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七年级上册第二单元 有理数
2.1 正数与负数
一、基础练习
1
1．在数－2023，0，－3， ，＋2023，－0.27，－π中，负数有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各数中，既是正数又是分数的是（ ）
A．2023 B．3.14 C．－5% D．－2023
3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正、负以名之”，这句话的意思
是：今有两个数，如果它们的意思相反，则分别把它们叫做“正数”和
“负数”．如果80 m 表示向东走 80 m，那么－60 m 表示（ ）
A．向东走60 m B．向北走60 m
C．向西走60 m D．向西走－60 m
4．古筝是中国独特的民族乐器之一，为保持音准，弹奏者
常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝
调音器软件的界面，指针指向 40表示音调偏高，需放
松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最
接近标准音（指针指向 0处为标准音）的是（ ）
A．－30 B．－5 C．5 D．20
5．将高于平均水位 2 m 记作＋2 m，那么低于平均水位 0.5 m，记作_____ m．
6．把保险锁按逆时针方向转 1圈记作＋1圈，那么－2圈表示________．
7．光盘的质量标准中规定：厚度为（1.2±0.1）mm 的光盘是合格，那么光盘
的最小厚度为________ mm．
8．湖边有一段堤岸高出湖面 4 m，湖底有一沉船在湖面下 10 m 处．现以湖边堤
岸为“基准”，那么沉船的深度表示为________ m．
9．下面两个圈分别表示负数集合和分数集合，请找出 8个数填入这两个圈中，
使其中每个圈中正好有 5个数，并说出这两个圈重叠部分表示什么数的集
合？
… …
负数集合 分数集合
110．某食品厂生产的袋装食品标准质量为每袋 453 g，从中抽出样品6袋，检测
每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记
录如表：
袋子编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
与标准质量的差值
－8 ＋2 ＋6 －1 0 ＋7
（单位：g）
（1）样品中最重一袋与最轻一袋的质量相差________ g；
（2）若该种食品合格标准为 453±5 g，则样品中合格的袋数有______袋．
二、拓展提升
11．用两种不同的标准把下列各数进行分类：
1
－7，0，－3， ，＋2023，－0.27，3.14，－5%，－2023．
2
12．小明妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具，原计划
每天生产 20 个，但由于种种原因，实际每天生产个数与原计划每天生产个
数相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况记录表（增产记为正、减产
记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增、减产值 ＋7 －11 －4 ＋8 －1 ＋6 0
（1）根据表格可知小明妈妈本周五生产玩具________个；
（2）根据表格可知小明妈妈本周实际生产玩具________个；
（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资 5元；若当天
超额完成，则每增产一个另奖3元；若当天未完成原计划生产个数，
则每减产一个倒扣 2元，求小明妈妈本周的工资总额是多少元？
13．北京与莫斯科的时差为 5 小时，例如，北京时间 13:00，同一时刻的莫斯科
时间是 8:00.小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间
9:00～17:00 之间选择一个时刻开始通话，这个时间最早可以是北京时间几
点？
2三、综合实践
14．数学小历史——数的发展史
数的产生和发展离不开生活和生产的需要．
现在，我们认识了负数，你了解负数的由来与发展吗？请查找有关负数发
展史的资料，撰写一篇数学小报告，介绍负数的由来与发展．
32.2 有理数与无理数
一、基础练习
1．下列说法：①正数和负数统称为有理数；②整数和分数统称为有理数；③无
限不循环小数叫做无理数，正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列各数中，为无理数的是（ ）
2
A．π B． C．0 D．－2
3
3．下列正方形中，边长为无理数的是（ ）
25
A．面积为64的正方形 B．面积为 的正方形
16
C．面积为1.44 的正方形 D．面积为12的正方形
4．已知 x＝π－3，下列结论错误的是（ ）
．．
A．x是正数 B．x是无理数
C．2x是有理数 D．x＋4是无理数
11 π . .
5．在数0，－ ， ，0.13 ，0.101 001 0001...（相邻两个1之间依次增加 1个
7 3
0），3%中，无理数的个数有________．
22 π
6．在数 ，－ ，－3.14，－1.2 • 3 •，3%中，负分数的个数有________个．
7 3
7．设边长为 a 的正方形的面积为 2．下列关于 a 的三种说法：①a 是有理数；
②a 是分数；③1＜a＜1.5．其中，所有正确的序号是________．
8．写出一个正无理数：________，一个负无理数：________．
π 1
9．将下列各数填在相应的集合中：6，－3，－0.14， ，2010，0，－2 ，
2
9
－2.3131131113…(相邻两个 3 之间依次增加 1个1)；
（1）正数集合{ ...}
（2）负数集合{ ...}
（3）有理数集合{ ...}
（4）无理数集合{ ...}
10．如图，在正方形网格中，每个正方形的边长均为 1，设阴影部分的大正方形
的边长为 a．
（1）图中阴影部分的面积是________；
（2）与a最接近的整数是________．
（第10题）
4二、拓展提升
11．写出两个4到5 之间的无理数.
12．如图，将两个边长为 2的小正方形剪拼成一个大正方形，大正方形的边长 x
是一个无理数，估计 x的保留两位小数的近似值.
x x
2
2 2
2
x x
（第12题）
. . .
13．无限循环小数如何化为分数呢？例如：把 0.3 和0.312 化为分数.
. . . . . .
因为 0.3 ×10＝3.3 ， 因为 0. 312 ×10＝3.12 ①，
. . . . . . . .
所以 0.3 ×10－0.3 ＝3.3 －0.3 . 0. 312 ×1000＝312.12 ②，
. 所以 ②－①得
即 0.3 ×（10－1）＝3，
. . . . . . . .
. 3 1 0. 312 ×1000－0. 312 ×10＝312.12 －3.12 .
0.3 ＝ ＝ .
9 3
. .
309 103
所以 0. 312 ＝ ＝ .
990 330
阅读材料，解决下列问题：
. .
（1）把0.17 化为分数；
. .
（2）把0.217 化为分数．
三、综合实践
14．数学小剧场——“无理数”的发现
公元前500 年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯发现了一个惊人的事
实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长
为1，则对角线的长不是一个有理数），从而引发了数学史上的第一次数学
危机．查阅相关资料，以小组为单位，设计一个情景剧剧本，展现“无理
数”的发现历程．
52.3 数轴（1）
一、基础练习
1．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
－2－ 1 0 1 2 －2－ 1 0 1 2
C． D．
－1－ 2 0 1 2 －2－ 1 0 1 2
2．下列说法中，错误的是（ ）
．．
A．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示
B．任何一个无理数都可以用数轴上的点表示
C．数轴上的任意一点都表示一个有理数
D．原点表示的数是 0
3．如图，数轴上的点 A表示的数可能是（ ）
A
－4 －3 －2 －1 0 1 2
（第3题）
4 1 1
A．－4 B．－4 C．－3 D．－π
5 5 2
4．数轴上，在原点右边 2个单位长度的点表示的数是________．
5．数轴上，距原点 2个单位长度的点表示的数是________．
6．数轴上，距表示数 1的点2个单位长度的点表示的数是________．
7．如图，点A表示的数为－2，点B表示的数是________．
2 0 甲
A 1 B 1 0 乙
（第7题）
（第8题）
8．如图，现有甲、乙两个同样的刻度尺，将它们按如图位置放置，如果向左移
动甲刻度尺，使其刻度“2”与乙刻度尺上的刻度“0.8”对齐，那么此时乙
刻度尺上与甲刻度尺上的刻度“4”对齐的数是________．
9．在数轴上表示下列各数：
2
－2，－0.8， ，2.
3
610．在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东 3 m 和7.5 m 处分
别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西 3 m 和4.8 m 处分别有一棵槐树和
一根电线杆，利用数轴表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系．
二、拓展提升
11．已知A、B、C 是数轴上的三个点，点 A、B表示的数分别是－4、2，点C
到点 A的距离是点 C 到点B的距离的2倍，求点 C 表示的数？
12．设长为 2，宽为 1的长方形的对角线长为 a．在数轴上画出表示a、－a的
点.
