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七年级下册第一单元 平面几何图形的认识（二）
第一课时 探索直线平行的条件（1）
一、基础练习
1．如图，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线a，b被直线c所截，能使 a ∥ b 的条件是（ ）
A．1=2 B． 1 = 3 C．∠1+∠3=180° D． 2 + 3 = 1 8 0
3．如图，∠1=70°，要使 a∥b，则∠2的度数为（ ）°．
A．90° B．110° C．70° D．120°
4．如图，已知 B = A E F ，则下列结论成立的是（ ）
A． E F ∥ B C B． AD∥EF C． AD∥BC D． AB∥CD
5．如图，∠AFE与∠ABD称为直线 和直线 被直线 截成的同位角.
图中还有_____组同位角，分别为 .
B
E
c
2
2
A
1
1
c
3
C
a
b
a
b
F
D
A
E
F
H
G
D B C
2
1 1
2
1
2
2
16．如图，定理“同位角相等，两直线平行” 用符号语言表达为：∵ ，∴AB∥CD．
7．如图，将木条a，b与c钉在一起， 1 = 8 5 ， 2 = 5 0 ，要使木条 a 与 b 平行，木条 a 旋转的度数至
少是 °．
8．某数学兴趣小组为验证斑马线是由若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测
出 1 = 2 = 8 5 ，这种验证方法的数学依据是 ．
9．下面是“垂直于同一条直线的两条直线平行”的证明过程，请填写证明的依据.
已知：如图，a⊥c， b ⊥ c .
求证：a∥b.
证明：∵ a ⊥ c ， b ⊥ c
E
G
A
B
H
C D
F
.（已知）
∴∠1=∠2=90°.（ ）
∵∠1=∠2，（已证）
∴a∥b（ ）
10．如图，∠1=∠C，∠2=∠C，请找出图中互相平行的直线，并说明理由．
a
1
b
2
c
A 1 B
2
C D二、拓展提升
11．如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，垂足分别为点B、D，∠1=∠2. 判断BE与DF的位置关系，并说
明理由．
12．如图，已知AF平分∠EAC，BG平分∠ABD，1= 2，判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
13．尺规作图：如图，过点A作直线l的平行线AB（不写作法，保留作图痕迹）．
直线l与直线AB平行的理论依据是 ．
G
A
B
1
E
C
D
2
F
H
E F
1
C
A G
2
D
B三、综合实践
14．一个钟表店的展柜里有一大一小两只闹钟放在一起，钟面在同一平面内．
（1）小丽发现两只闹钟的时针和分针始终互相平行，经过思考，小丽找到了其中道理，你知道为什么吗？
（2）小丽进一步发现，一只闹钟的分针a和另一个闹钟的时针b有时也会平行，请你探究时针转动一
周时，a∥b出现的次数．
a
b第二课时 探索直线平行的条件（2）
一、基础练习
1．下列四个图形中， 1 和 2 是内错角的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，工人师傅在工程施工时，需将一根钢筋弯制一个“U”形 ABCD，AB、BC、CD 在同一平面内，
且AB∥CD，现已折得∠ABC＝150°，则∠BCD需要折成的角度为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
3．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，∠1=90°，要判断两条直轨是否平行，不可以通
过度量图中已标出的（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．用两个完全一样的含30°角的三角尺画平行线，下列画出的直线a与b不一定平行的是（ ）
A． B．
C． D．
5．遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已解决的）问题．比如，在学习“平行线的判定”一
节内容时，我们先得到“同位角相等，两直线平行”，然后利用“同位角相等，两直线平行”得到“内
错角相等，两直线平行”．在这一过程中，渗透的数学思想是（ ）
A．类比思想 B．数形结合思想
C．转化思想 D．从一般到特殊思想
2
1
D C
A
B6．如图， A D ⊥ D B ， 1 = 3 0 ，则当 A = °时， AB∥CD．
7．如图，不添加辅助线，写出一个能判断AD∥BC的条件： ．
8．如图， A B ⊥ B C ， D C ⊥ B C ， B E ， C F 分别平分 A B C 和 B C D ．求证： B E ∥ C F ．
将下面的证明补充完整．
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD=90°（____________________）．
∵BE、CF分别平分 A B C 和 B C D ，
∴ E B C =
1
2
A B C ， B C F = （ ）．
又∵∠ABC=∠BCD，
∴∠EBC=∠BCF（ ）．
∴ B E ∥ C F （ ）．
9．如图，直线 A B 与 E D 交于O， B O E = 1 3 6 ，问∠D为多少度时， A B 与CD平行，为什么?
