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七年级上册第三单元 代数式
3.1 用字母表示数
一、基础练习
1．若n表示一个奇数，则下面各数中表示偶数的是（ ）
A．2n B．n＋2 C．2n＋1 D．2n﹣1
2．一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（ ）
A．60＋a B．6＋a C．6＋10a D．6a
3．一个长方形的长是宽的4倍多2厘米，设长为x厘米，那么宽为（ ）
x－4 x－2
A.（x－2）厘米 B.（4x－2）厘米 C.（ ）厘米 D.（ ）厘米
2 4
4．为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展形式多样的活动，七、八、九年级共有50人
参加书法学习，其中七年级的人数比八年级人数的 2 倍，设八年级的人数为x人，则九
年级的人数为（ ）
A．48－3x B．49－3x C．50－3x D．51－3x
5．小明买单价p元的商品n件，给卖家q元，应找回 元．
6．小红要购买3个黑色珠子和4个白色珠子串成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子
每个b元，，小红购买珠子应该花费 元．
7．某商品原价为每件 x 元，后来受房租增加的影响，店主将每件价格增加 10 元，再降价
25%，则现在的单价是 元．
8．设n是整数，用含n的式子表示下列各数：（1）奇数 ;（2）偶数 ;（3）
5的倍数 ;（4）被5除余1的整数 ．
9．下列表述中，字母各表示什么？
（1） 正方形的周长为4a；
（2） 买5条相同的毛巾，花了5a元钱；
（3） 某班女生比男生多1人，女生共有（x＋1）人．
10．如图，用同样长的火柴棒按规律搭建图形，图①需要6根火柴棒，图②需要11根火柴
棒，图③需要16根火柴棒，
（第10题）
（1）图⑥需要 根火柴棒；
（2）按照这个规律，图n需要火柴棒的根数为 ．（用含n的式子表示）二、拓展提升
11. 若n为自然数．
（1） 用含n的式子表示三个连续自然数;
（2） 用含n的式子表示三个连续奇数;
（3） 用含n的式子表示三个连续偶数.
12. 定义一种新运算：“&”，满足下列条件:
对于任意的实数a，b，a&b总有意义；对于任意的实数a，均有a&a=0；
对于任意的实数a，b，c，均有a&(b&c) =a&b＋c．
（1） 填空：1&(1&1) = ；2&(2&2) = ；3&(3&3) = ；
（2） 猜想：a&0= ，并说明理由；
（3） a&b= （用含a、b的式子直接表示）．
13. 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成
果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和．
（1）举例论证：
13＝1；
23＝3＋5；
33＝7＋9＋11；
请你按规律写出：43＝ ．
（2）规律总结
当m是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为 ；
当m为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为 ．
（3）综合运用
利用上面结论计算：13＋23＋33＋…＋93＋103＋113．三、综合实践
14．阅读·理解
代数学小史
1591 年，法国数学家韦达（1540～1603）第一次在数学研究中系统地使用了字母表示
数。韦达曾在法国与西班牙的战争中参与密码破译工作，他由此得到启发： 密码就是约定
好的一套符号，人们在数学中也可以仿照这样的做法，约定好特定的符号表示特定的意思，
这样写起来就方便多了。《分析方法入门》是韦达最重要的数学著作之一，书中引入字母来
表示数，用辅音字母 B、C、D 等表示已知数，用元音字母 A 等（后来还用过辅音字母 N）
表示未知数。韦达称有字母的运算为“类的运算”，以区别于传统的“数的运算”。韦达的这些
做法被后世数学史家认为是正式用字母表示数的开端。现在人们通常用字母 x、y、z 等表示
未知数，这源自法国数学家笛卡儿（1596～1650）1637 年在《几何学》中的做法。
代数学（algebra），顾名思义源自于用字母表示数。1859 年，清代数学家李善兰把algebra
译成中文“代数”。此后在清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译的《代数学》的卷首，有“代
数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，这说明代数是用符号来表示数的一种数学方法。
用简洁明了的含有字母的数学式子表示数量关系，便于记
开始
忆，便于运用促进了数学学科的发展。用字母表示数在计算机科
学发展中，同样发挥着重要的基础作用。举个简单的例子，给计
算机编一个“从 1 加 2 开始，再加 3、4、…，一直加到 100， i=1
求总和”的程序，设计的程序框图如图所示，其中的字母 i 表示
从 1 陆续变到 101 的变量（当 i＝1、2、3、…、100 时进行累加）， S=0
字母 S 表示不断增大的总和。
我国数学家华罗庚说：数学的特点是抽象，正因如此，用 S=S＋i
符号表示就更具有优越性和广泛的应用性。 用符号形式表示的数
否
学语言是世界性的通用语言，掌握好它对于提高数学表达能力，
i=i＋1
培养抽象思维十分有益。
i＞100
是
输出S3.2 代数式（1）
一、基础练习
1．下列代数式书写规范的是（ ）
n 1
A． B．6÷h C．9＋x千克 D．3 xy
8 4
1
2．给出下列式子：－2023，m＋n，S=πr2， ，1<2.其中，代数式的个数是（ ）
x
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若原产量为n吨，增产30%后的产量为（ ）
A．30%n吨 B．(1－30%n) 吨 C．(1＋30%n) 吨 D．(n＋30%) 吨
4．甲地与乙地的距离为x km，一辆汽车从甲地开往乙地行驶了t h，返回时路程不变，速度
提升，行驶时间缩短了一半，则返回时的平均速度为（ ）
x x 2x 2x
A． km/h B． km/h C． km/h D． km/h
2t t t 3t
5．按照列代数式的规范要求重新书写：a×a×a－b÷2，应写成 ．
3 1 5 2
6．下列式子 a＋b，S= ab，5，m，6＋x，n＋3=5， ＞ 中，代数式有 个．
4 2 7 3
7．已知a 是一个三位数，b 是一个两位数，如果把 b 放在a 的左边，那么所得的五位数应
表示为______ .（用含a、b的式子表示）.
8．某农场原计划用m天完成n公顷的播种任务，如果要提前a天结束，那么平均每天比原
计划要多播种 公顷．
9．请指出下列各式的写法是否规范；如果不规范，给出规范的写法：
6
（1）5×a ; （2）a×b－1; （3）a·b÷c2 ; （4）（a＋b）2 ;（5） a×b;（6） 5·2xy
5
10．用同一种材料做成了Ⅰ型、Ⅱ型两种型号的长方形窗框，形状如图所示（图中单位长度：
米，这两种窗框的长都是x米，宽都是 y米．若接缝忽略不计，根据图中各部分尺寸，
解答下列问题：
（1） 做成一个Ⅰ型的窗框，需用材料多少米？
（2） 做成一个Ⅱ型的窗框，需用材料多少米？
（3） 已知图中x的长度大于图中y的长度，请求出：做一个Ⅰ型的窗框比做一个Ⅱ型
的窗框多用这种材料多少米？
（第10题）二、拓展提升
11．观察下面三行数：
① －2、4、－8、16、－32、64、…；
② 0、6、－6、18、－30、66、…；
③ 5、－1、11、－13、35、－61、….
（1）第1行数的第8个数是___________．
（2） 请观察第2行数和第1行数的关系，找出规律，根据你得到的结论，直接写出第2
行数的第8个数是___________；请观察第3行数和第1行数的关系并直接写出第3
行数的第8个数是___________．
（3） 设第1行数的第n个数为x，取每行的第n个数，求这三个数的和为___________.
（用含x的式子表示）.