－4 －3 －2 －1 0 1 2
（第12题）
13．如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆，A是半圆的中
点，半圆直径的一个端点位于原点O．该半圆沿数轴从原点O开始向右无
滑动滚动，当点 A第1次落在数轴上时，此时点 A表示的数是多少？第 10
次呢？
A
O
（第13题）
三、综合实践
14．数学小创意——情绪时间轴
2023年，你做了哪些事？如果把这一年的“时光”绘制成一条数轴，
这些事就是数轴上的一个个点．有些瞬间看似微不足道，整理出来却发现
改变了成长的走向，而有些困难，当时以为难以克服，其实只是数轴的一
个小点．
请思考这一年来对自己产生很大影响的事情，根据自己对这件事的感
受，用代表着不同情绪的颜色，写下这件事情，并用数轴上的点来表示，
绘制“情绪时间轴”，并与同伴交流分享，感悟我们的成长历程．
72.3 数轴（2）
一、基础练习
1．有理数 a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0＞b B．0＞a＞b
C．a＞b＞0 D．b＞0＞a a 0 b
（第1题）
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．最小的负数是－1 B．最小的正数是 1
C．最小的负整数是－1 D．最小的正整数是 1
3．已知数轴上有一点 A，一只蚂蚁从A出发，爬行 3个单位长度到达原点，则
点A表示的数是（ ）
A．3 B．－3 C．±3 D．6
4．如图，一滴墨水洒在数轴上，则墨迹覆盖住的整数点的个数是（ ）个
A．13 B．12
－8.2 2.8
C．11 D．10
（第4题）
3 4
5．比较大小：－ ________－ （填“＜”、“＝”、“＞”）．
4 5
6．在数轴上将点 A从原点出发先向左移动3个单位，再向右移动 4个单位，
则点 A表示的数是________．
7．已知数轴上有 A、B两个点，点A与原点的距离为 4，A、B两点之间的距离
为2，写出所有满足条件的点 B表示的数是________．
8．将长为 2个单位长度的木条水平放置在数轴上，最多能覆盖______个表示整
数的点．
9．在数轴上表示下列各数，并按照由小到大的顺序把它们用“＜”连接起来．
3 7
，3，－ ，0，－1.5.
4 3
10．在数轴上标出所有大于－2.5并且小于3.2 的整数所表示的点．
二、拓展提升
11．用“＜”表示下列各数在哪两个相邻的整数之间．
7
－ ，－1.5，－π.
3
1
12．请举出－ 与0 之间的三个负数，并在数轴上将它们表示出来．
3
813．在数轴上，A、B 两点表示的数分别为 a、b，点A到原点的距离大于点 B到
原点的距离，试比较 a、b两数的大小.
三、综合实践
14．数学小报告——春节气温调查
今年春节（2023 年1月22日）我国7个城市的最高气温和最低气温如下：
城市 北京 哈尔滨 拉萨 重庆 上海 南京 广州
最高气温 4 －21 14 9 10 8 25
（°C）
最低气温 －10 －31 －2 6 6 3 14
（°C）
请制作统计图表整理7个城市的最高气温和最低气温的数据，并结合地理
知识对数据进行分析，撰写分析报告．
92.4 绝对值与相反数（1）
一、基础练习
1．2的绝对值是（ ）
1
A．－2 B． C．2 D．±2
2
2．下列说法中，错误的是（ ）
．．
A．任何数的绝对值都是正数 B．一个正数的绝对值还是正数
C．一个负数的绝对值是正数 D．任何数的绝对值都不是负数
3．如图，数轴上 A、B、C 三点表示的数分别为 a、b、c，若|a|＝|b|，则 c 的值
为（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
A C B A B C
（第3题） （第4题）
4．如图，数轴上 A、B、C 三点表示的数分别为 a、b、c，若|a|＜|b|＜|c|，则数
轴上原点 O的位置在（ ）
A．点A的左侧 B．在 A、B两点之间
C．在 B、C 两点之间 D．点 C 的右侧
4
5．＋ ＝________，|－2.3|＝________.
3
6．用“＞”，“＜”，“＝”号填空：
1 1 1 1
－ ________ ，－ ________－ .
3 3 3 4
7．一个数的绝对值等于 4，并且在数轴上表示它的点在原点左侧，则这个数是
________.
8．绝对值最小的数是________.
9．回答下列问题：
（1）绝对值是12 的数有几个？是什么？
（2）绝对值是0的数有几个？是什么？
（3）有没有绝对值是－3的数？为什么？
1010．小红和她的同学共买了 6袋标注质量为450 g 的食品，她们对6袋食品的实
际质量进行了检测，检测结果（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不
足标准质量的克数）如下：
－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40.
哪袋食品的质量更标准？为什么？
二、拓展提升
11．写出绝对值不小于 1且小于3的所有整数．
12．一座桥梁的设计长度为 800 m，建成后，测量了 5次，测得的数据是（单
位：m）：
803，795，814，789，808.
如果以设计长度为基准，试用正负数表示各次测得的数据与设计长度的差
并填入表格中．哪次测得的结果最接近设计长度，并说明理由．
测量序号 第 1次 第2次 第 3次 第4次 第5 次
差
13．如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为 a、b，若|a|＝3|b|，在数轴上标出
原点．
A B
（第13题）
11三、综合实践
14．数学小发现——生活中的“距离”
生活中存在着太多的“距离”，比如家到学校的距离，手中的篮球到地
面的距离，教室中前后黑板的距离等等，我们用距离来刻画位置差异；另
一方面，“距离”在统计中也可以表示数值之间的差异，如计算各次测量值
与平均值差的绝对值的平均值：
_ _ _ _
_ x －x ＋ x －x ＋ x －x …＋ x －x
1 2 3 4
d ＝
n
_ x ＋x ＋x …＋x
1 2 3 n
（x ＝ ）.
n
体育课进行小组跳绳比赛，在规定时间内两个小组每名同学跳绳次数
情况记录如下：
组别 1号 2号 3号 4 号 5号 6号 平均数
第一组 96 92 88 94 101 81 92
第二组 95 96 87 93 94 93 93
分别计算两个小组各次测量值与平均值差的绝对值的平均值，通过比
较，说明平均值的实际意义．
122.4 绝对值与相反数（2）
一、基础练习
1
1． 的相反数是（ ）
2
1 1
A． B．－ C．2 D．－2
2 2
2．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．＋（－3）和－3 B．－（－3）和3
C．－（－3）和－3 D．－（＋3）和＋（－3）
3．下列等式中，正确的是（ ）
1 1
A．－ ＝－ B．－|－3|＝|－3|
2 2
C．|－π|＝3.14 D．－|－5|＝－5
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．正数与负数互为相反数 B．互为相反数的两个数不相等
C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．一个数的相反数一定小于这个数
5．a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则 a，－a，b，－b的大小关系是
（ ）
a 0 b
（第5题）
A．a＜－a＜b＜－b B． a＜－b＜b＜－a
C．a＜b＜－b＜－a D． a＜－b＜－a＜b
6．相反数大于本身的数是________．
7．若|x|＝－x，则x的取值范围为________．
8．如图，已知 A、B 是数轴上的两个点，两点表示的数互为相反数，且 A、B
之间的距离是 3，点 A表示的数是________．
A B
（第8题）
9．写出下列各数的相反数：
4
，0，－π，10%，－0.618.
3
4
10．化简：－（－16），＋（－3），－（＋ ），－|－3.14| .
3
13二、拓展提升
11．如图，一个正方体形纸盒的展开图，请把－10,6，10，－1，－6,1分别填
入六个正方形，使得折成的正方体后，相对面上的两个数互为相反数．
（第11题）
12．（1）化简：－（－（－（－…（－1）…）））（n是大于0的自然数）；
2n个负号
（2）化简：－（－（－（－…（－1）…）））（m是大于0的自然数）．
m个负号
13．已知|a|＜|b|，－a＜b，比较a与b的大小．
三、综合实践
14．数学小制作——对称美
数轴上表示相反数的两个点，在原点的左右两侧，到原点的距离相
等，直观感受，我们可以发现数轴上的“对称美”．对称现象无处不在，从
自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，人们
都可以找到对称的例子．
请你设计制作班级班徽，要求班徽设计具有对称美．
142.4 绝对值与相反数（3）
一、基础练习
1．绝对值等于 2的数是（ ）
1
A．2 B．－2 C．±2 D．
2
2．下列数中大于－3 的数是（ ）
A．－4 B．－3.5 C．－3 D．－2
3．下列说法正确的是（ ）
A．绝对值等于它本身的数只有正数
B．相反数等于它本身的数只有零
C．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数
D．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数
4．－3 的绝对值的相反数可以表示为________．
5．－（－6）＝________；－|－6|＝________．
6．比较大小：－3________0；－5________－3．
7．根据要求在空框内填上适当的数：
相反数 绝对值
________ －0.83 ________
8．当a≤0时，|a|＝________．
9．比较下列各对数的大小：
3 7
（1）－（－3）和－1； （2）－ 和－ ；
4 8
7 9
（3）－（＋5.4）和－|－4.2| （4）－（－ ）和－－ .
