九年级上册第2章对称图形单元作业_0作业_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学苏科版试卷_《优秀作业单》_九年级

九年级上册第二单元 对称图形——圆
第一课时 圆(1)
一、基础练习
1.已知⊙O的半径OA长为2，若OB＝ ，则可以得到的正确图形可能是 （ ）
A． B． C． D．
2.如图，在6×6的正方形网格中（小正方形的边长为1），有5个点，M，N，O，P，Q，以O为圆心， 为
半径作圆，则在⊙O外的点是 （ ）
A．M B．N C．P D．Q
（第2题图） （第4题图） （第8题图） （第9题图）
3.在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实
数b的取值范围是 （ ）
A．b＞2 B．b＞6 C．b＜2或b＞6 D．2＜b＜6
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝14，点D在边BC上，CD＝6，以点D为圆心作⊙D，其
半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，则r的取值范围是 （ ）
A．8＜r＜10 B．6＜r＜8 C．6＜r＜10 D．2＜r＜14
5.已知⊙O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长是 cm．
6.由所有到已知点O的距离大于或等于2，并且小于或等于3的点组成的图形的面积为 ．
7.已知P是⊙O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x
的一元二次方程ax2﹣12ax﹣20＝0的两个实数根，则⊙O的直径为 ．
8.如图，△ABC是等边三角形，AB＝4 ，若⊙O的半径为2，圆心O在线段BC上运动，则点A到⊙O上
的点的距离最小值为 ．
9.如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
（1）请完成以下操作：
①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 ；点（6，﹣2）在⊙D ；（填“上”、
“内”、“外”）∠ADC的度数为 ．
110.已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆
上．
二、拓展提升
11.在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围
是 ．
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，
点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，△DPQ的面积为 cm2；
（2）运动过程中，当A、P、Q、D四点恰好在同一个圆上时，求t的值．
13.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A，E，C，F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M，N．求证BM＝ND．
三、综合实践
14.生活中处处都有圆的存在.观看一场铅球比赛，了解铅球比赛成绩的测量方法，想一想，为什么这样测
量是公平的？
2第二课时 圆(2)
一、基础练习
1．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有 （ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
（第1题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图）
2.在以下命题中：①直径是弦；②长度相等的弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④一条弦把圆分成的两
条弧不可能是等弧；⑤直径相等的两圆是等圆；⑥半圆是弧，但弧不一定是半圆，其中正确的个数
为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以
OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
4.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝ OD，则∠ABD的度数为 （ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
5.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 ．
6.如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA．若∠AOC＝120°，则∠D的度数是 ．
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
7．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有 个．
8.如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为 ．
9.如图， 是⊙D的 圆周，点C在 上运动，求∠BCD的取值范围．
310.如图，两个圆的圆心为O，大圆半径OC，OD交小圆于点A，B，判断AB与CD的位置关系，并说明原因．
二、拓展提升
11.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、
AC的长．
12．如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．请说明AE＝BF．
13．如图，已知正方形ABCD在⊙O内部，顶点B、C在圆上，A、D在直径上．
（1）求证：OA＝OD；
（2）在正方形ABCD右侧再作一个小正方形EDGF，且点F在⊙O上，若正方形EDGF的边长为4，求该
圆的半径．
三、综合实践
14.我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”（即直角形状的曲尺，如图1所示）
的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图
2所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”，则“矩”
的顶点C的运动路线将会是一个圆．依此描述，请动手操作，并用你学过的一个数学概念或定理解释“环
矩以为圆”这种方法的道理。
4第三课时 圆的对称性(1)
一、基础练习
1.下列说法正确的是 （ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．相等的弦所对的弧相等
2.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．如图是同一个任务进行到不同
阶段时进度条的示意图．若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下
列描述正确的是 （ ）
A．d（25%）＝1 B．当x＞50%时，d（x）＞1
C．当x＞x时，d（x）＞d（x） D．当x+x＝100%时，d（x）＝d（x）
1 2 1 2 1 2 1 2
3.如图，AB是直径， ，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数为 （ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
（第3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图） （第7题图）
4.如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥ED，则 （ ）
A．AC＝AE B．AC＞AE C．AC＜AE D．AC与AE的大小关系无法确定
5.如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论 ①AB＝2BC ②
＝2 ③∠ACB＝2∠CAB ④∠ACB＝∠BOC正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝40°，则∠B的度数是 .