10．如图，AC与BD相交于点B，BD与DE相交于点D，如果 1 = 6 0 ，2=120，∠E=60°，那么
AB与ED平行吗？BD与EF呢？并说明理由．
B
A
C
D
A
2
1 B D
C E F二、拓展提升
11．如图，在海上巡逻的缉私艇正在向北航行，在A处发现在它的北偏东 3 2 5 1 的B处有一条走私船，
缉私艇马上调转船的方向直追走私船并一举截获．这时从雷达上看出，港口D就在正南面．于是船
长下令：将船头调转1479，直接返港．试问：船长下令返航的航向是否正确？
12．如图，直线AB和CD被直线MN所截， E G 平分∠BEF， F H 平分 D F E ，则∠1与∠2满足什么条
件时，AB∥CD，并说明平行的理由．
13．问题情境
如图，已知 O C 平分 A O B ，CD⊥OA于点D，E为 D C 延长线上一点， E F ⊥ O B 于点F， E G 平分
DEF交 O B 于点G， D E F + A O B = 1 8 0 ．
问题发现
（1）如图1，当 A O B = 9 0 时， 1 + 2 = ____________°；
（2）如图2，当∠AOB为锐角时， 1 与 2 有什么数量关系，请说明理由；
拓展探究
（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究 O C 和GE的位置关系，并
证明结论；
（4）如图3，当AOB为锐角时，若点E为线段DC上一点，EF ⊥OB于点F， E H 平分 D E F 交
O A 于点H， D E F + A O B = 1 8 0 ．请写出一个你发现的正确结论．
C
A
N
F
E
2
1
M
G
H
B
D三、综合实践
14．全国都在效仿的潥阳彩虹公路，全长365公里，被誉为江苏最美自驾公路．修路工人将三条彩线画成
一组平行线，你能解释其中的道理吗？生活中，你的周围有哪些平行线的设计？请以小组为单位，分类
调查，汇总成一篇数学小论文．第三课时 探索平行线的性质
一、基础练习
1．如图，已知 1 = 2 ， 3 = 7 0 ，则 4 的度数为（ ）
A． 7 0 B． 1 1 0 C． 1 3 0 D． 8 0
2．如图，下列推理及依据不正确的是（ ）
A．∵ 1 = 3 ，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
B．∵∠2=∠4，∴AD∥CB（内错角相等，两直线平行）
C．∵AD∥CB，∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
D． ∵AB∥CD，∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）
3．小丽为了研究图1中“跑到画板外面去的两直线a，b所成的锐角”的问题，设计方案如图2，则直线
a，b所成的锐角的度数为（ ）
A． 3 0 B． 4 5 C．50 D． 6 0
4． 如图是小区大门的栏杆， B A 垂直于地面 A E ，垂足为A， C D ∥ A E
D
C
1
4
2
3
A
B
，则ABC+BCD=（ ）
A．270 B．240 C．210 D．180
5．如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时∠A=140°，则第二次转弯时
B= °．6．光在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两
条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，杯底水平放置，且 1 = 1 2 2 ，则2= °．
7． 小明看到爸爸的汽车雨刮器工作的时候摆动臂始终互相平行，他上网查阅了雨刮器的工作原理，将左
右摆动臂 AB、CD 画出示意图如下，在机械控制下，AB∥CD，则∠AGE 始终等于∠CHE 的依据
是 .
8．如图，点 D ， E ， F 在ABC的边上， DE∥BA， F D E = A ．求证： C + C D F = 1 8 0 ．
将下列证明过程补充完整．
证明：∵DE∥BA(已知)，
∴ A = C E D ( )．
∵ F D E = A (已知)，
∴CED=_________( )．
∴DF∥______( )．
∴ C + C D F = 1 8 0 ( )．
9．如图，已知AB∥CD，∠A=∠C，则EA与FC有怎样的位置关系？试说明理由．
10．如图，已知∠1=∠E，B=D，求证： A B ∥ C D
雨刮器工作原理 摆动臂示意图
．
E
A
G
B
C
H
D
F二、拓展提升
11．如图，点B在直线 A C 上，点E在直线 D F 上， A = F ， C = D ．求证∠1=∠2．
12．如图，已知 A B ∥ C D ，将一副三角板（ G = H E F = 9 0 ， E F H = 3 0 ， F E G = 4 5 ）按图中位
置摆放．
（1）若 A E G = 3 0 ．求 H F D 的度数；
（2）若∠AEG=α．请直接用含α的代数式表示∠HFD的度数为______°．
13．如图，直线 A B ∥ C D ，连接AC．
【基础巩固】
（1）如图1， AP平分BAC， C P 平分 A C D ，则∠PAB+∠PCD =___________ ；
【尝试探究】
（2）如图2， A P 平分 B A C ， C P ⊥ A C ．
①若∠PCD=22°，求∠PAB的度数；
②试说明：2∠PAB - ∠PCD=90°．
【拓展提高】
（3）如图3，若 A P ⊥ A C ， C P 平分ACD，请判断∠PAB与∠PCD的等量关系，并说明理由．
A
D E
2
1
F
B C三、综合实践
14．小明对光的反射非常感兴趣，他发现在反射前后，光线与镜面的夹角始终相等（如图1，∠1=∠2），
小明想让反射之后的光线与原来的光线平行．经过尝试，他制作了如图2两面镜子AB，BC，光线DE
经AB反射到镜面BC上，再经过BC反射得到FG，他发现镜子AB不动，调整光线DE和镜子BC的
位置，可以得到DE∥FG．请通过实验操作探究当DE∥FG时，∠AED与∠ABC的关系．
A
D
E
B
G
F
C
图1 图2第四课时 图形的平移
一、基础练习
1．如图是江苏银行的 lo g o ，下列选项中能由此图平移得到的是 ( )
A． B． C． D．
2．如图，将直角ABC沿 A C 的方向平移得到直角DEF，DE交 B C 于点G．若 A B = 6 c m ，EG=2cm，
B G = 3 c m ，则图中阴影部分的面积等于( )
A． 1 2 c m 2 B． 1 5 c m 2 C． 2 4 c m 2 D．30cm2
3．如图，ABC以每秒2 cm的速度沿着射线 B C 向右平移，平移2秒后得到DEF，如果 A D = 2 C E ，那么
B C 的长是( )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
4．如图，将ABC平移到DEF的位置，下列结论：①AD∥BE，AD=BE；②AB∥DE，AB=DE；③四边形
ABED和四边形BCFE的面积相等．其中正确的有 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，将ABC沿AC方向平移1cm得到DEF，若 D C = 3 c m ，则AF = cm．6．某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为30
元，主楼梯宽3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元．
7．如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处 1 m 宽的“曲径”，则“曲径”的面积为 m 2 ．
8．如图，正方形ABCD、EFGH的边长分别为10 cm、4 cm，边BC、FG在同一直线上，边GH在AB
上．正方形ABCD不动，正方形EFGH以1 cm/s的速度沿直线BC向右平移，当两个正方形重叠部分
的面积为4 cm2时，平移的时间为 s．
9．如图，是施工项目中常看到的向导标识，表示车辆向左或向右行驶，请解决下列问题：
（1）画出方格纸中标识向右平移4格后的图形，并标注A、B的对应点A'、B'；
（2）图中AB与A'B'的位置关系是_______，数量关系是_______．
10．如图，ABC沿射线AB的方向平移 2 个单位长度得到DEF，点A、B、C分别对应D、E、F．
（1）若AB=3，则AE= ．
（2）若∠ABC=75°，求CFE的度数．
E
F
A
H
B (G )
D
C
3m
7m
am二、拓展提升
11．如图，将长为5 cm，宽为3 cm的长方形 A B C D 先向右平移2 cm，再向下平移1 cm，得到长方形
A B C D ，则阴影部分的面积为多少 c m 2
12．如图，将ABC沿射线 B A 方向平移到DEF的位置，连接AF，CF．
（1）AD与CF的位置关系为 ，∠D+∠CAF+∠AFC= °；
（2）探索∠CAF，∠AFE与∠ACB之间的数量关系，并证明你的结论．
13．如图，线段AD⊥BC，垂足为D，将线段AD向右平移，使点D与C重合，点A的对应点记为E．
【操作思考】
（1）在图①中，画出线段CE和直线AE， AE与BC的位置关系是 ；
（2）在图①中，连接AB，AC，在AD的运动过程中，ABC的面积是否改变？为什么？
【实践应用】
（3）在图②中，网格中每个小正方形的边长为1，请用三种不同方法，求出ABC的面积.
