点中任意两点作直线，可以作出几条直线？过平
面内四点中任意两点作直线，情况又如何呢？请画图探究．第二课时 线段、射线、直线（2）
一、基础练习
1．线段AB＝5cm，BC＝4cm，那么A，C两点间的距离是（ ）
A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．无法确定
2．下列说法正确的有（ ）
①过同一平面内的两点，有且只有一条直线；②线段MN就是M、N两点间的距离；
③若AB＋BC＝AC，则点B是线段AC的中点；④两点之间线段最短．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，C是AB中点，点D在线段AB上，且AD：DB＝1：2，若AB＝12，则线段CD的长是（ ）
A D C B
(第3题图)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，点A、B、C 顺次在直线 l上，点M是线段 AC的中点，点N 是线段 BC的中点．若想求出MN
的长度，只需知道线段（ ）的长度
l
A M B N C
(第4题图)
A．AB B．BC C．AM D．CN
5．线段AB＝2cm，延长AB到C，使BC＝AB，再延长BA到D，使BD＝2AB，则线段CD的长为 cm．
6．如图，AB＝19cm，点C是线段AB延长线上一点，在线段BC上取一点N，使BN＝2CN，点M为线段
1
AC的中点，则MN－ BN＝ cm．
4
A M B N C
(第6题图)
7．若点C为线段AB上一点，AB＝12，AC＝8，点D为直线AB上一点，M、N分别是AB、CD的中点，
若MN＝10，则线段AD的长为 ．
8．如图，数轴上线段AB及可移动的线段CD（点A 在点B 的左侧，点C在点 D 的左侧），已知线段AB
覆盖8个整数点（数轴上对应整数的点），线段CD覆盖2个整数点，点M，点N分别为AC、BD的中
点，则线段MN覆盖 个整数点．
C D A B
(第8题图)
9．如图，线段AD＝8，点B，C在线段AD上，BC＝3，点M，N分别是线段AB，CD的中点，求MN的
长．
A M B C N D
(第9题图)10．如图，B，C两点把线段AD分成2：3：4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2cm，求：（1）AD
的长；
（2）AB：BE．
A B E C D
(第10题图)
二、拓展提升
11．点M，N，P在同一条直线上，线段MN＝a，线段PN＝b(a＞b)，点A是MP的中点．求线段MP与
线段AN的长．（用含a，b的代数式表示）
12．数轴上A，B，C三个点表示数分别是a，b，c，且满足|a＋12|＋|b＋6|＋（c－9）2＝0，动点P、Q都
从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动．
（1）直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若M为PA 的中点，N 为PB 的中点，试判断在 P 点运动的过程中，线段 MN 的长度是否发生变
化，请说明理由；
（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，
直至P点停止运动，Q点也停止运动．当P点开始运动后的第
秒时，P，Q两点之间的距离为2．
A B C
(第12题图)13．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要
的规律；若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离为：AB＝|a－b|，线段AB的
a＋b
中点表示的数为 ．
2
【问题情境】
点A、B、O在数轴上对应的数为a、b、0，且关于x的多项式－x3＋8x2＋ax2＋24x－2bx＋3不含x2项
和x的一次项，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，M的速度为1个单位长度每秒，N的速
度为3个单位长度每秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）直接写出OA＝ ；OB＝ ；
（2）①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为 ；点N表示的数为 ．
②当t为何值时，恰好有AN＝2AM？
1
（3）若点P为线段AM的中点，Q为线段BN的中点，M、N在运动的过程中，PQ＋ MN的长度会随
2
1
着t的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，PQ＋ MN有最小值，最小值是多少？
2
三、综合实践
14．生活中有很多物品可以抽象成线段，比如：细绳．请你找几根细绳，和同学一起来研究线段的问题．
例如：两根细绳，长分别为a和b(b＞a)，将它们一端重合且放在同一条直线上，则这两条细绳的中点
之间的距离是多少？你能用a和b的代数式表示吗？
再如：将一根细绳对折成一条线段，再沿该线段的三等分点剪开，若剪断后的各段绳子中最长的一断
为40cm，绳子的原长是多少？