7．如图，AB是⊙O的直径， ＝ ，∠COD＝52°，则∠AOD的大小为 ．
8．若弦长等于半径，则弦所对弧的度数是 ．
9．如图，AB为⊙O的直径，半径OC∥弦BD，判断 与 是否相等，并说明理由．
510.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且AB＝2DE．
（1）若∠E＝25°，求∠AOC的度数；
（2）若 的度数是 的度数的m倍，则m＝ ．
二、拓展提升
11．如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证： ．
12．如图，⊙O上依次有A，B，C，D四个点， ＝ ，连接AB，AD，BD，延长AB到点E，使BE＝AB，
连接EC，F是EC的中点，连接BF．求证：BF＝ BD．
13．如图，在⊙O中半径OA⊥OB，C，D是 的两个三等分点，弦AB分别交OC，OD于E，F点．求证：AE
＝BF＝CD．（提示：连接AC，BD，先证：AC＝CD＝BD）
三、综合实践
14.《方与圆》是一本探讨几何学和哲学的经典著作，由数学家和哲学家阿尔伯特爱因斯坦撰写。这本书
以简洁而深入的方式探讨了方形和圆形这两种基本几何形状的特性、相互关系以及它们在自然界和人类
思维中的重要性.请选读并写下自己的感想。
6第四课时 圆的对称性(2)
一、基础练习
1．下列命题中正确的个数是 （ ）
①垂直于弦的直径平分线以及弦所对的两条弧．②平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的
两条弧．③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弦．④平分弦所对的一条弧的直径垂
直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连接AP、PB，过点O
分别作OE⊥AP交AP于点E，OF⊥PB交PB于点F，则EF等于 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
（第2题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图）
3.如图，AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的长为 （ ）
A． B．3 C．2 D．3
4.在直径为10m圆柱形油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB＝6m，如果继续向油槽内注油，使
液面宽为8m，那么液面上升了 （ ）
A．1m B．1m或7m C．2m D．2m或6m
5.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为 ．
6．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD
经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝2m，CD＝3m，则⊙O的半径长为 m．
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
7.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长
为 ．
8.如图，沿弦AB折叠扇形纸片AOB，圆心O恰好落在 上的点C处，若AB＝ ，则四边形OACB的面
积为 ．
79.如图，AB是⊙O的弦，点C、D在直线AB上，且AC＝BD，连接OC、OD．求证：OC＝OD
10．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有圆材埋壁中，不知大小．以锯锯之，
深1寸，锯道长1尺，问经几何？”其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小．用锯子
去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”
二、拓展提升
11．如图，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，OC的延长线与⊙O交于点D，若CD＝1，AB＝6，求⊙O的半径．
12．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP
于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
13.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截
得的弦AB的长为4 ．
（1）求点P到弦AB的距离；
（2）求a的值．
8三、综合实践
14.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六
尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A、B两点，设 所在圆的圆心为O，半径为rcm．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是： ．
经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝ cm；
用含r的代数式表示OD，OD＝ cm．
在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：
r2＝ ，
解得r＝75．
通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
9第五课时 确定圆的条件
一、基础练习
1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个
数为 ( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．ABC的外心在三角形的一边上，则ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断
3．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．无数
4．下列条件中不能确定一个圆的是 ( )
A．圆心与半径 B．直径 C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点
5．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ．
6．已知：三角形的三边分别为10、8、6，则这个三角形的外接圆半径是 ．
7．如图，ABC 的外心坐标是 ．
8．已知直角三角形两直角边长分别是3和4，则其外接圆的半径长是 ．
（第1题图） （第7题图） （第9题图）
9．如图，AD既是ABC的中线，又是BAC的平分线．
（1）判断ABC 的形状，并证明你的结论；
（2）判断AD是否过ABC 的外接圆的圆心，并证明你的结论．
10．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交
点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．
（1）过A，B，C 三点的圆的圆心M 坐标为 ．
（2）求M 的面积（结果保留)．
10二、拓展提升
11．如图所示，在ABC 中，CE ，BD分别是AB，AC 边上的高，求证：B，C ，D，E四点在同一个
圆上．
12．关于x的方程x2 6xm0有两个不相等的实数根，以这两个根作为等腰ABC 的底边长和腰长，这
样的等腰三角形有且仅有一个．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大值时，求该等腰三角形外接圆半径．
13．已知：ABC 30，边上有两动点A，C，且AC 3，以AC为边在B异侧作正ACD，求B，D两
点间距离的最大值．
三、综合实践
14．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(2,4)，B(4,2)．
（1）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整数点，请在第一象限内求作一个
整数点C，使得AC BC，且AC的长为小于4的无理数，则C点的坐标是 ，ABC 的面积是 ；
（2）试求出ABC外接圆的半径．
11第六课时 圆周角(1)
一、基础练习
1．已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是 （ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