B
A
E
D
C
F
A
B C
D B
A
C
A
C
B B
A
C
图① 图②三、综合实践
14．如图，配锁师傅将钥匙胚和钥匙平行放置，借助机器将钥匙上 “锯齿状”的部分复制到钥匙胚上，制
成新的钥匙，这里借助了平移．生活中有许多产品的设计都借助了平移，请你以《生活中的平移》为
题写一篇数学小论文或者借助平移进行小的创作．第五课时 认识三角形（1）
一、基础练习
1．图中直角三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10
3．若一个三角形的两边长分别为3 cm、6 cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．9 cm
4．关于三角形的分类，有如图所示的甲、乙两种分法，则（ ）
A．甲、乙两种分法均正确 B．甲、乙两种分法均错误
C．甲的分法错误，乙的分法正确 D．甲的分法正确，乙的分法错误
（第1题） （第4题） （第5题）
5．如图，以BC为边的三角形的个数是 个．
6．若等腰三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，则这个等腰三角形的周长是 cm．
7．小丽同学从五根长为3 cm，4 cm，5 cm，7 cm，9 cm的木条中挑选三根组成三角形，她已经
取了3 cm和7 cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取 cm．
8．已知△ABC的两边长分别为2和3，若它的第三边长为奇数，则△ABC的周长为 ．
9．已知，三角形三边的比是 3：4：5，且最大边长与最小边长的差是 4，求这个
三角形的三条边的长．
10．图中一共有多少个三角形？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？用符号
表示这些三角形．
（第10题）二、拓展提升
11． 已知a，b，c是三角形的三边长，试化简:|b+c－a|+|b－c－a|+|c－a－b|－|a－b+c|．
12．在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC的中点，BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，
求这个等腰三角形的腰长及底边长．
13．如图，以 A，B，C，D，E 五个点中的任意三个点为顶点画三角形．
（1）一共可以画出多少个三角形？
（2）以 AB 为一边可以画出哪几个三角形?以 C 为顶点可以画出哪几个三角形?
（3）从画出的三角形中分别找出1个锐角三角形、1个直角三角形和1个钝角三角形．
（第13题）
三、综合实践
14．在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢?
通过尝试，列表如下:
火柴
3 5 6
根数
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
（1）4根火柴能搭成三角形吗?
（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们的示意图（提示:在三角形中，
若两条较短边的平方和等于较长边的平方，则这个三角形是直角三角形）．第六课时 认识三角形（2）
一、基础练习
1． 在下列图形中，正确画出 AC 边上的高的是（ ）
A B C D
2． 三角形的高线、中线、角平分线都是（ ）
A．直线 B．线段 C．射线 D．以上情况都有
3．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若 AE=3，则 AC的
长度为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
（第3题） （第4题） （第6题）
4．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( )
A．BF=CF B．∠ADC=90° C．∠BAF=∠CAF D．S =2S
△ABC △ABF
5．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，若AB=8，AD=7，BC=10，
则CE的长为 ．
（第7题）
（第8题）
7．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=12，AC=10，△ABD的周长和△ACD的周长差为 ．
8．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，如果S =12，那么S = ．
△ABD △CDE
9．已知△ABC（如图），按下列要求画图：
（1）△ABC 的中线 AD；
（2）△ABD 的角平分线 DM；
（3）△ACD 的高线 CN．
（第9题）10．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，∠BAC=90°，AB=6 cm，AC=8 cm，BC=10 cm．
求（1）AD的长；（2）△ACE的面积．
（第10题）
二、拓展提升
11．如图．AD 是△ABC 的角平分线，点 P 为 AD 上一点，PM∥AC 交 AB 于 M，PN∥AB 交
AC 于 N，求证：PA 平分∠MPN．
（第11题）
12．在△MCD中，AB∥CD，AE，DF分别是△ABD和△ACD的角平分线，那么AE与DF有什么位置关
系?试说明理由．
（第12题）
13．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADF的面积为S，△CEF的面积
1
为S ，若S =6，求S －S ．
2 △ABC 1 2
（第13题）三、综合实践
14．【探索】
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
图4
（第14题）
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S ，
1
则S = （用含a的代数式表示）；
1
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，
连接DE．若△DEC的面积为S ，则S = （用含a的代数式表示），并写出理由；
2 2
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．
若阴影部分的面积为S ，则S = （用含a的代数式表示）．
3 3
【发现】
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），
此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是
原来△ABC面积的 倍．
【应用】
去年在面积为10 m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC
向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．
求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米?第七课时 多边形的内角和与外角和（1）
一、基础练习
1．给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A﹣∠C＝∠B
C．∠A＝∠B＝2∠C D．∠A＝∠B＝
1
2
∠C
2．一个三角形三个内角的度数之比是2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
（第3题）
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，某位同学将一副三角板随意摆放在桌上，则图中∠1+∠2的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
4．如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点
A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A
的方向，这种变化说明（ ）
A．三角形内角和等于180° B．三角形外角和等于360°
C．三角形任意两边之和大于第三边 D．三角形任意两边之差小于第三边
