七年级下册第8章幂的运算单元作业_0作业_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学苏科版试卷_《优秀作业单》_七年级

七年级下册 第八章 幂的运算
8.1同底数幂的乘法
一、基础练习
1. 等式 a 2 ■ a 2 = a 4 ( a  0 ) 中的运算符号是（ ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
2. 下列算式中，结果等于 a 6 的是（ ）
A．a4 +a2 B．a2 +a2 +a2 C．a2a3 D．a2a2a2
3. 若 a 3  a 4  a n = a 9 ，则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京”．万以下是
十进制，万和亿之间为万进制，亿以后为亿进制，即1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1
万×1亿，1京＝1万×1万×1兆，则1京可表示为（ ）
A．1012 B．1016 C．1024 D．1032
5. 计算(−2)101+(−2)100的结果是（ ）
A．2100 B．－2 C．－1 D．－2100
6. 若3x＝12，3y＝5，则3x+y＝ ；
7. 已知2x＝5，则2x+3的值为________；
8. 计算： x  x 5 + x 2  x 4 ＝ ；
9. 已知2×4×16×32＝2m，求m的值．
10. 计算： ( − a 6 )  ( − a ) 7  ( − a ) 2 ．
二、拓展提升
11. 计算： ( a − b ) 2  ( b − a ) 3  ( a − b ) 4 ．
12. 若a+b+c＝1，求 ( − 2 ) a − 1  ( − 2 ) 2 b + 2  ( − 2 ) a + 2 c 的值．
13. 规定a*b＝3a×3b，求：
（1）求1*2；
（2）若2*(x+1)＝81，求x的值．三、综合实践
14. 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，
(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2 ，读作
3
“2的3次商”， (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作(－3) ，读作“－3的4次商”，
4
一般地，把
a  a  a
个 n

a
 a
(a≠0)记作a ，读作“a的n次商”．
n
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2 ＝ ，(－3) ＝ ；
3 4
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的2次商都等于1；B．对于任何正整数n，(－1) ＝－1；
n
C．3 ＝4 ；D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
4 3
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，
有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如： 2
4
= 2  2  2  2 = 2 
1
2

1
2

1
2
=
 1
2
 2
．
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．
(－3) ＝ ；
4
 1
7

5
＝ ．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次方商a 写成幂的形式等于 ．
n
（5）算一算： 5
2