类似这样，用“叠合、折叠、剪”等方式玩细绳游戏，你还会想到什么数学问题？来编一个题考考你
的同学吧．第三课时 6.2 角（1）
一、基础练习
1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A
A
A
1
1 A
O
1 1
B O B O B O B
A． B． C． D．
2．如图，下面说法正确的是（ ）
①书店在商场的南偏西45°方向400米处；
②商场在小玲家西偏北30°方向1000米处；
③小玲家在商场东偏南30°方向1000米处；
2 (第2题图)
④小玲家到商场的距离是书店到商场距离的 ．
5
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．下列说法正确的是 （ ）
A．周角是一条射线
B．在直线上任取一点作顶点，就可以把这条直线看做一个平角
C．两条射线所组成的图形叫做角
D．在∠ABC的边BC的延长线上任取一点D
4．如图，将长方形纸片ABCD按所示方式折叠，使得∠A′EB′＝40°，其中EF，EG 为折痕，则∠AEF＋
∠BEG的度数为（ ）
A．40° B．70° C．80° D．140°
5．如果一个角是60°，用10倍的放大镜观察，这个角应是 °．
6．如图，艺术节期间我班数学兴趣小组设计了一只长方形时钟作品，其中心为O，数字3，6，9，12标在
各边中点上，数字2 在长方形顶点上，则数字 1 应该标在 处．（选填一个序号：①线段DE 的
中点；②∠DOE的角平分线与DE的交点．）
7．计算：
（1）15°48′36″= °； （2）50°－15°30′= ；
（3）2700″= °； （4）35.27°= ° ′ ″．
8．如图，在∠AOE 的内部从 O 引出 3 条射线，那么图中共有 个角；如果引出 5 条射线，有
个角；如果引出n条射线，有 个角．A
D
D C E
A' 12 1 2
B'
G
F C 9 3 A
O
O
A B 6
E
B B
(第4题图)
(第6题图) (第8题图)
A
9．如图：
（1）以点B为顶点的角有几个？分别表示出来．
D
E
B
（2）请分别指出以射线BA为边的角．
C
（3）以D为顶点，DC为一边的角有几个？分别写出来．
（第9题图）
10．如图，点A、O、B都在直线MN上，射线OA绕点O按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线
OB绕点O按逆时针方向以每秒6°的速度旋转（当其中一条射线与直线MN叠合时，两条射线停止旋
转）．经过多少秒，∠AOB的大小恰好是60°？
(第10题图)二、拓展提升
11．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，
两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， h后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示
分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．
（1）3：40时，时针与分针所成的角度为 ；
（2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
12
B
O A 3
(第11题图)
12．小明晚上6点多外出购物，看手表上时针与分针的夹角为110°，接近7点回到家，发现时针与分针
的夹角又是110°．问小明外出时用了多少时间？
3
13．已知∠AOB＝80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC＝ ∠BOC，
5
求∠AOC的大小．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）三、综合实践
14．观摩《“海鹰”营救行动》
背景片断：加勒比海域海盗活动日益猖獗，过往船只无不战战兢兢……
接收信息：一日，某海军基地接到求救信息．加勒比北部海域一艘货船被海盗劫持．船上有35名船员，正
驶向海盗基地沿海．海军指挥部立即派遣舰队开展代号为“海鹰”的营救行动．
实施营救：
海上巡逻飞机已确定相关海域的情况，指挥部立即在军事作战图
上进行营救路线的部署工作（如图）．根据以往交战经验，图中黑色
区域是海盗活动猖獗的区域，同时也是最短营救路线经过的区域．为
了确保人质安全，通过计算距离，争取在货船被劫持至海盗基地之前
将其营救．
海军基地总司令决定兵分两路．B 组以北偏东 30°的方向正面
迎击区域内的海盗，A 组以北偏西 40°的方向经海盗活动不是很猖
獗的海域，绕行海盗出没的岛屿前往海盗基地沿海，赶在人质被劫持
上岸之前将其营救．B组与海盗力量周旋后，前往海盗基地沿海，与
(第14题图)
A组汇合，营救被劫持货船．
营救行动如果成功，返航时选择另一条基本没有海盗活动的海上线路，此条航线虽然航程较长，但是
可以确保人质和海军的安全．如果营救行动失败，人质遭遇不测，则A组与B组合力痛击经常出没在海岛
附近的海盗．
发出命令：
现在根据上图标识的数据及战情分析，由你来给 A 组和 B 组下达作战指示，要求详细结合每一步前
进的具体方向.第四课时 角（2）
一、基础练习
