文档内容
第14章 整式的乘法与因式分解 B 卷
一、单选题
1. ( 3分 ) 下列因式分解正确的是（ ）
A. x2-xy+x=x(x-y)；
B. a3+2a2b+ab2=a(a+b)2；
C. x2-2x+4=(x-1)2+3；
D. ax2-9=a(x+3)(x-3).
【答案】 B
【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】A、因为 x2−xy+x=x(x−y+1) ，所以A中分解错误；
B、因为 a3+2a2b+ab2=a(a2+2ab+b2 )=a(a+b) 2 ，所以B中分解正确；
C、因为 x2−2x+4=(x−1) 2+3 不属于因式分解，所以C中分解错误；
D、因为 ax2−9 在实数范围内不能分解因式，所以D中分解错误；
故答案为：B.
【分析】（1）由题意可知每一项由公因式x，提公因式后括号内有3项，即原式=x（x-y+1）;
（2）由题意先提公因式a，再将括号内的因式用完全平方公式分解即可，即原式=a（a+b）2；
（3）由完全平方公式a2-2ab+b2=(a-b)2 ， 于是可知原式不能用完全平方公式分解；
（4）原式没有公因式可提取。
2. ( 3分 ) 下列各式从左边到右边的变形，是因式分解的为（ ）
A. ab+ac+5=a(b+c)+5 B. a2−1=(a+1)(a−1)
C. (a+b) 2=a2+2ab+b2 D. a2b=2ab
【答案】 B
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、 ab+ac+5=a(b+c)+5 ，结果不是整式积的形式，故错误；
1B、 a2−1=(a+1)(a−1) ，正确；
C、 (a+b) 2=a2+2ab+b2 ，是多项式乘法，不是因式分解，错误；
D、 a2b=2ab ，左边是单项式，不是因式分解，错误；
故答案为：B
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，从而一一判断得出答案.
3. ( 3分 ) 下列计算正确的个数有（ ）
（ 1 ）-3×5=-15；（2）（-3）+（-7）=10；（3）0×（-8）=-8；（4）-6÷2=3
A. 1个 B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】 A
【考点】有理数的加法，有理数的乘法，有理数的除法
【解析】【解答】解：（1）-3×5=-15，故（1）正确；
（ 2 ） （-3）+（-7）=-10，故（2）错误；
（ 3 ）0×（-8）=0，故（3）错误；
（ 4 ）-6÷2=-3，故（4）错误，
故正确的只有1个，
故答案为：A.
【分析】利用有理数的加减法法则，乘法法则，除法法则计算即可作出判断.
4. ( 3分 ) 因式分解结果为(x-1)2的多项式是( )
A. x2-2x+1 B. x2+2x+1 C. x2-1 D. x2+1
【答案】 A
【考点】完全平方公式及运用，因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：A、x2-2x+1=（x-1）2,故A符合题意；
B、x2+2x+1=（x+1）2,故B不符合题意；
C、x2-1=（x+1）（x-1）,故C不符合题意；
D、x2+1不能分解，故D不符合题意。
故答案为：A
【分析】抓住因式分解结果为(x-1)2 ， 可知原多项式是二次三项式，因此排除C、D，而差的完全平方，
积的2倍的符号为负，因此排除B，即可得出答案。
25. ( 3分 ) 下列结论正确的是（ ）
A. 2﹣1=﹣2 B. 单项式﹣x2的系数是﹣1
a2−1
C. 使式子√x−2有意义的x的取值范围是x＜2 D. 若分式 的值等于0，则a=﹣1
a+1
【答案】 B
【考点】单项式，分式的值为零的条件，负整数指数幂的运算性质，二次根式有意义的条件
1
【解析】【解答】解：A、2﹣1= ， 故本选项错误；
2
B、单项式﹣x2的系数是﹣1正确，故本选项正确；
C、由x﹣2≥0得，x≥2，故本选项错误；
D、由a2﹣1=0且a+1≠0，解得a=1，故本选项错误．
故选B．
【分析】根据有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，单项式的定义二次根式被开方数大于
等于0，分式的值为0，分子等于0，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．
6. ( 3分 ) 下列计算正确的是（ ）
A. －2(x2y3)2＝－4x4y6 B. 8x3－3x2－x3＝4x3
C. a2b(－2ab2)＝－2a3b3 D. －(x－y)2＝－x2－2xy－y2
【答案】 C
【考点】整式的加减运算，完全平方公式及运用，整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、
−2(x2y3
)
2 ＝−2x4y6
，不符合题意；
B、 8x3−3x2−x3 ＝7x3−3x2 ，不符合题意；
C、 a2b（−2ab2 ）＝−2a3b3 ，符合题意；
D、 −（x−y） 2 ＝−x2+2xy−y2 ，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】A、 先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式的乘法法则算出结果，所以
−2(x2y3 ) 2 ＝−2x4y6 ≠ －4x4y6 ，不符合题意；
B、只有第一项与第三项是同类项，故只能将这两项进行合并，所以 8x3−3x2−x3 ＝7x3−3x2≠ 4x3 ，
不符合题意；
C、按照单项式的乘法法则即可算出答案，所以 a2b（−2ab2 ）＝−2a3b3 ，符合题意；
3D、 先根据完全平方公式求出两个多项式的积，再按去括号法则去括号即可，所以
−（x−y） 2 ＝−x2+2xy−y2 ≠ －x2－2xy－y2 ，不符合题意.