−
1
2

4


−
1
3

5
+

−
1
4

3

1
4
．8.2幂的乘方与积的乘方
第1课时
一、基础练习
1. x18不能写成的是（ ）
A．(x2)16 B．(x2)9 C．(x3)6 D． x 9  x 9
2. ( − a 4 ) 3 等于（ ）
A. a 7 B. a 1 2 C. − a 7 D. −a12
3. 计算 ( a 3 ) 2  a 3 的结果是（ ）
A. a 8 B. a9 C. a 1 2 D. a 1 8
4. 下列计算正确的是（ ）
A．x3．x2＝2x6 B．x4．x2＝x8 C．(－x3)2＝x6 D．(x3)2＝x5
5. 如果 a = 3 5 5 ， b = 4 4 4 ， c = 5 3 3 ，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A. a  b  c B. c  b  a C. b  a  c D. b  c  a
6. 若ax＝2，则a3x＝_______；
7. (a3+m) 2＝___________；
8. 比较大小：922_______2715．
9. 计算：（1） ( a 2 ) n  ( a 3 ) 2 n ； （2）27a·3b ； （3） [ ( x 2 ) 3 ] 7 ．
10. 计算（：1） ( x 2 ) n − ( x n ) 2 ； （2） a 2  a 4 + ( − a 3 ) 2 ； （3） ( a 2 ) 3 − a 3  a 3 + 2 ( a 3 ) 2 ．
二、拓展提升
11. 已知am＝－2，an＝3，求a3m+2n的值．
12. 若am =an(a0，且a1，m、n都是正整数)，则 m = n ．试利用上述结论解决问题：
如果 28x16x =222，求x的值．13. 阅读下列材料：
若 a 3 = 2 ， b 5 = 3 ，则a、b的大小关系是a b（填“＞”或“＜”）．
因为a15 =(a3)5 =25 =32，b15 =(b5)3 =33 =27， 3 2  2 7 ，所以 a 1 5  b 1 5 ，
所以 ab．
依照上述方法解答下列问题：
已知 x 7 = 2 ， y 9 = 3 ，试比较x与y的大小．
三、综合实践
14.规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac =b，那么 ( a ， b ) = c ．
例如：因为 2 3 = 8 ，所以(2，8)＝3．
（1）根据上述规定，填空：(5，25)＝______；
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：(3n，4n)＝(3，4)，
请完成如下的证明：
设(3n，4n)＝x，则(________) x＝4n，即 (_______) n＝4n；
所以________＝4，即(3，4)＝x；
所以(3n，4n)＝(3，4)．
（3）请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3，20)－(3，4)＝(3，5).第2课时
一、基础练习
1.计算(ab)2的结果是（ ）
A．2ab B．a2b C．ab2 D．a2b2
2.下列计算正确的是（ ）
A．a3．a2＝a6 B．a2＋a4＝2a2 C．(a3)2＝a6 D．(3a)2＝a6
3.已知2m =5，3m =2.则6m的值为（ ）
A．7 B．10 C．25 D．32
4.计算：(xy2)3＝x3 (y2)3＝x3y 6，其中，第一步的运算依据是（ ）
A．积的乘方法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．同底数幂的乘法法则
5.如果 A =
9
9
9
9
9
9
， B =
1
9
1
9
9
0
，那么（ ）
A. AB B. AB C. A=B D. A、B大小不能确定
6. (－4xy2)2＝_______；
7.已知x a＝5，y a＝3，则 ( x y ) a 的值是____；
8. （1） (
1
3
) 1 0 0  ( − 3 ) 1 0 0 ＝_______； （2） ( −
1
2
) 1 0 0  2 1 0 1 ＝_______．
9. （1） ( − 2 a ) 3 − ( − a )  ( 3 a ) 2 ； （2） ( a 2 ) 3 − 3 a 3  a 3 + ( − 2 a 3 ) 2 ．
10. 在手工制作课上，小明做了一个正方体的数学学具，已知其棱长为6102mm，
求该正方体的表面积与体积．
二、拓展提升
11. 若 ( a m b n b ) 3＝ a 9 b 1 5 ，求 2 m + n 的值．
12. 若xn＝3，yn=−2，求(xy)2n与 ( x 2 y 3 ) n 的值．
13. 若x2n＝5，求 ( 3 x 3 n ) 2 − 4 ( x 2 ) 2 n 的值．
三、综合实践
14. 学习了“积的乘方”，我们知道 ( 3 b ) 2 = 9 b 2 ，请你用几何图形直观地解释上述式子．8.3同底数幂的除法
第1课时
一、基础练习
1、计算 x 2 0 2 4  x 3 = （ ）.
A. x 2 0 2 3 B. x2022 C. x2021 D. x2020
2、下列运算结果正确的是 （ ）.
A. x 3 + x 3 = x 6 B. x 3  x = x 2
C. ( 2 x y ) 3 = 2 x 3 y D. ( 2 x y ) 3  x y = 2 x 2 y 2