12．体育老师到文体店买足球，足球的单价为 a 元，买 10 个以上（含 10 个）按总价的 8
折优惠．
（1） 购买8个足球应付 元，购买15个应付 元;
（2） 购买b个足球应付多少钱?
13．有一串代数式：－x，2x2，－3x3，4x4，…，－19x19，20x20，…，求：
（1） 观察特点，用自己的语言叙述这串代数式的规律．
（2） 写出第2023个代数式．
（3） 写出第n个、第（n＋1）个代数式．
三、综合实践
14．操作·思考——学魔术，玩数学
扑克游戏之分牌游戏：
准备一副扑克牌，按下列四个步骤操作：
第一步，分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
最后,无论开始有几张牌，最后中间一堆牌的张数是个不变的数，你知道是什么吗？试着
说明魔术背后的原因。3.2 代数式（2）
一、基础练习
1 1
1．在代数式－7，m，x3y2， ，2x＋3y， 中，整式有（ ）
a π
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列说法正确的是（ ）
x+y
A． 是整式 B．2是单项式，其系数是1，次数是1
2
C．单项式－πx系数为－1 D．多项式2－a－ab－2πx2y是四次四项式
3．下列代数式用自然语言的表示中错误的是（ ）
A．a2－2ab＋b2表示a，b两数的平方和减去它们乘积的2倍
B．m＋2n表示m与n的2倍的和
C．a2＋b2表示a与b的平方的和
D．（a＋b）（a－b）表示a，b两数的和与差的乘积
4．小明在某牛奶旗舰店购买了一箱纯牛奶，当时纯牛奶的价钱为 a（单位：元）．该旗舰
店在“双十二”期间进行促销活动：每箱纯牛奶降价10元．小明又买了一箱相同的纯牛奶，
则小明两次购买两箱纯牛奶总共花费的金额为（ ）元．
A．20 B．2a C．2a－10 D．2（a－10）
5．单项式－x2y3的系数是m，次数是n，则m＋n= ．
6．用代数式表示：“ a
3
的 倍与2的差”： ．
5
7．对于单项式“4a”，我们可以这样解释：苹果每千克4元，小明买了a千克，共付款4a元，
请你对“4a”再给出另一个实际生活方面的合理解释： ．
8．若n为整数，则代数式n(n＋1)(n＋2)表示的意义是 ．
9．对下列式子进行分类．
b2 x+y 1 ab+x 1 1
， ＋3， ， ， ， ，0，m，3.14＞1，a－3，4b，－2d＝3．
3 2 n 5 xy a+b
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式 ： { …}．
10．5（x－2）的意义是“x与2的差的5倍”．你能说出下列两式的意义吗？
（1）a2＋b3； （2）（x－y）2．二、拓展提升
11．试判断以下句子是否正确，若不正确，请加以解释．
（1）2x与x2是相等的； （2）（－4m）2和－（4m）2是相等的；
（3）3y2和（3y）2是相等的； （4） |－a2|和a2是相等的；
（5）－a2和a2是相等的； （6） 当x＜0时，－x与|x|相等．
12. 写出下列多项式的项、次数最高项的系数，并说出它是几次几项式：
（1）3x2－2x2y＋5y2; （2） －5a2b＋a2b2 （3） －3abc＋a3b＋4πab3c
13．已知多项式 xa＋1y2－bx3是关于 x、y 的五次单项式，c 是最小的正整数，求（a－b）c＋1
的值．
三、综合实践
14．对多项式按如下的规则确定它们的先后次序：先看次数，次数高的多项式排在次数低的
多项式前面；再看项数，项数多的多项式排在项数少的多项式前面；最后看字母的个数，
字母个数多的多项式排在字母个数少的多项式前面．现有以下多项式：
① a2b2＋ab＋2 ；
②a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4 ；
③a4＋b4＋a4b；
④a2＋2ab＋b2；
⑤a2＋2a＋1．
（1）按如上规则排列以上5个多项式是 （写序号）；
（2）请你写出一个排列后在以上5个多项式最后面的多项式．3.3代数式的值（1）
一、基础练习
1．当x=－3时，代数式2x＋5的值是 ( )
A．－7 B．－2 C．－1 D．11
2．无论x取何值，下列式子的值一定是正数的是
A．│x│ B．x2 C．│x＋1│ D．x2＋1
3．当m＝－2，n＝3时，代数式4m3－2n2的值为（ ）
A．14 B．－50 C．－14 D．50
4．对于代数式3＋m的值，下列说法正确的是（ ）
A．比3大 B．比3小 C．比m大 D．比m小
5．当a＝2，b＝－3，c＝－4时，代数式b2－4ac的值为___________.
6．当m－n=5，mn=－2时，则代数式(m－n)2－4mn= .
7．已知x2－2y＋2的值是5，则x2－2y的值为 ．
8．当a＝3，b＝－1，求代数式a2b－ab2－6的值．
1 1 a
9．当a＝－ ，b＝8，求代数式－ a2＋3ab－ 的值．
2 2 b
10．已知a－2b＝5，求5(a－2b)2－3(a－2b)－60的值．二、拓展提升
11.已知a2＋2a＝1，求3a2＋6a＋2的值．
12．根据下表，回答问题：
x … －2 －1 0 1 2 …
－2x＋5 … 9 7 5 3 a …
2x＋8 … 4 6 8 10 b …
【初步感知】
（1）a＝ ；b＝ ；
【归纳规律】
（2）随着x值的变化，两个代数式的值变化规律是什么?
【问题解决】
（3）比较－2x＋5与2x＋8的大小；
（4）请写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值减小5，当x＝0时，
代数式的值为－7.13．如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆.