7. ( 3分 ) 下列各式成立的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. x2+ y2=(x+ y)(x−y) C. (a5÷a2 ) 2=a6 D. (﹣3xy) 3=27x3y3
【答案】 C
【考点】同底数幂的除法，平方差公式及应用，合并同类项法则及应用，积的乘方
【解析】【解答】 A ． a2 和 a3 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B． x2−y2=(x+ y)(x−y) ，故本选项不合题意；
C． (a5÷a2 ) 2=(a3 ) 2=a6 ，故本选项合题意；
D． (−3xy) 3=−27x3y3 ，故本选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项、平方差公式、同底数幂的除法及积的乘方分别进行计算，然后判断即可.
8. ( 3分 ) 下列计算正确的是（ ）
A. x4+x4=2x8 B. x3 ⋅x2=x6 C. (x2y) 3=x6 y3 D. (x−y) 2=x2−y2
【答案】 C
【考点】完全平方公式及运用，合并同类项法则及应用，积的乘方，幂的乘方
【解析】【解答】解：A. x4+x4=2x4 ，不符合题意；
B. x3 ⋅x2=x3+2=x5 ，不符合题意；
C. (x2y) 3=x6 y3 ，符合题意；
D. (x−y) 2=(x−y)(x−y)=x2−2xy+ y2 ，不符合题意
故答案为：C
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式进行计算求解即可。
9. ( 3分 ) 下列运算中，正确的是（ ）
1 2 1
A. (a+b) 2=a2+b2 B. (a− ) =a2−a+
2 4
C. (a−b) 2=a2+2ab−b2 D. (2a+b) 2=2a2+2ab+b2
4【答案】 B
【考点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】A、 (a+b) 2=a2+2ab+b2 ，故本选项不符合题意；
1 2 1
B、 (a− ) =a2−a+ ，故本选项符合题意；
2 4
C、 (a−b) 2=a2−2ab+b2 ，故本选项不符合题意；
D、 (2a+b) 2=4a2+4ab+b2 ，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式展开解答即可。
10. ( 3分 ) 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. x2+5x-1=x（x+5）-1 B. x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3x
C. x2-9=（x+3）（x-3）
D. （x+2）（x-2）=x2-4
【答案】 C
【考点】因式分解的定义
【解析】【解答】A.右边不是积的形式，故A错误；
B.右边不是积的形式，故B错误；
C.x2-9=（x+3）（x-3），故C正确．
D.是整式的乘法，不是因式分解
选C
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解
二、填空题
11. ( 4分 ) 多项式12b3﹣8b2+4b的公因式是________．
【答案】 4b
【考点】公因式
【解析】【解答】解：∵系数的最大公约数是4，相同字母的最低指数次幂是b，
∴公因式是4b．
故答案是：4b．
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
512. ( 4分 ) 把多项式 mx²−m y2 分解因式的结果是________．
【答案】 m(x+ y)(x−y)
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解： mx2−m y2=m(x2−y2 )=m(x+ y)(x−y) ，
故答案为： m(x+ y)(x−y) ．
【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式分解即可．
2 2014 5 2013
13. ( 4分 )( ) × (− ) ×(-1)2013=________
5 2
2❑
【答案】
5
【考点】同底数幂的乘法
2 2014 5 2013 2 2014+2013 2 4027
【解析】【解答】解： ( ) × (− ) ×(-1)2013= ( ) = ( )
5 2 5 5
2
故答案为： .