3、下列运算结果与 a 8  a 4 相同的是 （ ）.
A. a 3 + a B. （ a 3） 2 C. a 2 + 3 a 2 D. a m + 4  a m (𝑚为正整数）
4、已知am =3,an =9，则 a 3 m − n = （ ）.
A. 3 B. 6 C. 9 D. 27
5、计算 x 6  x 2  x 7 = .
6、计算（-2x)5 (4x2)2= .
7、已知a2023−m (a2)m−1 =a2019，则 m = .
8、如图是一个正方体的平面展开图，若正方体相对两个面上的式子或数相等，则
3 3 x − 2 y = .
9、计算下列各题.
(1) a 2  a 4 + a 8  a 2 − ( − 2 a 2 ) 3 ；
(2) ( b − a ) 2  ( b − a ) 4 + ( b − a ) 3  ( a − b ) 3 .
10、已知(mx)y =m6,(mx)2 my =m4，求xy−3(2x−y)的值.二、拓展提升
11、已知10m =20,10n =4,求：
(1) 1 0 2 m − n 的值；
(2) 3 4 m  9 n 的值．
12、阅读下列一段话，并解决后面的问题．
观察下面一列数：1，2，4，8，……我们发现，这列数从第二项起，每一项与它前一项的比
值都是2．我们把这样的一列数叫做等比数列，这个共同的比值叫做等比数列的公比．
(1)等比数列5，－15，45，…的第4项是_____________；
(2)如果一列数 a
1
, a
2
, a
3
…是等比数列，且公比是 q ，那么根据上述规定有
a
a
2
1
= q ,
a
a
3
2
= q ,
a
a
4
3
= q , ，…所以 a
2
= a
1
q , a =a q=aqq=aq2,
3 2 1 1
a
4
= a
3
q = a
1
q 2  q = a
1
q 3 , …则
a =____________；(用含a 与q的代数式表示)
n 1
(3)一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项和第4项．
13、 规定两数a,b之间的一种运算，记作 ( a , b ) ；如果 a c = b , 那么 ( a , b ) = c ．例如：因为 2 3 = 8 ，
所以 ( 2 , 8 ) = 3 ．
(1)根据上述规定，填空：
①(3,27)=______，(−2,−32)= ______；
②若 ( x ,1 6 ) = 4 , 则x=______．
(2)若(3,5)=a, (3,6)=b, (3,30)=c,，试说明下列等式成立的理由：a+b=c．三、综合实践
14、对数的创始入是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是
在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数
与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若 a x = N ( a ＞ 0 , a  1 ) , 则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x = lo g
a
N
比如指数式 2 4 = 1 6 可以转化为4=log 16,对数式2=log 25可以转化为
2 5
5 2 = 2 5 . 我们根据对
数的定义可得到对数的一个性质： lo g
a
( M N ) = lo g
a
M + lo g
a
N ( a ＞ 0 , a  1 , M ＞ 0 N ＞ 0 ) . 理由
如下：设 lo g
a
M = m , lo g
a
N = n , 所以 M = a m , N = a n , 所以 M N = a m a n = a m + n . 由对数的定义得
m+n=log MN,又因为m+n=log M+log N所以
a a a
lo g
a
( M N ) = lo g
a
M + lo g
a
N .
请你阅读上述材料，结合同底数幂的除法的相关知识，通过查阅相关资料，提出两个相
关问题并加以解答；同时将相关的结论与你的同学分享交流.8.3同底数幂的除法
第2课时
一、基础练习
1、计算 2 0 2 3 0 − | − 2 | （ ）.
A. 2 0 2 5 B. 2 0 2 1 C. − 1 D. 3
2、下列运算正确的是 （ ）.
A． 2 2 ( 3 .1 4 ) 0 5  − + − =
−3
3 27
B．   =
2 8
C． x 2  x 3 = x 5 D． a b 2 + a 2 b = a 3 b 3
3、已知  3 a b = 3 a 2 b ，那么 内应填的代数式是 （ ）.
A. a b B. 3ab C. a D. 3a
4、下列算式，计算正确的个数为 （ ）.
① 1 0 − 3 = 0 .0 0 0 1 ；② ( − 0 .0 0 0 1 ) 0 = 1 ；③ 3 a − 2 =
3
1
a 2
；④ ( − 2 ) 3  ( − 2 ) 5 = − 2 − 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、将
1
8 1
写成以 3
1
为底的幂的形式，即 =3n，则𝑛 = ．
81
6、已知 a = − ( 0 .2 ) 2 , b = − 2 − 2 , c =  − 1
2

