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七年级下册 第 9 章 整式乘法与因式分解
第1课时 单项式乘单项式
一、基础练习
1.计算2x·3x2的结果为 （ ）
A. 5x B. 6x2 C. 5x3 D. 6x3
2.计算（−m）3·（−2m）2的结果为 （ ）
A. −2m6 B. −4m5 C. 4m5 D. −4m6
3.下列运算正确的是 （ ）
A. （−3a2b）·（2ab2）＝6a3b2 B. 2a4·3a5 ＝5a9
1
C. a2·4a2 ＝ 2a2 D. （−ab2）3 ＝ −a3b6
2
4.某同学做了四道题 ① 2m＋5n ＝7mn ②（−2a2）3 ＝−8a6 ③3a3·（2a2）2＝12a12
④y3·xy2 ＝ xy5 ，其中正确的题号 （ ）
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
5.在括号内填入适当的式子，使等式成立．
（1）（ ）·7x3y ＝35x4y3；
（2）15a2b·（ ）＝−5a5b6．
6.如果xmy4与2xyn相乘的结果是2x4y6，那么m ＝ ，n ＝ ．
7.一个长方体的长为4×103cm，宽为2.5×102cm，高为1.6×102cm，则它的体积是 _____ cm3．
8.如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是 ．
9.计算：
（1） 0.4a2b3·5ab （2）（−2xy2）2·（−3xy）
10.已知ax ＝3，ay ＝2，求a2x＋3y的值．二、拓展提升
11. 已知有理数a、b、c满足|a＋1|＋（2b＋1）2＋（c－3）2＝0，
求（－2ab2）•（－a2c）•8ab的值．
12.已知单项式9am＋1bn＋1与−4a3n－1b2m－1的积与6a9b8是同类项，
求 mn.
13.如图，长方形长为8a，宽为6a，现从四个角割去四个边长为a的小正形，然后折叠成一
个无盖的长方体．
（1）求长方体的表面积（用含有a的代数式表示）
1
（2）当a ＝ 时，求此时长方体的体积．
2
三、综合实践
14.李老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：m）．她打算将卧室铺上木地板，其他
地方铺地砖．
(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？
(2)如果地砖的价格为每平方米100元，木地板的价格为每平方米300元，其中a＝2，b＝3，
那么李老师需要花多少钱？第2课时 单项式乘多项式
一、基础练习
1.计算（－m3）•（2m＋1）的结果为 （ ）
A．－m4－2m3 B．－m4＋2m3 C．－2m4－m3 D．－2m4＋m3
2.下列运算正确的是 （ ）
A．m·(m＋n)＝2m＋mn B．m2·(m＋n)＝m3＋m2n
C．－m2·(m－n)＝m3＋m2n D．(－m)2·(m－n)＝m3＋m2n
3．已知A＝2x2＋6，B是多项式，在计算B－A时，小亮同学把B－A错看成了B÷A，结果
得x2，那么B－A的正确结果为（ ）
A．2x4＋4x2－6 B．3x4＋6 C．2x4＋6x2 D．2x4＋4x2＋6
4.某校利用课后服务开展了主题为“浸润书香，放飞悦读”的读书活动．现需购买甲，乙两
种图书共350本供学生阅读，其中甲种图书的单价为a元/本，乙种图书的单价为2a元/本，
若购买甲种图书x本，则该校购买甲乙两种图书总费用为（ ）
A．(350a＋ax)元 B．(350a－ax)元
C．(700a＋ax)元 D．(700a－ax)元
1
5.计算－2x·(x2－ x) ＝ ．
2
6.已知a(a－2)＝ 9，则代数式a2－2a－5的值为 ．
7.在括号内填入适当的式子，使等式成立．
（1）（ ）·（2x−3）＝2x2−3x；
（2）2a2b·（3a2 － ＋ ）＝ 6a4b － 10a2b3 ＋ 2a4b4．
8.用 20 米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，如果生物园的宽为 a 米，则这个生物园
的面积为 平方米．
9.计算：
（1）2x·(x－3y) （2）x·(2x－3) －3x·(x＋2)
10.如图1和图2，计算下面各个几何体的体积．
(1) (2)二、拓展提升
11.符号“|𝑎 𝑏|”称为二阶行列式．规定它的运算法规为：|𝑎 𝑏|＝ad－bc．
𝑐 𝑑 𝑐 𝑑
(1)计算：|2 3|
＝_________；（直接写出答案）
4 5
𝑎＋2𝑏 0.5𝑎−𝑏
(2)化简二阶行列式：| |
6𝑏 5𝑎
12. 如图，两个正方形的边长分别为m、n（n＞m），求三角形BDF的面积 ．
13. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，
每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售
经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量
减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒，日销售额W．
（1）试用含有x的式子表示日销售量p；
（2）试用含有x的式子表示日销售额W．
三、综合实践
14.某校要用38米长的围栏搭建一个长方形花圃，花圃一边靠足够长的墙，中间用一道围栏
隔开，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用围栏制作），设长方形花圃的宽为x米．
(1)用含x的代数式表示长方形花圃的长__________米．
(2)用含x的代数式表示长方形花圃的面积．
(3)当x＝6时，求长方形花圃的面积．第3课时 多项式乘多项式
一、基础练习
1.下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是 （ ）
A．(x－2)(x＋9) B．(x＋2)(x－9)
C．(x－3)(x＋6) D．(x－1)(x＋18)
2.如果(x－2)(x－3)＝x2＋px＋q，那么p、q的值是（ ）
A．p＝1,q＝6 B．p＝－5,q＝6
C．p＝5,q＝6 D．p＝－5,q＝－6
3．已知a－b＝3，ab＝2，则(a－1)(b＋1）的值为（ ）
A．－1 B．－3 C．4 D．7
4.通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A．a（b－x）＝ab－ax
B．b（a－x）＝ab－bx
C．（a－x）（b－x）＝ab－ax－bx
D．（a－x）（b－x）＝ab－ax－bx＋x2
5．若k为任意整数，则（2k＋3）2－4k2的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
6.若(ax＋3)(6x2－2x＋1)中不含x的二次项，则a的值为 ．
7.先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题：
(x＋3)(x＋4)＝__________；(x－3)(x－4)＝__________；
(x－3)(x＋4)＝__________；(x＋3)(x－4)＝__________；
根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则(x＋m)(x＋n)＝__________；
8.利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2
（卡片间不重叠、无缝隙），那么图2这个几何图形表示的可以等式是 ．9.计算：
（1）(2m＋n)(m－3n) （2）（x－2y）2－x（x－4y）
10.如图，试求出图中三角形的面积.