1. 两个锐角的和（ ）
A．必定是锐角 B．必定是钝角 C．必定是直角 D．都有可能
2．下列结论不正确的是（ ）
A．角平分线是射线 B．两个角的一边重合，另外两边组成的图形是这两个角的和
C．若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=
1
2
∠AOB
D．反向延长射线OA就得到一个平角
3．下列语句中，正确的是（ ）
A．比直角大的角是钝角 B．比平角小的角是钝角
C．钝角的平分线把钝角分为两个锐角 D．钝角与锐角的差是锐角
4．已知∠AOB=60°，以OB为一边画∠BOC=30°，那么∠AOC等于（ ）
A．90° B．60° C．30° D．30°或90°
5.利用一副三角尺能作出一些特殊角度的角，下列哪个角不能用一副三角尺作出（ ）
A．105° B．15° C．175° D．135°
6．如图，（1）∠AOC= + = — 。
（2）如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？
7．如图，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOD=145°，则∠BOC=_________°。
8．如图，渔船从P处向正北航行到 A 处时，向右转 6 0 航行到B处，再向左转 9 0
（第6题图） （第7题图）
（第8题图）
继续航行，此时的航行
方向为北偏西 °．
9．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=40°，求∠AOC、∠AOD的度数。
（第9题图）10．运用尺规作图法，画一个角等于∠A+∠B.
（第 10 题）
图
二、拓展提升
11. 如图，已知∠𝐶𝑂𝐵 =2∠𝐴𝑂𝐶，OD平分∠AOB，∠COD=20°，求∠AOB的度数.
（第 11 题）
图
12. 已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC，求∠POQ的度数.
13．日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数
学知识.
（第13题图1） （第13题图2）
图1 图2
（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；
（2）请在图2中画出8:15这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:15，时钟的
分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；
（3）“元旦”这一天，小明上午九整出门买东西，回到家中时发现还没到十点，但是时针与分针重合了，
那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？
三、综合实践
14. “时钟里的数学问题”：当时针和分针所成角度180°时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们
将这样的时刻称为“美妙时刻”，如六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有多少个美妙时刻？请以
此为探究问题，撰写一篇数学小作文。（200字）第五课时 余角、补角、对顶角（1）
一、基础练习
1.若两邻角互余，则此两角平分线所成的角必为（ ）
A 钝角 B 45° C 90° D 60°
2.已知两个角的补角互余，下列说法中错误的是（ ）
A、这两个角的和大于平角 B、这两个角都是钝角
C、这两个角一定不相等 D、这两个角可以是等角.
3．下列图形中， ∠ 1 和∠2互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于互补的下列说法中：
①∠A+∠B+∠C=90°，则∠A、∠B、∠C互补；
②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；
③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；
④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角. 其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．72°24’的角的余角等于 ；25°36’的角的补角=______°.
6．若∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠1=40°,则∠3=______°依据是____ .
7.一个角等于它的余角的2倍，则这个角等于它的补角的____倍.
8.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数
为 .
(第8题图)
9.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，求这个角.
4
10、一个角的补角与它的余角的和比一个直角的 倍还多20°，求这个角的补角.