− 2
, 则a，b，c从小到大的排序是 ．
．．．．
x +2
7、方程 −(x−1)0 =0的解为 .
3
8、对于有理数 a 、 b ，定义运算: a ▲ b ＝
 a
a
b
− b
( a
( a


b
b
, a
, a


0
0
)
)
例如2▲3＝2−3 =
1
8
，4▲2＝ 4 2 ＝16.照此定义的运算方式，计算[2▲(－4)]×[(－4)▲(－2)]
的结果是 .
9、把下列各数写成负整数指数幂的形式.
(1) 0.01； (2) 0 .0 0 0 0 0 0 1
1 1
; （3） ; （4）−
4 27
10、计算下列各题.
0 −3
（1）   2  +(−1)3 +   1   −3
3 3（2） 4 1 ( 2 0 2 3 ) 0 2 1
2
3
 − − − − +   
二、拓展提升
11、求下列各式中x的值.
(1) 1 6 2 − x = 8 x + 5 ；
(2) 3 .6  1 0 x = 0 .3 6 ．
2 −2
2 2 2 3 1 1 2 2
12、（1）你发现了吗？   =  ,  = = = 
3 3 3 2 3 2 3

3 3 3
  2 2
2
由上述计算，我们发现
 2
3

2
 3
2

− 2
；
（2）仿照（1），请你通过计算，判断
 5
4

3
与
 4
5

− 3
之间的关系．
（3）我们可以发现：
 b
a

− m
 a
b

m
（ a b  0 ）
（4）计算：
 3
8

− 4

 3
4

4
．
13、阅读材料：
①1的任何次幂都等于1；
②−1的奇数次幂都等于 − 1 ；
③−1的偶数次幂都等于1；
④任何不等于零的数的零次幂都等于1．
试根据以上材料探索使等式 ( 2 x + 3 ) x + 2 0 2 3 = 1 成立的x的值．三、综合实践
14、通过本节课的学习，我们规定了任何不为0的数的0次幂都等于1.事实上，数字0在整
个数学学科发展的历史长河中有着举足轻重的地位，请你查阅有关资料，通过小组合作，完
成学科小论文《“0”的奥秘》.8.3同底数幂的除法
第3课时
一、基础练习
1、石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论
厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A． 3 4  1 0 − 9 B． 3 4  1 0 − 8 C． 3 .4  1 0 − 8 D． 3 .4  1 0 − 7
2、某物质的密度a用科学记数法表示为 8 .9  1 0 − 5 ，则数a用小数表示为（ ）
A． 0 .0 0 8 9 B． 0 .0 0 0 8 9 C． 0 .0 0 0 0 8 9 D． 0 .0 0 0 0 0 8 9
3、华为麒麟 9 9 0 芯片采用了最新的 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 7 米的工艺制程，数0.000000007用科学记数
法表示为( )
A． 7  1 0 − 9 B． 7  1 0 − 8 C． 0 .7  1 0 − 9 D． 0 .7  1 0 − 8
4、“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若
苔花的花粉直径约为 0 .0 0 0 0 0 8 4 m，用科学记数法表示 0 .0 0 0 0 0 8 4 = 8 .4  1 0 n ，则n为（ ）
A． − 5 B． − 6 C．5 D．6
5、铍( B e )是一种轻金属，它的耐腐蚀性非常好，而且强度很高，用铍制造出来的发条弹簧，
可以承受 2 0 0 亿次以上的冲击．已知铍的原子半径为 0 .0 8 9 n m ( 1 n m = 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 1 m ) ，则
0 .0 8 9 n m 用科学记数法表示为( )
A． 0 .8 9  1 0 − 1 0 m B． 8 .9  1 0 − 1 0 m C．8.910−11m D． 0 .0 8 9  1 0 − 9 m
6、化学元素钉 ( R u ) 是除铁 ( F e ) 、钻 ( C o ) 和镍 ( N I i ) 以外，在室温下具有独特磁性的第四
个元 素．钉 ( R u ) 的原子半径约 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 9 m ．将 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 9 用科学记数法表示
为 ．
7、每立方厘米的空气质量约为1.410−3g，用小数把它表示为 g．
8、掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级n
的关系为E＝k×101.5n(其中k为大于0的常数)，那么震级为8级的地震所释放的能量是震级
为6级的地震所释放能量的________倍．
9、用科学计数法表示下列各数.
(1) 0.000 000 001 12 (2) 0.000 000 127
(3) 0.000 000 081 3 (4) 0.000 000 000 3310、世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021厘米，其质量也
只有0.000005克．
(1)用科学记数法表示上述两个数据．
(2)一个鸡蛋的质量大约是50克，多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等？
二、拓展提升
11、一个正方体集装箱的棱长为0.4m，
(1)这个集装箱的表面积是多少？体积多少？（用科学记数法表示）
(2)若有一个小立方体的棱长为0.02m，则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满？
（用科学记数法表示）
12、科学研究发现，与我们日常生活密不可分的一个水分子的质量大约是0.000 000 000 000
000 000 000 000 03kg．
(1)用科学记数法表示此数；
(2)6g水中大约有多少个水分子？
(3)通过进一步研究科学家发现：一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子构成的．已知氧
原子的质量约为2.66510−26kg.求一个氢原子的质量．13、【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
例如 2  2  2 ，记作 2 ③ ，读作“2的圈3次方”；
再例如 ( − 3 )  ( − 3 )  ( − 3 )  ( − 3 ) ，记作 ( − 3 ) ④ ，读作“ − 3 的圈4次方”；
一般地，把 a  a  a
n

个

a
  a ( a  0 ， n 为大于等于2的整数）记作 a ⓝ ，读作“ a 的圈n次方”．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：3③ = ；

−
1
4

⑤
= ；
(2)关于除方，下列说法错误的是 ．
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．对于任何大于等于2的整数 m ， 1 的圈 m 次方等于1；
C． 8 ⑨ = 9 ⑧
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
2
1 1 1 1
的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方→2④ =2222=2   =  →乘方
2 2 2 2
幂的形式．
(3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ( − 5 ) ⑥ = ；  1
2

⑧
= ；
(4)将一个非零有理数 a 的圈n次方写成幂的形式；
−24
 1
(5)计算： −  3−20．
 3
三、综合实践14、通过本节课的学习，我们了解了科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的
书写形式，可以方便地表示绝对值较大的数或较小的数.事实上，科学计数法作为一个强有
力的工具，在很多学科中都发挥着很重要的意义。例如，华罗庚曾经说过“宇宙之大, 粒
子之微, 火箭之速, 化工之巧, 地球之变, 生物之谜, 日用之繁, 无处不用数学.”其
中“宇宙之大, 粒子之微”不容易用数字表达, 这时就需要用到科学计数法, 请同学们
查阅有关资料，了解科学计数法在其他学科以及在实际生活中广泛的应用.第7课时 幂的运算小结与思考
一、基础练习
1. 若am=12，an=3，则a m-n等于（ ）
A．4 B．9 C．15 D．36
2. 下列计算正确的是（ ）
A． 2 a 2 + 3 a 2 = 6 a 4 B． a 2  a 6 = a 8 C． ( − 3 a ) 2 = − 9 a 2 D． a 8  a 4 = a 2
3. 已知10x =m， 5 x = n ，则 2 x 的值为（ ）
A．mn B．m+n C．
n
m
D．
m
n
4. 如果a=(−99)0， b=(−0.1)−1，c=  − 5  −2 ，那么a、b、c三数的大小为( )
 3
A. a  b  c B. c  a  b C. a  c  b D. c  b  a
5. 已知2x＝8，2y＝5，2z＝40，那么下列关于x，y，z之间满足的等量关系正确的是（ ）
A．x + y＝z B．xy＝z C．2x +y＝z D．2xy＝z
6. 人体中红细胞的直径约为0.000 007 7m，将0.000 007 7用科学记数法表示为 ；
7. 若 2 m  2 n  2 3＝ 6 4 ，则m+n＝ ；
8. 大数据时代，“二维码”具有存储量大的特点．通常，一个“二维码”由1000个大大小小
的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相
当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以
生成2200个不同的数据二维码，现有四种对2200的理解如下：
A： 2 2 0 0 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
B： 2 2 0 0 等于 2 0 0 2 ；
C： 2 2 0 0 的个位数字是6；
D：我知道 2 1 0 = 1 0 2 4 , 1 0 3 = 1 0 0 0 ，所以我估计2200比 1 0 6 0 大．
其中对 2 2 0 0 的理解正确的是___________（填写字母代号）．
1 1
9. 计算：（1）a3a5+(3a4)2a2； （2）(−3)0+(− )3−( )－2．
 