二、拓展提升
11.先化简，再求值：(2x＋3)(2x－3)－(x＋2)2－3x（x－1)，其中x＝2023．
12.如图，将两个长方形用不同方式拼成图1和图2两个图形．
(1)若图1中的阴影部分面积为 a2－b2，则图2中的阴影部分面积为________（用含字母a，
b的代数式表示）；
(2)由（1）你可以得到的等式是___ _____；
(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：
①若x2－y2＝18，x－y＝3，则x＋y＝__ ____；
②计算：512－492．13.现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示
（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积
分别为S ，S ．
1 2
表2 表3
（1）请用含a的式子分别表示S ，S ，当a＝2时，求S ＋S 的值；
1 2 1 2
（2）比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
三、综合实践
14.提出问题：
如图，直角三角形ABE中，∠ABE＝90°，AB＝BE，点B在CD上，AC⊥CD，DE⊥CD．若
BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c．试探索a、b、c之间的数量关系．
探究问题：
某校数学社团成员在探究a、b、c之间的数量关系时，利用学习多项式乘以多项式中积累的
方法发现可以利用梯形的面积来探究a、b、c之间的数量关系．梯形ACDE的面积S可以
用两种不同的方法表示：一种是直接利用梯形的面积公式，就可得到S；另一种是将梯形
ACDE看成是由△ABC，△BDE，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到
S．请根据以上材料，填空：
方法一：S＝___________．方法二：S＝ ．
问题解决：
（1）由于方法一和方法二表示的都是梯形ACDE的面积，因此相等，请利用以上结论求a，
b，c之间的等量关系（需要化简）．
（2）请直接运用（1）中的结论，求当a＝3，c＝5时S的值．第4课时 乘法公式
一、基础练习
1. 下列运算错误的是（ ）
A．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B．（a－b）2＝a2－2ab＋b2
C．（2a－3b）2＝4a2－9b2 D．（2a－3b）2＝4a2－12ab＋9b2
2. 若a＋b＝5，ab＝5，则a2＋b2的值为（ ）
A．－5 B．5 C．10 D．15
3. 已知（x＋y）2＝（x－y）2＋（ ），可得括号内的整式是（ ）
A．2xy B．4xy C．－2xy D．－4xy
4. 如图，将一个大正方形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），根据图中阴影部分
的面积关系得到的数学公式为（ ）
A．a2＋b2 ＝（a＋b）2－2ab
B．a（a＋b）＝a2＋ab
C．a（a－b）＝a2－ab
D．（a－b）2＝a2－2ab＋b2
5. 计算：10032＝ ．
6. 计算：（－2a－b）2＝ ．
7. 已知x－y＝4，x2＋y2＝10，则xy的值为 ．
a b
8. 将a，b，c，d排成2行、2列，并记成 的形式，定义
c d
a
c
b
d
＝ad－bc，上述记
号就叫做2阶行列式，若
2
2
+
−
x
x
2
2
−
+
x
x
＝12，则x＝ ．
9. 已知（a＋b）2＝9，（a－b）2＝3，求下列式子的值：
（1）a2＋b2； （2）ab．
10. 化简：（1）（x＋2）2－x（x－3）； （2）4a（a－3b）－（2a－3b）2
二、拓展提升
11. 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求a＋b的值．1
12. 已知m− =2，计算：（1）
m
m 2 +
m
1
2
； （2）
m +
1
m
2
； （3） m 4 +
m
1
4
．
13. 下图是我国南宋时期杰出的数学家杨辉，在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．
（1）观察这些系数的规律，直接写出（a＋b）5＝ ；
（2）（a＋b）6的展开式中第三项的系数是 ；
（3）证明：当 a 为整数时，（a＋3）3－（a－3）3能被 18 整除．
三、综合实践
14. 用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以验证公式．
由图1可得：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．
图1 图2 图3
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ；
（2）根据图3，回答下列问题：
①写出一个代数恒等式： ；
②若a＋b＋c＝5，ab＋ac＋bc＝10，求a2＋b2＋c2的值．第5课时 乘法公式
一、基础练习
1. 如图1，从一个边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形，再沿线剪开，拼
成图2所示的长方形，根据图中阴影部分的面积关系可得恒等式（ ）
A．a（a＋b）＝a2＋ab
B．a2－b2＝（a＋b）（a－b）
C．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
D．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 图1 图2
2．下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（3x＋2）（2x－3） B．（－a－b）（a＋b）
C．（－3－x）（3－x） D．（－3x＋2）（3x－2）
3. 下列运算错误的是（ ）
．．
A．（a＋b）（a－b）＝a2－b2 B．（a＋3）（a－3）＝a2－9
C．（－3a＋2b）（3a＋2b）＝4b2－9a2 D．（a＋2b）（a－2b）＝a2－2b2
4．若x2－y2＝14，x－y＝2，则代数式x＋y的值为（ ）
A．7 B．12 C．16 D．28
5．计算：99×101＝ ．
6．如果（3x＋y）·m＝9x2－y2，那么m表示的式子为 ．
7 已知（2x＋3）（2x－3）－2x＝1，则2x2－x的值为 ．
8．下列计算：①（3a＋4）（3a－4）＝9a2－4；②（2x2－y）（2x2＋y）＝4x2－y2；
③（3－y）（y＋3）＝9－y2；④（－x＋y）（x＋y）＝－（x－y）（x＋y）＝－x2－y2．
其中错误的有 （只填写序号）．
9．计算：（1）（2－x）（2＋x）； （2）（5a＋2b）（5a－2b）；
（3）（－x＋2y）（2y＋x）； （4） (
3
2
m − 4 n ) ( −
3
2
m − 4 n ) ．
10.计算：（1）602×598＋4； （2）20242－2023×2025．
二、拓展提升
11. 化简：（1）（2a－b－3）（2a－b＋3）； （2）（x＋2y）2（x－2y）2．12. 已知N＝12＋32＋52＋…＋252，M＝22＋42＋62＋…＋262，求M－N的值．
13. 观察下列等式:①（x－1）（x＋1）＝x2－1：②（x－1）（x2＋x＋1）＝x3－1；
③（x－1）（x3＋x2＋x＋1）＝x4－1； …
根据以上规律，解决下列问题：
（1）（x－1）（xn＋xn－1＋xn－2＋…＋x＋1）＝ ；
（2）当（x－1）（x5＋x4＋x3＋…＋x＋1）＝0时，求x的值．
三、综合实践
14. 阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）经过观察，
小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式
解决问题，具体解法如下：
解：（2＋1）（22＋1）（24＋1）
＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）÷（2－1）
＝（22－1）（22＋1）（24＋1）÷1
＝（24－1）（24＋1）
＝28－1．
请你根据小明解决问题的方法，计算（5＋1）（52＋1）（54＋1）（58＋1）的值．第6课时 乘法公式
一、基础练习
1．下列计算正确的是（ ）
A．（x－6）（x＋6）＝x2－6 B．（－3a＋b）（3a＋b）＝9a2－b2
1 1