18 20
10．分别写出所有适合下列条件的数．
（1）大于－3的负整数； （2）绝对值不大于 2的整数．
15二、拓展提升
11．如图，点A表示的数是 a，把a，|a|，1按从小到大的顺序用“＜”连接起
来．
－1 a 0
（第11题）
12．求－a的绝对值．
13．已知 a＜0，b＞0，|b|＜|a|，写出a，－a，b，－b的大小关系．
三、综合实践
14．数学小老师——反思交流成长
经过前一阶段的学习，我们认识了正数与负数，有理数与无理数，数
轴，绝对值与相反数．请整理所学内容，制作数学小报，并与你的父母或
同伴进行分享．
162.5 有理数的加法与减法（1）
一．基础练习
1．3＋(－2)的结果是（ ）
A． 1 B．－1 C．5 D．－5
2．下列计算结果最小的是（ ）
A．(－4)＋(＋7) B．(－4)＋(－7) C．4＋(－7) D．4＋7
3．如果两数之和是负数，那么这两个数（ ）
A．一定都是正数 B．至少有一个是负数
C．一定都是负数 D．至少有一个是正数
4．两个数相加，其和小于每个加数，那么这两个数（ ）
A．同为负数 B．异号 C．同为正数 D．零或负数
5．填表：
加数 加数 和的符号 和的绝对值 和
－3 9
2 9
－ －
3 4
0.2 －4.5
0 －3.6
6．填空：
（1）(－12)＋_______＝2； （2）_______＋5＝－10；
2
（3）_______×(－ )＝0； （4）(－2.5)＋_____＝0.5．
3
7．绝对值大于或等于 1，而小于4的所有的整数的和是____________.
8．小明测得某一天气温变化情况是：上午5:00，气温为－4℃；中午12:00，气
温比上午 5:00 上升了 12℃；晚上22:00，气温比中午下降了 14℃．
（1）用有理数的加法求中午 12:00 的气温：
__________＋__________＝__________ (℃)．
答：中午12:00 的气温为_________．
（2）用有理数的加法求晚上 22:00 的气温：
__________＋__________＝__________ (℃)．
答：晚上22:00 的气温为_________．
179．计算：
（1）(－42)＋(＋17)； （2）0＋(－3.5)；
4
（3）(－7.3)＋(－3.7)； （4）(－0.8)＋(＋ )；
5
4 5
（5）(－ )＋(－ )； （6）7.3＋(－8.5)．
5 8
10．计算：
5 2
（1）(－12)＋(－4.5)＋(＋10.7)； （2）(－ )＋(＋5)＋(－ )．
6 3
18二．拓展提升
11．飞机在12000m 高空飞行时，机舱外的温度为－56℃，机舱内的温度比机
舱外高 80℃．问机舱内的温度为多少摄氏度?
（第11题）
12．从图①中找规律，并按此规律在图②的空格里填上合适的数．
－22
－14 －8
－8 －6 －2 －4 12 －14
① ②
13．设计一道可用有理数加法计算的实际问题，要求用一个正数和一个负数的
加法来解决．并写出算式，说明结果的实际意义．
19三、综合实践
14．数学小古法——古代算筹法
【阅读材料】
中国人最先使用负数
中国人很早就开始使用负数．著名的中国古代数学著作《九章算术》的
“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则，并给
出名为“正负术”的算法．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中
用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正，黑
色为负)．
“正负术”是正负数加减法则．其中有一段话是“同名相除，异名相益，正
无入负之，负无入正之．”你知道它的意思吗?其实它就是减法法则，以现代
算式为例，可以将这段话解释如下：
“同名相除”，即同号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被
减数的绝对值减去减数的绝对值．例如
(＋5)－(＋3)=＋(5－3)，
(－5)－(－3)=－(5－3)．
“异名相益”，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被
减数的绝对值加减数的绝对值．例如
(＋5)－(－3)=＋(5＋3)，
(－5)－(＋3)=－(5＋3)．
“正无入负之，负无入正之”，即0减正得负，0减负得正，例如
0－(＋3)= －3，
0－(－3)=＋3．
史料证明：追溯到两千多年前，中国人已经开始使用负数，并应用到生
产和生活中．例如，在古代商业活动中，以收入为正，支出为负；以盈余为
正，亏欠为负．在古代农业活动中，以增产为正，减产为负．中国人使用负
数在世界上是首创．
20【尝试应用】
尝试用算筹法计算：(＋23)＋(－54)＋(＋63)＋(－21)＋(＋3)．
＋23 －54 ＋63 －21 ＋3
（1）在下面方框中画出计算过程：
（2）对比古代和现代两种方法，谈谈你的认识和感受．
212.5 有理数加法与减法（2）
一、基础练习
2 3 2 2 2 2 3 2 1
1．算式 ＋ ＋(－ )＋ ＝[ ＋(－ )]＋[ ＋ ]＝ 中用到的运算律是
5 10 5 10 5 5 10 10 2
（ ）
A．加法交换律和加法结合律 B．加法交换律和乘法分配律
C．加法结合律和乘法分配律 D．乘法分配律和加法结合律
2．下列运算错误的是（ ）
1 2
A．(－15)＋5＋(－5)＝－15 B． ＋(－3)＋(－ )＝－2
3 3
1 1
C．0.25＋(－3.25)＋2.75＝－0.25 D．(－5)＋(－ )＋ ＝－5
2 2
3．小明在计算有规律的算式(＋1)＋(－2)＋(＋3)＋(－4)＋(＋5)＋(－6)时，不小
心把一个数的符号写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果
算成了 5，则原式从左到右数，写错的数的符号是（ ）
A．第2个 B．第3个 C．第4个 D．第5 个
4．写出下面计算过程中每一步的运算依据：
(－8)＋(－5)＋8
＝(－8)＋8＋(－5) （ ）
＝[ (－8)＋8]＋(－5) （ ）
＝0＋(－5) （ ）
＝－5 （ ）
5．绝对值小于 2023 的所有整数的和等于________．
6．列出由三个数相加的算式，使它们分别符合下列条件．
（1）三个数同号，和为－11，这个算式可以是________________．
（2）三个数不全同号，和为0，这个算式可以是_______________．
7．仓库内原存某种原料 3500千克，一周内存入和领出的情况如下（存入为
正，单位：千克）：1500，－300，－650，600，－1800，－250，－200．则
第七天末仓库内还存有这种原料__________千克．
8．把－50逐次加2，得到一串的整数：－48，－46，－44，－42，－40，…，
则这串数数中前 10个数的和是__________．
9．计算：
1
（1）3＋(－2.5)＋(－4)； （2）(－ )＋(－5)＋(＋5)；
5
223
（3）2.15＋(－4.25)＋(－0.75)＋(－ )；
20
3 1 1 5
（4）(－ )＋(－ )＋(＋ )＋(－ )．
4 6 4 6
10．某公路养护小组乘车沿南北向公路巡视维护．某天早晨从A地出发，晚上最
后到达 B 地．约定向北为正方向，当天的行驶记录如下(单位：千米)
＋18，－9，＋7，－14，－6，＋13，－6，－8
试问 B 地在 A 地的哪个方向？它们相距多少千米？如果汽车行驶每千米耗
油a 升，那么该天共耗油多少升？
二、拓展提升
11．如图，10 袋小麦称后记录如下 (单位：kg).10 袋小麦一共多少千克?如果每
袋小麦以 90kg为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
（第11题）
2312．下面是一页账单，但有一部分破损了，你能根据上面残余的数字算出这一页
最后的结余吗？
13．钟表上的数字．
（1）如图①，钟表上有 4个数: 3，6，9，12.你能在其中某些数的前面添上
负号，使添号后的 4个数的和等于零吗？试一试．
12
9 3
6
①
（2）如图②，如果钟表上有 12 个数:1，2，3,...12，你能在其中某些数的前
面添上负号，使添号后的 12个数的和等于零吗？试一试．你是怎样做
的？发现了什么规律？总结一下，与同学交流．
12
11 1
10 2
9 3
8 4
7 5
6
②
24
日 期
- - 2 0 2 3 0 5 2 0
- - 2 0 2 3 0 6 1 5
- - 2 0 2 3 0 7 2 5
- - 2 0 2 3 0 8 1 2
- - 2 0 2 3 0 9 6