2 3
10. 已知am =3，an =2，求下列各式的值．
（1） a m + n ； （2）a3m+a2n； （3） a 2 m + 3 n ．二、拓展提升
11. 已知 x 3 = m ， x 5 = n ．
（1）用含有m、n的代数式表示x14； （2）用含有m、n的代数式表示x -2．
12. 根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量 E 与震级n的关系为 E = k  1 0 1.5 n （其中k为
大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能
量的多少倍？
13. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1
即S=22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
三、综合实践
14. 在数学活动中，小明为了求2−1+2−2 +2−3+2−4 +…+2−n的值．设计了如图①所示的几
何图形．
① ②
（1） 请你利用这个几何图形求2−1+2−2 +2−3+2−4 +…+2−n的值为______（结果用n表示）；
（2）请你利用图②，再设计一个能求2−1+2−2 +2−3+2−4 +…+2−n的值的几何图形．参考答案
七年级下册第八章 幂的运算
8.1同底数幂的乘法
1. C 2. D 3. B 4. C 5. D 6. 60 7. 40 8. 2 x 6
9. 由2×4×16×32＝2m，可得2×22×24×25＝2m，即212＝2m，所以m＝12．
10. ( − a 6 )  ( − a ) 7  ( − a ) 2 ＝ a 6  a 7  a 2 ＝ a 1 5 ．
11. ( a − b ) 2  ( b − a ) 3  ( a − b ) 4 ＝ − ( a − b ) 2  ( a − b ) 3  ( a − b ) 4 ＝ − ( a − b ) 9 ．
12. ( − 2 ) a − 1  ( − 2 ) 2 b + 2  ( − 2 ) a + 2 c = ( − 2 ) a − 1+ 2 b + 2 + a + 2 c = ( − 2 ) 2 a + 2 b + 2 c + 1 = ( − 2 ) 2 (a + b + c )+ 1 ，
因为a+b+c＝1，所以 ( − 2 ) a − 1  ( − 2 ) 2 b + 2  ( − 2 ) a + 2 c = ( − 2 ) 3 = − 8 ．
13. （1） 1*2＝31×32＝27；
（2） 由2*(x +1)＝81，可得32×3x+1＝34，2+ (x +1)＝4，所以 x＝1．
14. （1）
1
2
1
9
； （2）BC； （3） ( −
1
3
) 2 ， 7 3 ； （4）
 1
a
 n − 2
；
（5） 5
2