……
第1个 第2个 第3个 ……
（第13题）
（1） 根据图中的规律，第 4 个正方形内圆的个数是 ，第 n 个正方形内圆的个数
是 ．
（2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影．
①用含a的代数式分别表示第1个正方形中和第3个正方形中阴影部分的面积．
②你发现了什么？
③若a＝10，请直接写出第2024个正方形中阴影部分的面积 ．
三、综合实践
14. 一种笔记本售价是 2.3 元/本，如果一次买 100 本以上（不含 100 本），售价是 2.2 元/
本．列式表示买n本笔记本所需钱数（注意对n的大小要有所考虑）．请思考：
（1）按照这种售价规定，会不会出现多买比少买反而付钱少的情况？
（2）如果需要100本笔记本，怎样购买能省钱？
（3）了解实际生活中类似问题，并列出几个具体例子．3.3 代数式的值（2）
一、基础练习
1．若b＝0，则1－5ab2－7b3＋6a2b式子的值为（ ）
A．－5 B．5 C．0 D．1
2．若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，x 的绝对值是 2，计算 x2－cd•x＋（a＋b）2024＝
（ ）
A．2或－2 B．2或6 C．2 D．3
3．如图是一数值转换机的示意图，则输出结果是（ ）
（第3题）
A．2x2－1＋3 B．x2－1 ×2＋3 C．2(x2－1)＋3 D．2(x－1)2＋3
4．关于x的代数式ax＋b，当x取值分别为－1，0，1，2时，对应的代数式的值如表：
x … －1 0 1 2 …
y … －2 1 4 7 …
则a＋2b的值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．2
5．下图是数值转换机的示意图，如果输入的数字用 x 表示，那么输出的数字用代数式－3x
＋5表示，请按照上题的样式,将数值转换机中的方框填上：
输入x 输出结果
（第5题）
6．如图，若输入的x值为－2，则输出 的结果是 ．
否
是
输入x 计算－x2的值 ＜－5 输出结果
（第6题）
7．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … －2 4 －8 16 －32 …
那么，当输入数据是 8 时，输出的数据是 ；当输入数据是 n 时，输出的数据
是 ．
8. 如图是一个简单的数值运算程序，当输入的 m的值为－2时，输出的结果为 ．
否
是
输入 m 计算 m2－2m ＞40 输出结果
（第8题）9．如图是数值转换机示意图．
（1）写出输出结果（用含x的代数式表示）；
（2）填写下表；
x的值 … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
输出值 … …
（3）输出结果的值有什么特征？写出一个你的发现．
10．如图所示是一个数值转换机的示意图．
（1）直接写出输出结果 ；
（2）如果输入数的是－3，那么输出结果是多少？（写出计算过程）
（3）如果输出结果是65，那么输入的数值是 ．
二、拓展提升
11．我们知道，用运算符号把数字和字母连接而成的式子称为“代数式”，用具体的数值代
替代数式中的字母就可以得到这个代数式的一个值，代数式的值由代数式中的字母的取
值来决定．小明在学习完“代数式”的知识后，用下表探究了两个代数式之间的关系．
（a－b）2 a2－2ab＋b2
a＝2，b＝1 1
a＝－1，b＝2 9
a＝－3，b＝－1
（1）完成表中的空白处代数式的值：
（2）比较表中两代数式的计算结果，你发现（a－b）2与a2－2ab＋b2有什么数量关系？
（3）利用你发现的结论，求：20242－4048×2023＋20232的值．
12．已知代数式ax5+bx3+3x+c，当x＝0时，该代数式的值为－1．
（1）求c的值；
（2）已知当x＝1时，该代数式的值为－1，试求 a + b + c
输入x
( )2
×3
－(－2)
输出
（第9题）
输入x
( )2
＋1
输出______
（第10题）
的值；
（3）已知当x＝3时，该代数式的值为－10，试求当x＝－3时该代数式的值；
（4）在第（3）小题的已知条件下，若有5a=3b成立，试比较a+b与c的大小？13．材料一：如果 10b＝n，那么 b 为 n 的劳格数，记为 b＝d（n），由定义可知：10b＝n
与b＝d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．例如：101＝10，d（10）＝1．
材料二：劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）＋d（n）．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（102）＝ ；
（2）若d（2）＝0.301，求d（4）＋d（32）的值；
（3）已知d（3）＝2a＋b，d（9）＝3a＋2b＋c，d（27）＝6a＋2b＋c，试说明a，b，c
三者之间的关系．
三、综合实践
14. 如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别
代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．
6 9 0 1 2 3 3
种类 出版社 书序 校验码
代码 代码 代码
其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法
得来的．以上图为例，其算法为：
步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a＝9＋1＋3＝13；
步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b＝6＋0＋2＝8；
步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×13＋8＝47；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝50；
步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X＝50－47＝3．
请解答下列问题：
（1）《数学故事》的图书码为978753Y，则“步骤3”中的c的值为 ，校验码Y
的值为 ．
（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，你能用只含有
m的代数式表示上述步骤中的d吗？从而求出m的值吗？写出你的思考过程．
6 9 0 1 0 2 6 6 9 1 9 0 2 8
① ②
（第14题）
（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是 4，这两个数字从左到右分别
是多少？请直接写出结果．3.4 合并同类项（1）
一、基础练习
1．下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．－2ab2 C．ab D．ab2c
2．下列说法正确的是（ ）
A．字母相同的项是同类项 B．指数相同的项是同类项
C．－1与0.1是同类项 D．－x2y与xy2是同类项
3．下列运算正确的是（ ）
A．5a2－3a2＝2 B．x2＋x2＝x4 C．3a＋2b＝5ab D．7ab－6ba＝ab
4．把多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－1合并同类项后所得的结果是（ ）
A．一次二项式 B．二次二项式 C．二次三项式 D．单项式
5．若2a4bn与4amb2是同类项，则m＋n＝______．
6．若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则b－a＝______．
7．若多项式5x2－(m＋2)xy＋7y2－2xy－5(m为常数) 不含xy项，则m＝______．
8．请任意写出2x2y2z的三个同类项：______________________．
9．合并同类项：
（1）2x＋3y＋x－5y； （2）4a2－2a－a2－3a；
1 1 1
（3）3x2－2xy－3x2＋3xy＋1； （4） a2b－ a2b－ ab2＋3ab2．
2 3 4
10.如果－4xaya＋1与mx5yb－1的和是3x5yn，求(m－n) (2a－b)的值．二、拓展提升
11．若关于x、y的多项式mx3＋3nxy2＋2x3－xy2＋y合并后不含三次项，求2m＋3n的值．
12．一个两位数，它的十位上的数字为a，个位上的数字为b，若把它的十位上的数字与个
位上的数字对调，将得到一个新的两位数．试说明：原来的两位数与新的两位数的和一定
能被11整除．
13. 某市要建一条高速公路，其中的一段经过公开招标，由某建筑公司中标．在建筑过程中，
该公司为了保质保量提前完工，投入了甲、乙、丙三个工程队进行同时施工，经过一段时
2
间后，甲工程队筑路a km，乙工程队所筑的路是甲工程队的 多18 km，丙工程队所筑
3
的路是甲工程队的 2 倍少 3 km．请问甲、乙、丙三个工程队共筑路多少千米？若该段高
速公路长为1200 km，当a＝300时，他们已经完成任务了吗？三、综合实践
14. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”因此，为了理
解问题和解决问题，我们常常需要把“数”和“形”结合起来．
【教材回顾 由形想数】 100 200
右图选自教材《合并同类项》（单位略）． 图书馆 操 场 a
（1）从图1中可以直观地看出，学校的占地面积可以表示为
活动
100a＋200a＋240b＋60b，也可以表示为 ． 教学区 b
中心
240 60
【速算研究 由数想形】 （第14题 图1）
37×33，26×24，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字
之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 30
3
图形建模：
7
用长方形的面积表示两个正数的乘积，以37×33为例：
构图方法：如图2，画长为37，宽为33的长方形，将这个37×33
37
30
的长方形从右边切下长30，宽3的一条，拼接到原长方形的上面．
图形分析：原长方形面积可以有两种不同的表达方式，37×33的长
方形面积或(30＋7＋3 ) ×30的长方形与右上角3×7的长方形面积之
33
和，即37×33＝(30＋10 ) ×30＋3×7＝4×3×100＋3×7＝1221． （第14题 图2）
用文字表述37×33的速算方法：十位数字3加1的和与3相乘，
再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．
（2）①类比示例：对于26×24，画图并简要说明其构图方法、速算方法．
②归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10 的两位数相乘的速算方法
是： ．（用文字语言表述）
（3）如图3，你能借破解期中的奥妙吗？请画图来解释
图3的速算方法并标出必要数据．
（第14题 图3）3.4 合并同类项（2）
一、基础练习
1．下列运算正确的是（ ）
A．2a2b－ba2＝ba2 B．a3＋a3＝a6 C．4a2＋2a3＝6a5 D．3a－2a＝1
2．当a＝－5时，多项式a2＋2a－2a2－a＋a2－1的值为（ ）
A．29 B．－6 C．14 D．24
3．若3a2＋mb和(n－1)a3b是同类项，且它们的和为0，则mn的值是（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
4．对于代数式xyz2－4yx－3xy＋z2yx－2xyz2－xy的值的描述，下列说法正确的是（ ）
A．与x、y、z的取值都有关 B．与x的取值有关，而与y、z的取值无关
C．与x、y的取值有关，而与z的取值无关 D．与x、y、z的取值均无关
5．若－3x2my3与2x4yn是同类项，则mn的值是______．
6．一个代数式减去3x得－5x2－3x－1，则这个代数式为______．
7．多项式3x3－6x2＋2x－4与多项式4x3＋2ax2－x＋5的和不含关于x的二次项，则a的值
是______.