- - 2 0 2 3 1 0 2 1
支 出
－
－
2
－
－
5
或
1 3
1 5
6 0
3 2
4 8
2 0
存
0 .0
0 .0
.0 0
5 .0
0 .0
.0 0
入
0
0
0
0
6
结
2 5
余
7 .0 0
备 注
（第12题）三、综合实践
14．数学小游戏——填幻方
中国的《九章算术》里有最早的关于幻方的描
述．它是一个 3×3 的方块，有 9 个数字或者格子，
纵、横以及对角线的 3 个格子的数分别加起来都得
15．这个数学形象的传统名字是洛书，意思是“洛水
的卷轴”，有时也称为“河图”．在4000年前的禹帝统
治中国时有与其相关的神话传说．右图是古代中国传
说里神龟壳上的幻方．
有人建议向火星发射如图①的幻方图案，如果火星上有智能生物，那么他们
可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物(人)．
① ②
【尝试】
你能将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4 这9个数分别填入图②的幻方
的9个空格中，使得处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的 3个数相加都
得0吗？
【探究】
你是将 0 填入中央的格中吗?与同学交流一下，你们填这个幻方的方法相同
吗？
【挑战】
把 1, －2，3，－4.5, －6，7，－8，9这九个数分别填入图③中方框内，使
每一行、每一列和每条对角线上三个数的和都是正数．
③
252.5 有理数的加法与减法（3）
一、基础练习
1．比0 小2的数是（ ）
A．2 B．－2 C．0 D．1
2．某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是
星期 一 二 三 四
最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃
最低气温 3℃ 0℃ —2℃ —3℃
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
3．下列说法正确的是（ ）
A．0减去一个数仍得这个数
B．负数减去负数，结果是负数
C．正数减去负数，结果是正数
D．被减数一定大于差
4．M、N两地的高度差记为M－N，例如：M地比N地低2米，记为M－N＝－
2（米）．现要测量A、B两地的高度差，借助了已经设立的D、E、F、G、H
共五个观测地，测量出两地的高度差，测量结果如下表：（单位：米）
两地高度差 D－A E－D F－E G－F H－G B－H
测量结果 3.3 －4.2 －0.5 2.7 3.9 －5.6
则A－B的值为（ ）
A． 0.4 B．－0.4 C．6.8 D．－6.8
5．填空：
（1）0－10＝_________； （2）－3－(－2)＝__________；
（3）(－6)－(＋4)＝_________； （4）3＋_________＝－2；
（5）－9－__________＝0； （6）__________－(－2)＝8．
6．把式子－2－3写成－2＋(－3)的依据是__________．
7．（1）温度 3°C 比－8°C 高__________°C；
（2）温度－9°C 比－1°C 低__________°C；
（3）海拔－20m 比－30 m 高__________m；
（4）从海拔 22 m 到－10m,下降了__________m．
8．“减去一个数，等于加上这个数的相反数”用字母可以表示为__________．
9．计算：
（1）6－9； （2）(＋4)－(－7)；
26（3）(－4)－(－8)； （4）0－(－5)；
3 1
（5）(－ )－(＋ )； （6）4.8－(－1.2)＋(－6)．
2 3
10．已知 a，b为有理数，且|a|＝8，|b|＝2，求 a－b的值．
二、拓展提升
11．如图为某一矿井的示意图，以地面为基准，点A的高度是＋4.2米，B、C 两
点的高度分别是－15.6米、－30.5米．点 A比点B高多少米？比点 C 呢？
A
B
C
（第11题）
12．下表列出了国外几个城市与北京的时差，如果现在的北京时间是 7: 00．
（1）现在的东京时间是多少？
（2）小丽现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？
城市 时差/h
纽约 －13
巴黎 －7
东京 ＋1
芝加哥 －14
2713．教科书中为减法运算提供了实际背景，你能设计一种新的情境来表示减法算
式：(－3)－(－2)吗？
三、综合实践
14．数学小探究——数轴上两点之间的距离
【提出问题】
在数轴上，点A，B分别表示数a，b．利用有理数减法，分别计算下列情况
下点A，B之间的距离：
a＝2，b＝6；a＝0，b＝6；a＝2，b＝－6；a＝－2，b＝－6.
你能发现点 A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？
【初步研究】
从特殊开始
如图，画出数轴并找到表示－6，－2，0，2，6的点．
0 2
观察数轴可知：
当 a＝2，b＝6时，A，B两点间的距离为 4，可列式|2－6|＝4；
当 a＝0，b＝6时，A，B两点间的距离为 6，可列式6－0＝6；
当 a＝2，b＝－6时，A，B两点间的距离为 8，可列式______________；
当 a＝－2，b＝－6时，A，B两点间的距离为 4，可列式_____________．
从特殊到一般
在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝_________．
【深入研究】
七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子|x＋2|＋|x－3|进行探究：
请你在草稿纸上画出数轴，当表示数 x的点在－2与3之间移动时，|x－3|＋
|x＋2|的值总是一个固定的值为________．
282.5 有理数的加法与减法（4）
一、基础练习
1．式子－4＋10＋6－5的正确读法是（ ）
A．负4、正10、正 6、减去5的和 B．负4加10加6减负 5
C．减4加10加 6减5 D．负 4、正10、正 6、负 5的和
2．把(－2)－(＋3)－(－5)＋(－4)统一为加法运算，正确的是（ ）
A．(－2)＋(＋3)＋(－5)＋(－4) B．(－2)＋(－3)＋(＋5)＋(－4)
C．(－2)＋(＋3)＋(＋5)＋(＋4) D．(－2)＋(－3)＋(－5)＋(＋4)
3．把算式(－8)－(＋4)＋(－6)－(－4)写成省略加号的形式是（ ）
A．－8＋4－6－4 B．8＋4－6－4
C．－8－4－6＋4 D．8－4－6＋4
4．从－3，－2，－1，4，5中任取两个数相加，若所得的和的最大值是 a，最小
值是 b，则a＋b 的值是（ ）
A．－2 B．－3 C．3 D．4
5．如果四个有理数之和是 12，其中三个数是－10，＋8，8，那么第四个数
是 ．
6．有5 张写着不同数字的卡片
－5 、 －4 、 0 、 ＋4 、 ＋6
从中抽取3张卡片，使这3张卡片上的数字之和最小，最小的和是 ．
7．大于－999而小于 1000的所有整数的和为 ．
8．已知四个有理数：＋3，－8，－10，12，通过有理数的加减混合运算，使其
运算结果为－27，这个算式是 ．
9．计算：
（1）7－(－4)＋(－5)； （2）－21－12＋33＋12－67；
1 5 3 1
（3）5.4－2.3＋1.5－4.2； （4）－ － ＋ － ．
2 4 2 4
2910．计算：
（1）(－7)－(－10)＋(－8)－(+2)；
（2）(－1.5)－(－0.75)＋(＋0.25)－(＋2.5)；
7 3
（3）(＋3.4)＋(－2 )－(－5 )－(＋0.125)．
8 5
二．拓展提升
11．在数轴上，点P表示有理数 3.5．将点P沿着数轴先向左移动3个单位长度，
再向右移动 8.5个单位长度．
（1）这时点 P再向哪个方向移动多少个单位长度才能到达原点？
（2）把上述点 P 从开始移动直至到达原点的这一过程用算式表示出来．
3012．下表为国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早的时
数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）：
城市 东京 巴黎 伦敦 纽约 莫斯科 悉尼
时差/时 ＋1 －7 －8 －13 －5 ＋2
（1）北京6月11 日23时是巴黎的什么时间?
（2）北京6月11 日23时是悉尼的什么时间?
（3）小莹的爸爸于 6月11日 23时从北京乘飞机，经过 16小时的飞行到达
纽约，到达纽约时北京时间是多少?纽约时间是多少?