−
1
2

4


−
1
3

5
+

−
1
4

3

1
4
＝ 1  2 2  ( − 3 ) 3 + ( − 4 ) 1 
1
4
＝ −
3 1
4
．
8.2幂的乘方与积的乘方
第1课时
1. A 2. D 3. B 4. C 5. C 6. 8 7. a6+2m 8. ＜
9. （1）(a2)n(a3)2n＝a2na6n＝a8n；
（2）27a·3b＝33a·3b＝33a+b；
（3） [ ( x 2 ) 3 ] 7 = （ x 6） 7 = x 4 2 ．
10. （1） ( x 2 ) n − ( x n ) 2 ＝ x 2 n－ x 2 n＝ 0 ；
（2） a 2  a 4＋ －( a 3 ) 2 = a 6＋ a 6 = 2 a 6 ；
（3） ( a 2 ) 3 − a 3  a 3 + 2 ( a 3 ) 2 = a 6 − a 6 + 2 a 6 = 2 a 6 ．
11. a 3 m + 2 n = ( a m ) 3  ( a n ) 2 = ( − 2 ) 3  3 2 = − 7 2 ．
12. 由 2  8 x  1 6 x = 2 （ 2 3 ） x （ 2 4 ） x = 2 1+ 7 x = 2 2 2 ，
得1+7x=22，所以 x = 3 ．
13. 因为x63 =(x7)9 =29 =512，y63 =(y9)7 =37 =2187， 512＜2187，
即 x 63＜ y 63 ，所以x＜y．
14.（1）2
（2）3n，3x，3x；
（3）设3x＝4，3y＝5，则3x  3y＝3 x+ y＝4×5＝20，
所以(3，4)＝x，(3，5)＝y，(3，20)＝x＋y
所以(3，20)－(3，4)＝x＋y－x＝y＝(3，5)，
即 (3，20)－(3，4)＝(3，5)．
第2课时
1. D 2. C 3. B 4. A 5. C 6. 16x2y4 7. 15 8.（1）1；（2）2
9. （1）(−2a)3 −(−a)(3a)2 =−8a3 +9a3 =a3；（2） ( a 2 ) 3 − 3 a 3  a 3 + ( − 2 a 3 ) 2 = a 6 − 3 a 6 + 4 a 6 = 2 a 6 ．
10. 表面积为: 6  ( 6  1 0 2 ) 2 = 6  3 6  1 0 4 = 2 1 6  1 0 4 = 2 .1 6  1 0 6 ；
体积为 : ( 6  1 0 2 ) 3 = 6 3  1 0 6 = 2 1 6  1 0 6 = 2 .1 6  1 0 8 ；
答：该正方体的表面积为2.16106mm2，体积为2.16108 mm3．
11. 因为 ( a m b n b ) 3＝ a 3 m b 3 n + 3， 所以 3 m ＝ 9 ， 3 n + 3 ＝ 1 5 ， 得 m ＝ 3 ， n ＝ 4 ，
所以 2 m + n = 2 7 = 1 2 8 ．
12. ( x y ) 2 n = x 2 n y 2 n = ( x n ) 2 ( y n ) 2 = 3 2  ( − 2 ) 2 = 3 6 ；
(x2y3)n =x2ny3n =(xn)2(yn)3 =32(−2)3 =−72．
13. ( 3 x 3 n ) 2 − 4 ( x 2 ) 2 n = 9 ( x 2 n ) 3 − 4 ( x 2 n ) 2 = 9  5 3 − 4  5 2 = 1 0 2 5 ．
14. S
正 方 形 A B C D
= 3 b  3 b = ( 3 b ) 2 ， S
正 方 形 A B C D
= 9  b 2 = 9 b 2 ，
所以 ( 3 b ) 2 = 9 b 2 ．
8.3同底数幂的除法
第1课时
1、C
2、B
3、D
4、A
5、x11
6、 − 2 x
7、2
1
8、
2
9、（1）原式=a6 +a6 +8a6 =10a6；
（2）原式=(a−b)2 (a−b)4 −(a−b)3 (a−b)3
= ( a − b ) 6 − ( a − b ) 6
=0；10、由题意得： x y = 6 ， 2 x − y = 4 ；
∴原式=6−34=−6
11、（1）102m−n =102m 10n = ( 10m)2 10n =202 4=100；
（2）由（1）得102m−n =100=102，
 2 m − n = 2 ，
 3 4 m  9 n = ( 3 2 ) 2 m  9 n = 9 2 m − n = 9 2 = 8 1 ．
12、（1）-135
（2） a
1
q n − 1
（3）∵ a
2
= 1 0 ， a
3
= 2 0 ，
∴ q =
a
a
3
2
=
2
1
0
0
= 2 .
又 a
2
= a
1
 q ， a
4
= a
3
 q ，
a 10
∴a = 2 = =5.
1 q 2
a
4
= 2 0  2 = 4 0 .
13、（1）①3，5；②  2 ；
（2）证明：∵(3,5)=a，(3,6)=b， ( 3 , 3 0 ) = c ，
∴由题意知， 3 a = 5 ， 3 b = 6 ， 3 c = 3 0 ，
∵56=30，
∴ 3 a  3 b = 3 c ，即 3 a + b = 3 c ，
∴a+b=c．
14、问题示例：
问题一：将指数43 =64转化为对数式；
M
问题二：证明：log =log M −log N(a0，a1，M 0，N 0)；
a N a a
问题三：计算： lo g
3
3 = _________；log 2+log 4−log 8=_________．
2 2 2
解答：问题一：将指数43 =64转化为对数式：3=log 64．
4
问题二：证明：设log M＝x，log N＝y，
a a∴M＝ a x ，N＝ a y ，∴
M
N
=
a
a
x
y
= a x − y ，
由对数的定义得 lo g
a
M
N
= x − y ，又∵ x − y = l o g
a
M − l o g
a
N ，
M
∴ log =log M −log N(a0，a1，M 0，N 0)；
a N a a
问题三：∵ 31 =3，∴ lo g
3
3 = 1 ；
由题意：log 2+log 4−log 8=log (248)=log 1=0；
2 2 2 2 2
第2课时
1、C
2、C
3、C
4、A
5、 − 4
6、 b  a  c
7、 x = − 1
8、1
9、（1）0.01 = 1 0 − 2 ；
（2）0.000 000 1=10−7
（3）
1
4
= 4 − 1 = 2 − 2
（4） −
1
2 7
= ( − 2 7 ) − 1 = ( − 3 ) − 3
10、（1）原式=1−1+9=9
1 1
（2）原式=− −1+2 =−1
4 8
11、(1) 1 6 2 − x = 8 x + 5 ；
28−4x =23x+15
8−4x=3x+15
x = − 1
(2)3.610x =0.36．
3.610x =3.60.13 .6  1 0 x = 3 .6  1 0 − 1
x = − 1
12、（1）＝；
（2）∵
 5
4