3二、拓展提升
11.如图，点C、O、E在同一条直线上，∠AOB=90º，∠1+∠2=90º
（1）射线OE与∠AOD有什么关系？为什么？（2）∠AOC与∠DOC有什么关系？为什么？
12．如图，已知 A O B ( 3 0 4 5 ) ∠ = ．
(1) A O B 的余角为 A O C ，射线 O M 平分 A O B ，当α=36°，求 M O C 的度数；
(2)若∠AOB 的补角为∠BOD，射线 ON 平分∠BOD，试用含 α 的代数式表示∠AON 的度数．（画出图
形，并直接写出结果）
13. 如图1，点A、O、B依次在直线 M N 上，现将射线 O A 绕点O沿顺时针方向以每秒1°的速度旋转，
同时射线 O B 绕点O沿逆时针方向以每秒2°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为 t
（t的值在0到90之间，单位：秒）．
(1)当t=15时，求AOB的度数；
(2)在运动过程中，当 A O B 首次达到 1 2 0 时，求 t 的值；
(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线 O B
（第11题图）
（第12题图）
（第13题图1） （第13题图2）
垂直射线OA？如果存在，请求出t的值；如果不存
在，请说明理由．三、综合实践
14. 【实践操作】三角尺中的数学．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，转动上方直角
三角板，在此变化的过程中，是否存在不变的数量关系？请与同伴合作探究，并撰写数学小作文.
（第14题图）第六课时 余角、补角、对顶角（2）
一、基础练习
1. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是 ( )
A ∠AOF与∠DOE B ∠EOF与∠BOE C ∠BOD与∠COF D ∠BOC与∠AOD
2. 你能正确认识对顶角的性质吗？下面是四个同学的观点，其中正确的是( )
A.有公共顶点的角是对顶角 B.相等的角是对顶角
C.对顶角必相等 D.不是对顶角的角不相等
3. 如图，直线 A B
（第 1 题图） （第3题图） （第5题图）
和CD相交于O，∠AOE=90°,那么图中DOE与COA的关系是（ ）
A.对顶角 B.相等 C.互余 D.互补
4.下面4个命题中正确的是（ ）
A.相等的两个角是对顶角
B.和等于90°的两个角互为余角
C.如果∠1+∠2+∠3 =180º，那么∠1，∠2，∠3互为补角
D.一个角的补角一定大于这个角
5.如图，图中对顶角共有_____对.
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
6.如图，已知∠α＋∠β＝80°，则∠α=_____°，∠γ=_______°．
7.如图，直线AB、CD相交于点O，OE为射线。（1）若∠AOE＋∠DOE＝150°，
则∠AOC＝____°；（2）若∠BOC＋∠DOA＝300°，则∠AOC＝____°；
8.如图，直线a、b相交，∠1＝2∠2，则∠1=___°，∠2=___°，∠3=___°，∠4=___°
9.直线AB、CD相交于O，已知∠AOC=60°，OE把∠BOD分成两个角，
且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠EOD的度数。
A
D
O
E
C B
（第9题图）
10.如图，已知直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD，若∠3︰∠2＝8︰1，求∠AOC的度数。
（第10题图）二、拓展提升
11. 如图，直线MN、PQ、ST相交于点O，若∠1=28°，∠3=75°，求∠2的度数。
（第11题图）
12. 直线AB、CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠FOC=100°，∠1=30°，求∠2与∠3的度数.
（第12题图）
13.探索规律：
①问题：n条直线相交于同一点，有多少对对顶角？
（第13题图）
两条直线相交有 对对顶角，三条直线相交有 对对顶角，四条直线相交有 对对顶角，五条
直线相交有 对对顶角，
②结论：若有n（n>1)条直线相交于一点O，那么有_______对对顶角.
三、综合实践
14. 读一读：我国古代的墨子对光的直线传播、光的反射和物影成像进行了研究. 有一次，墨子在堂屋朝
阳的地方，让一个人对着小孔站在屋外，在阳光的照射下，屋内相对的墙上出现了倒立人像. 墨子对“小
孔成像”的现象进行了分析，阐述了光的直线传播原理：由于光的直射，人的头部与足部的成像分别在
下边和上边，构成倒影（如图），这后来成为摄影技术的先声.