5．在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为 ．
6．如图，△ABC中，∠BAC=50°，∠ABC的角平分线与∠ACB的角平分线交于点O．
则∠BOC= °．
7．如图，直线a∥b，△ABC的顶点A和C分别落在直线a和b上，若∠1＝60°，
且∠1+∠2＝90°，则∠ACB的度数是 °．
（第6题） （第7题） （第8题）
8．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，
若∠2＝25°，则∠1的度数为 °．
9．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，CE为AB边上的高，AF与CE交于点G．若∠AFC=80°，
求∠AGC的度数．
（第9题）10．如图，△ABC 中，E 是 AB 上一点，过 D 作DE∥BC 交AB 于 E 点，F 是 BC 上一点，连接 DF．若
∠AED＝∠1．
（1）求证：AB∥DF．
（2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．
（第10题）
二、拓展提升
11．如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°，求
∠B和∠F的度数．
（第11题）
12．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度
数．
（第12题）
13．在锐角△ABC中，E、D分别为AB、AC边上的动点，连接EC、BD交于点P．
（1）如图1当E、D运动到CE⊥AB、BD⊥AC，∠BPC＝140°，求∠A的度数；
（2）如图2当E、D运动到BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，求∠A与∠BPC的数量关系．
（第13题）三、综合实践
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，BE是AC边上的高，垂足
为E，设∠BAC＝α．
【探究与发现】
（1）如图1，若α＝30°，则∠C的度数为 °，∠DBE的度数为 °；
（2）试探究∠DBE与α的数量关系，并说明理由．
【拓展与思考】
（3）如图2，∠BDC的平分线DF交BC于点F．当DF∥AB时，求∠DBE的度数．
（第14题）第八课时 多边形的内角和与外角和（2）
一、基础练习
1．五边形的内角和是（ ）
A．720° B．540° C．360° D．180°
2．下列角度中，不能成为多边形内角和的是（ ）
A．600° B．720° C．900° D．1800°
3．在△ABC中， A =
1
2
B =
1
3
C ，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．若一个多边形的边数增加2，则它的内角和将（ ）
A．增加90° B．增加180° C．增加360° D．不变
5．一个多边形的每一个内角都是144°，则这个多边形的边数是________．
A．4 B．6 C．8 D．10
6．四边形四个内角的度数之比为2：3：5：8，则这个四边形最大的一个内角是________°．
7．若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和变为2520°，那么原来多边形的顶点数为______．
8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720° ，那么原多边形的边数为________．
9．已知如图∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度数．
（第9题）
10．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，
求∠BED的度数．
（第10题）二、拓展提升
11．已知：一个多边形所有的内角与它的一个外角的和等于2011°．
求：①求这个外角的度数；②求它的边数．
12．如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，点E是AD上一点，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC
延长线上一点，连接FG，∠ACD +∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
（第12题）
13．如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠D+∠C＝220°，求∠AOB的度数．
（第13题）三、综合实践
14．【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D，猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
（第14题）
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解 题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到
下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 a 15 20 30
上表中a＝ ，于是得到∠EAD与∠B、∠C的数量关系为 ．
【变式应用】
（2）小明继续研究，在图2中，∠B＝35°，∠C＝75°，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是
线段AE上一点，FD⊥BC于D”，求∠DFE的度数，并写出∠DFE与∠B、∠C的数量关系：
【思维发散】
（3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段AB上”改为“点
F是EA延长线上一点”，其余条件不变，当∠ABC＝88°，∠C＝24°时，∠F度数为 °．
【能力提升】
（4）在图4中，若点F在 AE的延长线上，FD⊥BC于D，∠B＝x，∠C＝y，其余条件不变，从别作
出∠CAE和∠EDF的角平分线，交于点P，试用x、y表示∠P＝ ．第九课时 多边形的内角和与外角和（3）
一、基础练习
1．如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
3．多边形剪去一个角后，多边形的外角和将（ ）
A．减少180° B．增大180° C．不变 D．以上都有可能
（第4题） （第6题）
4．如图，将△A BC纸片沿 DE进行折叠，使点 A落在四边形 BCED的外部点 A'的位置，
若∠A＝35°，则∠1﹣∠2的度数为（ ）
A．35° B．70° C．55° D．40°
5．正十边形的外角和为 °．
6．如图，∠1、∠2、∠3是五边形ABCDE的三个外角，边AE、CD的延长线相交于点F，
如果∠F＝α，那么∠1+∠2+∠3的度数为________．
7．若一个多边形的每个内角都是120°，则这个多边形的边数是_______.
8．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后
又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达
点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为_____米． （第8题）
9．如图，∠ABE是四边形ABCD的一个外角，且∠ABE＝∠D．那么∠A与∠C互 补吗?
为什么?
（第9题）
2
10．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的 ，
3
求这个多边形的边数及内角和．二、拓展提升
11．如图，六边形ABCDEF的内角都相等．
（1）若∠1＝60°，求∠ADC的度数；
（2）AB与ED有怎样的位置关系?为什么?
（第11题）
12．如图所示的模板，规定：AB、CD的延长线应相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，工人师
傅测得∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定?为什么?