8．已知四个连续的奇数中，最小的为2a－3，则这四个连续奇数的和为______．
9．求下列各式的值：
（1）5x2＋4－3x2－5x－2x2－5＋6x，其中x＝－3；
1
（2）4a2＋3b＋2ab－4a2－4b2，其中a＝ ，b＝1；
2
1
（3）2(x－2y)－4(x－2y)＋(x－2y)－3(x－2y)，其中x＝－1，y＝ ．
2
10．父亲看到嘉悦在做一道数学题：“化简：ax2＋6x＋8－6x－5x2－2．”
（1）父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能得到a的值吗?”
（2）父亲又说：“若代入x＝－1，则这个式子的值是－2．你能求出a的值吗?”
请帮助嘉悦完成这两个任务，并说明理由．二、拓展提升
11．已知代数式2x2＋ax－y＋6－2bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，求a＋b的值．
12．有这样一道题：“当 a＝2023，b＝－2024 时，求多项式 8a3－5a3b＋3a2b＋4a3＋5a3b
－3a2b－12a3＋2024 值．”小明认为：本题中 a＝2023，b＝－2024 是多余的条件．小强
反对说：“这不可能，多项式中含有a和b，不给出a、b的值，就不能求出多项式的值．”
你同意谁的观点？请说明理由．
13．【阅读材料】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极
为广泛．
比如，4x－2x＋x＝(4－2＋1)x＝3x，类似地，我们把(a－b)看成一个整体，则 4(a－b)
－2(a－b)＋(a－b)＝(4－2＋1)(a－b)＝3(a－b)．
【尝试应用】（1）化简4(a＋b)＋2(a＋b)－(a＋b)的结果是______．
1
（2）化简求值，3(x＋y)2＋5(x＋y)＋5(x＋y)2－3(x＋y)，其中x＋y＝ ．
2
【拓展探索】（3）若x2－2y＝4，请直接写出－3x2＋6y＋10的值．三、综合实践
14．阅读·思考——学魔术，玩数学
大家好！我是伟大的魔术师——迈斯，我将向大家展示一个与数字相关的读心魔术！
擅长数学的人往往具备一种神秘的感应能力，我称其之为“数感”，比如现在我在冥冥
之中感应到了一个数字，为了看清它，我需要你的帮助：请你任意想三个连续的数字，再将
这三个数字相加；然后将和进行平方，你将得到一个新的数字．
感应越来越强烈了，接下来还需要你做一些运算：请你把新数字各个数位上的数字加起
来，这个和是一个个位数吗？如果不是，就将得到的结果中各个数位的数字再次相加，一直
到结果是个位数为止．我的“数感”告诉我，最终你会得到的结果是9，我说对了吗？
魔术师的小九九
这个魔术其实运用了数字“9”的特性，9的倍数各个数位之和仍是9的倍数，比如27
是9的倍数，2＋7＝9仍是9的倍数；585是9的倍数，5＋8＋5＝18仍是9的倍数．
三个连续的数字之和等于中间数字的3倍，再平方，得到一个9的倍数．把这个数各个
数位上的数字加起来，结果要么是9，要么是9的倍数．所以无论选什么数字，最终的结果
都会是9．
思考:为什么9的倍数各个数位之和还是9的倍数？3.5 去括号
一、基础练习
1．下列各式从左到右的变形中，正确的是（ ）
A．x－(y－z)＝x－y－z B．x＋2(y－z)＝x＋2y－z
C．x＋2y－2z＝x－2(y－z) D．－(x－y＋z)＝－x＋y－z
2．下列各式中，与a－b－c的值不相等的是（ ）
A．a－(b－c) B．a－(b＋c)
C．(a－b)＋(－c) D．(－b)＋(a－c)
3．下列添括号正确的是（ ）
A．－b－c＝－(b－c) B．－2x＋6y＝－2(x－6y)
C．a－b＝＋(a－b) D．x－y－1＝x－(y－1)
4．计算：2a2－(a2＋2) ＝______．
5．a－b的相反数可表示为______．
6．一个代数式加上－x2＋x－2得到x2－1，这个代数式是______．
7．已知a－2b的值是－4，则1－2a＋4b的值等于______．
8． 有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简|－a|－|a－b|＋|c－a|的结果是______．
a b 0 c
(第8题)
9．先化简，再求值：
1
（1）3ab2－2(2a2b－3ab2)＋3(2a2b－3ab2)，其中a＝－2，b＝ ．
2
1 1 3 1 3
（2） x－2(x－ y2)＋(－ x＋ y2)，其中x＝－3，y＝ ．
2 3 2 3 2
10．已知：A－2B＝7a2－7ab，且B＝－4a2＋6ab＋7．
（1）求A等于多少；
（2）若|a＋1|＋(b－2) 2＝0，求A的值．二、拓展提升
11．定义一种新运算，观察下列式子：
1☆4＝1×3＋4×2＝11；3☆(－1)＝3×3＋(－1)×2＝7；5☆4＝5×3＋4×2＝23；
4☆(－2)＝4×3＋(－2)×2＝8；……
若a、b符合上面式子的规律．
（1）a ☆ b ＝______（用含a、b的代数式表示）；
（2）已知a ☆ b ＝ 2，求 (a－2b) ☆ (3a＋6b)的值．
12．（1）已知m＝1＋2n，求代数式7m－14n的值；
（2）已知m－2n＝1，求代数式3＋7m－[9n＋5(m－n)]的值．
13．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：
x … －2 －1 0 1 2 …
2x－1 … －5 m －1 1 3 …
－2x＋3 … 7 5 3 1 n …
【初步感知】
（1）根据表中信息可知：m＝______；n＝______．
【归纳规律】
（2）表中2x－1值的变化规律是：x的值每增加1，2x－1的值就增加2；类似地，
－2x＋3值的变化规律是：x的值每增加1，－2x＋3值就______．
【计算验证】
（3）当 x 的值从 a 增加到 a＋1时，猜想关于 x 的代数式 kx－3（k为一次项的系数，
且k≠0）的值会怎样变化，并通过计算加以说明．三、综合实践
14．7 张如图 1 的小长方形，长为 a，宽为 b，按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 ABCD
内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S ，左下角
1
的面积为S ，当AB的长变化时，S －S 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
2 1 2
（第14题 图1） （第14题 图2）3.6 整式的加减
一、基础练习
1．多项式a2＋a与多项式－a＋1的差为（ ）
A．a2＋1 B．a2＋2a＋1 C．a2－1 D．a2＋2a－1
2．一个多项式加上多项式2x－1后得3x－2，则这个多项式为（ ）
A．x－1 B．x＋1 C．x－3 D．x ＋3
3．已知整式3x2＋4xy＋1－4xy，则这个整式的值（ ）
A．只与x的值有关 B．只与y的值有关
C．既与x的值有关，也与y的值有关 D．既与x的值无关，也与y的值无关
4．如图，左边两个图形A，B的面积分别为 2 1 ，7，将图形A向右移动，使A与B的一部
分重合（如阴影部分所示），不重合部分的面积分别用S ，S 表示（S ＞S ），则S －S
1 2 1 2 1 2
的值等于（ ）
A． 1 1 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4
5．一个长方形的周长是6a，一边长为a ＋b，则另一边长为 ．
6．小李今年a岁，小王今年（a－15）岁，过（n＋1）年后，他们相差 岁．
7．试写出两个多项式，使它们的和为8xy： .