2．在⊙O中，弦BC与半径OA交于点D，若∠AOB＝80°，∠A＝60°，则∠ADB的度数为 （ ）
A．100° B．110° C．120° D．90°
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
3．A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC度数为 （ ）
A．58° B．32° C．60° D．68°
4．点A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，则∠AOB的度数为​ （ ）
A．38° B．76° C．80° D．60°
5．如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若
点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是 ．
6．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦AB，CD的延长线交于点E，且AB＝2DE，∠E＝18°，则∠
AOC＝ ．
（第5题图） （第6题图） （第8题图）
7．一个圆的半径为2，弦长是2 ，求这条弦所对的圆周角是 ．
8．如图，C、D是⊙O上两点，AB是直径，如果∠BDC＝23°，则∠ABC的度数为 °．
9．如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°．求∠CAB的度数．
1210．如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO＝25°，求∠BOC的度数．
二、拓展提升
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径．
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，且 ＝ ，BE分别交CD、AC于点F、G．
（1）求证：∠CAB＝∠DCB；
（2）求证：F是BG的中点．
13．如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为 的中点，连接BC，OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半
径为2，求弦BC的长．
13三、综合实践
14．我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所对的圆周角的度数等于它所
对的圆心角度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．
（1）判断：图中有没有圆外角如果有，请用字母表示出来．
（2）运用所学的数学知识，探究：圆外角的度数与它所夹的弧所对的圆心角的度数有什么关系将你的
发现，用文字表述出来，并说明理由．（2007年唐洋镇中学初三模拟考试数学试卷改编）
14第七课时 圆周角（2）
一、基础练习
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝100°，则∠ABC的大小为 （ ）
A．80° B．130° C．50° D．50°或 130°
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为 的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数
是 （ ）
A．80° B．70° C．50° D．40°
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，∠BAO＝75°，则∠D＝ （ ）
A．60° B．30° C．45° D．无法确定
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为 （ ）
A．60° B．70° C．80° D．110°
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝70°，则∠DCE的度数为 ．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BOD＝130°，则∠C的度数是 °．
（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图）
7．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，点E在弧AD上，则∠E＝125°，则∠C＝ °．
8. 如图，圆内接四边形ABCD两组对边延长线相交于点E，F，∠A＝62°，∠E＝24°，则∠F＝ ．
9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC＝60°， ＝ ．请判断△ABC的形状，并说明理由．
1510．已知如图，△ACD的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，求证：BA＝BD．
二、拓展提升
11．如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB
＝AC．
（1）求证：∠ABE＝∠ACD；
（2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD．
12．已知⊙O的直径为10，四边形ABDC内接于⊙O，AD平分∠CAB．
（1）如图1，若BC为⊙O的直径，求BD的长；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，求BD的长．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．
16三、综合实践
14．四边形ABCD、ABEF都是⊙O的内接四边形，AD∥BE，CD∥EF，AD与EF交于点G．
求证：AF∥BC．
为了证明结论，小明进行了探索．请在下列框图中补全他的证明思路：
小明的证明思路
要证AF∥BC，只要证∠CBA+∠FAB＝180°．
由已知条件① ，易证∠FEB+∠FAB＝
180°，
故只要证② ，
由已知条件AD∥BE，易证③ ，
故只要证∠CBA＝∠DGE．
由已知条件四边形ABCD是⊙O的内接四边形，CD∥EF，
易证∠CDA+CBA＝180°，④ ，即可得
证．
17第八课时 圆周角（3）
一、基础练习
1．如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是 （ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．如图AB为⊙O的直径，∠BED＝40°，则∠ACD＝ （ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为 上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD的度数为 （ ）
A．14° B．28° C．56° D．无法确定
4．△ABC与⊙O交于D、E、C、B，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠AED的度数 （ ）
A．60° B．40° C．80° D．100°
5．如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 ．
6．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，若∠BDC＝42°，则∠AOB的度数为 ．
（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图）
7．如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则
OE的长度为 ．
8．如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，
∠COD＝70°，则∠BOC+∠DOE＝ °．
9．如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于点P，且DA＝DP．求证：BC＝BP．
1810．如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，求∠BOC的度数．
二、拓展提升
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O