（第14题图）利用可找到的材料自制实验器材，还原小孔成像，仔细观察像的形状、大小是否会发生变化?查阅资
料说明理由，完成以下实验报告。
“小孔成像”实验 记录员
使用材料
实验器材（照
片）
像的
形状
像的
实验观察
大小
其他
实验原理
(查阅资料填写)
尚存疑惑第七课时 6.4平行
一、基础练习
1．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对
2. 过直线l外一点A作l的平行线，可以作（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3. 下列说法正确的是（ ）
A．延长射线AB到C
B．若AM＝BM，则M是线段AB的中点
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4. 如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱中与棱AB平行的是（ ）
A．BC B．CG C．EH D．HG
5. 曲桥是我国古代经典建筑之一，弯弯曲曲的桥面彼此相连，提升了建筑的美感．如图，A、B两处各修
建了一处桥面且相互平行，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．过一点有无数条直线
B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
C．两点确定一条直线
D．两点之间，线段最短
D C
A B D C
H G
A B
E F
(第5题图) (第7题图)
(第4题图)
6. 如果b∥a，c∥a，那么 ．
7．如图是一个平行四边形，请用符号表示图中的平行线： ．8. 如图，能相交的是__________，平行的是__________．（填序号）
(第8题图)
9. 如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1 ∥OA；
（2）过P画l2 ∥OB；
（3）用量角器量一量l1 与l2 相交的角与∠O的大小有怎样关系？
10. 如图，仅用无刻度的直尺在网格中过点P画出直线AB、AC的平行线.
(第10题图)
二、拓展提升
11. 补全如图的图形，使之成为长方体ABCD-EFGH的直观图；
（2）与棱AB平行的棱是 _________．
（3）若这个长方体框架的长、宽、高分别是4分米、3分米和5分米，则需要多少分米的铁丝才能搭成这
样的框架？（接缝处忽略不计）
① ② ③ ④ ⑤
B
P
O A
(第9题图)
C
P
A
B
D C
A B
(第11题图)12. 如图，E、F分别是线段AB、AD的中点.
（1）过点E画EH∥AC交 BC 于点H；过点F画FG∥AC，交DC 于点G. EH与FG 平行吗？为什么？
__________________________.测量并猜测EH与FG的数量关系___________.
（2）连结EF、GH，量出∠FEG、∠FHG、∠HGE、∠HFE的角度，其中哪些角相等？
C
D
F
A E B
(第12题图)
13. 在同一个平面上有三条直线，它们的交点可能有几个？请画图说明.
三、综合实践
14.平面上有6条直线，欲使它们出现11个交点，怎样安排才能办到？
我们可作这样的分析：平面上的6条直线，若两两相交，最多可出现1+2+3+4+5=15个交点，而题目要求
只出现11个交点，这就要减少4个交点. 通常有两种途径：
（1）多线共点，但题目条件不允许这样做；（2）出现平行线，这是题目允许的，你能办到吗?请画出示
意图.第八课时 6.5 垂直（1）
一、基础练习
1．如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的垂线，可画出的垂线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．如图，过点P作线段AB的垂线，垂足在（ ）
A．线段AB上 B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上 D．直线AB外
(第1题图) (第2题图)
3．下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在同一平面内，过直线 l 外一点 P 作 l 的垂线 m，再过 P 作 m 的垂线 n，则直线 l 与 n 的位置关系
是 ．
6．如图，CD⊥AB于O，OE平分∠BOC，则∠AOE的度数为 ．
7．两条直线相交所构成的四个角，其中：①有一个角是直角；②有一对对顶角相等；③一对邻补角相等；
④有三个角都相等．以上4种条件中，能判定这两条直线垂直的条件有 个．
8.将两块三角板如图摆放，使得45°三角板的直角边与30°三角板的斜边互相垂直，则∠1等于 度．
(第6题图) (第8题图)
9.如图，直线AB、CD相交于点O，FO⊥CD于点O，且∠EOF＝∠DOB．猜想∠EOB的度数，并说明理
由．
(第9题图)
10.如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．
（1）直接写出∠AOC的对顶角和邻补角；