（第12题）
13．爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们
来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝ °
（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC
的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，
求∠A的度数．三、综合实践
14．在我们苏科版义务教育教科书数学七下第 42 页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问
题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题再现】：
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，∠A＝40°，则∠BPC＝ °；
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点
P重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BPC的度数；
【问题推广】
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作
BH⊥AP于点H，若∠ACB＝82°，直接写出∠PBH＝ °；
【拓展提升】
（4）在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在射线DE上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，
CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间
的数量关系．第十课时 小结与思考
一、基础练习
1．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
（第1题） （第3题）
2．若一个三角形的两边长分别为3 cm、6 cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．9 cm
3．如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
5．若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 ．
6．一副三角板如图放置，∠A＝45°，∠E＝30°，DE∥AC，则∠1＝ °．
（第6题） （第7题） （第8题）
7．如图， 木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB
绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 °．
8．将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝ °．
9．如图在方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．
（1）将△ABC平移后得到△A′B′C′，图中已画出B点的对应点B′，请补全△A′B′C′；
（2）画出△A′B′C′的高C′H；
（3）直接写出BB′和CC′的关系： ．
（第9题）10．如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明：DF∥AC；
（2）若∠1＝100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．
（第10题）
二、拓展提升
11．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．
（1）证明：∠BAC＝∠DEF；
（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数．
（第11题）
12．如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请
用α、β的代数式表示∠DFE．
（第12题）13．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经
过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝ ，∠XBC+∠XCB＝ ．
（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ
仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠
ABX+∠ACX的大小．
（第13题）
三、综合实践
14．数学概念
百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得
直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．
如图①，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN，边BC、AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD
就是凹四边形．
【性质初探】
（1）在图①所示的凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
【深入研究】
（2）如图②，在凹四边形ABCD中，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，∠B、∠D的
角平分线相交于点E．
①求证：∠A+∠BCD＝180°；
②随着∠A的变化，∠BED的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索∠BED与∠A的数量关系；如果
没有变化，请求出∠BED的度数．
（第14题）第一课时 探索直线平行的条件（1）答案：
一、基础练习
1．A 2．B 3．C 4．A
5．EG，CD，AB；4组；∠AFH与∠ABC，∠AHF与∠ACB，∠AHE与∠AFE，∠C与∠ABD．
6．∠EGB=∠EHD（答案不唯一）．
7．35°．
8．同位角相等，两直线平行．
9．垂直定义；同位角相等；两直线平行．
10．AC∥BD．理由：∵∠2=∠C，∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．
AB∥CD．理由：∵∠1=∠C，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
二、拓展提升
11．BE∥DF．理由：∵AB⊥GH，CD⊥GH，∴∠ABD=∠CDH=90°．
∵∠1=∠2，∴∠ABD−∠1=∠CDH−∠2，∴∠EBD=∠FDH．∴BE∥DF．
12．AC∥BD，理由：∵AF平分∠EAC，BG平分∠ABD，∴∠EAC=2∠1，∠ABD=2∠2．
∵∠1=∠2，∴∠EAC=∠ABD．∴AC∥BD．
13．
同位角相等，两直线平行
三、综合实践
14．（1）同位角相等，两直线平行．
（2）当时针与分针处于同一直线或重合时，a与b会平行，时针转动一周，分针转12圈，分针每转一圈，
与时针会出现一次重合一次处于同一直线，所以a//b出现24次．
A
l
B第二课时 探索直线平行的条件（2）答案：
一、基础练习
1．C 2．A 3．A 4．C 5．C
6．60° 7．∠D=∠DBC
8．垂直定义；
1
2
∠BCD；角平分线的定义；等量代换；内错角相等两直线平行．
9．∠D=44°时，AB//CD．理由：∵∠BOE+∠AOE=180°，∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-136°=44°．
∵∠D=44°，∴∠AOE=∠D．∴AB//CD．
10．∵∠2=120°，∴∠BDE=180°-∠2=60°．又∵∠1=60°，∴∠1=∠BDE．∴AB//ED．
∵∠E=60°，又∵∠BDE=60°，∴∠E=∠BDE，∴BD//EF．
二、拓展提升
11．∵∠ABD=180°-147°9′=32°51′，∠CAB=32°51′，∴∠CAB=∠ABD．∴AC//BD．
∵AC为正北方向，∴BD为正南方向．∴船长下令返航的航向是正确的．
12．∠1+∠2=90°．∵EG平分∠BEF，FH平分∠DFE，∴∠1=
1
2
1
∠BEF，∠2= ∠DFE．∵AB//CD，
2
∴∠BEF+∠DFE=180°．∴∠1+∠2=90°．
13．（1）90°．
（2）∠1+∠2 = 90°．理由：∵OC，EG分别是∠AOB，∠DEF的平分线，
∴∠1=
1
2
1 1
∠DEF，∠2= ∠AOB．∴∠1+∠2= (∠DEF+∠AOB)．
2 2
∵∠DEF+∠AOB=180°，∴∠1+∠2= 90°．
（3）OC//GE．证明： ∵EF⊥OB于点F，∴∠EFG = 90°．∴∠1+∠EGF=90°．
∵∠1+∠2 = 90°，∴∠2=∠EGF．∴OC//GE．
（4）OC∥EH（答案不唯一）．
三、综合实践
14．略第三课时 探索平行线的性质答案：
一、基础练习
1．B 2．D 3．B 4．A 5．140° 6．58°
7．两直线平行，同位角相等．
8. 两直线平行，同位角相等；∠FDE；等量代换；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内
角互补.