3
=
5
4

5
4

5
4
，
 4
5

− 3
=
4
5

1
4
5

4
5
=
5
4

5
4

5
4
， ∴
 5
4

3
=
 4
5

− 3
，
（3）＝；
（4）原式＝
 1
2

3
4
 − 4

 3
4
 4
＝
 1
2
 − 4

 3
4
 − 4

 3
4
 4
＝

1
1
2
 4

 3
4
 − 4 + 4
＝16×1＝16．
13、①当2x+3=1时，解得 x = − 1 ，
此时 ( 2 x + 3 ) x + 2 0 2 3 = 1 2 0 2 2 = 1 ，所以 x = − 1 符合题意；
②当 2 x + 3 = − 1 时，解得 x = − 2 ，此时 ( 2 x + 3 ) x + 2 0 2 3 = ( − 1 ) 2 0 2 1 = − 1 ，所以 x = − 2 不符合题意；
③当 x + 2 0 2 3 = 0 时，解得 x = − 2 0 2 3 ，且2(−2023)+30，所以 x = − 2 0 2 3 符合题意；
综上所述，x的值为 − 1 或 − 2 0 2 3 ．
14、相关史实呈现：
公元前19—16世纪，巴比伦开始用“空位”表示零.如图1例如，82表示为：
公元前700年前，在伊拉克基什遗址挖掘出一块记事簿，这也是最早的证明巴比伦人开
始使用零的符号的证据，簿中用三个“挂钩”来表示零；
公元前300—200年，巴比伦人在天文和数学领域采用了两种不同的符号表示零(图2)；
关于希腊人发明零号有两种不同说法.一种是美国数学家M.克莱因认为在公元前3—1
世纪希腊就有了零的记号，如0 · 0,0,8和.另一种说法是梁宗巨认为零是在公元2世纪创立
的，使用小圈“o”表示 “0”；
公元初年，生活在海边的玛雅人发明了形状很像贝壳的符号表示
零.除了贝壳形状的零，玛雅人的零还有其他不同的书写方式(图 3)；
公元2世纪，古希腊天文学家托勒密(约公元 100—170)的《天文
学大成》中出现小圆圈“o”,表示 空位.但托勒密的“0”并不是我们现代数码上的起占位作用的“0”,而是将圆周划分为360度，每度等于60分，每分等于60秒，即60进制.
中国“0”的表达最初多为文字叙述，例如，“初、 端、空、本"等.古代文人也多用"0”来
题诗，例如下表：
作者 书籍 诗句
《大明历》(463 年)(最早 记载)
祖冲之 “置 所 求 入 初 末 限 ”
“太阳冬至前后二象盈初缩 末限"
刘 焯 《皇极历》(604 年)
李大师 、 李延寿 “广州尝献入筒细布， 一端 八丈"
《二十五史 · 南史》
一 行 《 大 衍 历 》 “七十五度空”
王 朴 《钦天历》(956 年) “空二十八”
595 年，印度有了位值制的思想，但最初的 0 还 是以空一位来表示.就如 206
表示成 26 ,2006 表示成 2 6,但这种计数方式容易在日常的计数中造成误解，因
此印度人采用“ · ”替代空位的方式，如 2013 表示为 2·13,在巴克沙利的手稿中就明确
记载了"·"表示0(330书写为33· ),并且在该手稿中 还将 0 用于计算中.
公元 876 年，在瓜廖尔地区的某块石碑上记载着确凿无疑的小圆圈零号.但根据文献
资料的记载证 明，公元 876 年并不是最早发现 0 的时间.8 世纪的 拉科利的碑文
上有数字 30 的记载，公元 753 年在 尔的碑文上有数字 20 的记载；在公元 870
年，瓜廖尔的波门提婆的碑文上也有 0 的记录；在印度尼 亚邦加岛的碑文上有
10 进位值制中的 608 表示为 O.
南宋时期，用“□”来表示0的方式流行开来，如 蔡元定的《律吕新书》中118098写作“十
一万八千口九十八".由于后期简便的书写习惯，方块□顺笔画 成了圆圈 O. 最早使
用 O 表示数 0 的是《大明历》 (1180年)中的记载，将403写作“四百O 三”.到南宋
秦九韶的《数书九章》(1247年)就大量使用O.
巴比伦人的文化，创造了零的概念，玛雅靠海的生态环境发明了圆滑曲线的零的符号，
印度宗教的丰富，让零踏入了计算的舞台，而中国的智慧让零也有了不一样的风采.零的发
明完善了位值制.这样的产生过程，产生了它独特的文化，也让人们对“0”产生了欣赏和惊讶
的心态.它打开了人们新的思维方式，让人们排除了世间万物之间的联系，思考和发明出了现实中所没有的符号.这个符号代表了人类的发展是不可知的，是无限的.这可以说是
跳跃了惯常的思维来观察这个世界，把没有的物质灵活运用于现实生活的各个方面.它
的发展让人明白了，再小的符号，也能提出许多的问题，也能牵扯出理论地碰撞，更能掀起
思维之海的浪花.
（参考文献：陈梦倩《数字“0”的产生及其中的数学文化》）
第3课时
1、D
2、C
3、A
4、B
5、C
6、 1 .8 9  1 0 − 1 0
7、0.0014
8、1000
9、(1) 0.000 000 001 12 = 1 .1 2  1 0 − 9
(2) 0.000 000 127 = 1 .2 7  1 0 − 7
(3) 0.000 000 081 3=8.1310−8
(4) 0.000 000 000 33=3.310−10
10、（1） 0.021厘米＝2.1× 1 0 − 2 厘米，0.000005克＝5× 1 0 − 6 克；
（2）设x只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等，根据题意，得
0.000005x＝50，
解得x＝10000000＝1× 1 0 7 ，
答：1×107只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等．
11、（1）表面积为0.4×0.4×6＝9.6  1 0 − 1 （m2），
体积为0.4×0.4×0.4＝6.410−2（m3），
答：这个集装箱的表面积是9.610−1m2，体积6.410−2m3；
（2）6.4  1 0 − 2 ÷（0.02×0.02×0.02）＝8103（个），
答：需要8103个这样的小立方块才能将集装箱装满．12、（1） 0 .0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 = 3  1 0 − 2 6
（2）因为 6 g = 0 .0 0 6 k g ，
所以 6 g 水中大约有水分子： 0 .0 0 6  ( 3  1 0 − 2 6 ) = 2  1 0 2 3 （个）
（3）一个氢原子的质量为： ( 3  1 0 − 2 6 − 2 .6 6 5  1 0 − 2 6 )  2 = 1 .6 7 5  1 0 − 2 7 ( k g )
13、（1）
1
3
， − 6 4 ；
（2）C；
4
 1
（3） −  ，
 5
2 6 ；
（4）由题意可得，
当 a  0 时， a ⓝ = a  a  a
n