13．已知 a＜0，b＞0，在a＋b，a－b，－a＋b，－a－b中最大的是哪一个?最
小的是哪一个？请借助数轴来思考，并与同学交流你的方法．
31三、综合实践
14．数学小设计——我的小账本
小明与他的爸爸的对话．
我买了一支钢笔15元，两
本笔记本8元，3瓶饮料12
元……诶呀，记不清了
上星期我给你的
50 块零用钱，你
是怎么花的？
如果小明有一本账本就好了，那么他就能清楚地知道哪些钱该花，哪些钱
不该花，合理计划自己的开支．看来同学们为自己建立一本账册是很有意义
的．请运用正数和负数的知识，为自己做一本账册．具体要求：
①反映每月收入；
②反映每月支出；
③反映每月收支总和，算出每月结余并反映在账册上，把上月的结余转入
下个月的收入或支出；
④每个季度或每半年对自己的收支情况作一次评估．你的开支合理吗？对
自己今后的收支状况作适当调整．
322.6 有理数的乘法与除法（1）
一、基础练习
1
1．(－ )×(－2)的结果是（ ）
2
1 1
A． 1 B．－1 C． D．－
4 4
2．对于(－4)×3，左边第一个因数增加 1后积的变化是（ ）
A．减少3 B．增加3 C．减少4 D．增加 4
3．下列算式中，积为负数的是（ ）
A．0×(－2) B．3×(－4)×(－5)
C．(－3)×(－4)×5×(－6) D．(－3)×(－4)×(－5)×(－6)
4．如果两数之和是负数，且它们的积也是负数，那么这两个数（ ）
A．都是正数 B．一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大
C．都是负数 D．一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大
5．填表：
因数 因数 积的符号 绝对值的积 积
－3 9
2 9
－ －
3 4
0.2 －4.5
0 －3.6
6．填空：
2
（1）(－12)×_______＝2； （2） ×_______＝－10；
3
（3）_______×(－3.875)＝－1； （4）_______×(－2.5)＝0.5．
7．比较大小：
(－54)×(－43)×(－32)×(－21) _______(－543)×(－432)×(－321)．
8．如图，有6张卡片，每张卡片上写了 6个不同的数：
－3 ＋2 ＋1 0 ＋5 －8
如果从中任意抽取三张，将卡片上的数相乘，那么最大的积是_______，最
小的积是_______．
339．计算：
（1）8×(－1.25)； （2）(－0.5)×(－2.8)；
16 9
（3）(－ )×(－ )； （4）0×(－2023)．
3 8
10．计算：
1 5
（1）(－2)×5×(－ )； （2）4.2×(－6)× ；
4 7
4 5
（3）(－ )×(－ )×(－2)； （4）7.3×(－8.5)×0×(－4.1)．
5 8
二、拓展提升
11．把－12表示成两个整数的积，有多少种可能性？把它们全部写出来．
3412．甲、乙两人在一条东西走向的道路上骑行，车速分别为每小时 15千米和
20 千米，他们同时从 A地出发，甲车向东，乙车向西．那么，半小时后
甲、乙两人分别在什么位置（要求用有理数乘法来解决）？
13．某粮食经营户对购进的 20袋小麦进行称重，以每袋 50千克为标准，将超
过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，结果记录如下：
单位（千克） －0.7 －0.5 －0.2 0 ＋0.4 ＋0.5 ＋0.7
袋数 1 3 4 5 3 3 1
这 20袋小麦共超重或不足多少千克？总质量为多少千克？
35三、综合实践
14．数学小操作——翻杯子
【提出问题】
如图，桌子上有 A、B、C 三只完全相同的杯子，
杯口全部朝下，每次翻转 2只，能否经过若干次翻转
使这3只杯子的杯口全部朝上？
A B C
先动手做一做，看有没有可能．如果不可能，又
如何说明其中的道理呢？
【问题转化】
记杯口朝上为＋1，杯口朝下为－1．每翻转一次就相当于把原先所记的数字
乘－1．
当 3只杯子都杯口朝下时，有(－1)×(－1)×(－1)＝－1，如果每次同时翻转
2 只，多试几次，看能不能使 3 只杯子杯口都朝上，即得到(＋1)×(＋1)×(＋1)
＝＋1．
为什么得不到？你现在明白其中的道理了吗？
【尝试解决】
如果杯子有 7只，且都是杯口朝下，每次翻转 3只，能否经过若干次翻转使
这7只杯子的杯口全部朝上？如果可以，最少经过几次翻转就可使这 7只杯子的
杯口全部朝上？
362.6 有理数的乘法与除法（2）
一、基础练习
1
1．－ 的倒数是（ ）
5
1 1
A． － B．－5 C． D．5
5 5
1 3 2 1 3 2
2．算式 ( － ＋ )×25×4＝ ( － ＋ )×100＝50－30＋40中用到的运算律
2 10 5 2 10 5
是（ ）
A． 乘法交换律和结合律 B．乘法交换律和分配律
C．乘法结合律和分配律 D．乘法分配律和加法结合律
3．已知15.68×84＝1317.12，那么1.568×8.4 的结果是（ ）
A． 1.31712 B．13.1712 C．131.712 D．1317.12
4．7个有理数相乘的积是负数，那么其中负因数的个数可能有（ ）种
A． 2 B．3 C．4 D．5
5．写出下面计算过程中每一步的运算依据：
(－4)×(＋8)×(－2.5)×(－125) 输入
＝－(4×8×2.5×125) （_________________）
×2
＝－(4×2.5×8×125) （_________________）
＋5
＝－[(4×2.5)×(8×125)] （_________________）
＝－(1×1) 否
＞0
＝－1．
是
6．倒数是本身的数是________；________没有倒数． 输出
7．如图，若输入的值为－3，则输出的结果是 ． （第7题）
1 1 1 1
8．计算(1－ )×(1－ )×(1－ )×…(1－ )＝________．
2 3 4 2023
9．计算：
1
（1）(－125)×7×(－8)； （2）(－ )×(－10)×(－3.2)×5；
5
377 5 3 5 4 6 7
（3） ( － ＋ )×(－36)； （4）(－ )× ×(－ )× ．
9 6 4 6 7 5 4
10．用简便方法计算：
11 1 1
（1）(－99 )×24； （2）－147×(－0.125)＋253× ＋72×(－ )．
12 8 4
二、拓展提升
11．利用分配律可以得到－3×5＋4×5＝(－3＋4)×5．如果用a表示任意一个
数，那么利用分配律，－3a＋4a等于什么？
12．定义一种新运算“⊙”，观察下列等式：
① 2⊙3＝2×3－(－2)＋(－3)＝5，
② (－2)⊙(－5)＝(－2)×(－5)－2＋5＝13，
③ 0⊙(－3)＝0×(－3)－0＋3＝3，
④ 4⊙(－5)＝4×(－5)－(－4)＋5＝－11，
……
（1）计算(－7)⊙2 的值；
（2）有理数的加法与乘法运算满足交换律，“⊙”运算是否满足交换律？
请说明理由．
13．任意写出两个数，比较它们的倒数的大小，你发现它们的倒数的大小与原
来写出的两个数的大小有什么关系？
38三、综合实践
14．数学小百科——计算乘法的其它方法
【格子乘法】
格子乘法是 15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘
要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝
数学家程大位的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图①，计算 46×
82，将乘数 46 写在方格上边，乘数 82 写在方格右边，然后用乘数 46 的每位数
字乘以乘数 82 的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，
得3772．你能尝试用这种方法计算 32×56吗？
4 6
3 4
3 8
2 8
7 0 1
2
8 2
7 2
图①
【划线乘法】
用划线的方法进行两个数的乘法计算．例如：如图②，计算42×31，将乘数
42 从左向右，依次画 4 条线和 2 条线，将乘数 31 从下向上，依次画 3 条线和 1
条线，形成的交点从右往左依次对应“一、十、百、千”等计数单位，逢十进一，
最后得到结果1302．你能尝试用这种方法计算 43×21吗？
13 0 2
图②
除了上述介绍的两种计算乘法的方法，同学们可以上网查阅资料，看看有没
有其它的算法．
392.6 有理数的乘法与除法（3）
一、基础练习
1
1．计算－1÷(－5)×(－ )的结果是（ ）
5
1 1
A． － B． C．－1 D．1
25 25
2．下列计算结果是－3的是（ ）
1
A． (－3)÷ B．(－9)÷(－3) C．1÷(－3) D．27÷(－9)
3
3．下列运算错误的是（ ）
1
A． (－15)÷3＝－(15÷3) B． ÷(－3)＝3×(－3)
3
1 4 1 5 3 1
C． ÷1.2÷ ＝ × × D．(－5)÷(－ )＝－5×(－2)
3 3 3 6 4 2
4．我们把2÷2÷2记作 2③，(－5)÷(－5)记作(－5)②，那么计算9×(－3)④的结果
是（ ）
1 1
A． B． C．1 D．3
9 3
5．填表：