C．（－a－b）2＝a2＋2ab＋b2 D．（a＋ ）2＝a2＋
a a2
2. 化简（a＋1）2－a2的结果是（ ）
A．0 B．1 C．2a D．2a＋1
3．化简（x＋1）（x－1）（x2－1）的结果是（ ）
A．x4＋2x2＋1 B．x4－2x2＋1 C．x4－1 D．x4＋1
4. 如果两个整数的差为3，那么这两个整数的平方差一定
A．能被3整除 B．能被5整除 C．能被7整除 D．能被9整除
5．计算：（x－2y）2－（x－2y）（x＋2y）＝ ．
6．定义新运算：a*b＝ab－a2，运用新运算计算：（x－y）*（x＋y）＝ ．
7．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加48cm2，则这个正方形的边长是 ．
8．用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的
方式拼成一个边长为（a＋b）的正方形，图中空白部分的
面积为S1 ，阴影部分的面积为S2 ．若S1 ＝2S2 ，则a、b
之间的关系是 ．
9．计算：（1）（x＋1）（x－1）（x2＋1）； （2）（x＋2y）2－（x－2y）2 ．
10．计算：（1）（a＋b＋2）（a＋b－2）； （2）（x＋2y）2＋（2y－x）（2y＋x）．
二、拓展提升
11. 计算：2002－299×101．
12. 已知A＝2x＋y，B＝2x－y，化简A2－B2．13. 如图，在月历表中选取 4个阳历数可以构成一个“田”字框（例如：图中阴影部分）．
（1）计算：（10＋17）2－（9＋16）2＝ ；
（2）在月历表中，任意选取一个有4个阳历数的“田”字框，把其中右侧两数和的平方
记为M，左侧两数和的平方记为N，当M－N的值能被48整除时，求“田”字框
中最小的数．
三、综合实践
14. 对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
a
b
c
d
= a 2 + b 2 − c d ．
12
（1）
＝ ；
34
x k
（2）对于有理数x，若
是一个完全平方式，则常数k的值为 ；
1 −x
（3）对于有理数x、y，若3x＋y＝10，3x－y＝－2，求
2
2
x
x
+
−
y
y x 2
−
−
1
3 y 2
的值．第7课时 多项式的因式分解
一、基础练习
1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 （ ）
A．a2(a−b)=a3−a2b B．(x+1)(x−1)=x2 −1
C． m 2 − 1 = ( m + 1 ) ( m − 1 ) D． a 2 − a − 1 = a ( a − 1 ) − 1
2. 下列用提公因式法分解因式正确的是 （ ）
A．4x3−2x2 =x2(4x−2) B． R +R =(R +R )
1 2 1 2
C． 3 m 2 n 3 + m 3 n 2 = m n ( 3 m n 2 + m 2 n ) D． 4 x 2 − 6 x y + 2 x = 2 x ( 2 x − 3 y )
3. 多项式 8 a 2 b 2 − 2 a b 2 + 4 a 3 b 2 c 中各项的公因式是 （ ）
A． a b c B．2ab C．2ab2c D． 2 a b 2
4. 若 x 2 + a x − 6 可以因式分解为 ( x + 2 ) ( x − b ) ，则 a + b 的值为 （ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
5. 2 a ( m − n ) 2 与 6 b ( n − m ) 3 的公因式是 ．
6. 若 a b = − 2 ，a−2b=3，则代数式 a 2 b − 2 a b 2 + a b 的值为 ．
7. 填空： − 2 a 2 + 6 a b = − 2 a （ ）；
(a−b)m+b−a=(a−b)（ ）；
( a − b ) 2 m + ( b − a ) 2 = ( a − b ) 2 （ ）．
8. 已知关于x的二次三项式 x 2 + x + a 有一个因式为(x−1)，则a的值为 ．
9. 把下列各式因式分解：
（1） 2 a 2 + 6 a b − 2 a ； （2） 1 2 a x − 1 8 b x ；
（3） − 6 m n 2 + 4 m 2 n − 2 m n ； （4） 2 4 a 2 b 3 − 3 6 a 2 b 2 c ．
10.把下列各式因式分解：
（1）2a(a−b)−4b(b−a)； （2）6x(x−1)2 +3(1−x)2；
（3）2m(m+n)2 +2n(m+n)2； （4）3a(a−b)2 −6(b−a)3．二、拓展提升
11. 计算：
（1） 5 2 6 + 6 2 5 + 2 7 ； （2）(−2)1000 +(−2)999．
12. 先因式分解，再求值： 2 a 2 b + 2 a b 2 − 4 a b ，其中 a + b = 2 ．
13. 宁宁同学用一张边长为 a 的正方形卡纸制作一个无盖盒子，她将正方形的四个角减掉
四个边长为b的小正方形（a＞2b）．若将无盖盒子的底面积记作 S
1
，将无盖盒子的侧面积
记作 S
2
，宁宁发现S −S =0，请计算得出
1 2
a 与 b 的数量关系．
三、综合实践
14. 可可和乐乐请教老师一道因式分解题： 1 + x + x ( x + 1 ) + x ( x + 1 ) 2 ，老师给出如下解答：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
= ( 1 + x ) 1 + x + x ( 1 + x )
= ( 1 + x ) 2 ( 1 + x )
= ( 1 + x ) 3
可可：我明白了，这里是将1+x看做一个整体，运用了因式分解的 法；
乐乐：通过类比，我可以直接将 1 + x + x ( x + 1 ) + x ( x + 1 ) 2 + + x ( x + 1 ) 2 0 2 3 因式分解
得 ．
可可：我们还可以从特殊到一般，将 1 + x + x ( x + 1 ) + x ( x + 1 ) 2 + + x ( x + 1 ) n （ n 为正
整数）因式分解．
请你完成上面的填空，并完成可可同学提出的问题（写出具体过程）．
a
b5 3
第8课时 多项式的因式分解
一、基础练习
1. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是 （ ）
A． a 2 + b 2 B． 2 a − b 2 C． − a 2 − b 2 D． − a 2 + b 2
2. 下列因式分解正确的是 （ ）
A． x 2 − 4 = ( x + 4 ) ( x − 4 ) B． x 2 + 2 x + 1 = x ( x + 2 ) + 1
C．b2 −a2 =(a+b)(b−a) D．−a2 +b2 =(a+b)(a−b)
3. 已知a、b、c是三角形的三条边长，则 ( a + b ) 2 − c 2 的值是 （ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
4. 计算：20242 −20232 = ．
5. 若多项式 x n − m 能因式分解为 ( x + 3 ) ( x − 3 ) ，则 m − n = ．
6. 如图，两个正方形边长之和为5，边长之差为3，
则图中阴影部分面积为 ．
7. 若 a m − b 2 （m 为小于 10 的正整数）可以用平方差公式因式分解，则 m 的值可能
是 ．
8. 若 a − 2 b = 2 ，则 a 2 − 4 b 2 − 8 b = ．
9. 把下列各式因式分解：
（1） a 2 − 3 6 ； （2）x2 −4y2；
（3） m 2 −
1
4
n 2 ； （4）−16a2 +9b2．
10.把下列各式因式分解：
（1）(x+1)2 −4； （2）(a−b)2 −b2；（3） ( x + a ) 2 − ( y + b ) 2 ； （4）9(a+2b)2 −4(2a−b)2．
二、拓展提升
11.某数学小组在一次活动中了解到服装纽扣在国际上通常以 L（莱尼）作为纽扣大小的
的计量单位（1L=0.625mm）.纽扣直径的计算公式是：直径=型号×0.625（mm）.该小组找到
一枚型号为28L的纽扣（如图），计算得到半径为8.75mm. 经测量每个孔眼的直径为1.25mm，
则这枚纽扣的横截面面积约为多少mm？（ 3 .1 4 ）
12. 计算：
1 −
1
2 2
1 −
1
3 2
1 −
1
4 2
1 −
1
n 2
13. 如图是由边长分别为100、99、98…2、1的正方形拼接而成，请求出图中的阴影部分
面积.