8．若a＋b＝2，则称a与b是关于2的平衡数．3与 是关于2的平衡数，7－x与 是
关于2的平衡数．（填一个含x的代数式）
1
9．先化简，再求值：a2b＋3(a2b－2ab2)－(ab2－2a2b)，其中a＝－1，b＝－ ．
2
10．某同学在黑板上正确解答了一道整式的计算题，但被另一位同学不慎擦掉了算式中的一
部分，如图所示： ＋（4x2－7x＋5）＝－3x2－5x＋1．
（1）求被擦掉的多项式；
1
（2）若x＝－ ，求被擦掉多项式的值．
2二、拓展提升
11．已知A＝2x2－xy＋3x，B＝x2＋xy＋1．
（1）求2A－（A＋2B）的值；
（2）若A－2B的值与x的取值无关，求y的值．
12．已知A＝2a2－3a＋1，B＝a2－5－3a．
（1）当a＝－2时，求代数式3A－2（A－2B）的值；
（2）试判断A、B的大小关系，并说明理由．
13．阅读：
计算（－3x3+5x2－7）+（2x－3+3x2）时，可列竖式：
−3x3+5x2−7
+)3x2+2x−3
−3x3+8x2+2x−10
小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并各同类项的
系数，因此，可以把上题的竖式简化为：
所以，原式＝－3x3＋8x2＋2x－10．
根据阅读材料解答下列问题：
已知：A＝－2x－3x3+1＋x4，B＝2x3－4x2＋x．
（1）请仿照小明的方法计算：A－B；
（2）请写出一个多项式C： ，使其与B的和是二次三项式．
−
+
−
3
)
3
+
0
+
5
+
8
+
3
+
+
0
2
−
2
−
7
−
1
3
0三、综合实践
14．当你记不住九九乘法表中乘9的口诀时，你可以进行如下的操作：
例如，伸出两只手，做运算 4×9 时，如图，从左手开始数 4 下，数到第 4 根手指向下
弯．这时，该手指左边有3根手指，右边有6根手指，可得36，即4×9＝36．
类似的，做运算 8×9 时，从左手开始数 8 下，数到第 8 根手指向下弯．这时，该手指
左边有7根手指，右边有2根手指，可得72，即8×9＝72．
……
将问题一般化，我们可以解决9n（1≤n≤9，且n为整数）的问题．从左手开始数n下，
数到第n根手指向下弯．这时，该手指左边有 根手指，右边有 根手指．
列式计算说明上述操作的理由．（不能1～9逐个代入）
左边：三根指头 右边：六根指头第 3章 小结与思考（1）
一、基础练习
1．单项式－5x2y3的系数、次数分别为（ ）
A．5和3 B．5和5 C．－5和3 D．－5和5
2．下列运算正确的是（ ）
A． 3a－2a＝1 B．a＋a2＝a3 C．3a＋2b＝5ab D．7ab－6ba＝ab
3．某种商品进价为a元，商店将价格提高30%作零售价销售，在销售旺季过后，商店又以
8折优惠价促销．这时该商品的售价为（ ）
A．a元 B．0.8a元 C．1.04a元 D．0.92a元
4．某商店在甲批发市场以每包m元的价格进了40包茶叶，又在乙批发市场以每包n元（m
m＋n
＞n）的价格进了同样的 60 包茶叶．如果以每包 元的价格全部卖出这种茶叶，那
2
么这家商店（ ）
A． 盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
5．写一个含a的代数式，使a无论取什么值，这个代数式的值总是正数．这个代数式可以
是 ．
6．若m2＋2m＝1，则代数式3－m2－2m的值为 ．
7．多项式3x3－6x2＋2x－4与多项式4x3＋2ax2－x的和不含关于x的二次项，则a= .
8．已知A、B两地相距100米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，速度分别
为x米/秒，y米/秒．甲、乙两人第一次相距a(a＜100)米时，行驶时间为 ．
1
9．先化简，再求值：a2b＋3(a2b－2ab2)－(ab2－2a2b)，其中a＝－1，b＝－ ．
2
10．我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示．其
1 1
中大圆的半径为r，中间小圆的半径为 r，4个半径为 r的高清圆形镜头分布在两圆之间．
2 5
（1）请用含r的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当r＝2 cm时，求图中阴影部分的面积（π取3）．
1
r
5
1
r
2
r二、拓展提升
11．如图，用三种大小不同的5个正方形和1个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，其
中EF＝3，最小的正方形的边长为x．
（1）FG＝ ，DG＝ ；（用含x的代数式表示）
（2）用含x的代数式表示长方形ABCD的周长，并求当x＝6时长方形ABCD的周长．
12．将奇数1至2021按照顺序排成下表：
1 3 5 7 9 11
13 15 17 19 21 23
25 27 29 31 33 35
…
记P 表示第m行第n个数，如P 表示第2行第3个数是17．
mn 23
（1）P ＝ ；
43
（2）若P ＝2021，推理m＝ ；n＝ ；
mn
（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100．若
能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．
（4）用m、n的代数式表示P ＝ ．
mn13．根据下表，回答问题：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
2x … －6 －4 －2 0 2 4 6 …
x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
（1）当x的值为 时，代数式2x，x2的值相等．
（2）随着x的值增大，代数式2x，x2的值怎样变化？
（3）①从“数”的角度证明：当x＞2时， x2＞2x；
②从“形”的角度证明：当x＞2时， x2＞2x．
三、综合实践
14．阅读与思考
牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分（另一个创立者是莱布尼
茨）、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、
方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作《自然哲学的数学原理》，照亮了
人类科学文明的大道，牛顿在他的《普遍的算术》一书中写道：“要解答一个含有数量间的
抽象关系的问题，只要把题目由日常的语言译成代数的语言就行了．”下表是由牛顿给出的
1个例子改写、简化而成的，请将表的空白补上（不必化简）．
日常语言 代数语言
一个商人有一笔钱 x
第一年他花去了100镑 x－100
1 1
补进去余额的 (x－100)＋ (x－100)
3 3
第二年他又花去了100镑
1
又补进去余额的
3
结果他的钱数正好是原来的钱数
根据上表中的（3）可解得x＝ ．第 3 章 小结与思考（2）
一、基础练习
1．已知5x2－2x－1与多项式ax2＋bx＋1和为0，其中a，b为常数，则a＋b的值是
A．－2 B．7 C．3 D．－3
2．x＋2y与x－2y的大小关系
A．只与x有关 B．只与y有关 C．与x，y有关 D．与x，y无关
3．小敏和同学在某餐厅吃饭，如图为此餐厅的菜单．若他们所点的餐点总共为12份意大利
面，x杯饮料，y份沙拉，则他们点了A餐的份数是