被除数 除数 商的符号 商的绝对值 商
－18 6
3.2 －0.08
1
－25
5
8 4
－ －
7 3
6．填空：
17
（1）(－5)÷_______＝8； （2）1÷_______＝－ ；
10
3
（3）_______÷(－0.4)＝－6； （4）_______÷(－ )＝0．
5
1 1
7．这是小明同学做的一道计算题：(－3)÷(－6)×(－ )＝(－3)÷[(－6)×(－ )]
3 3
3
＝(－3)÷2＝－ ，他从第_______步开始出错，正确结果是_______．
2
408．在6、－5、－4、3四个数中任取两数相乘，积记为 A，任取两数相除，商
记为 B，则A－B 的最大值是_______．
9．计算：
1
（1）1÷(－7)； （2）0÷(－ )；
3
3
（3）(－36)÷3； （4）－0.25÷(－ )．
8
10．计算：
6 2 1 3
（1）(－6)÷(－4)÷(－ )； （2）(－1 )÷ ×(－ )；
5 3 3 5
5
（3）(－125 )÷5； （4）(－20)÷[(－5)×(－2)]．
9
二、拓展提升
1 7 5 11
11．用两种方法计算：(－ )÷( － ＋ )．
36 9 6 18
4112．一天，甲、乙两人利用温差测量山峰的高度，甲在山脚测得温度是 6℃，此
时乙在山顶测得温度是－2℃．已知该地区高度每增加 50米，气温大约下降
0.4℃，这个山峰的高度大约是多少米？
13．提供一个能用(－15.25)÷5 解决的实际问题情境，并说明结果的实际意义．
三、综合实践
14．数学小发现——星期几
今天星期二，再过 40天是星期几？大家都知道，一个星期有 7天，要解
决这个问题，我们只需要知道 50 被 7 除的余数是多少．如果余数是 1，因为今
天是星期二，那么再过 1天就是星期三；如果余数是 2，那么再过2天就是星期
四；如果余数是 3，那么再过 3 天就是星期五……如果没有余数，那么再过 7 天
就是星期二．
因此我们可以列出算式 ：_________________________________________
因为余数是_________，所以再过40天是____________．
同伴之间可以互相提问，说一说再过几天后是星期几．
接下来，同学们可以尝试用上面的方法解决下面的问题：
已知，如图，下列方格中的字母各表示一个数，且任意3个连续方格中的数
之和为20．则a ＝________，a ＝________．
1983 2023
a 3 a a a a －1 … a … a …
1 3 4 5 6 1983 2023
422.7 有理数的乘方（1）
一、基础练习
1．－73表示的意义是（ ）
A．3个－7相乘 B．－7与3相乘
C．3个7相乘的相反数 D．7 个3相乘的相反数
32
2．计算－ 的结果是（ ）
5
9 9 9 9
A． B．－ C．－ D．
5 5 25 25
3．下列各组数中，相等的一组是（ ）
A． 32与3×2 B．－32与(－3)2 C．－23与(－2)3 D．32与23
2 2
4．一根3m长的绳子，第一次剪去绳子的 ，第二次剪去剩下绳子的 ，如此剪下
3 3
去，第 30次剪完后剩下的绳子长度是（ ）
1 2 1 2
A． ( )29 B．( )29 C．( )30 D．( )30
3 3 3 3
5．填表：
底数a －2 －1 5
指数n 3 2023
1
幂an (－4)3 －( )4
2
运算结果 －125
6．填空：
（1）(－5)3＝________； （2）－52＝________；
（3）[－(－3)] 5＝________； （4）－[＋(－2)] 5＝________．
7．计算：－23×(－3)＝________．
8．一个数的平方是16，这个数是______；一个数的立方是－343，这个数是______．
9．计算：
（1）0.55； （2）－1.54； （3）－(－2)6．
4310．计算：
1
（1）(－0.2)3×53； （2）(－8)3×(－ )4；
8
（3）(－2)10＋(－2)11； （4）(－1)2n×(－1)2n＋1．
二、拓展提升
11．（1）算一算，再选“＜、＞或＝”填空
(3×5)2 ________32×52; [(－2)×3]3 ________ (－2)3×33；
（2）想一想，(a×b)n＝_______；
（3）填一填，在括号内填写每一步运算的依据；
(a×b)n＝(a×b)·(a×b)·…· (a×b) （ ）
n个
＝(a×a×…×a)·(b×b×…×b) （ ）
n个 n个
＝an×bn （ ）
（4）用一用，求(－4)2023×0.252024的值．
4412．已知小明的身高为 1.62m，一张纸的厚度约为 0.09mm．
（1）若将这张纸连续对折 5次，这时它的厚度是多少？
（2）假设连续对折始终都是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超
过小明的身高？（参考数据：213＝8192，214＝16384，215＝32768，216
＝65536）
13．如图，将一个边长为 1的正方形纸片分割成 7个图形，图形①
⑦
1 ⑤
面积是正方形纸片面积的 ，图形②面积是图形①面积的 2 倍 ③ ⑥
3
① ④
1 1
的 ，图形③面积是图形②面积的2倍的 ，……，图形⑥面积
3 3 ②
1
是图形⑤面积的 2倍的 ，图形⑦面积是图形⑥面积的2倍． （第13题）
3
1 2 4 25
请根据图形，计算 ＋ ＋ ＋……＋ 的值．
3 9 27 36
45三、综合实践
14．数学小故事——神奇的乘方
【棋盘放米粒】
传说古印度人西塔发明了国际象棋而使国王非常高兴，于是国王就要奖赏
他．西塔就提出了一个要求，希望国王在棋盘的第一个格子里放1粒麦子，第二
个格子里放2粒麦子，第三个格子里放 4粒麦子，第四个格子里放 8粒麦子，以
此类推，以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2倍．国王
觉得这个要求太简单了，就答应了他．结果发现，即使拿出全国的粮食，都兑现
不了对西塔的承诺．原来，所需麦粒的总数是：
_______________________________＝18 446 744 073 709 551 615
这些麦子有多少呢？生产这么多麦子，全世界需要一千多年！
【拉面吉尼斯】
中国拉面师傅厉恩海曾四破世界吉尼斯纪录，他曾一次拉扣 19 次，拉扣出
______＝524288 根面条，累计长度达到 1268776.96 米，相当于珠穆朗玛峰高度
的133倍．但是他没有止步于此，经过不断训练，他又成功拉扣 21次，得到____
＝2097152根面条，累计长度达2652公里，能够让39根面条同时穿过同一针眼．
【无限折纸】如果无限把一张纸对折下去，有没有可能厚度达到宇宙装不下？
一般常见的A4打印纸的厚度约为0.1mm．如果对折14次，厚度为________，
约为1.64m，相当于成年人的身高；如果对折 39次，厚度为___________，约为
5.5 万千米，超过了地球赤道的周长；如果对折 51 次，厚度为_________，约为
2.3亿千米，超过了太阳与地球之间的距离；如果对折 84次，纸张的厚度相当于
银河系的直径；如果对折 103 次，厚度高达 1072 亿光年，超过了可观测的宇宙
直径！
以上这些都是由乘方“创造”出的“复利”，“复利”被爱因斯坦称为世界第八大
奇迹，“复利”的神奇之处在于，刚开始的时候数字很微小，不易察觉，但发展到
一定阶段就会产生非常惊人的效果．
同学们，你身边有这样的“复利”现象吗？可以上网查阅资料．
462.7 有理数的乘方（2）
一、基础练习
1．ChatGPT 是一款聊天机器人程序，据统计，ChatGPT 的算法模型已经有
17500000 万个参数．数据 17500000用科学记数法可表示为（ ）
A． 1.75×105 B．17.5×106 C．1.75×107 D．0.175×108
2．火星和地球的距离约为 34 000 000千米，用科学记数法表示 34 000 000 的结
果是（ ）
A．3. 4×107 B．3. 4×106 C． 34×106 D．0.34×108
3．大型电视专题片《领航》自 2022年10月8 日在中央广播电视总台央视开播
以来，引发社会各界广泛关注．截至 10月 11日，专题片《领航》相关视频
内容及宣传报道跨媒体总触达人次超 7.56亿次．数据 7.56亿用科学记数法
表示为（ ）
A．7.56×106 B．7.56×107 C．75.6×108 D．7.56×108
4．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截止2022年
12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A．7.358×103 B．7.358×105 C．7.358×106 D．7.358×107
5．2022 年，全国教育事业统计结果发布，数据显示，全国各级各类学校共
52.93 万所，将数据 52.93万用科学记数法表示为__________．
6．下列用科学记数法表示的数，原来分别是什么数：
1.7×103＝__________；－7.04×105＝__________；5.002×104＝__________．