经过点B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点P为 中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长．
12．如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．
（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；
（2）在（1）的条件下，若OA＝1， ，求CD长．
1913．如图，⊙O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点P，AB经过点O，E是AC的中点，连接OE，EP，延长
EP交BD于点F．
（1）若AB＝10， ，求AC的长；
（2）求证：EF⊥BD．
三、综合实践
14．阅读下列材料，完成相应的任务：
婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数
运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出
了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
婆罗摩笈多定理：已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，如果直线ME⊥BC，
垂足为E，并且交边AD于点F，那么AF＝FD．
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC，
∴∠CBD+∠BCM＝90°，∠CME+∠BCM＝90°．
∴∠CBD＝∠CME．
又∵ ，∠CME＝∠AMF，
∴∠CAD＝∠AMF．
∴AF＝MF．
…
任务：
（1）材料中横线部分缺少的条件为： ；
（2）请用符号语言将下面“婆罗摩笈多定理”的逆命题补充完整，并证明逆命题的正确性．
已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为M，F为AD上一点，直线FM交BC于点E，
如果 ，那么 ．
证明： ．
20第九课时 直线和圆的位置关系（1）
一、基础练习
1．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是 （ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O有2个公共点，则点O到直线l的距离可能是 （ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．已知△ABC中，C 90，AC3、BC 4．以C为圆心作⊙C，如果圆C与斜边AB有两个公共点，
那么圆C的半径长R的取值范围是 （ ）
12 12 12 12
A．0R B．R C． R3 D． R4．
5 5 5 5
4．⊙O的圆心到直线a的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线a向垂直于a的方向平移，使a与⊙O相
切，则平移的距离是 （ ）
A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB6,BC4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC和⊙O的位置关系
是 ．
6．在Rt△ABC，BAC90，AB8，AC 6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点
的个数为 个．
7．在Rt△ABC中，C90,AC6,BC8．若以点C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公
共点，则R的取值范围是 ．
3
8．如图，P为正比例函数y x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，当⊙P与直线x2相切时，则点P
2
的坐标为 ．
（第5题图） （第8题图）
219．已知在矩形ABCD中，AB3，BC 4，以点A为圆心，r为半径作⊙A，
（1）当半径r为何值时，⊙A与直线BC相切；
（2）当半径r为何值时，⊙A与直线BD相切；
（3）当半径r的取值范围为何值时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，
保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
二、拓展提升
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y2x 5与⊙O的位置关系怎样？
2212．如图，在Rt△ABC中，C 90，B60,AB6cm,O为边AB上一点（不与点A,B重合）．若AO=xcm，
⊙O的半径为1cm，当x在什么范围内取值时，直线AC与⊙O相离、相切、相交？
13．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过网格中的格点A，B，C（每个小正方形的边长为1）
（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为______；
（2）⊙D的半径=______（结果保留根号）
（3）点（5.5,0）在⊙D______（选填“上”“内”或“外”）
（4）在平面直角坐标系中，若有四个格点，坐标分别为E5,2，F2,4，G1,4，H6,2，则点B与
格点E，F，G，H连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的直线是______．
23三、综合实践
14．我们在研究问题时，可以改变研究的对象，提出一些新的问题，解决这些新的问题又可以获得一些新
的发现．比如，研究了“直线与圆的位置关系”后，我们可以这样改变研究的对象：
（1）把研究对象“直线”改为“射线”，可以提出下面的问题：
如图是射线AB和⊙O．改变射线AB的位置，如果以它们公共点的个数情况以及端点A与O的位置关
系作为标准，请尝试将射线AB和O的位置关系进行分类（要求：每一种类型画出一个示意图）．
（2）把研究对象“圆”改为“正方形”，可以提出下面的问题：
①在直线和正方形的各种位置关系中，它们的公共点个数有哪几种情况？
②已知正方形ABCD的边长是1，其中心到直线l的距离是d，当正方形ABCD与直线l有且只有一个
公共点时，d的取值范围是_______．
24第十课时 直线和圆的位置关系（2）
一、基础练习
1．下列命题中，正确的是 （ ）
A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B．圆心在垂直于切线的直线上
C．圆心到切线的距离等于半径 D．切线与圆至少有一个公共点
2．如图，P是⊙O的直径CD的延长线上一点，∠P=30°，则当∠ACP=（ ）时，直线PA是⊙O的切线．
A．20° B．30° C．15° D．25°
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是（ ）
A．∠B=90° B． EF⊥AC C．AC是⊙O直径 D．∠B=90°且EF⊥AC
4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相
切的是 ( )
A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1)
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
5．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝45°，AB＝AC，直线AC与⊙O的位置关系是 .
6．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于
度时，AC才能成为⊙O的切线．
7．如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，3cm为半径作⊙M，当OM= cm
时，⊙M与OA相切.
（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图）
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方
向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ．
259．已知：如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
10．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D， DE⊥AC于E，垂足为E.
求证：DE是⊙O的切线.