个

a
  a
= a 
1
a

1
a
   
1
a
=
 1
a

n − 2
，
（5）

−
1
3

− 2 4
 3 − 2 0 =

−
1
3

− 2 0
 3 − 2 0 

−
1
3

− 4
=

− 3 
1
3

− 2 0
 3 4 = 1  3 4 = 8 1 ．
14、答案示例：
在物理实验中，很多物理现象的运算都需要用到极大或极小的数值，例如光的传播速度
可以写成3108m/s，另外还有许多长度单位，例如纳米、微米；时间单位毫秒等使用科学
计数法进行表达都会十分方便；
除此之外，科学计数法在化学、生物等学科中也有十分广泛的应用.例如甲烷俗称瓦斯，
是天然气、沼气、坑气等的主要成分．甲烷分子的直径约为0.000000000414m，用科学记
数法可以表示为4.1410−10m；生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，
一个DNA分子的直径约为0.0000003cm，这个数用科学记数法可表示为310−7cm.
当然，在实际生活中，当我们面对极大或极小的数时，我们也可以利用科学计数法来简
化书写. 这些丰富的实例无不向我们展示着数学的魅力和其丰富的应用价值.小结与思考
1. A 2. B 3. D 4. C 5. A 6. 7 .7  1 0 − 6 7. 9 8. ACD
9. （1）a3a5+(3a4)2a2 =(a8+9a8)a2 =10a8a2 =10a6；
 
1 1 1 65
（2）(−3)0+(− )3−( )－2 =1− −9=− ．
2 3 8 8
10. （1） a m + n = a m  a n = 6 ；
（2）a3m +a2n =(am)3 +(an)2 =33 +22 =31；
（3） a 2 m + 3 n = ( a m ) 2  ( a n ) 3 = 3 2  2 3 = 7 2 ．
11. （1） x 14 = x 9  x 5 = ( x 3 ) 3  x 5 = m 3 n ；
（2） x − 2 = x 3  x 5 = x 3  x 5 =
m
n
．
12. 根据能量E与震级n的关系为 E = k  1 0 1.5 n （其中 k 为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：k101.58 =k1012，
当震级为6级的地震所释放的能量为： k  1 0 1 .5 6 = k  1 0 9 ，
k
k


1
1
0
0
1 2
9
= 1 0 3 = 1 0 0 0 ，
答：震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．
13. （1）设S=1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211，
将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1．
（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，
两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，
下式减去上式得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=
3 n + 1
2
− 1
，
则1+3+32+33+34+…+3n=
3 n + 1
2
− 1
．
14. （1）设总面积为：1，最后余下的面积为：
1
2 n
，
故 2 − 1 + 2 − 2 + 2 − 3 + 2 − 4 + … + 2 − n 的值为： 1 −
1
2 n
．
（2）如图：
……