A餐：一份意大利面
B餐：一份意大利面加一杯饮料
C餐：一份意大利面加一杯饮料与一份沙拉
A．12－x B．12－y C．12－x＋y D．12－x－y
4．某船在相距s km的A、B两个码头之间航行，若该船在静水中的速度是50 km/h，水流
速度是a km/h，则该船从A到B顺水行驶的时间比从B到A逆水行驶的时间少
s s 2s 2s
A．( － )h B．( － )h
50＋a 50－a 50＋a 50－a
s s 2s 2s
C．( － )h D．( － )h
50－a 50＋a 50－a 50＋a
5．如图是一数值转换机，要使输出y的值为59，则输入x的最小正整数为 ．
．．
是
输入x ×3 －1 ＞50 输出y
否
6．把一个两位数 m 放在一个三位数 n 的前面，组成一个五位数，这个五位数可表示
为 ．
7．已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，则y的值为 ．
8．已知当x＝1时，代数式px2＋qx的值为2019，则当x＝－1时，px3＋qx＋1的值是______．
9．（1）已知m＝1＋2n，求代数式7m－14n的值；
（2）已知m－2n＝1，求代数式3＋7m－[9n＋5(m－n)]的值.10．某窗户的窗框如图所示，其上部是半圆形，下部是四个长为a m，宽为b m的小长方形．
（1）求窗框(所有实线)的总长度（用含有a、b的代数式表示，保留π）；
（2）该窗框全部用铝合金材料制作，铝合金的价格为100元/米，
当a＝1，b＝0.6时，制作该窗框所需的费用是多少元？（π取3.14）
b m
b m
a m a m
二、拓展提升
11．（1）填表
x －4 －3 －2 －1 0 1 3 4
－2x＋4 12 10 8 6 2 0 －2 －4
（2）观察表格：随着x的值增大，代数式－2x＋4的值________；（填“变大”、“变小”、
“不变”）
（3）已知A＝4x2－3x－1，B＝4x2－x－5，比较A与B的大小．
__
12．一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作ab；一个三位数的百
___
位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作xyz．
__ __
（1）(ab＋ba)能被11整除吗？请说明理由；
___
（2）小明发现：如果(x＋y＋z)能被3整除， 那么xyz就能被3整除．请补全小明的证明
思路，补充方框中横线的内容．
小明的证明思路
___
因为xyz＝__________________
＝①__________________＋(x＋y＋z)，
又因为代数式②，(x＋y＋z)都能被3整除，
___
所以xyz能被3整除．13．某野生动物园门票价格为60元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用．
方案一 方案二
当团购门票数不超过40张时，无优惠； 爱心捐款认养小动物，每捐款500元，则
当团购门票数超过 40 张时，超过的部 所购门票每张优惠2元；且捐款额必须为
分每张优惠10元． 500的整数倍，最多捐款5000元．
设某旅游团一次性购买门票x张（x为正整数）．
（1）如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用；
（2）如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个500元（m为正整数）．
①该旅游团一共需要花费的总费用为________元；（用含m，x的代数式表示）
②当x＞40时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比
选择方案一的费用多某个固定值，则m的值为________，固定值为________．
三、综合实践
14．（1）在钟面上的12个数字前，如何恰当地添加正号或负号，可以使它们的和的绝对值
最小？
（2）在n个连续整数1，2，3，…n的前面，恰当地添上正号或者负号，使他们和的绝对值
最小．求这个最小值．七年级上册第三单元 代数式
3.1 用字母表示数
1． A 2． C 3．D 4． C 5.（q－np） 6．（3a＋4b）
7．（1－25%）（x＋10） 8．2n＋1、2n、5n、5n＋1
9．（1）正方形的边长；（2）毛巾的单价；（3）某班男生人数
10．（1）31;（2）5n＋1
11.（1）n、n＋1、n＋2;（2）2n－1、2n＋1、2n＋3;（3）2n－2、2n、2n＋2
12.（1）1、2、3;（2）a，理由如下：∵a&a=0 ∴a&0=a&（a&a） ∵a&（b&c）＝a&b＋c
∴a&（a&a）＝a&a＋a＝0＋a＝a ∴a&0＝a;（3）a&b＝a－b,理由如下：∵a&（b&b）
＝a&b＋b a&（b&b）＝a&0＝a ∴a=a&b＋b ∴ a&b＝a－b．
13.（1）13＋15＋17＋19；（2）49；99，101；（3）13＋23＋33＋…＋93＋103＋113
1
＝1＋（3＋5）＋（7＋9＋11）＋…＋（111＋…＋131）＝ ×66×（1＋131）＝4356；
2
14.（略）
3.2代数式（1）
1 n n
1．A 2．B 3．C 4．C 5．a3－ b 6．4 7．1000b＋a 8．（ － ）
2 m－a m
ab 6
9.（1）5a ;（2）ab－1;（3） ;（4）书写规范 ;（5） ab;（6）10xy
c2 5
10. （1）（3x＋2y）m；（2）（2x＋3y）m；（3）（x－y）m
11.（1）256；（2）258、－253；（3）x＋5
12.（1）8a；12a （2）当b<10时,应付的钱数为ab元;当b≧10时,应付的钱数为0.8ab元.
13.（1）这组代数式的规律是：这组单项式的系数和次数都是1开始的连续的整数，且系数
第奇数个为负，第偶数个为正;（2）－2023x2023 ;（3）第n个代数式是（－1）nxn、第
（n＋1）个代数式是（－1）n＋1xn＋1 ．
14．解：最后中间一堆牌的张数是5，设原来每一堆牌张数为m,则每次操作后，每堆牌张
数变化如下表：
左边一堆牌 中间一堆牌 右边一堆牌
步骤
的张数 的张数 的张数
第一步后 m m m
第二步后 m－2 m＋2 m
第三步后 m－2 m＋3 m－1
第四步后 2m－4 5 m－13.2代数式（2）
3
1.D 2.A 3.C 4.C 5.4 6. a－2 7.边长为a的正方形周长
5
b2 x+y ab+x b2 x+y ab+x
8.三个连续整数的积 9. ，0，m，4b ; ＋3， ，a－3； ， ＋3， ，0，m，
3 2 5 3 2 5
a－3，4b 10. （1）a的平方与b的立方的和;（2）x,y两数差的平方
11.（1）不正确，2x表示2个x的和，x2表示2个x的积；（2）不正确，（－4m）2表示−4
与m积的平方，－（4m）2表示4与m积的平方的相反数；（3）不正确，3y2表示3与
y2的积，（3y）2表示3与y的积的平方；（4）正确；（5）不正确，－a2表示2个 a 的
积的相反数，a2表示2个 a 的积；（6）正确．
12.（1）3x2、－2x2y、5y2，－2，三次三项式；（2）－5a2b、a2b2 ，1，四次二项式；（3）
－3abc、a3b、4πab3c，4π，五次三项式
13．a=2,b=0,c=1,（a－b）c＋1=（2－0）1＋1=4
14.（1）③②①④⑤;（2）a＋1是符合题意的多项式之一.