三、综合实践
14. 【尝试解答】请说明当n为自然数时， ( n + 3 ) 2 − ( n + 1 ) 2 能被4整除．
【深入思考】当n为自然数时，(n+6)2 −(n+2)2能被 整除；
当 n 为自然数时，(n+7)2 −(n−2)2能被 整除．
【举一反三】仿照上面的式子，请你写出一个能被3整除的式子．a
a
a
b
b
b
第9课时 多项式的因式分解
一、基础练习
1. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 （ ）
A． x 2 + x + 1 B． x 2 + 2 x − 1 C． x 2 − 1 D． − x 2 + 2 x − 1
2.把多项式 4 x 2 − 2 0 x + 2 5 分解因式，结果正确的是 （ ）
A． ( 4 x − 2 5 ) 2 B． ( x − 5 ) 2 C． ( 2 x − 5 ) 2 D．(2x+5)(2x−5)
3. 下列因式分解正确的是 （ ）
A．x2 −4x+4=(x+2)2 B．a2 +b2 =(a+b)2
C． − a 2 + 2 a b − b 2 = − ( a − b ) 2 D．4x2 −6xy+9y2 =(2x−3y)2
4. 若 x 2 − p x + 3 6 = ( x + q ) 2 ，则 p 、 q 的值为 （ ）
A．-12、6 B．12、6 C．12、-6 D．18、6
5. 多项式 x 2 − 1 与多项式 x 2 − 2 x + 1 的公因式是 ．
6. 若多项式x2 +ax+16是完全平方式，则 a 的值可以是 ．
7. 已知a+b=2， a b = 3 ，则 a 3 b + 2 a 2 b 2 + a b 3 的值为 ．
8. 如图，有三种规格的卡片，现用9张边长为 a 的
正方形、6张边长分别为a、b的长方形、1张边长
为b的正方形密接拼成一个大正方形，这个大正方
形的边长为 ．
9.把下列各式因式分解：
（1）a2 −6a+9； （2） a 2 b 2 + 2 a b + 1 ；
（3） x 2 − x +
1
4
； （4） − x 2 − 4 x y − 4 y 2 ．
10.把下列各式因式分解：
（1）(a+b)2 +8(a+b)+16； （2）(x−1)2 +6x+3；二、拓展提升
11. 计算：
（1） 7 .7 5 2 + 2 7 .7 5 2 .2 5 + 2 .2 5 2
12.342 −2.342
（2）
12.342 −4.6812.34+2.342
12. 已知a−b=2，求 a 2 − 2 a b + 2 a + ( b − 1 ) 2 的值．
13. 已知x、y是任意有理数，试比较 x 2 + y 2 与 2 x y 的大小．
三、综合实践
14. 将一个多项式因式分解，我们已经掌握了提公因式法和公式法，请通过下面的学习单
学习分组分解法和拆项法：
例题 练习
例1：把
分组分解法
x 2 − y 2 + 4 x + 4 因式分解
解： x 2 − y 2 + 4 x + 4
= ( x2 +4x+4 ) − y2
= ( x + 2 ) 2 − y 2
把
=(x+ y+2)(x− y+2)
a 2 − b 2 − c 2 + 2 b c 因式分解
例2：把
拆项法
x 2 + 4 x − 5 因式分解
解： x 2 + 4 x − 5
= ( x2 +4x+4 ) −9
= ( x + 2 ) 2 − 3 2
把
=(x+5)(x−1)
x 2 + 1 2 x + 2 0 因式分解
（1）请阅读学习单，并完成学习单上的两道练习题；
（2）三角形的三条边长分别为 a 、 b 、 c ，且满足 a 2 + b 2 + c 2 − 4 a − 6 b − 8 c + 2 9 = 0 ，
求a、b、c的值．第10课时 多项式的因式分解
一、基础练习
1.把多项式 a 3 − a 因式分解，结果正确的是 （ ）
A． a ( a 2 − 1 ) B． a ( a − 1 ) 2 C． ( a − 1 ) 3 D． a(a+1)(a−1)
2.把多项式 y 3 − 6 y 2 + 9 y 因式分解，结果正确的是 （ ）
A．y ( y2 −6y+9 ) B．y(y−3)2 C．y2(y−6)+9y D． y3−3y(2y−3)
3.已知多项式 2 x 2 + m x + n 因式分解为 2 ( x + 2 ) ( x − 3 ) ，则 m + n 的值为 （ ）
A．14 B．-14 C．-10 D．10
4. 2 0 2 3 2 0 2 3 − 2 0 2 3 2 0 2 1 的结果不能被下面数整除的是 （ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
5. 如图，将四个边长分别为 a 、b的长方形紧密地拼成一个
边长为 a + b 的大正方形，若图中阴影部分面积刚好等于空白
部分的面积，则 a 、b的数量关系满足 （ ）
A． a = b B． a = 2 b
C． a = 3 b D． a = 4 b
6. 因式分解：
x
4
2
+ x + 1 = ．
7．若 x − 2 y = − 2 ， x y = 3 ，则 x 3 y − 4 x 2 y 2 + 4 x y 3 = ．
8. 已知 a 2 + b 2 + 4 a − 2 b + 5 = 0 ，则ab= ．
9. 把下列各式因式分解：
（1） a x 2 − a ； （2） a 4 − 1 ；
（3）2x2 −4xy+2y2； （4） − a 2 b + 8 a b − 1 6 b ．
10.把下列各式因式分解：
（1）x2(m−n)+ y2(n−m)； （2）( x2 −2 )2 −49；
b
a
b
a
a
b
a
b
第5题图（3） m 4 − 2 m 2 n 2 + n 4 ； （4） a 2 − 4 b ( a − b ) ．
二、拓展提升
11. 把下列各式因式分解 ：
（1） ( a + 2 ) ( a − 2 ) − 5 ； （2） a 3 − a 2 − a + 1 ．
12.已知五个单项式：4x2、24x、 y 2 、 4 x y 、36，按照要求从中选择若干个单项式（不重
复）进行加减运算，使所得多项式可以因式分解，并进行因式分解；
（1）只使用提公因式法完成因式分解；
（2）只使用公式法完成因式分解；．
（3）即用提公因式又用公式法完成因式分解；
13. 某数学兴趣小组为了将多项式 ( x 2 − 2 x + 3 ) ( x 2 − 2 x − 1 ) + 4 因式分解，查阅资料了解到
“换元法”：将式子中结构相同的部分看成一个整体，用新“元”替换，让隐含的关系清晰
地表现出来，从而使运算过程简明．
该小组成员萱萱学习后尝试解答：
解：设 x 2 − 2 x = A
原式 = ( A + 3 ) ( A − 1 ) + 4
= A 2 + 2 A + 1
= ( A + 1 ) 2
= ( x 2 − 2 x + 1 ) 2
（1）另一位同学辰辰指出萱萱的结果分解不彻底，请你直接写出因式分解最后的结果
为 ．
（2）为了巩固所学，兴趣小组请老师出了一道类似的题目，请你将多项式( x 2 − 4 x + 3 ) ( x 2 − 4 x + 5 ) + 1 因式分解．
三、综合实践
14.我们知道用两种不同的方法表示同一个图形面积，可以得到一个代数恒等式.如图1可
得等式 ( a + 2 b ) ( a + b ) = a 2 + 3 a b + 2 b 2 ．
（1）由图2可得等式 ；
（2）在图2中，若大正方形的边长为10， a b + b c + a c = 2 9 ，求三个小正方形的面积和；
（3）现有如图3所示A、B、C三种卡片（足够多），试选取若干卡片密接地拼成一个大长
方形，使长方形的面积为 2 a 2 + 7 a b + 3 b 2 ，在虚线框中画出你拼的长方形，并将
2a2 +7ab+3b2因式分解．
a
b
a b b
a
b
c
a b c
图1
a
a
A
a
b
B
b
b
C
图2
图3第11课时 小结与思考
一、选择题
1．下列各式因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣4xy＋9y2＝（2x﹣3y）2 B．﹣x2＋4x＝﹣x（x＋4）
C．2x3﹣4x2＋2x＝2x（x﹣1）2 D．x4﹣16＝（x2＋4）（x2﹣4）