5
【分析】用同底数幂的乘法法则，将幂的积化为积的乘方即可简化计算.具体过程：
2013
原式= 2 × [2 × ( − 5)] ×(−1)= 2 ×(−1) 2013×(−1)= 2 .
5 5 2 5 5
14. ( 4分 ) 比较大小：3________ √7 （填写“＜”或“＞”）
【答案】 ＞
【考点】实数大小的比较
【解析】【解答】将3转化为 √9 ，然后比较被开方数即可得到答案；此题主要考查了比较实数的大小，
要熟练了解任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实
数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的
两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
【分析】将3转化为√9 ， 然后比较被开方数即可得到答案.
15. ( 4分 ) 因式分解 ax4−a y4= ________。
【答案】 a(x2+ y2 )(x+ y)(x−y)
【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法
6【解析】【解答】解： ax4−a y4=a(x4−y4 )=a(x2+ y2 )(x2−y2 )=a(x2+ y2 )(x+ y)(x−y) .
故答案为： a(x2+ y2 )(x+ y)(x−y).
【分析】由题意先提公因式a,再用两次平方差公式分解即可。
16. ( 4分 ) 计算：101×99＝________．
【答案】 9999
【考点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（100+1）（100-1）=10000-1=9999.
故答案为：9999.
【分析】将已知转化为（100+1）（100-1），再利用平方差公式进行计算.
17. ( 4分 ) 如图，在一块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为 b 的人行道把花圃分成9块，
下面是四个计算花圃内种花土地总面积的代数式：① (a−2b)(a−2b) ；② a2−4ab ；③
a2−4ab−4b2 ；④ a2−4ab+4b2 ．其中正确的有________．
【答案】 ①④
【考点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】由平移法可得，种花土地总面积=(a−2b)(a−2b)=a2−4ab+4b2 ，
∴① (a−2b)(a−2b) ，④ a2−4ab+4b2 正确．
故答案是：①④．
【分析】由平移法可得，种花土地总面积等于边长为（a-2b）的正方形的面积，进而可得：种花土地总面
积=a2-4ab+4b2 ， 即可得到结论．
18. ( 4分 ) 若 (x+3) x−3=1 ，则 x= ________。
【答案】 -2或3
【考点】0指数幂的运算性质，幂的乘方
【解析】【解答】(1) 任何不为零的数的零次幂等于1，
∴ x﹣3＝0 ，
7解得： x＝3 ，(2) 1的任何次幂都是1，
∴ x+3＝1 ，
解得： x＝﹣2 ，(3) ﹣1的偶次幂等于1
∴ x+3＝﹣1 ，且 x﹣3 为偶数，
解得：无解，
故答案为：﹣2或3．
【分析】根据任何不为零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都是1，﹣1的偶次幂等于1进行计算即可．
三、计算题
1 x
19. ( 10分 ) 先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x=2sin45°+1．
x+1 x2−1
x (x−1)(x+1)
【答案】 解：原式= •
x+1 x
= x−1 ，
√2
当x=2× +1= √2 +1时，
2
原式= √2 +1﹣1
= √2 ．
【考点】利用分式运算化简求值，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先将括号内通分计算，再将除法变乘法，约分化简，最后代入x的值计算即可．
20. ( 10分 ) 利用乘法公式计算：
（1）（﹣3a﹣2）（3a﹣2）+（3a﹣1）2；
（2）（2x+y+1）（2x+y﹣1）﹣（2x﹣y﹣1）2
【答案】 （1）解：（﹣3a﹣2）（3a﹣2）+（3a﹣1）2
＝﹣（3a+2）（3a﹣2）+（3a﹣1）2
＝﹣（9a2﹣4）+9a2﹣6a+1
＝﹣9a2+4+9a2﹣6a+1
＝﹣6a+5；
（2）解：（2x+y+1）（2x+y﹣1）﹣（2x﹣y﹣1）2
＝（2x+y）2﹣1﹣[（2x﹣y）2﹣2（2x﹣y）+1]
＝4x2+4xy+y2﹣1﹣（4x2﹣4xy+y2﹣4x+2y+1）
＝4x2+4xy+y2﹣1﹣4x2+4xy﹣y2+4x﹣2y﹣1
8＝8xy+4x﹣2y﹣2.