3.3代数式的值（1）
1. C 2. D 3. B 4. C 5. 41 6. 33 7. 3
8．当a＝3，b＝－1时，原式＝32×(－1)－3×(－1) 2－6＝－9－3－6＝－18．
1 1 1 1 1 1 1
9．当a＝－ ，b＝8时，原式＝－ ×(－ ) 2＋3×(－ )×8－(－ )÷8＝－ －12＋
2 2 2 2 2 8 16
1
＝－12 ．
16
10．当a－2b＝5时，原式＝5×52－3×5－60＝125－15－60＝50．
11.当a2＋2a＝1时，原式＝3(a2＋2a) ＋2＝3＋2＝5．
12.（1）1，12；（2）x每增加1，－2x＋5的值减少2，2x＋8的值增加2；
3 3
（3）当 x＝－ 时，两式相等；当 x＜－ 时，－2x＋5
4 4
2x＋8；当 x
3
－ 时，－2x＋
4
5 2x＋8；（4）－5x－7．
a 4－π a 4－π
13. （1）16，n2； （2）①a2－π( )2＝ a2，a2－9π( )2＝ a2；
2 4 6 4
②图中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关；
③100－25π．
14. （1）当n≤100时，需要的钱数是2.3n元；当n＞100时，需要的钱数是2.2n元；
当n＝100时，需要的钱数是230元；
由2.2n＜230得：n＜104.5，
则100＜n≤104时，会出现多比少买反而付钱少的情况；
（2）如果需要100本笔记本，购买101本时，需要的钱数是101×2.2＝222.2（元），购买100本时，需要的钱数是100×2.3＝230（元），所以如果需要100本笔记本，购
买101本能省钱；
（3）如一个乒乓球售价为2元/个，如果买10个以上（不含10个），售价为1.9元/个，按
照这种售价规定，会不会出现多买比少买反而付钱少的情况？
3.3代数式的值（2）
1. D 2. B 3. D 4. C 5. ×（－3），＋5 6. －4，－16 7. 256，(－2) n
8．48 9．（1）3x2＋2； （2）29，14，5，2，5，14，29； （3）答案不唯一，以下答
案供参考：①输出结果的值总是一个正数； ②输出结果的最小值是2； ③当x的值的绝对
值相等时，输出结果相同．
10．（1）x2＋1；（2）10；（3）8或－8．
11．（1）当 a＝2，b＝1 时，（a－b）2＝（2－1）2＝1，当 a＝－1，b＝2 时，a2－2ab＋
b2＝（－1）2－2×（－1）×2＋22＝1＋4＋4＝9，当 a＝－3，b＝－1 时，（a－b）2
＝[－3－（－1）]2＝（－3＋1）2＝（－2）2＝4，a2－2ab＋b2＝（－3）2－2×（－3）
×（－1）＋（－1）2＝9－6＋1＝4，故答案为：1；9；4；4；
（2）通过比较，发现：（a－b）2＝a2－2ab＋b2；
（3）原式＝20242－2×2024×2023＋20232＝（2024－2023）2＝1．
12．（1）－1；（2）－4；（3）－8；（4） a + b c ．
13．（1）∵n＝102，∴b＝2，∴d（102）＝b＝2．（2）∵d（2）＝0.301，d（mn）＝d（m）
＋d（n），∴d（4）＝d（2×2）＝d（2）＋d（2）＝0.301＋0.301＝0.602，d（32）＝
d（4×8）＝d（4）＋d（8）＝d（4）＋d（4×2）＝d（4）＋d（4）＋d（2）＝0.602
＋0.602＋0.301＝1.505，d（4）＋d（32）＝0.602＋1.505＝2.107．
（3）∵d（3）＝2a＋b，d（9）＝3a＋2b＋c，d（27）＝6a＋2b＋c，
∴d（9）＝d（3×3）＝d（3）＋d（3）＝2a＋b＋2a＋b＝4a＋2b，
∴3a＋2b＋c＝4a＋2b，∴a＝c，
∵d（27）＝d（3×9）＝d（3）＋d（9）＝2a＋b＋3a＋2b＋c＝5a＋3b＋c，
∴6a＋2b＋c＝5a＋3b＋c，∴a＝b，∴a＝b＝c．
14．（1）73，7． （2）a＝m＋1＋2＝m＋3， b＝6＋0＋0＝6， c＝3a＋b＝3(m＋3)＋6
＝3m＋15， d＝c＋X＝3m＋15＋6＝3m＋21． 因为d是10的整数倍，所以3m的个位
数字只能是9． 所以m只能是3． （3）4、0或9、5或2、6．
3.4 合并同类项（1）
1．B 2．C 3．D 4．A 5．6 6．－1 7．－4
8．3x2y2z，x2y2z，5x2y2z（答案不唯一）9．（1）3x－2y；（2）3a2－5a；（3）xy＋1；
1 11
（4） a2b＋ ab2．10.∵－4xay a＋1与mx5y b－1的和是3x5yn，∴a＝5，a＋1＝b－1＝n，－4
6 4＋m＝3，解得a＝5，b＝7，n＝6，m＝7，则(m－n) (2a－b)＝3．
11．mx3＋3nxy2＋2x3－xy2＋y＝(m＋2) x3＋(3n－1) xy2＋y，由关于x，y的多项式mx3＋3nxy2
＋2x3－xy2＋y 不含三次项，得 m＋2＝0，3n－1＝0．解得 m＝－2，3n＝1．∴2m＋3n＝2
×(－2)＋1＝－4＋1＝－3．
12．由题意，得这个两位数为 10a＋b，对调后的两位数为 10b＋a，∴这两个数的和为 10a
＋b＋10b＋a＝11(a＋b)，∴这两个数的和能被11整除．
2 11
13．甲、乙、丙三个工程队共筑路为：a＋( a＋18)＋(2a－3)＝( a＋15) km．当a＝300时，
3 3
11 11
a＋15＝ ×300＋15＝1115(千米)，∵1115＜1200，∴他们没有完成任务．
3 3
14.（1）(100＋200)a＋(240＋60)b；
（2）①参考图：如图2．
20 96 4
4
3
6
100
26 97
20
100
24
（第14题 图3）
（第14题 图2）
构图方法：画 长为26，宽为24的长方形，如图，将这个2 6×24的长方形从右边切下长20，
宽4的一条，拼接到原长方形的上面．
速算方法：十位数字2加1的和与2相乘，再乘以100，加上个位数字6与4的积，构成运
算结果．
②十位数字加1和十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．
（3）参考图：如图3．
3.4合并同类项（2）
1．A 2．B 3．B 4．C 5．8 6．－5x2－1 7．3 8．8a
9．（1）x－1，－4； （2）－4b2＋2ab＋3b，0； （3）－4x＋8y，8．
10．（1）原式＝(a－5)x2＋6，由标准答案是常数，得到a－5＝0，解得：a＝5；
（2）把x＝－1代入得：a－5＋6＝－2，解得：a＝－3．
11．∵代数式2x2＋ax－y＋6－2bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，∴2－2b＝0，且
a＋3＝0，∴a＝－3，b＝1，∴a＋b＝－3＋1＝－2．
12．小明的说法正确，理由如下：8a3－5a3b＋3a2b＋4a3＋5a3b－3a2b－12a3＋2024＝(8＋4－12)a2＋(－5＋5)a3b＋(3－3)a2b＋2024＝2024，
∴本题中a＝2023，b＝－2024是多余的，∴小明的说法正确．
13．（1）5(a＋b)； （2）8(x＋y)2＋2(x＋y)，3； （3）－2．
___ ___
14．设 9 的倍数三位数是abc ，abc ＝100a＋10b＋c＝99a＋9b＋(a＋b＋c)．显然，99a＋
9b是9的倍数，所以(a＋b＋c)肯定也得是 9的倍数．二位数、四位数甚至更高数位的
9的倍数都可以用这样的方法说明．
3.5 去括号
1．D 2．A 3．C 4．a2－2 5．b－a 6．2x2－x＋1 7．9 8．－a－b＋c
45