（2）若∠AOC：∠COE＝3：1，求∠AOD的度数．
(第10题图)
二、拓展提升
11.已知OA⊥OB，直线CD经过点O且∠AOC＝40度，求∠BOD的度数．
12.如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OF⊥CD，垂足为 O，OE 平分∠BOF，若∠DOE＝20°，求∠AOC
的度数．
(第12题图)13.如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOC．若∠BOE：∠AOC＝4：5，求∠
EOF的度数．
(第13题图)
三、综合实践
14.准备一副三角板，将其中45°三角板的斜边既垂直30°三角板的斜边，又过30°三角板的直角顶点．与
你的小伙伴一起试试，能求出哪些角的度数．第九课 6.5 垂直（2）
一、基础练习
1.如图，将军要从村庄 A 去村外的河边饮马，有三条路 AB、AC、AD 可走，将军沿着 AB 路线到的河边，
他这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
2.如图，河道l的同侧有M、N 两地，现要铺设一条引水管道，从P 地把河水引向 M、N两地．下列四种
方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
(第1题图) (第2题图) (第4题图)
3.下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．两个村庄之间修一条最短的公路，原理是：两点之间线段最短
B．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直
C．把一根木条固定到墙上需要两个钉子，原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速公路修一条最短的路，原理是：连接直线外一点与已知直线上各点的所有
线段中，垂线段最短
4.如图A点表示一个村庄，MN表示一条河道．某测绘队沿河道路线MN上的点P进行测量，测量角度∠
APN与线段AP的长度如表所示：∠APN度数（°） 52.3 69.3 90 93.5 105.8 117.8
AP长度（m） 693 587 549 550 570 620
则下面说法正确的是（ ）
A．村庄A到河道距离等于550m
B．村庄A到河道距离小于549m
C．村庄A到河道距离大于549m
D．村庄A到河道距离等于549m
5.点 P 是直线 l 外一点，PQ⊥l，垂足为 Q，点 M 是直线 l 上一动点，PQ＝2cm，则 PM 的取值范围是
___________.
6.直角三角形ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，AC＝5cm，则点B 到直线AC 上各点的所有
线段中，最短的线段长等于 .
7.如图，已知直线l上，点P为直线l外一点，点B为直线l上的动点，PB≥4cm，则点P到直线l的距离
是 ．
8.如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足为点M．下列说法：
①BM的长是点B到CE的距离；
②BD的长是点B到AC的距离；
③CE的长是点C到点E的距离；
④CM的长是点C到点D的距离．
其中正确的是 （填序号即可）．
(第7题图) (第8题图)
9.已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，点D从点A到点B沿AB运动，CD
＝x，求x的取值范围．10.如图，AB、CD、NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°
（1）线段 的长度表示点M到NE的距离；
（2）比较MN与MO的大小（用“＜”号连接）： ，并说明理由； ；
（3）求∠AON的度数．
(第10题图)
二、拓展提升
11.如图，P是∠AOB的边OB上一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）点O到直线PC的距离是线段 的长度；
（4）比较PH与CO的大小，并说明理由．
(第11题图)
12.如图，点M，N分别在直线AB，CD上．
（1）请在图中作出表示M，N两点间的距离的线段a，和表示点N到直线AB的距离的线段b；
（2）请比较（1）中线段a，b的大小，并说明理由．
(第12题图)13.如果点P将线段AB分成两条相等的线段AP和PB，那么点P叫做线段AB的二分点（中点）；如果点
P1 、P2 将线段AB分成三条相等的线段AP1 、P1P2 和P2B，那么点P1 、P2 叫做线段AB的三分点；依此类
推，如果点P1 、P2 、…、Pn﹣1 将线段AB分成n条相等的线段AP1 、P1P2 、P2P3 、…、Pn﹣1B，那么点P1 、
P2 、…、Pn﹣1 叫做线段AB的n等分点，如图（1）所示
A P1 P2 B A P1 P2 P3 B
图（1）
A
A
B
P1
P2
B
B A
C M N D
图（2） 图（3） 图（4）
已知点A、B在直线l的同侧，请解答下面的问题；
（1）在所给边长为1个单位的正方形网格中，探究：