2．面积为9a2﹣6ab＋3a的长方形一边长为3a，另一边长为（ ）
A．3a﹣2b B．2a﹣3b C．2a﹣3b＋1 D．3a﹣2b＋1
3．若（x＋2）（x﹣1）＝x2＋mx＋n，则m＋n＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
4．若a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
5．如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积
关系得到的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab＋b2＝（a﹣b）2
C．（a＋b）2﹣4ab＝（a﹣b）2
D．a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
6．已知4x2＋1＋M是一个关于x的完全平方式，M为单项式，下列不符合条件的M是（ ）
A．2x B．4x C．﹣4x D．4x4
二、填空题
7．计算：2x（﹣3x2y3）＝ ．
8．分解因式：a2b﹣2ab2＋b3＝ ．
9．已知3m﹣n＝1，则9m2﹣n2﹣2n的值为 ．
10．二次三项式9x2＋kx＋16是一个完全平方式，则k的值是 ．
11．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”，下列各数：205、
250、502、520中，不是“创新数”的有 个．
12．对于任何实数
a
c
b
d
，我们规定符号的意义是
a
c
b
d
＝ad﹣bc，按照这个规定，请你
x+1 3x
计算：当x2﹣3x＋1＝0时， 的值为 ．
x−2 x−1三、解答题
13．把下列各式分解因式：
（1）x3﹣x； （2）2x2y﹣4xy2＋2y3； （3）16a4﹣8a2＋1．
14．计算：
（1）1999×2001＋1； （2）（2m﹣3）2（2m＋3）2； （3）（a＋b﹣1）（a﹣b﹣1）．
15．先化简，再求值：
（1）（2a﹣b）2＋（a﹣b）（a＋b）﹣5a（a﹣2b），其中， a =
1
2
, b = − 1 ．
1
（2）x（x﹣4y）＋（2x＋y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x=2, y=− ．
2
16．已知x﹣y＝5，xy＝﹣3．求：（1） 2y（xy﹣x2）的值；（2）（x＋y）2的值．
17．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式
的方法还有配方法和十字相乘法等等．例如，用两种方法因式分解x2﹣6x﹣1
配方法：x2﹣6x﹣16 十字相乘法：x2﹣6x﹣16．
＝x2﹣6x＋9﹣9﹣16
＝（x﹣3）2﹣25
＝（x﹣3＋5）x﹣3﹣5）
所以：x2﹣6x﹣16=（x＋2）（x﹣8）
＝（x＋2）（x﹣8）
选择适当的方法将下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣7； （2）2x2＋7x＋3．18．观察并验证下列等式：
13＋23＝（1＋2）2＝9，
13＋23＋33＝（1＋2＋3）2＝36，
13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2＝100，
（1）续写等式：13＋23＋33＋43＋53＝ ；（写出最后结果）
（2）猜想结论：13＋23＋33＋…＋（n﹣1）3＋n3＝ ；（用因式乘积
表示）
（3）利用（2）中得到的结论计算：
①33＋63＋93＋…＋573＋603 ②13＋33＋53＋…＋（2n﹣1）3
四、综合实践
19．完全平方公式经常可以用作适当变形来解决很多的数学问题．
（1）若x＋y＝6，x2＋y2＝30，则xy的值为 ；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若3a＋b＝7，ab＝2，则3a﹣b＝ ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2＋（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，边长为 6 的正方形 ABCD 中放置两个长和宽分别为 a，b（a＜6，b＜6）的
长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，求图中阴影部分面积S1 ＋S2 ＋S3 ．20．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积或同一立体图形的体积可以得到一个等式，
这是一种重要的数学方法．
图1 图2 图3
（1）图 1中，将边长为a 的正方形的左上 角剪掉一个边
长为 b 的正方形，再将剩下部分分割成两个梯形，可以得到的等式
是： ；
（2）图2中，棱长为a＋b的正方体，被分割线分成8块，
①可以得到的等式是： ；
②已知a＋b＝5，ab＝3，请利用上面的等式求a3＋b3．
（3）图3中，用边长分别为a，b，c的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成
一个大正方形，利用这一图形可以推导出一个关于a，b，c的怎样结论？并写出简单
的推导过程．七年级下册第 9章 整式乘法与因式分解 答案
第1课时 单项式乘单项式
1. D
【详解】 解：2x·3x2 ＝（2×3）·（x·x2）＝6x3 ，
2. B
【详解】 解：（−m）3·（−2m）2＝（−m3）·（4m2）＝−4m5
3. D
【详解】 A （−3a2b）·（2ab2）＝（−3×2）·（a2·a）·（b·b2）＝−6a3b3 ，
B 2a4·3a5 ＝ （2×3）·（a4·a5）＝ 6a9 ，
1 1
C a2·4a2＝（ ×4）·（a2·a2）＝2a4
2 2
D （−ab2）3 ＝（−1）3 ·（a1×3）·（b2×3）＝−a3b6
4. C
【详解】解：①2m＋5n不是同类项不能合并，错误．
②（−2a2）3＝（−2）3 ·（a2）3＝−8a6 ，正确．
③ 3a3·（2a2）2 ＝ 3a3·4a4 ＝12a7，错误．
④ y3·xy2 ＝ xy5，正确．
1
5. 5xy2 − a3b5
3
1
【详解】 35x4y3 ÷ 7x3y ＝ 5xy2 −5a5b6 ÷ 15a2b ＝− a3b5
3
6. m＝3 n＝2
【详解】 由题意得：xmy4·2xyn ＝ 2xm＋1y4＋n ＝ 2x4y6
m＋1＝4 𝑚＝3
可得： { 得：{
4＋𝑛＝6 𝑛＝2
7. 1.6×108
【详解】 长方体的体积 ＝ 长×宽×高＝（4×103）×（2.5×102）×（1.6×102）
＝ （4×2.5×1.6）×（103×102×102）
＝ 1.6×108
8. 48a2【详解】 大长方形 面积 ： 10a·6a ＝ 60a2
小长方形 面积 ： 4a·3a ＝ 12a2
余下的阴影部分面积： 60a2 −12a2 ＝ 48a2
9. 2a3b4 −12x3y5
【详解】（1） 0.4a2b3·5ab ＝（0.4×5）·（a2·a）·（b3·b）＝2a3b4
（2）（−2xy2）2·（−3xy）＝（4x2y4）·（−3xy）＝4×（−3）·（x2·x）·（y4·y）＝ −12x3y5
10. 72
【详解】 ∵a2x＋3y ＝（a2x）·（a3y）＝（ax）2·（ay）3
ax ＝ 3，ay ＝ 2
∴a2x＋3y ＝（ax）2·（ay）3＝32×23 ＝72
11. −6
【详解】 解：∵ |a＋1|＋（2b＋1）2＋（c－3）2＝0
∴ a＋1＝0， 2b＋1＝0， c－3 ＝0
1
解得： a＝－1，b＝− ， c＝3
2
∵（－2ab2）•（－a2c）•8ab
＝－2×（−1）×8·（a·a2·a）·（b2·b）·c
＝16a4b3c
1
＝16 ×（−1）4×（− ）3× 3 ＝ −6
2
12. 9
【详解】解：由题意得: 9am＋1bn＋1·（−4a3n－1b2m－1）
＝ 9×（−4）·（am＋1·a3n－1）·（bn＋1·b2m－1）
＝ −36am＋1＋2n－1bn＋1＋2m－1
−36am＋1＋3n－1bn＋1＋2m－1与6a9b8是同类项，
m＋1＋3n−1＝9 𝑚＝3