7．用科学记数法表示下列各数：
－7 830 000＝__________； 15万＝__________； 1亿5千万＝__________．
8．比较大小：－9.6×105 ________－1.2×106．
9．计算：
（1）8.4×105＋6.7×105； （2）7.8×103－8.7×104．
4710．在 1：30 000 000 的地图上量的两地之间的距离是 3.5 cm，请用科学记数法
表示这两地间的实际距离．
二、拓展提升
11．一天有8.64×104 s，一年按365天计算，一年有多少秒（用科学记数法表示）？
12．某地计划修建一个长为 4.8×102米，宽为 4×102米的长方形广场．
（1）计算该广场的面积（结果用科学记数法表示）；
（2）如果用80cm×80cm的正方形大理石地砖铺设该广场，需要多少块大
理石地砖？
4813．（1）计算：0.012，0.12，12，102；
（2）对于 a2，如果底数 a 的小数点向右（或向左）移动一位，那么 a2的小
数点怎样移动？
（3）对于 a3，如果底数 a 的小数点向右（或向左）移动一位，那么 a3的小
数点怎样移动？
三、综合实践
14．数学小调查——长江的长度
查一查长江的长度，请你估测它相当于多少个中学生手拉手的长度．（用科
学记数法表示）
492.8 有理数的混合运算（1）
一、基础练习
1．(－2)2－3的结果是（ ）
A．－7 B．1 C．－2 D．6
2．下列四个式子中，计算结果最大的是（ ）
A．－23＋(－1)2 B．－23－(－1)2 C．－23×(－1)2 D．－23÷(－1)2
3．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题，
你认为做对的同学是（ ）
甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0
乙：24－(4×32)＝24－4×6＝0
3 2 2
丙：(36－12)÷ ＝36× －12× ＝16
2 3 3
1
丁：(－3)2÷ ×3＝9÷1＝9
3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．已知m是最小的正整数，n是最大的负整数，a，b互为相反数，x，y互为倒
数，则m2＋n3＋a＋b－xy的值是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
5．体育课上，全班男同学进行了 100米测验，合格成绩为 15秒，如表是某小组
10名男生的成绩记录，其中“＋”表示成绩大于 15秒．这个小组男生的合格
率为 ．
－0.8 ＋1 ＋0.2 0 －0.7 ＋0.6 －0.4 ＋0.1 －0.5 －0.3
6．计算：20232－2022×2023＝ ．
7．现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数，a⊕b＝a＋b－1，a※b
＝a×b－1，那么 3※（2⊕4）＝ ．
8．取一个自然数，若它是奇数，则加上 1，若它是偶数，则除以 2，按此规则经
过若干步的计算最终可得到 1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验
证都是正确的．例如，取自然数 5，经过下面 5步运算可得1，如图所示．
＋1 ÷2 ＋1 ÷2 ÷2
5 6 3 4 2 1
如果自然数 m 恰好经过 5 步运算可得到 1，则所有符合条件的 m 的值
有 ．
9．计算：
（1）8－(－4)÷22×3；
50（2）(－3)3÷(－3)÷9；
（3）7×32÷3＋(－3)2；
（4）－5＋(－2)4－24÷(－2)3．
10．计算：
（1）(－28)÷(－6＋4)＋(－1)×5；
（2）2÷(－2)＋0÷7－(－8)×(－2)；
（3）3×42＋80÷5÷23－27；
（4）122÷(－3)2×(－2)3－(－9)2÷33．
51二、拓展提升
11．如图是两个数值转换机，解决下列问题：
（1）当输入数字为1时，数值转换机①输出的结果为；数值转换机②输出
的结果为；
（2）小明发现，数值转换机①会出现无法输出结果的情况（例如当输入数
为－1或－2 等时）．那么数值转换机②也存在无法输出结果的情况
吗？如果存在，请写出一个符合条件的输入数；如果不存在，请简述
理由．
输 入 输 入
×2 ( )2
＋1 ＋1
否 否
＞2 ＞2
是 是
输 出 输 出
① ②
（第11题）
12．有5张卡片写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列各题：
－3 －5 0 ＋3 ＋4
（1）从中取出2 张卡片，使卡片上的2个的数乘积最大，则最大值是多
少？
（2）从中取出2 张卡片，使卡片上的2个的数相除的商最小，则最小值是
多少？
（3）从中取出2 张卡片，使卡片上的2个的数分别作为底数和指数，进行
一次乘方运算，并且运算结果最大，则最大值是多少？
5213．某景区旅游观光小火车从起点站出发，途中停靠A、B、C、D四站，到达
终点站后，乘客全部下车．某趟小火车从起点站到终点站，每一站乘客上、
下车人数（单位：个）如下表．
起点站 A站 B 站 C 站 D站 终点站
上车的人数 28 17 15 6 8 0
下车的人数 0 8 9 32 9
（1）将表格填写完整；
（2）本趟小火车行驶在哪两个站之间，车上的乘客人数最多（ ）
A．起点站与A站 B．A站与B 站
C．B 站与 C 站 D．C 站与D站
（3）若观光小火车的收费标准为每人每站 5元，这趟小火车能收入多少
元？
53三、综合实践
14．数学小实践——水位测量
秦淮河是南京的母亲河，在中国历史上极富盛名，
出现于杜牧《泊秦淮》、朱自清《桨声灯影里的秦淮河》
等诗文中，被称为“中国第一历史文化名河”．
下表是今年雨季秦淮河一周内的水位变化情况
（上周末的水位为7.39m）
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化/m －0.01 ＋0.01 0 ＋0.05 ＋0.41 －0.01 －0.10
注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．
（1）国家规定秦淮河的警戒水位为 8.8米，这周的水位超过警戒线了吗？
（2）完成下面的本周水位记录表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录/m 7.38
（3）用折线统计图表示本周的水位情况．
O
（4）观察折线统计图，你能提出什么问题？与同学交流讨论．
542.8 有理数的混合运算（2）
一、基础练习
1．计算（－1）2022－（－1）2023的结果为（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．1
2．小明在计算有规律的算式 1－2＋3－4＋5⋯＋19－20时，不小心把一个运算符
号写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了－36，则原式从
左到右数，写错的运算符号是（ ）
A．第5个 B．第8个 C．第 10个 D．第12 个
1
3．用简便方法计算： ×6.162－4×1.042 的结果为（ ）
4
A．3.36 B．4.26 C．5.16 D．5.06
1 1 1
4．在计算1÷( － )时，下列是三位同学的过程．甲：原式＝1÷ ；乙：原式＝
3 2 6
1 1
1÷ －1÷ ；丙：原式＝1×(3－2)，则（ ）
3 2
A．甲正确 B．乙正确
C．丙正确 D．甲、乙、丙均不正确
5．按下列程序计算，并把答案写在表格内．
输入n ＋(－3)2 ÷(－2) ×(－5) 输出答案
输入n 0.5 －2 －3
输出答案
6．下列运算过程中有错误的是 （填序号）．
1
解：－22÷ ×6－(－5)
3
＝4÷2＋5
① ② ③
7．做数学“24点”游戏时，抽到的数是：－2，3，4，－6；你列出算式是：
（四个数都必须用上，而且每个数只能用一
次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，
使它的结果为 24 或－24）．
8．让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数 n =5 ，计算n 2+1得 a ；
1 1 1
第二步：算出a 的各位数字之和得 n ，计算 n 2+1得a ；
1 2 2 2
第三步：算出a 的各位数字之和得 n ，再计算 n2 ＋1得a ；
2 3 3 3
…………
依此类推，则a =_______________．
2023
559．计算：
1 1 1
（1）[(－ )＋ ＋ ]÷(－6)2；
2 4 2
1 1 1 1
（2）( － )×(－6)＋(－ )2÷(－ )3．
3 2 2 2
10．计算：
7 5 11
（1）[30－( ＋ － )×(－36)]÷(－5)；
9 6 12
1
（2）－14＋[1－(1－0.5× )]×|2－(－3)2|．
3
二、拓展提升
11．“地摊经济”刺激了经济的复苏．今年国庆周期间，小王用 2000 元购进了一
批商品，在夜市摆地摊售卖 8天，全部销售完毕．每天的收入以 300 元为标