【考点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并同类项即可；（2）先利用平方
差公式和完全平方公式展开，然后合并同类项即可.
21. ( 5分 ) （y–z）2+（x–y）2+（z–x）2=（y+z–2x）2+（z+x–2y）2+（x+y–2z）2 ． 求
(yz+1)(zx+1)(xy+1)
的值．
(x2+1)(y2+1)(z2+1)
【答案】 解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2 ．
∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，
∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x
﹣z﹣x+2y）=0，
∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，
∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．
∵x，y，z均为实数，
∴x=y=z．
（yz+1)(zx+1)(xy+1)
∴
=1.
(x2+1)(y2+1)(z2+1)
【考点】代数式求值，因式分解的应用
【解析】【分析】先将等式的右边的各个式子看成一个整体，移到等式的左边，然后利用加法的交换律，
把左边变形成一加一减的形式，再利用平方差公式分别分解因式，在每个括号内合并同类项后利用单项式
乘以单项式法则去掉括号，再利用拆项，分组分解法，完全平方公式分解因式，再根据几个非负数的和等
于0，则这几个数都等于0，将方程降次，得出x,y,z的关系，再代入代数值计算即可得出答案。
四、解答题
22. ( 7分 ) 计算： √12−|−2|+(1−√3) 0 −9tan30°
【答案】 -1-√3
【考点】绝对值及有理数的绝对值，实数的运算，0指数幂的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角
的三角函数值
9√3
【解析】【解答】解：原式= 2√3-2+1-9×
3
= 2√3-2+1- 3√3
=-1- √3
【分析】本题涉及零指数幂，绝对值，二次根式化简，特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则求得
计算结果。
23. ( 7分 ) 已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．
【答案】 解法一：设另一个因式是x+a，则有（x+5）•（x+a），=x2+（5+a）x+5a，=x2+mx+n，
{5+a=m
)
{a=2
)
∴5+a=m，5a=n，这样就得到一个方程组 5a=n 解得 n=10 ∴m、n的值分别是7、10．解法二：依
m+n=17 m=7
题意知，x=﹣5是方程x2+mx+n=0的解，则25﹣5m+n=0，①又m+n=17，②由①②得到：m=7，n=10．
【考点】因式分解的定义
【解析】【分析】二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），则一定还有一个因式，一次项系数是1，设另
一个因式是x+a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等求解．
a a2−2a+1
24. ( 7分 ) 先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a= √3+1 ．
a+1 a2−1
a+1−a (a+1)(a−1) 1
【答案】 解：原式= • = ，
a+1 (a−1) 2 a−1
√3
当a= √3 +1时，原式=
3
【考点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分
得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
25. ( 12分 ) （阅读材料）观察下列图形与等式的关系，并填空：
101 1 1
⇒ +（ ）2＝1﹣（ ）2；
2 2 2
1 1 1
⇒ +（ ）2+（ ）3=________
2 2 2
1 1 1 1
⇒ +（ ）2+（ ）3+（ ）4＝________
2 2 2 2
（规律探究）观察下图：
1 1 1 1 1 1
根据以上发现，用含n的代数式填空： +（ ）2+（ ）3+（ ）4+（ ）5+…+（ ）n＝
2 2 2 2 2 2
________．
1+2+22+23+24+25+⋯+22017
（解决问题）根据以上发现，计算： =________．
1+2+22+23+24+25+⋯+22016
111 1 1 22018−1
【答案】 1﹣（ ）3；1﹣（ ）4；1﹣（ ）n；
2 2 2 22017−1
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】
【规律探究】
1 1 1 1 1 1 1
+（ ）2+（ ）3+（ ）4+（ ）5+…+（ ）n＝1﹣（ ）n ，
2 2 2 2 2 2 2
1
故答案为：1﹣（ ）n；
2
【解决问题】
1+2+22+23+24+25+⋯+22017
1+2+22+23+24+25+⋯+22016
1+2+22+23+⋯+22017
22017
＝
1+2+22+23+⋯+22016
22017
1 1 1 1
1+ + + +⋯+
2 22 23 22017
＝
1 1 1 1
+ + +⋯+
2 22 23 22017
1
1− +1
22017
＝
1
1−
22017
22018−1
＝ ．
22017−1
【分析】阅读材料：根据表格中的数据可以解答本题；规律探究：根据前面的发现可以解答本题；解决问
题：根据前面的规律可以解答本题．
12