则所含字母相同，相同字母的指数相同，得：{ 解得：{
n＋1＋2m−1＝8 𝑛＝2
∴ mn ＝ 32＝ 9
13. 44 a2； 3
【详解】（1）解：由题意得:长方体的长 ＝ 8a −2a ＝6a
长方体的宽 ＝ 6a −2a ＝4a表面积＝2×6a·a ＋2×4a ·a ＋ 6a·4a＝44 a2
（2） 长方体的体积 ＝ 6a·4a ·a ＝ 24a3
1 1
当a ＝ 时，24a3 ＝ 24×（ ）3 ＝ 3
2 2
14. （1）木地板：4ab平方米，地砖 ：11ab平方米；（2）13800 元
【详解】（1） 木地板：2b·（4a−2a）＝ 2b·2a ＝ 4ab 平方米
地砖 ：4b·2a＋a·2b＋b·a ＝ 11ab 平方米
（2）∵地砖的价格为每平方米100元，
木地板的价格为每平方米300元，其中a＝2，b＝3
∴ 300×4ab ＋100×11ab ＝2300ab ＝ 2300×2×3 ＝ 13800 元
答：李老师需要花13800 元第2课时 单项式乘多项式
1. C
【详解】 解：（－m3）•（2m＋1） ＝ （－m3）•2m ＋（－m3）×1＝ －2m4 －m3 ，
2. B
【详解】 解： A：m·(m＋n)＝m2＋mn 错误
B：m2·(m＋n)＝m3＋m2n 正确
C：－m2·(m－n)＝ －m3＋m2n 错误
D：(－m)2·(m－n)＝ m3－m2n 错误
3. A
【详解】 由题意得：B÷A＝ x2 ∴ x2·A ＝ B
而 A＝2x2＋6 ∴ B ＝ x2·(2x2＋6 )＝2x4＋6x2
B－A＝ 2x4＋6x2 －(2x2＋6 )＝ 2x4＋6x2 －2x2－6 ＝2x4＋4x2 －6
4. D
【详解】解：∵购买甲种图书x本，∴乙种图书（350－x）本，
甲种图书的费用 ax 元，乙种图书的费用2a·（350－x） 元
∴总费用＝ ax＋2a·（350－x）＝ax＋700a－2ax ＝700a－ax 元．
5. －2x3＋ x2
1 1
【详解】 －2x·(x2－ x)＝（－2x）·x2＋（－2x）·（－ x）
2 2
＝ －2x3＋ x2
6. 4
【详解】 解：∵ a(a－2)＝ 9 ∴ a2 －2a ＝ 9
∴ a2 －2a －5 ＝ 9 －5 ＝ 4
7. （1） x （2）5b2 a2b3
【详解】（1）（ x ）·（2x−3） ＝ 2x2−3x；
（2）2a2b·（3a2 －5b2 ＋ a2b3）＝ 6a4b － 10a2b3 ＋ 2a4b4．
8. （ 10a － a2）
【详解】 长方形的长为 ： （20－2a）÷ 2 ＝（10－a）米
长方形的面积 ： （10－a）·a ＝（10a －a2）平方米
9.（1） 2x2－6xy－10x （2） －x2 －9x【详解】（1） 2x·(x－3y－5) ＝2x·x ＋2x·（－3y）＋2x·（－5）＝ 2x2－6xy －10x
（2）x·(2x－3) －3x·(x＋2) ＝ 2x2－3x －3x2 －6x＝ －x2 －9x
10. （1）6x3－8x2 （2）3πx3 ＋2πx2
【详解】（1）长方体的体积： x·2x·(3x － 4)
＝ 6x3 － 8x2
（2）圆柱的体积： πx2·(3x ＋ 2) ＝3πx3 ＋2πx2
11. 5a2＋7ab＋6b2
【详解】
|2 3|
＝2×5－3×4 ＝－2
4 5
|𝑎＋2𝑏 0.5𝑎−𝑏|＝5a（a＋2b）−6b·（0.5a−b）
6𝑏 5𝑎
＝5a2＋10ab −3ab＋6b2＝5a2＋7ab＋ 6b2
1
12. m2
2
1 1 1
【详解】解：方法一：由题意得: 三角形BEF的面积： （m＋n）·n ＝ mn＋ n2
2 2 2
1 1
三角形DGF的面积： （n－m）·n＝ n2−mn
2 2
1
三角形ADB的面积： m2
2
1 1 1 1 1
阴影部分的面积：m2＋n2−（ mn＋ n2＋ n2−mn＋ m2）＝ m2
2 2 2 2 2
方法二：连接FC，则：阴影部分面积 ＝ 三角形BDC的面积 （同底等高）
1
三角形BDC的面积 ＝ m2
2
13. （1）p＝1000－10x ； （2）W＝－10x2＋1000x
【详解】 解：(1)由题意，得：p＝500－10（x－50）
p＝1000－10x
（2）W＝x(1000 －10x)＝－10x2＋1000x．
14.（1）（40 － 3x）米，（2）（－3x2＋40x）平方米；（3）132平方米
【详解】（1）解：设长方形花圃的宽为x米，
则长方形花圃的长为38＋1＋1－3x＝（40－3x）米；
（2）解：根据题意得：长方形花圃的面积为（40－3x）·x
＝ 40x－3x2
＝（－3x2＋40x）平方米；（3）解：当x＝6时，－3x2＋40x ＝ －3×62＋40×6 ＝ 132平方米．
答：长方形花圃的面积132平方米．第3课时 多项式乘多项式
1. A
【详解】 解：A、(x－2)(x＋9)＝x2－2x＋9x－18＝x2＋7x－18，故本选项符合题意；
B、(x＋2)(x－9)＝x2＋2x－9x－18＝x2－7x－18，故本选项不符合题意；
C、(x－3)(x＋6)＝x2－3x＋6x－18＝x2＋3x－18，故本选项不符合题意；
D、(x－1)(x＋18)＝x2－x＋18x－18＝x2＋17x－18，故本选项不符合题意；
2. B
【详解】 解：∵(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，
∴x2－5x＋6＝x2＋px＋q，
∴p＝－5,q＝6，
3. C
【详解】 解：∵a－b＝3,ab＝2,
∴(a－1)(b＋1)＝ab＋a－b－1＝3＋2－1＝4
4. D
【详解】解：图1中，阴影部分＝长（a－x）宽（b－x）的长方形面积，
∴阴影部分的面积＝（a－x）（b－x），
图2中，阴影部分＝大长方形面积－长a宽x长方形面积－长b宽x长方形面积＋边长x的
正方形面积，
∴阴影部分的面积＝ab－ax－bx＋x2，
∴（a－x）（b－x）＝ab－ax－bx＋x2．
5. B
【详解】 （2k＋3）2－4k2＝4k2＋12k＋9－4k2＝12k＋9＝3（4k＋3）
∵k为任意整数，∴4k＋3为整数
∴3（4k＋3）总能被3整除
6. 9
【详解】 (ax＋3)(6x2－2x＋1)
＝6ax3－2ax2＋ax＋18x2－6x＋3
＝6ax3＋(18－2a)x2＋(a－6)x＋3
∵不含x的二次项,∴18－2a＝0 即a＝9
7. x2＋7x＋12； x2－7x＋12； x2＋x－12； x2－x－12； x2＋(m＋n)x＋mn；【详解】 解：(x＋3)(x＋4)＝x2＋4x＋3x＋12＝x2＋7x＋12；
(x－3)(x－4)＝x2－4x－3x＋12＝x2－7x＋12；
(x－3)(x＋4)＝x2＋4x－3x＋12＝x2＋x－12；
(x＋3)(x－4)＝x2－4x＋3x－12＝x2－x－12；
8. (2a＋b)(a＋b)＝2a3＋3ab＋b2
【详解】 从整体看，S＝(2a＋b)(a＋b)；从局部看，S＝2a3＋3ab＋b2；
∴(2a＋b)(a＋b)＝2a3＋3ab＋b2
9. （1）2m2－5mn－3n2 （2）4y2
【详解】（1） (2m＋n)(m－3n) ＝2m2－6mn＋mn－3n2＝2m2－5mn－3n2
（2） （x－2y）2－x（x－4y）＝x2－4xy＋4y2－x2＋4xy＝ 4y2
10. m2－4
【详解】（1）解：由图可得：
1
S＝ (2m＋4)(m－2)＝m2－4；
2
11. －2036
【详解】(2x＋3)(2x－3)－(x＋2)2－3x（x－1)
＝4x2＋6x－6x－9－(x2＋2x＋2x＋4)－3x2＋3x＝4x2－9－x2－4x－4－3x2＋3x
＝－x－13
当x＝2023,原式＝－2023－13＝－2036
12. (a＋b)(a－b)； a2－b2＝(a＋b)(a－b)； 6； 200
【详解】 （1）解：图2是长为（a＋b)，宽为(a－b)的长方形，
因此面积为(a＋b)(a－b)，
（2）由图1、图2中阴影部分的面积相等得：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
（3）①∵x2－y2＝18，即(x＋y)(x－y)＝18，
又∵x－y＝3，
∴3(x＋y)＝18，
∴x＋y＝6，
② 512－492＝(51＋49)(51－49)＝100×2＝200.