准，超过的钱数记作正数，不足的钱数记作负数，8天的收入记录如下：＋
62，＋40，－60，－38，0，＋34，＋8，－54．（单位：元）
（1）收入最多的一天比最少的一天多多少钱？
（2）小王这8天的地摊收入是盈利还是亏损？盈利或亏损多少钱？
561 2 1 1 2
12．课堂上，老师出了一道计算题：(－ )÷( － ＋ － )，小明和小丽同学
30 3 10 6 5
的解法如下：
小丽的解法：
小明的解法：
解：原式的倒数为：
1 2 1 1 1 1
解：原式＝(－ )÷ ＋(－ )÷(－ )＋(－ )÷ 2 1 1 2 1
30 3 30 10 30 6 ( － ＋ － )÷(－ )
3 10 6 5 30
1 2
＋(－ )÷(－ ) 2 1 1 2
30 5 ＝( － ＋ － )×(－30)
3 10 6 5
1 1 1 1
＝－ ＋ － ＋ ＝－20＋3－5＋12
20 3 5 12
＝－10
1
＝ 1
6 所以，原式＝－
10
（1）小明和小丽同学的解法中，正确的解法有______；
1 1 3 2 2
（2）计算：(－ )÷( － ＋ － )．
42 6 14 3 7
13．数轴上，点 A、B表示的数分别为a、b，请利用刻度尺或圆规作图
．．．．．．
（1）如图①，若 a＝2b，请在数轴上画出原点 O；
b a
①
（2）如图②，若 a－b＝1，在数轴画出表示数 a＋b的点；
1 b a
②
（3）如图③，若 a＋b＝1，在数轴画出表示数 a－b的点．
b 1 a
③
57三、综合实践
14．数学小比赛——数轴上的“移动游戏”
甲、乙两人借助“数轴”和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两
人分别在数轴上随机挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点记为 A，乙
选择的游戏起点记为 B；然后两人进行“剪刀、石头、布”，每次“剪刀、石头、
布”的结果共有三种可能：平局、甲胜、乙胜；再根据每次“剪刀、石头、布”
的结果，A、B两点沿数轴同时移动，移动规则如下：
“剪刀、石头、布”的结果 A、B两点移动方式
平局 点A向右移动0.5个单位，点B向左移动0.5个单位
甲胜 点A向右移动2个单位，点B向右移动1个单位
乙胜 点A向左移动1个单位，点B向左移动2个单位
设甲、乙两人共进行了 k次“剪刀、石头、布”（k为正整数）．
（1）如图，起点 A表示的数是－5，起点B表示的数是 3．
． A B．
左 右
－ 5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
① 当k＝3时，其中平局一次，甲胜一次，乙胜一次，求点A、B 最终位
置表示的数及此时A、B两点间距离；
② 当k＝10时，请自己设计一个比赛结局，并求最终位置 A、B两点间距
离；
（2）若起点A表示的数是 a，起点B表示的数是 b（a、b均为整数，且 a＜
b），直接写出当 k为何值时，A、B两点重合．
58第 2 章 小结与思考
一、基础练习
1．在－32，(－3)2，－(－3)，－|－3|中，负数的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
11 π
2．在数0，－ ， ，0.34，0.101 001 0001... (相邻两个1之间依次增加 1个0)，
7 3
2.3%中，有理数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3 个 D．2个
3．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
1
A．4与 B．(－2)2与|－4| C．－(－4)与－22 D．－4与－|－4|
4
4．南京长江四桥线路全长约 29000米，将29000 用科学记数法表示为（ ）
A．0.29×105 B．2.9×103 C．2.9×104 D．29×103
5．填表：
原数 原数的相反数 原数的倒数 原数的绝对值
－5
－3.4
11
－
7
0
a（a≠0）
6．填空：
（1）相反数与本身相等的数有_______个，它们是_______________________；
（2）绝对值与本身相等的数有_______个，它们是_______________________；
（3）平方数与本身相等的数有_______个，它们是_______________________；
（4）立方数与本身相等的数有_______个，它们是_______________________．
7．如图，将刻度尺放在数轴上，刻度尺上“0 cm”和“2 cm”分别对应数轴上的 6和
4，那么刻度尺上“5.4 cm”对应数轴上的数为_______．
2 0
－2 －1 0 1 2 3 4 5 6
（第7题）
598．根据下列语句列式并计算：
（1）－4与0.4的和乘以 3的倒数 ________________________________；
（2）－1.5与3的差的平方 __________________________________；
2
（3）34与－6的商减去－ _____________________________________．
3
9．一辆汽车沿着东西走向的公路往返行驶，某天早上从甲地出发，晚上到达乙
地，若规定向东为正方向．该汽车当天行驶的记录（单位：千米）如下：＋
18.5，－9.7，＋6.9，－12，－6.2，＋11，－6.6，－15.1．
（1）乙地离甲地有多远？乙地在甲地的什么方向？
（2）若该汽车每行驶 1千米耗油0.4升，则这一天共耗油多少升？
10．计算：
2 7 1 1
（1）(－ )＋(－ )－(－2)； （2）(－ )×3÷3×(－ )；
9 9 3 3
3 5 4 1 1
（3）( － ＋ )÷(－ )； （4）－24－[－3×2＋(－3)2÷(－ )]．
4 8 3 24 5
60二、拓展提升
11．某射击运动员进行射击训练，射击成绩以 10 环为基准，记录相对环数，超
过 10环记为正，不足 10环记为负．他的前 9次射击成绩（单位：环）的相
对环数记录如下表，第 10次射击成绩为9.6 环．
序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
相对环数 －0.2 0.3 －0.5 0.1 0.1 0 0.2 0.4 0.2
（1）第10次射击成绩的相对环数应记为_______环；
（2）这 10 次射击中，与 10 环偏差最大的是第_______次射击；（填序号）
（3）计算这10 次射击的平均成绩．
12．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：－1，x，x＋1．
－1 x x＋1
（1）利用刻度尺或圆规，在数轴上画出原点；
（2）比较2x＋1 与x＋2的大小．
6113．如图，半径为 1 个单位长度的圆片上有一点 Q与数轴上的原点重合．（结
果保留π）
Q
－5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
（第13题）
（1）把圆片沿数轴向左滚动 1周，点Q到达数轴上点 A的位置，点A 表示的
数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记
为负数．将圆片滚动 6次，依次运动情况记录如下： ＋3，－1，x ，＋
4，－3，y．已知第 3次滚动后，Q点回到原点，第 6次滚动后，Q 点距离
原点为 4π；
①则 x＝ ，y＝ ；
②当圆片结束运动时，圆心运动的路程是多少？
62三、综合实践
14．数学小论文——数学思想之分类
人们数钱时通常先将钱币分类，把相同面值的钱币整理在一起；在讨论有理
数的有关问题时，我们常把有理数分为正有理数、负有理数和零 3类，比如把有
理数的绝对值分为正数的绝对值、负数的绝对值和零的绝对值 3 种情况来讨论；
在研究有理数的加法运算时，把两个有理数分为同号、异号以及两数中至少有一
个是零来研究……
无论是在生活中还是在数学中，分类都是研究问题的一种常用方法，通过分
类，可以使复杂的问题变得简单明了，易于解决．
如图（1），在一个 8×8 的方格棋盘的A格里放一枚棋子，如果规定棋子每步
只能向上、向下或向左、向右走一格，那么 A 格里的这枚棋子走28步后能否到
达B格？
按照上面的规定，棋子每走一步都面临几种可能的选择，所以该棋子走完 28
步后，可能出现的情况十分复杂．
B B
A A
（1） （2）
如图（2）如果把棋盘上的方格分成黑白相间的两类，使每个黑格的周围都
是白格，每个白格的周围都是黑格，那么棋子从白色的 A格出发，第一步必定进
入______，第二步必定进入______，第三步又进入______……也就是说，棋子走
奇数步时，进入______；走偶数步时，进入______．由此可知，当棋子从 A格出
发走28 步后，必定进入______，所以走28步后不能到达 B格．
同学们，通过以上的阅读材料，再结合本章节的学习，相信大家对数学思想
之“分类”一定有了很深的认识．大家可以结合生活，也可以结合数学，谈一谈你
对“分类”的理解，请用数学小论文的形式进行呈现．
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