①如图（2），若点A、B到直线l的距离分别是4个单位和2个单位，那么线段AB的中点P到直线l的
距离是 单位．
②如图（3），若点A、B到直线l的距离分别是2个单位和5个单位，那么线段AB的中点P到直线l的
距离是 单位．
③由①②可以发现结论：若点A、B到直线l的距离分别是h个单位和t个单位，那么线段AB的中点P
到直线l的距离是 单位．
（2）如图（4），若点A、B到直线l的距离分别是d1 和d2 ，利用（1）中的结论求线段AB的三等分点
P1 、P2 到直线l的距离 ， ．
（3）若点A、B到直线l的距离分别是d1 和d2 ，点P1 、P2 、…Pn﹣1 为线段AB的n等分点，则第i个
n等分点Pi 到直线l的距离是 ．
三、综合实践
14.请通过资料查阅等方式了解：在跳远比赛中，如何测量运动员跳远距离？请用数学知识解释其合理性．第十课 小结与思考
一、基础练习
1.在下面时刻中，分针和时针成直角的是（ ）
A．6时 B． 9时 C．12时15分 D． 3时30分
2.一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠1的度数为（ ）
A． 22.5° B．45° C．67.5° D．75°
3.如图，用圆规比较两条线段的大小，其中正确的是（ ）
A． A'B'＜A'C' B．A'B'＝A'C' C．A'B'＞A'C' D．不能确定
4.如图，下列说法错误的是（ ）
A．点A在直线AC上，点B在直线m外
B．过点B做直线m的平行线，有且只有一条
C．直线AC还可以表示为直线CA或直线m
D．图中有直线3条，射线2条，线段1条
B
m
A C
(第4题图)
(第2题图) (第3题图)
5.若∠α＝60°38'，则它的补角的度数是 ．
6.已知一个角的补角比这个角的余角3倍大10°，则这个角的度数是 °．
7.如图，点O在直线DB上，已知∠1＝28°，AO⊥OC，则∠2的度数是 °．
8.如图，A、D 分别是线段 CB 上的点，AC＝2AB，D 是 AB 的中点，若 CD＝6 cm，则线段 AB 的长为
__________cm．
F
C
C
B
B
2 1 E O
O A
D
C A D B
A
D
(第7题图) (第8题图) (第9题图)
9.如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝1：2，OF平分∠BOE.
（1）∠BOD的对顶角为 ，∠AOE的邻补角为 ；
（2）若∠BOD＝69°，求∠BOF的度数．2
10.如图，已知点C为线段 AB 上一点，AC＝15 cm，𝐶𝐵 = 𝐴𝐶，若D、E 分别为线段AC、线段AB 的中
3
点，求线段EC、DE的长．
A D E C B
(第10题图)
二、拓展提升
11.如图，在平面内有A，B，C三点．
（1）画直线AB，射线AC，线段BC；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DE＝AD；
（3）数一数，此时图中线段共有 条．
A B
C
(第11题图)
12.一块三角板按如图1方式摆放，其中边OA与直线EF重合，∠AOB＝30°，射线OC在直线EF上方，
且∠EOC＝50°，作∠BOC的角平分线OD．
D
D
C C B
B
A
α
E F E F
O A O
图1 图2
(第12题图)
（1）求图1中∠COD的度数．
（2）如图2，将三角板AOB绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线
EF的上方．
①当∠COD＝20°时，求旋转角α 的值；
②在转动过程中是否存在∠BOE＝3∠AOC？若存在，求此时α 的值；若不存在，请说明理由．13.如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，
到达点A处即停止运动．
A C P D B
(第13题图)
（1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．
①若2cm＜AP＜14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值；
②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP：PB；
（2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．
三、综合实践
14.用一副三角板可以摆出许多特殊的位置关系. 先将一副三角板（直角三角板 ABC 和直角三角板 CDE，
∠ACB＝90°，∠ECD＝60°）按如图1位置摆放，点D、A、C在一条直线上. 然后将直角三角板CDE绕
点C逆时针方向转动. 请探索：
（1）当三角板CDE旋转到∠ACB内部（如图2）时，作射线CF平分∠ACE，射线CG平分∠BCD，∠
FCG的度数是否变化？
（2）当三角板CDE旋转到∠ACB外部时，射线CF、CG仍然分别平分∠ACE、∠BCD，∠FCG的度数
变化吗？与（1）中是否相同？
运动变换中的关系探究常是数学研究的重点，请将你的探究过程和体会写成一篇小作文.
C C
E
E
A B A B
D
G
D F
图1 图2
（第14题图）