13. （1） S ＝a2＋3a＋2，S ＝5a＋1， 23 （2） S ＞S
1 2 1 2
【详解】（1）解：由图可知：S ＝(a＋2)(a＋1)＝a2＋3a＋2；
1S ＝(5a＋1)×1＝5a＋1
2
当a ＝ 2 时，S ＋S ＝ 4＋6＋2＋10＋1＝23，
1 2
（2）解：∵S －S ＝a2＋3a＋2－5a－1＝a2－2a＋1＝(a－1)2
1 2
又∵a＞1，
∴(a－1)2＞0．即 S ＞S
1 2
1 1
14. 方法一：S＝ （a＋b）2 方法二：S＝ab＋ c2；
2 2
49
问题解决（1）a2＋b2＝c2； （2）
2
【详解】解：
1 1
（1）由题意得： （a＋b）2 ＝ab＋ c2，
2 2
∴a2＋2ab＋b2＝2ab ＋c2，
∴a2＋b2＝c2；
（2）∵a2＋b2＝c2，且a＝3，c＝5，
∴32＋b2＝52，
∴b＝4，
1 1 49
∴S＝ （a＋b）2＝ （3＋4）2＝ ．
2 2 2第4课时 乘法公式
一、基础练习
1. C．
2. D．
3. B．
4. A．
5. 1006009．
6. 4a2＋4ab＋b2．
7. －3．
8.
3
2
．
9. （1）6；（2）
3
2
．
10. 化简：（1）7x＋4； （2）－9b2．
二、拓展提升
11. ±5．
12. （1）6； （2）8； （3）34．
13. （1）a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；
（2）15；
（3）（a＋3）3-（a-3）3＝（a3＋9a2＋27a＋27）－（a3－9a2＋27a－27）
＝18a2＋54＝18(a2＋3)
三、综合实践
14. （1）（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab；
（2）①（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
②由①得52＝a2＋b2＋c2＋2×10，a2＋b2＋c2＝25－20＝5．第5课时 乘法公式
一、基础练习
1．B．
2．C．
3．D．
4．A．
5．9999．
6．3x－y．
7．5．
8．①；②；④．
9．计算：（1）4－x2；（2）25a2－4b2；（3）4y2－x2；（4） 1 6 n 2 −
9
4
m 2 ．
10．（1）360000； （2）1．
二、拓展提升
11. 化简：（1）4a2－4ab＋b2－9； （2）x4－8x2y2＋16b4．
12．M－N＝（22＋42＋62＋…＋262）－（12＋32＋52＋…＋252）
＝（262－252）＋（242－232）＋…＋（62－52）＋（42－32）＋（22－12）
＝（26＋25）（26－25）＋…＋（4＋3）（4－3）＋（2＋1）（2－1）
＝26＋25＋＋…＋4＋3＋2＋1
＝（1＋26）×26÷2
＝351．
13. （1）xn＋1－1；（2）x6－1＝0，x6＝1，x＝±1．
四、综合实践
14. （5＋1）（52＋1）（54＋1）（58＋1）
＝（5－1）（5＋1）（52＋1）（54＋1）（58＋1）÷（5－1）
＝（52－1）（52＋1）（54＋1）（58＋1）÷4
＝（54－1）（54＋1）（58＋1）÷4
＝（58－1）（58＋1）÷4
＝（516－1）÷4
＝
5 1 6
4
− 1
．第6课时 乘法公式
一、基础练习
1．C
2．D
3．B
4．A
5．8y2－2xy
6．2xy－2y2．
7．11cm．
8．a＝2b．
9．（1）x4－1； （2）8xy．
10．（1）a2＋b2＋2ab－4； （2）8y2＋4xy．
二、拓展提升
11． 2002－299×101＝ 2002－（200＋99）（200－99）＝ 2002－（2002－992）
＝ 992＝（100－1）2＝1002－2×100×1＋12＝9801．
12．A2－B2＝（2x＋y）2－（2x－y）2＝（4x2＋4xy＋y2）－（4x2－4xy＋y2）＝8xy
13. （1）104；
（2）设其中最小的数字为a．
M－N＝（a＋1＋a＋8）2－（a＋a＋7）2＝（2a＋9）2－（2a＋7）2
＝（2a＋9）2－（2a＋7）2＝8a＋32＝8（a＋4）
只需a＋4能被6整除即，即a＝2，a＝8，a＝14，a＝20或a＝26
a＝14，a＝26不符合题意，故舍去，
所以a＝2，a＝8，a＝20．
三、综合实践
14. （1）2；
（2）±2；
（3）(2x+y）2 +(2x−y）2 −(−1)(x2 −3y2)= 9x2 −y2
因为：(3x+ y)(3x−y)=9x2 −y2 =10(−2)=−20；
所以：原式＝－20.第7课时 多项式的因式分解
1. C
2. B
3. D
4. D
5. 2 ( m − n ) 2
6. -8
7. a − 3 b 、 m − 1 、 m + 1
8. -2
9.（1）原式 = 2 a ( a + 3 b − 1 )
（2）原式 = 6 x ( 2 a − 3 b )
（3）原式=−2mn(3n−2m+1)
（4）原式 = 1 2 a 2 b 2 ( 2 b − 3 c )
10.（1）原式=2(a−b)(a+2b)
（2）原式=3(x−1)2(2x+1)
（3）原式 = 2 ( m + n ) 2 ( m + n ) = 2 ( m + n ) 3
（4）原式 = 3 ( a − b ) 2 a − 2 ( b − a ) = 3 ( a − b ) 2 ( a − 2 b + 2 a ) = 3 ( a − b ) 2 ( 3 a − 2 b )
11. （1）原式 = 2 5 ( 5 2 + 6 + 2 2 ) = 3 2 2 0 = 6 4 0
（2）原式 = 2 1 0 0 0 − 2 9 9 9 = 2 2 9 9 9 − 2 9 9 9 = 2 9 9 9 ( 2 − 1 ) = 2 9 9 9
12. 原式=2ab(a+b−2)
当 a + b = 2 时，原式 = 2 a b ( 2 − 2 ) = 0
13. 根据题意得， S
1
= ( a − 2 b ) 2 、 S
2
= 4 b ( a − 2 b )
∵S −S =0
1 2
∴(a−2b)2 −4b(a−2b)=0
即 ( a − 2 b ) ( a − 6 b ) = 0
∵a＞2b
∴a−6b=0∴ a = 6 b
14.（1）提公因式、 ( 1 + x ) 2024
（2）原式=(1+x)1+x+x(1+x)+ +x(1+x)n−1
= ( 1 + x ) 2 1 + x + x ( 1 + x ) + + x ( 1 + x ) n − 2
=
= ( 1 + x ) n ( 1 + x )
= ( 1 + x ) n + 1第8课时 多项式的因式分解
1. D
2. C
3. A
4. 4047
5. 7
6. 15
7. 2、4、6、8
8. 4
9.（1）原式=(a+6)(a−6)
（2）原式 = ( x + 2 y ) ( x − 2 y )
（3）原式 =
m +
1
2
n
m −
1
2
n
（4）原式 = ( 3 b + 4 a ) ( 3 b − 4 a )
10. （1）原式 = ( x + 1 + 2 ) ( x + 1 − 2 ) = ( x + 3 ) ( x − 1 )
（2）原式 = ( a − b + b ) ( a − b − b ) = a ( a − 2 b )
（3）原式=(x+a+ y+b)(x+a− y−b)
（4）原式 = 3 ( a + 2 b ) + 2 ( 2 a − b ) 3 ( a + 2 b ) − 2 ( 2 a − b )
=(3a+6b+4a−2b)(3a+6b−4a+2b)=(7a+4b)(8b−a)
11. 8 .7 5 2 4
1
2
1 .2 5
2
8 .7 5 2 1 .2 5 2 −
= −
= ( 8.752 −1.252) =(8.75+1.25)(8.75−1.25)
答：这枚纽扣的横截面面积约为235.5 m m 2 .