9. EA∥FC．理由：∵AB∥CD，∴∠C=∠FGB．∵∠A=∠C，∴∠A=∠FGB．∴EA∥FC．
10. 证明：∵∠1=∠E，∴AD∥BE．∴∠B+∠BAD=180°．∵∠B=∠D，∴∠BAD+∠D=180°．
∴AB∥CD．
二、拓展提升
11. 证明：∵∠A=∠F，∴DF∥AC．∴∠D=∠4．∵∠C=∠D，∴∠4=∠C．∴CE∥BD．∴∠2=∠3．
∵∠1=∠3，∴∠1=∠2．
12. （1）∠AEF=∠AEG+∠FEG=30°+45°=75°．∵AB∥CD，∴∠EFD=∠AEF=75°．
∴∠HFD=∠EFD−∠HFE=75°−30°=45°．
（2）（α+15）°．
13. （1）90°．
（2）①∠ACD=90° - ∠PCD=68°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．∴∠BAC=112°．
1
∵AD平分∠BAC，∴∠PAB= ∠BAC=56°．
2
②∵2∠PAB +∠ACD=180°，∠PCD +∠ACD=90°，∴2∠PAB - ∠PCD =90°．
（3）∠PAB +2∠PCD =90°．理由：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°．
∵CP平分∠ACD，∴∠ACD=2∠PCD．∵AP⊥AC，∴∠PAC=90°．
∴∠PAB +2∠PCD =90°．
三、综合实践
14．略第四课时 图形的平移答案：
一、基础练习
1．B 2．B 3．A 4．C 5．5 6．900 7．a 8．1或13
9．（1）
（2）平行，相等．
10．（1）5 （2）∵由平移变换的性质得：BC∥EF，AE∥CF，∴∠E=∠ABC=75°．
∵AE∥CF，∴∠CFE+∠E=180°．∴∠CFE=105°．
二、拓展提升
11．解：由题意空白部分的长为5 - 2=3，宽为3 - 1=2，阴影部分的面积=532−223=18（cm2）．
12．（1）平行，180°．（2）∠CAF=∠AFE+∠ACB．根据平移性质可知AC∥DF，∴∠CAF=∠AFD，
即∠CAF=∠AFE+∠EFD．∵∠ACB=∠EFD，∴∠CAF=∠AFE+∠ACB．
13．（1） 如图，AE∥BC．
（2）ABC的面积不改变，因为ABC 的底BC和高AD都不变．
（3）
方法一： S ABC =3 4 - 1 4 1- 1 2 2 - 1 23 = 5.
2 2 2
方法二：由AD∥BC得S =S =
ABC DBC
1
2
5 2 = 5
方法三：由DB∥AC得S ABC =S ADC = 1 5 2 = 5
2
1
方法四：由AC∥BE得S =S = 5 2 = 5
ABC AEC
2
三、综合实践
14．略
B
A
D
E
C
B
A
E
C
A
D C
B B
A
C第五课时 认识三角形（1）答案：
一、基础练习
1．C 2．D 3．C 4．D 5．4 6．15 7．4 8．8
9．解：设三角形的三边分别为 3x、4x、5x，根据题意有：
5x－3x=4，
解得 x=2，
3x=6，4x=8，5x=10．
答：三角形三边长分别为 6；8；10．
10．解：共有6个三角形．
其中锐角三角形有2个：△ABE，△ABC；
直角三角形有3个：△ABD，△ADE，△ADC；
钝角三角形有1个：△AEC．
二、拓展提升
11．解:因为a，b，c是三角形的三边长，
所以b+c－a>0，b－c－a<0，c－a－b<0，a－b+c>0，
所以|b+c－a|+|b－c－a|+|c－a－b|－|a－b+c|
=b+c－a－b+c+a－c+a+b－a+b－c
=2b．
12．解:设AB=AC=2x，BC=y，则AD=CD=x．
因为BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，所以有两种情况:
①当3x=15，且x+y=6时，
解得x=5，y=1，
所以三角形的三边长分别为10，10，1，能组成三角形．
②当3x=6，且x+y=15时，
解得x=2，y=13，
所以三角形的三边长分别为4，4，13．
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8<13，故这种情况不存在．
综上，这个等腰三角形的腰长是10，底边长是1．
13．解：（1）可以画的三角形分别有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，
△BCD，△BCE，△BDE，△CDE，共 10 个；
（2）以 AB 为一边的三角形有：△ABC，△ABD，△ABE，共 3 个；以 C 为顶点的三角形有：△ABC，△ACD，△ACE，△BCD，△BCE，△CDE，共 6 个；
（3）锐角三角形有：△ACD，△BCE，△ADE；
直角三角形有：△ABD，△BCD，△BDE；
钝角三角形有：△ABC，△ABE，△CDE，△BCE．
则可找出的三角形分别为：△ACD，△ABD，△ABC（答案不唯一）．
三、综合实践
14．解:(1)4根火柴不能搭成三角形．
(2)8根火柴能搭成一种三角形(3，3，2)．示意图如图①．
12根火柴能搭成3种不同形状的三角形(4，4，4；5，5，2；3，4，5)．示意图如图②．
图① 图②第六课时 认识三角形（2）答案：
一、基础练习
35
1．D 2．B 3．D 4．C 5．C 6． 7．2 8．6
4
9．解：（1）如图，AD 为所作；
（2）如图，DM 为所作；
（3）如图，CN 为所作．
10．解：(1)因为∠BAC=90°，AD是△ABC中BC边上的高，
1 1
所以 AB·AC= BC·AD，
2 2
𝐴𝐵·𝐴𝐶 6×8
所以AD= = =4．8(cm)，
𝐵𝐶 10
即AD的长为4．8 cm．
(2)因为AE是△ABC中BC边上的中线，
1
所以BE=EC= BC=5 cm，
2
1
所以S = EC·AD=12 cm2．
△ACE
2
二、拓展提升
11．证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵PM∥AC，PN∥AB
∴∠APM=∠PAN，∠APN=∠PAM，
∴∠APM=∠APN，
∴PA 平分∠MPN．
12．解：AE∥DF．理由如下:
因为AB∥CD，所以∠BAD=∠ADC．
因为AE，DF分别是△ABD和△ACD的角平分线，
所以∠DAE=
1
2
∠BAD，∠FDA=
1
2
（第9题）
∠ADC，
所以∠DAE=∠FDA，
所以AE∥DF．
13．解：因为AD=2BD，BE=CE，
1 1
所以S = S =3，S = S =2，
△ABE △ABC △BCD △ABC
2 3
所以S +S =3，S +S =2，
1 四边形BDFE 2 四边形BDFE所以S－S =3－2=1．
1 2
三、综合实践
14．解：（1）∵BC=CD，
∴△ACD 和△ABC 是等底同高的，即 S =a；
1
（2）2a；
理由：连接 AD，
∵CD=BC，AE=CA，
∴S =S =S =a，
△DAC △DAE △ABC
∴S =2a；
2
（3）结合（2）得：2a×3=6a；
发现：扩展一次后得到的△DEF 的面积是 6a+a=7a，即是原来三角形的面积的 7 倍．
应用：拓展区域的面积：10×7×7－10=480（m2）．第七课时 多边形的内角和与外角和（1）答案：
一、基础练习
1. C 2. B 3. C 4. A 5. 45 6. 115 7. 30 8. 105
9. 解：∵CE是AB边上的高，∴∠BEC＝90°，
在△ABC中，∠ABC＝50°，∴∠BCE＝180°﹣∠ABC﹣∠BEC＝40°，
∵∠AFC＝80°，∴∠CGF＝180°﹣∠AFC﹣∠BCE＝60°，