二、拓展提升
11．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，点D为边AC上一点．
（1）尺规作图：在边AB上作一点O，使得∠AOD=2∠BDO；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，以点O为圆心，OB为半径的圆与BC交于点E，且∠AOD=∠DOE．
求证：AC与⊙O相切．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弧AC=弧BC，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，
连接CE，∠D=∠E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CE=8，AE=5，求⊙O半径的长．
2613．如图，AB是⊙O的直径，CD=CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，
连接AD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=6，求AD的长．
三、综合探究
14．某种在同一平面进行转动的机械装置如图1，图2是它的示意图，其工作原理是：滑块Q在平直滑道
l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在
摆动过程中，两连杆的接点P在以在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴
含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3米，OP=2分米．
解决问题：
（1）点Q与点O间的最小距离是____分米；点Q与点O间的最大距离是____分米点Q在l上滑到最左
端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
（2）如图3，有同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为这个判断对吗？
说明理由；
（3）当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数
27第十一课时 直线和圆的位置关系（3）
一、基础练习
1．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，PA6，PB4，则⊙O的半径为 （ ）
5 5
A． B． C．2 D．5
4 2
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，过点C的切线交AB的延长线于点D，连接OC，
若ACDC，则A的度数是 （ ）
A．25 B．26 C．28 D．30
3．如图，在△ABC中，A30，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC
相切于点D，连接BD．若BD平分ABC，CD 3，则线段AB的长是 （ ）
A．2 3 B．4 3 C．3 D．6
4．如图，BC是⊙O的切线，切点为B，点A是⊙O上一点，连接OA､OC和AB，OC和AB交于点
D,CDCB,BAO22，则OCB的度数为 （ ）
A．42 B．43 C．44 D．45
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
5．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相
切，D为切点，ADE 55，则C的度数为 ．
6．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知AC 4cm，
CB8cm，则⊙O的半径为 cm．
（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图）
7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D在AC上（不与
点A，C重合），连接AD，CD．若D110，则E的度数为 ．
288．如图，⊙O半径为4，AB与圆相切于点B，AB6，点P是圆上任意一点，AP的最小值为 ．
9．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，⊙O与BC相切于D点，连AD，
求证：AD平分∠BAC．
10．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，⊙O的切线DF与AC垂
直，垂足为F．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．
二、拓展提升
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为⊙O的直径，点B为AC的中点，对角线AC，BD交于点E，
⊙O的切线AF交DB的延长线于点F，切点为A．
（1）求证：AEAF；
（2）若AF 6，DF 10，求DE的长．
2912．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，
推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”．小明
受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在
⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM ON．当AP与⊙O相
切时，点B恰好落在⊙O上，如图2，请仅就图2的情形解答下列问题．
（1）求证：PAO2PBO；
10 20
（2）若线段AO与⊙O交与点C，AC＝ ，AP ，求⊙O的半径．
3 3
13．已知：⊙O直径为4，点C是⊙O直径AB延长线上的一点，且点B是线段OC的中点，点D在O上，
连接DC．
（1）如图①，若线段DC所在的直线与⊙O相切，求线段DC的长；
（2）如图②，若线段DC与⊙O还有一个公共点E，且点E为DC的中点，连接OD，AE交于点F ．
①判断OD与AE的位置关系，并说明理由；
②求线段DC的长度．
30三、综合实践
14．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已
知点A，B是MON 的边OM 上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与ON
边相切于点C时，ACB最大．人们称这一命题为米勒定理．
（1）【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带
球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给
乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，
求证：MBN MAN．
（2）【问题解决】如图3，已知点A，B的坐标分别是0,1，0,3，C是x轴正半轴上的一动点，
△ABC的外接圆⊙D与x轴相切于点C时，ACB最大．当ACB最大时，求点C的坐标．
31第十二课时 直线和圆的位置关系（4）
一、基础练习
1．三角形内切圆的圆心是 （ ）
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
2．如图，点O是ABC的内心，若A40，则BOC等于 （ ）
A．110 B．115 C．125 D．130
3．如图所示，O内切于ABC，切点分别为点D，点E，点F ，已知ABBC，B40，连接DE，
EF ，则DEF的度数为 （ ）
A．40 B．55 C．65 D．70
4．如图所示，在ABC中，BIC 125，I 是内心，O是外心，则BOC等于 （ ）
A．130° B．135° C．140° D．145°
（第2题图） （第3题图） （第4题图） （第6题图）
5．若ABC的三条边分别为6，8，10，则ABC的外接圆的半径是 ，内切圆的半径是 ．
6．如图，在ABC中，ABC70，BAC 50，点I为ABC的内心，ADBD于点D，连接CD．
（1）AIB ；（2）DAC ．
7．一块周长为1.2m、面积为0.15m2的三角形铁皮（铁皮厚度忽略不计），现在从中裁下了一块面积最大的
圆形铁皮，则裁下的圆形铁皮的半径为_________．
8．已知三角形的内切圆半径为3，三角形的周长为18，则该三角形的面积为 ．
9．已知：如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结CD．
求证：OD＝CD．
3210．已知：如图，BC为ABC的外接圆O的直径，点M为ABC的内心，连接AM 并延长交O于点D，
连接CD．
（1）求BCD的大小；
（2）若CD4，求DM 的值．
二、拓展提优
11．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式
abc
S  ppapbpc（其中a，b，c是三角形的三边长， p ，S为三角形的面积），
2
并给出了证明．
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦
九韶公式等方法解决．
如图，在ABC中，BC5，AC 6，AB9．
（1）用海伦公式求ABC的面积；
（2）求ABC的内切圆半径r．
3312．如图，在15×15正方形网格中，已知点M（﹣5，0），N（5，0），A（3，4），作△AMN的外接圆⊙O．仅
用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）作∠MAN的平分线交⊙O于点B；
（2）将弦MA绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的线段，图中线段 即为所求；
（3）作△AMN的内心点I，在图中标出点I，△AMN内切圆的半径为 ．
13．如图，一块等腰三角形钢板的底边长为80cm，腰长为50cm.