12. 原式 =
1 +
1
2
1 −
1
2
1 +
1
3
1 −
1
3
1 +
1
4
1 −
1
4
1 +
1
n
1 −
1
n
=
3
2
1
2
4
3
2
3
5
4
3
4
n +
n
1
n −
n
1
1 n+1 n+1
= =
2 n 2n
13. 根据题意得，阴影面积为
1002 −992 +982 −972 + +22 −12
1 0 7 .5 2 3 5 .5 ( m m 2 ) = =(100+99)(100−99)+(98+97)(98−97)+ (2+1)(2−1)
=100+99+98+97+ +2+1
=(100+1)50=5050
14. （1）8、9
（2）答案不唯一，如(n+5)2 −(n+2)2或(n+1)2 −(n−2)2第9课时 多项式的因式分解
1. D
2. C
3. C
4. A
5. x − 1
6. 8
7. 12
8. 3 a + b
9. （1）原式 = ( a − 3 ) 2 （2）原式 = ( a b + 1 ) 2
（3）原式 =
x −
1
2
2
（4）原式=−(x+2y)2
10. （1）原式 = ( a + b + 4 ) 2
（2）原式=(x−1)2 +6(x−1)+9=(x−1+3)2 =(x+2)2
11. （1）原式 = ( 7 .7 5 + 2 .2 5 ) 2 = 1 0 2 = 1 0 0
（2）原式
( 1 2 .3 4 +
( 1
2
2
.3
.3
4
4
)
−
( 1
2
2 .3
.3 4
4
)
−
2
2 .3 4 )
=
1 4 .6
1
8
0
2
1 0
= 1 .4 6 8
12. 原式=a2 −2a(b−1)+(b−1)2 =a−(b−1) 2 =(a−b+1)2
当a−b=2时，原式 =(2+1)2 =9
13. x 2 + y 2 − 2 x y = ( x − y ) 2
∵ ( x − y ) 2 ≥ 0
∴ x 2 + y 2 ≥ 2 x y
14. （1）a2 −b2 −c2 +2bc=a2 − ( b2 −2bc+c2) =a2 −(b−c)2
= ( a + b − c ) ( a − b + c )
x2 +12x+20= x2 +12x+36−16=(x+6)2 −42
=(x+6+4)(x+6−4)=(x+10)(x+2)
（2）∵a2 +b2 +c2 −4a−6b−8c+29=0
∴a2 −4a+4+b2 −6b+9+c2 −8c+16=0∴(a−2)2 +(b−3)2 +(c−4)2
=0
∴ a = 2 、 b = 3 、 c = 4第10课时 多项式的因式分解
1. D
2. B
3. B
4. A
5. C
6.
1
4
( x + 2 ) 2 或
1
2
x + 1
2
7. 12
8. -2
9. （1）原式=a(x+1)(x−1)
（2）原式 = ( a 2 + 1 ) ( a + 1 ) ( a − 1 )
（3）原式 = 2 ( x 2 − 2 x y + y 2 ) = 2 ( x − y ) 2
（4） 原式 = − b ( a 2 − 8 a + 1 6 ) = − b ( a − 4 ) 2
10. （1）原式 = ( m − n ) ( x 2 − y 2 ) = ( m − n ) ( x + y ) ( x − y )
（2）原式 = ( x 2 − 2 + 7 ) ( x 2 − 2 − 7 ) = ( x 2 + 5 ) ( x 2 − 9 ) = ( x 2 + 5 ) ( x + 3 ) ( x − 3 )
（3）原式 = ( m 2 − n 2 ) 2 = ( m + n ) 2 ( m − n ) 2
（4）原式=a2 −4ab+4b2 =(a−2b)2
11. （1）原式 = a 2 − 4 − 5 = a 2 − 9 = ( a + 3 ) ( a − 3 )
（2）原式 = a 2 ( a − 1 ) − ( a − 1 ) = ( a − 1 ) ( a 2 − 1 ) = ( a + 1 ) ( a − 1 ) 2
12. 答案不唯一
（1）如 4 x 2 + 2 4 x = 4 x ( x + 6 ) 、 4 x 2 − 4 x y = 4 x ( x − y ) 、 4 x y + 3 6 = 4 ( x y + 9 )
（2）如 4 x 2 − y 2 = ( 2 x + y ) ( 2 x − y ) 、y2 −36=(y+6)(y−6)、 4 x 2 + 4 x y + y 2 = ( 2 x + y ) 2
（3）4x2 −36=4 ( x2 −9 ) =4(x+3)(x−3)、 4 x 2 + 2 4 x + 3 6 = 4 ( x 2 + 6 x + 9 ) = 4 ( x + 3 ) 2
13. （1） ( x − 1 ) 4
（2）设x2 −4x= A
原式=(A+3)(A+5)+1 = A2 +8A+15+1 =(A+4)2 = ( x2 −4x+4 )2 =(x−2)4
14. （1）(a+b+c)2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2bc+2ac（2）由（1）知 ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + 2 b c + 2 a c )
代入得 1 0 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 2 9
解得a2 +b2 +c2 =42
即三个小正方形的面积和为42
（3） 2 a 2 + 7 a b + 3 b 2 = ( 2 a + b ) ( a + 3 b )
a
b
b
b
a a b第11课时 小结与思考
一、选择题
1．C
2．D
3．A
4．C
5．B
6．A
二、填空题
7．﹣6x3y3
8．b（a﹣b）2
9．1．
10．±24．
11．3．
12．1．
三、解答题
13．（1）x（x＋1）（x﹣1）； （2）2y（x﹣y）2； （3）（2a＋1）2（2a﹣1）2
14．（1）4000000； （2）16m4﹣72m2＋81； （3）a2﹣2a＋1﹣b2．
15．（1）原式=6ab，将 a =
1
2
, b = − 1 带入，原式=﹣3
（2）原式=x2﹣2y2，将 x = 2 , y = −
1
2
带入，原式=
7
2
．
16．（1）30；（1）13．
17．（1）（x＋1）（x﹣7）； （2）（x＋3）（2x＋1）．
18．（1）225； （2）
1
4
n2（n＋1）2；
（3）①原式＝（3×1）3＋（3×2）3＋（3×3）3＋…＋（3×20）3
＝27×13＋27×23＋27×33＋…＋27×203
1
＝27（13＋23＋33＋…＋203）＝27× ×202×212＝27×44100＝
4
1190700
②原式＝[13＋23＋33＋…＋（2n）3]﹣[23＋43＋63＋…＋（2n）3]
＝
1
4
（2n）2（2n＋1）2﹣8（13＋23＋33…＋n3）
1 1
＝ ×4n2（2n＋1）2﹣8× ×n2×（n＋1）2
4 4
＝n2（2n＋1）2﹣2n2（n＋1）2＝n2（2n2﹣1）＝2n4﹣n2四、综合实践
19．（1）由（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy，得36＝30＋2xy，xy＝3；
（2）①±5；②17．
（3）如图，得到ED＝6﹣a，HG＝b﹣（6﹣a）＝a＋b﹣6，BQ＝6﹣b，
∵长方形的周长为16，面积为15.75，∴a＋b＝8，ab＝15.75
∴S1 ＋S2 ＋S3 ＝（6﹣b）2＋（8﹣6）2＋（6﹣a）2
＝72﹣12（a＋b）＋4＋a2＋b2
＝72﹣12×8＋4＋（a＋b）2﹣2ab
＝72﹣12×8＋4＋82﹣2×15.75
＝12.5．
20．（1）a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）；
（2）①（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3；
②由①得：125＝3ab（a＋b）＋a3＋b3，125＝3×3×5＋a3＋b3，a3＋b3＝125﹣
45＝80．
（3）4×
1
2
ab＋（b﹣a）2＝c2，
2ab＋b2﹣2ab＋a2＝c2，
2ab＋b2﹣2ab＋a2＝c2，
a2＋b2＝c2．