9．（1）2a2b，4； （2）y2－3x， ．10．（1）A＝7a2－7ab＋2(－4a2＋6ab＋7)＝7a2－7ab
4
－8a2＋12ab＋14＝－a2＋5ab＋14；（2）由|a＋1|＋(b－2)2＝0可知a＝－1，b＝2，代入得，
A＝－a2＋5ab＋14＝－1－10＋14＝3． 11．（1）3a＋2b；（2）(a－2b)☆ (3a＋6b)＝3(a
－2b) ＋2(3a＋6b)＝3a－6b＋6a＋12b ＝9a＋6b，将3a＋2b＝2代入得，9a＋6b＝6．
12．（1）将m＝1＋2n代入得，7m－14n＝7(1＋2n)－14n＝7＋14n－14n＝7；
（2）3＋7m－[9n＋5(m－n)]＝3＋7m－(4n＋5m)＝2m－4n＋3＝2(m－2n)＋3，将 m－2n
＝1代入得2(m－2n)＋3＝5．
13．（1）m＝－3；n＝－1；（2）减少2；（3）k(a＋1)－3－(ka－3)＝ka＋k－3－ka＋3＝k，
所以当 x 的值从 a 增加到 a＋1时，关于 x 的代数式 kx－3（k为一次项的系数，且k≠
0）的值会增加k．
14．设AB＝x，由图可知，S1 ＝a(x－3b)＝ax－3ab，S2 ＝2b(x－2a)＝2bx－4ab，
则S1 －S2 ＝ax－3ab－(2bx－4ab)＝ax－3ab－2bx＋4ab ＝(a－2b)x＋ab．
∵当AB的长变化时，S1 －S2 的值始终保持不变，∴S1 －S2 的值与x的值无关，
∴a－2b＝0，∴a＝2b．
3.6整式的加减
1．B 2．A 3．A 4．D 5．2a－b 6．15 7．答案不唯一，如4xy＋1、4xy－1． 8．－
1
1，x－5 9．解：原式＝a2b＋3a2b－6ab2－ab2＋2a2b＝6a2b－7ab2，当a＝－1，b＝－ 时，
2
1 1 7 5
原式＝6×(－1)2×(－ )－7×(－1)×(－ )2＝－3＋ ＝－ ．
2 2 4 4
10．（1）设被擦掉的多项式为 M，则 M＝－3x2－5x＋1－（4x2－7x＋5）＝－3x2－5x＋1
1 1 1 27
－4x2＋7x－5＝－7x2＋2x－4；（2）当x＝－ 时，则M＝－7×(－ )2＋2×(－ )－4＝－ ．
2 2 2 4
11．（1）2A－（A＋2B）＝2A－A－2B＝A－2B
当A＝2x2－xy＋3x，B＝x2＋xy＋1时，原式＝(2x2－xy＋3x)－2(x2＋xy＋1)＝2x2－xy＋3x－2x2－2xy－2＝－3xy＋3x－2
（2）由（1）知：A－2B＝－3xy＋3x－2＝(－3y＋3)x－2
若A－2B的值与x的取值无关，则－3y＋3＝0，解得y＝1．
12．（1）3A－2（A－2B）＝3A－2A＋4B＝A＋4B
＝(2a2－3a＋1) ＋ 4(a2－5－3a)＝2a2－3a＋1 ＋ 4a2－20－12a
＝6a2－15a＋1
当a＝－2时，
原式＝6×(－2)2－15×(－2)＋1＝24＋30＋1＝55
（2）A－B＝2a2－3a＋1－(a2－5－3a)＝2a2－3a＋1－a2＋5＋3a＝a2＋6
由于a2≥0，所以a2＋6＞0，即A－B＞0．所以A＞B．
13．（1）竖式如下，
则A－B＝x4－5x3+4x2－3x+1；
（2）C=－2x3＋1
（－2x3＋1）＋（2x3－4x2＋x）＝－4x2＋x＋1
－4x2＋x＋1是二次三项式，符合题意．故答案为：－2x3＋1（答案不唯一）．
14． (n－1)；(10－n)；10(n－1)＋(10－n)＝10n－10＋10－n＝9n．
第 3章 小结与思考（1）
一、基础练习
1．D 2．D 3．C 4．A 5．答案不惟一，比如a2＋1 6．2
100－a 5 3 4 59
7．3 8． 9．－ 10．（1）S ＝ πr2－ πr2＝ πr2；
x＋y 4 阴影 4 25 100
59 59 177
（2）当r＝2 cm，π取3时， πr2＝ ×3×22＝ ＝7.08 (cm2)．
100 100 25
二、拓展提升
11．（1）FG＝x＋3， DG＝3x－3．
（2）长方形的宽为：x＋3x＝4x（cm），长为：3x＋x＋3＝4x＋3（cm），
则长方形ABCD的周长为：[4x＋(4x＋3)]×2＝16x＋6（cm）， 当x＝6时，16x＋6＝16
×9＋6＝102（cm）．所以，当x＝6 cm时，长方形ABCD的周长为102 cm．
12．（1）41； （2）169，3； （3）设 4 个阴影格子中的数分别为(x－2)、x、(x＋2)、(x
＋12)，其中n为奇数，则4个数的和为 (x－2)＋x＋(x＋2)＋(x＋12)＝4x＋12．若4个
数的和是100，可推理出x＝22，与x为奇数矛盾．所以4个阴影格子中数的和不能等
于100．（4）12m＋2n－13 ．
13．（1）0 或 2；（2）代数式 2x 的值随 x 的增大而增大． 当 x＜0 时，代数式x2的值随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，代数式 x2的值随 x 的增大而增大．（3）①证明：
x2－2x＝x(x－2)．因为 x＞2，所以 x＞0，x－2＞0. 所以 x(x－2)＞0，即 x2－2x＞0. 所
以x2＞2x. ②本题答案不唯一．
三、综合实践
1 1 1 1
14．(x－100)＋ (x－100)－100；(x－100)＋ (x－100)－100＋ [(x－100)＋ (x－100)－100]；
3 3 3 3
1 1 1
(x－100)＋ (x－100)－100＋ [(x－100)＋ (x－100)－100]＝x；x＝400．
3 3 3
第 3章 小结与思考（2）
一、基础练习
1．D 2．B 3．A 4．C 5．a2＋1 6 ． 1000m ＋ n 7 ． 2
100－a
8． 9．（1）m－2n＝1, 7m－14n＝7(m－2n)＝7；（2）原式＝3＋7m－(9n＋5m－
x＋y
5n)＝3＋7m－4n－5m ＝3＋2m－4n＝3＋2(m－2n)；当 m－2n＝1 时，3＋2(m－2n) ＝3
1
＋2＝5．10．（1）6b＋9a＋ ×2πa＝6b＋9a＋πa＝6b＋(9＋π)a
2
（2）当a＝1，b＝0.6时，100[6b＋(9＋π)a]＝100×[6×0.6＋(9＋π)]＝1260＋100π≈1260
＋314＝1574．
二、拓展提升
11．（1）4，2；（2）变小；（3）当x＝2时，A＝B；当x＞2时，A＜B；当x＜2时，
__ __
A＞B． 12．（1）能被 11 整除．理由: 因为(ab＋ba)＝(10a＋b)＋(10b＋a)＝11a＋11b
__ __
＝11(a＋b)；所以 (ab＋ba)能被11整除；（2） 100x＋10y＋z，9(11x＋y) ．
13．（1）当0＜x≤40时，60x；当x＞40时，60×40＋(60－10)(x－40)＝2400＋50x－2000
＝50x＋400 ．当0＜x≤40时，该旅游团购买门票的费用为60x元；当x＞40时，该旅
游团购买门票的费用为(50x＋400)元.
三、综合实践
14．（1）－1＋2＋3－4－5＋6＋7－8 －9＋10＋11－12；
（2）任意连续四个整数可以通过添加正号或者负号，使他们的和为0．
①当n＝4k时，可以添加正号或者负号让每4个连续整数和为0，这时他们和的绝
对值最小为0．
②当n＝4k＋1时，可以保留整数1，余下4k个整数添加正号或者负号使得和为0，
这时他们和的绝对值最小为1．
③当n＝4k＋2时，可以保留整数1、2，余下4k个整数添加正号或者负号使得和为0．而
－1＋2＝1，这时他们和的绝对值最小为1．
④当n＝4k＋3时，可以保留整数1、2、3，余下4k个整数添加正号或者负号使得和为0．而
1＋2－3＝0，这时他们和的绝对值最小为0．