（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少cm？
3414．综合与实践：
（1）如图（1），有一块三角形材料ABC，准备裁剪成一个面积最大的圆形，已知C 90，BC3，
AC4，求裁剪出的最大圆形面积．
（2）如图（2），市政部门准备把一块四边形区域改造成公园，计划在主干道AB上确定大门M 的位
置，且在M 与另外两个小门E、F 连接而成的三角形区域内设计一个面积尽
．
可
．
能
．
大
．
的圆形花园，部
分数据如下：BC 60，BECD2EC400米，点F 为CD的中点，请按市政要求确定M 的
位置，画出图形并求出BM长和最大的圆形花园的面积．
35第十三课时 直线和圆的位置关系（5）
一、基础练习
1．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周
长是 （ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
2．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若P60，PA3，则AB的长（ ）
A． 3 B．2 3 C．3 D．3 3
3．如图，在△ABC中，AC BC，ACB100，⊙O与AB，BC分别切于点D，C，连接CD．则ACD
的度数为 （ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
4．如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点，根据图形得出四个结论：①PA=PB；②∠1=∠2；③∠3=∠4；
④AB被OP垂直平分． 其中正确结论的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
5．如图，在Rt△ABC中，ACB90，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F ，若BF 3，
AF =10，则△ABC的面积是 ．
6．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，BAC28．则P的度数
为 ．
（第5题图） （第6题图） （第7题图）
7．如图，已知PA，PB，EF 分别切⊙O于点A，B，D，若PA15cm，则 !PEF的周长是 cm．若P36，
则EOF  ．
368．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是圆上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线EF，交PA，PB
于E，F，已知P60，则EOF  ．
9．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB，APB60，AB5，求PA的长．
10．如图，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，DCBDAC，过点A作AE  AD
交DC的延长线于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD4，DB2，求AE的长．
二、拓展提优
11．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点．
（1）若B34,C62，求DEF的度数；
（2）若AB8，AD2，AC5，求BC的长．
3712．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB 于
点C．
（1）求证：ADE PAE；
（2）若ADE 30，PB6，求PE的长．
13．如图，线段AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，射线CD交BA的延长线于点E，CO
的延长线交⊙O于点G，EF OG于点F ．若OB3，DE 4．
（1）求证：FEBECF；
（2）求线段OF 的长．
38三、综合实践
14．【材料】
《义务教育数学课程标准2022版）》对《切线的性质与判定》的新要求是：切线长定理由“选学”改
为“必学”，并新增“能用尺规作图：过圆外的一个点作圆的切线（课标课程内容中的实例76）”．根
据这一要求转化为作图题为：
已知：如图，⊙O及⊙O外一点P
求作：过点P的⊙O的切线
作法：①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点T；
②以点T为圆心，TP的长为半径作圆，交⊙O于点A、点B；
③作直线PA，PB．
则直线PA，PB就是所求作的⊙O的切线．
【问题】
（1）请你按照上述步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA．
∵OP是⊙T的直径，
∴OAP_____°．（ ）（填推理的依据）
∴OA AP．
又∵OA为⊙O的半径，
∴直线PA是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
同理可证，直线PB也是⊙O的切线．
（3）在（2）的条件下，连接AT ，若APB30，△AOT的面积等于1，求⊙T的半径．
39第十四课时 正多边形与圆（1）
一、基础练习
1.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝36°，弦AB是圆内接正多边形的一边，则该正多边形是 （ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图） （第7题图） （第8题图）
2.如图，点P在正六边形ABCDEF的对角线BF上，记图中6个三角形的面积分别为S，S，S，S，S，S．若
1 2 3 4 5 6
S+S＝8，则S 的值是 （ ）
4 5 正六边形ABCDEF
A．10 B．16 C．24 D．随点P位置而变化
3.如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六
边形的边长为 （ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．5
4.如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧 所对的圆心角∠BOD的大小为
（ ）
A．150° B．144° C．135° D．120°
5.一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为2：1，则这个正多边形的边数为 ．
6.正八边形半径为2 ，则正八边形的面积为 ．
7.如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为 ．
8.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠CDF的度数是 ．
9.如图，已知正三角形ABC内接于⊙O，AD是⊙O的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若CD＝6 cm，
求⊙O的半径．
10.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM．
（1）求证：△BCF≌△CDM．
（2）求∠BPM的度数．
40二、拓展提升
11.如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．
12.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠BPC＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若⊙O的半径为2，求等边三角形ABC的边心距．
13.如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE
于N．
（1）①∠MPN＝ ；
②求证：PM+PN＝3a．
（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON，求证：OM＝ON．
41三、综合实践
14.等腰三角形是我们熟悉的图形之一，下面介绍一种等分等边三角形面积的方法：如图（1），在△ABC中，
AB＝AC，把底边BC分成m等份，连接顶点A和底边BC各等分点的线段，即可把这个三角形的面积m
等分．
问题的提出：任意给定一个正n边形，你能把它的面积m等分吗？
探究与发现：为了解决这个问题，我们先从简单问题入手：怎样从正三角形的中一心（正多边形的各对
称轴的交点，又称为正多边形的中心）引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？
如果要把正三角形的面积四等分，我们可以先连接正三角形的中心和各顶点（如图（2），这些线段将这
个正三角形分成了三个全等的等腰三角形）；再把所得的每个等腰三角形的底边四等分，连接中心和各
边等分点（如图（3），这些线段把这个正三角形分成了12个面积相等的小三角形）；最后，依次把相邻
的三个小三角形拼合在一起（如图（4））．这样就把正三角形的面积四等分．
（1）实验与验证：依照上述方法，利用刻度尺，在图（5）中画出一种将正三角形的面积五等分的简单
示意图；
（2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法
并说明理由；
（3）拓展与延伸：怎样从正方形的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分？（叙述方法即可，
不需说明理由）
（4）问题解决：怎样从正n边形的中心引线段，才能将这个正n边形的面积m等分？（叙述分法即可，
不需说明理由）．
42第十五课时 正多边形与圆（2）
一、基础练习
1.将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是 （ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
2.如图，正五边形ABCDE内接于圆，连接AC，BE交于点F，则∠CFE的度数为 （ ）
A．108° B．120° C．135° D．144°
（第2题图） （第3题图） （第4题图） （第6题图） （第7题图）
3.如图的电子装置中，一枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处，跳棋按顺时针方向1
秒钟跳1个顶点，经过2023秒钟后，跳棋所在顶点与点E的距离是 （ ）
A．4 B． C．2 D．0
4.如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边
AB，CD相交于点G，H．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB，BC，CH的长度之和记为l，在大正
六边形绕点O旋转过程中，S和l的值分别是 （ ）
A． ，4 B． ，6 C．4， D．S和l的值不能确定
5.正六边形内接于圆，则它的边所对的圆周角的度数为 ．
6.如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环
排列，共需要正五边形的个数是 ．
7.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶
点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有 ．
8．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积
是 ．
9.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，连接BD、DF、FB，
（1）设△BDF的面积为S，正六边形ABCDEF的面积为S，则S与S的数量关系是 ；
1 2 1 2
（2）△ABF通过旋转可与△CBD重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数．
4310.如图，正六边形ABCDEF的对角线AC，AE，BF分别交于点G，H．求证BG＝GH＝HF．
二、拓展提升
11.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，F在DC的延长线上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O
于点G，连接DG，交BC于点H．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）求证：DH＝CE．
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宣
12.如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、
正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图 1 中∠APN的度数是 ；图 2 中，∠APN的度数是 ，图 3 中∠APN的度数
是 ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
4413.（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为 上一动点，求证：PA＝PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE＝CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB＝CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1＝∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为 上一动点，求证：PA＝PC+ PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为 上一动点，请探究PA、PB、PC三者之
间有何数量关系，直接写出结论．
三、综合实践
14.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐
步逼近圆来近似计算圆的面积．设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为△，如图①，图
n
②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，求△﹣△ 的值．
8 12
45第十六课时 弧长及扇形的面积
一、基础练习
1．我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：
宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方
步？ 计算可知，这块田的面积是 （ ）
A．60 平方步 B．90 平方步 C．120 平方步 D．240 平方步
2．已知一个扇形的面积是240，弧长是20π，则这个扇形的半径为 （ ）
A．22 B．22π C．24 D．24π
3．如图，点A、B、C在⊙O上，若BAC45，OB2，则图中阴影部分的面积为 （ ）
2 2
A．4 B． 1 C．2 D． 2
3 3
4．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足ADC120，AB12，则BC的长为（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
（第3题图） （第4题图） （第7题图） （第8题图）
5．若扇形的圆心角为120，半径为3，则扇形的弧长为 .