∴∠AGC＝180°﹣∠CGF＝120°．
10. 解：（1）∵DE//BC，∴∠AED＝∠B，又∵∠1＝∠AED，∴∠B＝∠1，∴AB//DF；
（2）∵DE//BC，∴∠EDF＝∠1＝52°，∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝52°，
在△CDF中，∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣52°﹣52°＝76°．
二、拓展提升
11. 解：∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，∴∠BAC＝2∠1＝80°．
∵∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°．
∴∠EDF＝∠B+∠1＝40°+40°＝80°．∵EF⊥BC，∴∠DEF＝90°．
∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°．
12. 解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝5°，∴∠AED＝85°，
∵∠B＝50°，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，
∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
13. 解：（1）由题意得：∠BPC＝∠DPE＝140°，在四边形ADPE中，∵CE⊥AB、BD⊥AC，
∴∠AEP＝ADP＝90°，∴∠A＝360°﹣∠AEP﹣∠ADP﹣∠DPE
＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°；
（2）∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，∴2∠CDB＝∠ABC，2∠ACE＝∠ACB，
∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠A＝180°﹣2（∠DBC+∠ACE），
1
∵∠DBC+∠ACE＝90°﹣ A，
2
1
在△BPC中，∠BPC＝180°﹣（∠DBC+∠ACE）＝180°﹣（90°﹣ A）＝
2
9 0 +
1
2
A ．
三、综合实践
14. 解：（1）75，22.5；
3
（2）∠BDE与α的数量关系为：∠BDE＝45°﹣ ，
4
1 1
理由：∵∠BAC＝α°，∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣α）＝90°﹣ ，
2 2
1
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝ ∠ABC＝45°﹣
2
1
4
，
3 3
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+ ，∴∠BDE＝90°﹣∠BDC＝45°﹣ ；
4 4
3
∴∠BDE与α的数量关系为：∠BDE＝45°﹣ ；
4（3）由（2）可得：∠ABD＝45°﹣
1
4
，∠BDC＝45°+
3
4
，
1
∵DF平分∠BDC，∴∠BDF＝ ∠BDC＝22.5°+
2
3
8
，
∵AB∥DF，∴∠ABD＝∠BDF，∴45°﹣
1
4
＝22.5°+
3
8
，∴α＝36°，
3
∴∠BDC＝45°+ ＝72°，∵BE⊥AC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝90°﹣∠BDC＝18°，∴∠DBE的度
4
数为18°．第八课时 多边形的内角和与外角和（2）答案：
一、基础练习
1. B 2. A 3. B 4. C 5. D 6. 160 7. 8 8. 5或6或7
9. 解：在△ABD中，由外角的性质知：∠ADC=∠B+∠BAD，即∠EDC+∠1=∠B+40°；①
同理，得：∠2=∠EDC+∠C，已知∠1=∠2，∠B=∠C，∴∠1=∠EDC+∠B，②
②代入①得：2∠EDC+∠B=∠B+40°，即∠EDC=20°．
10. 解：∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣45°＝15°．
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝15°．
∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠CBD＝15°．
∴∠BED＝180°﹣∠BDE﹣∠DBE＝180°﹣15°﹣15°＝150°．
二、拓展提升
11. 解：①∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°，2011°÷180°＝11 31°，
···
∴这个外角的度数是31°；
②∵一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2011°，2011°÷180°＝11 31°，
···
∴这个多边形的边数为：11+2＝13．
12. （1）解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，∴∠ACD+∠CHE＝180°，
∵∠ACD+∠F＝180°，∴∠F＝∠CHE，∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，即45°+3x＝90°，
解得x＝15°，∴∠BCD＝30°．
13. 解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC＝360°，∠D+∠C＝220°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝70°，∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°．
三、综合实践
14. 解：（1）20， E A D =
1
2
( C − B ) ；
（2）如图，过点A作AG⊥BC于G，∵FD⊥BC，AG⊥BC，
∴FD∥AG，∴∠EFD＝∠EAG，
∵∠B＝35°，∠C＝75°，
1 1
由（1）同理可得：∠BAG＝90°﹣35°＝55°，BAE= BAC= (180−35−75)=35，
2 2
1
∴∠EAG＝∠BAG﹣∠BAE＝55°﹣35°＝20°，由（1）同理可得：EAG= (C−B)，
2
∴ D F E =
1
2
( C − B )
（第14题）
．
（3）32；
1
（4）P= (3y−x)．
4第九课时 多边形的内角和与外角和（3）答案：
一、基础练习
1. B 2. D 3. C 4. B 5. 360 6. 180+α 7. 六 8. 80
9. 解：∠A与∠C互补．∵∠ABE＝∠D，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABC+∠D＝180°，又∵四边形内角和等于360°，∴∠A+∠C＝180°．
10. 解：设多边形的一个内角为x度，则一个外角为
2
3
x 度，依题意得：
x +
2
3
x = 1 8 0 ，
5
3
x = 1 8 0 ，x＝108°． 3 6 0 (
2
3
1 8 0 ) = 5 ．（5﹣2）×180°＝540°．
答：这个多边形的边数为5，内角和是540°．
二、拓展提升
11. 解：（1）六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，
∵六边形ABCDEF的内角都相等，∴每个内角的度数为：720°÷6＝120°，
又∵∠1＝60°，四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠CDA＝360°﹣∠DAB﹣∠B﹣∠C＝360°﹣60°﹣120°﹣120°＝60°；
（2）AB∥ED，理由如下：
∵∠CDA＝60°，∠EDC＝120°，∴∠EDA＝120°﹣∠CDA＝120°﹣60°＝60°，
∴∠EDA＝∠1＝60°，∴AB∥ED．
12. 解：AB与CD的延长线交于点G，如图，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°，
∵∠BAE=124°，∠DCF=155°，∴∠G=540°－（124°+155°+90°× 2）=540°－459°＝81°，
∵81°≠80°，∴不符合规定．
13. 解：（1）130°；
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，∴ Q B C =
1
2
M B C
1
，QCB= NCB．
2
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣
1
2
（∠MBC+∠NCB）
＝180°﹣
1
2
（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝
1
2
（∠ABC+∠ACB）
＝
1
2
（180°﹣∠A）＝90°﹣
1
2
，
1
∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
2
＝180°﹣
1
2
1
（180°﹣∠A）＝90°+ A，∴∠Q+∠BPC＝180°；
2（3）如图，延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝
1
2
∠A，∵∠Q＝4∠E，∴∠Q＝2∠A，
∵∠Q＝90°﹣
1
2
∠A，∴2∠A＝90°﹣
1
2
∠A，∴∠A＝36°．
三、综合实践
14. 解：（1）110；
（2）由折叠的性质可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE，
∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝100°，
∴2∠AED+2∠ADE＝260°，∴∠AED+∠ADE＝130°，∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝50°，
∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB（角平分线的定义），
∴2∠PBC+2∠PCB＝130°，即∠PBC+∠PCB＝65°，∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°；
（3）49；
（4）当F在E点左侧时，如图所示：
∵DE∥CD，∴∠CBE+∠BCD＝180°，
∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF，∴∠EBQ＝
1
2
∠EBF＝
2
，∠QCF＝
1
2
∠DCF＝
2
，
−
∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣∠QBE﹣∠EBC﹣∠FCB﹣∠QCF＝ ，
2
当F在D，E之间时，如图所示：
同理可得 F B Q
1
2
E B F
2
= = ， Q C F
1
2
D C F
2
= = ，
∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠DCF﹣∠EBF＝180°﹣α﹣β，
+
∴Q=180−QBC−QCB=180−QBF−FBC−FCB−QCF = ；
2
综上所述，F在ED中间 Q
2
=
+
；F在D左侧 Q
2
=
−
（第13题）
（第14题）
（第14题）
．第十课时 小结与思考答案：
一、基础练习
1. B 2. C 3. C 4. A 5. 9 6. 105 7. 20 8. 128
9. 解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
（2）如图所示，C′H即为所求；
（3）平行且相等．
10. 解：（1）∵DE∥AB，∴∠A＝∠2，∵∠1+∠2＝180°．
∴∠1+∠A＝180°，∴DF∥AC；
（2）∵DE∥AB，∠1＝100°，∴∠FDE＝80°，∵DF平分∠BDE，∴∠FDB＝80°，
∵DF∥AC，∴∠C＝∠FDB＝80°．
二、拓展提升
11. 解：（1）∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠DEF．
（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，
由（1）可知∠DEF=∠BAC＝70°，∴∠ABC=∠1+∠ABD=∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE
=180°﹣70°﹣50°＝60°，∴∠ABC＝60°．
12. 解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．
（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣
1
2
（α+β），∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣
1
2
（α+β），
∵FE⊥BC，∴∠FEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝
1
2
（第9题）
（β﹣α）．
13. 解：（1）150°；90°．
（2）不变化．∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°， ∴
∠ABX+∠ACX=（∠ABC－∠XBC)+（∠ACB－∠XCB）
=（∠ABC+∠ACB）－（∠XBC+∠XCB）=150°－90°＝60°．
三、综合实践
14. （1）证明：如图①，延长DC交AB于点E，
∵∠BEC是△AED的一个外角，∴∠A+∠D＝∠BEC，同理，∠B+∠BEC＝∠BCD，∴BCD＝∠A+∠B+∠D．
（2）①证明：如图②，延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G，
由题意可知，∠AFC＝∠AGC＝90°，∵在四边形AFCG中，
∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG＝360°，
∴∠A+∠FCG＝180°，
∵∠FCG＝∠BCD，∴∠A+∠BCD＝180°；
②解：由（1）可知，在凹四边形ABED中，
（第14题）
∠A+∠ABE+∠ADE＝∠BED①，
同理，在凹四边形EBCD中，∠BED+∠EBC+∠EDC＝∠BCD②，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，
同理，∠ADE＝∠EDC，①﹣②得∠A+∠BCD＝2∠BED，
由（2）①可知，在凹四边形ABCD中，∠A+∠BCD＝180°，
∴2∠BED＝180°，∴∠BED＝90°．