6．若扇形的圆心角为30，半径为12，则扇形的面积为 ．
7．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过图形（阴影部
分）的面积为 ．（结果保留π）
8．把量角器和含30角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使圆弧与斜边相
切（即△ABC的斜边AB与⊙O相切于点E）时，发现量角器的中心O恰好在三角板的刻度3处（即
OC 3cm），短直角边过量角器的外沿刻度120处（即BOF 120），则阴影部分的面积为 cm2．
9．如图，⊙O是△ABC外接圆，BAC60．设⊙O的直径为4，求BC的长．
4610．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，且AD30．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若CD3，求图中阴影部分的面积．
二、拓展提升
11．如图，在△ABC中，AB AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，且DEAC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）A45，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
12．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O
经过点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE4，求阴影部分的面积．
4713．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分DAB，ADCD，垂足为D，AD交⊙O 于
E，连接CE．
（1）求出：DC是⊙O的切线；
（2）若AB10，DC4，求AC的长；
（3）若E是弧AC的中点，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积．
三、综合实践
14．预警三角标志牌用于放置在车道上，告知后方来车前有停置车辆，如图所示1所示.贝贝想制作类似此
标志的图形，先使用反光材料设计一个物件，如图2所示，其中四边形ABCD为长方形，AB、CD分别
以AB、CD为直径的半圆，且灰色部分为反光区域.接着，将三个图2的物件以图3的方式组合并固定，
其中固定点O 、O 、O 皆与半圆的圆心重合，且各半圆恰好与长方形的长边相切，而在图3左下方
1 2 3
的局部放大图中，B、E皆为其切点，AB、EF 皆为直径．
请根据上述资讯，回答下列问题：
（1）图3中AOF的度数为多少？
1
（2）根据图3的组合方式，求出可看见的反光区域面积为多少？请详细解释或完整写出你的解题过程，
并求出答案．
48第十七课时 圆锥的侧面积
一、基础练习
1.圆锥的底面半径为3，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为 （ ）
A．25π B．20π C．15π D．12π
2．如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，
则这个几何体的全面积是 （ ）
A．24π B．21π C．15π D．12π
3．《九章算术）是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧
长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积为 （ ）
A． 平方尺 B． 平方尺 C． 平方尺 D．45π平方尺
（第2题图） （第3题图） （第6题图）
4．设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足3r+l＝18，这样的圆锥的侧面积 （ ）
A．有最大值9π B．有最小值9π C．有最大值27π D．有最小值27π
5．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 ．
6．小聪用一张半径为10cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做
成的圆锥形小丑帽子的底面周长为12πcm，那么这张扇形纸板的面积是 cm2．
7．已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l 、l ，底面半径分别为r 、r ，若
甲 乙 甲 乙
l ：l ＝3：2，则r ：r ＝ ．
甲 乙 甲 乙
8．已知Rt△ABC的三边长分别为2、2和 ．若将△ABC绕其任意一边所在的直线旋转一周，则所得几
何体的表面积是 ．
499．如图，过圆锥的顶点S和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△SAB，其中SA＝SB，AB是圆锥底面圆O
的直径，已知SA＝7cm，AB＝4cm，求截面△SAB的面积．
10．如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在起，且∠AOB＝∠COD，连接AC．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若OA＝5cm，OC＝3cm，弧AB的长为3π cm，弧CD的长为1.8π cm，求阴影部分的面积．
（3）在（2）的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高．
二、拓展提升
11．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三
角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角
∠BAC＝90°．
（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
图1 图2 图3
5012．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格格点A、B、C．
（1）请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②用直尺画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
①写出点的坐标：C 、D ；②⊙D的半径＝ （结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
13．如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为5cm的圆柱和一个同
底面的高为3cm圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．整个
注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系如图②所示．
（1）圆柱形容器的高为 cm．
（2）求线段BC所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
三、综合实践
14. 请你利用本节课所学习的知识，拿一张正方形白纸，设计并制作一个圆锥体(不考虑接缝).例如：如
图所示的一块边长为40cm的正方形铁皮上裁剪下一块完整的圆形和一块完整的扇形铁皮，使它们恰好
做成一个圆锥形模型．
（1）请你设计三种不同的裁剪方案，画出示意图；
（2）你能利用这张白纸设计出，使正方形铁皮的利用率最高的方案吗？动手做一做.
51第十八课时 数学活动
一、基础练习
1.多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一
种不能密铺的是 （ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
2.下列正多边形中，图形组合不可以密铺的是 （ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．①②④
3.如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小
正方形的面积为1，大正方形的面积为41，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比 的值
是 （ ）
A． B． C． D．
（第3题图） （第4题图） （第6题图）
4.小明想知道一块扇形铁片OAB中的 的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，
聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由10cm的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形OAB按如
图方式摆放，点O，A，B恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作， 的拱高约是 （ ）
A．10cm B．20cm C． D．
5.只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有3个这种正多边形相拼接，那么这是正 边形．
6.20世纪70年代，数学家罗杰•彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如图，使用了A，B
两种菱形进行了密铺，则菱形B的锐角的度数为 ．
7．图形的密铺（或称图形的镶嵌）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间
既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．图1所示的是一种五边形密铺的结构图，图2
是从该密铺图案中抽象出的一个五边形，其中∠C＝∠E＝90°，∠A＝∠B＝∠D，则∠A的度数是 ．
52（第7题图） （第8题图）
8.如图①，②，③，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图④，⑤不
是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形： ．
9．如图，有一边长为8m的正方形大厅，它的地面是由形状、大小完全相同的黑白方砖密铺而成的，求一
块方砖的边长．
10.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一
片，我们称之为图形的密铺．如图，是用全等的三角形或四边形材料密铺而成的地面．
思考：
（1）用全等的正五边形材料能够密铺地面吗？
（2）用边长相同的m个正三角形和n个正方形材料组合密铺地面应满足的方程是 ，此时m、
n的值存在吗？若存在，请画出密铺地面的示意图．
（3）在边长相同的正三角形、正方形、正六边形材料中，哪几种材料组合能够密铺地面？
53二、拓展提升
11.某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料：一种是长为acm，宽为bcm的长方形板
材（如图1），另一种是边长为Ccm的正方形地砖（图2）．
（1）用多少块如图2所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？（只要写出一个符合条件的答案即可），
并写出新正方形的面积；
（2）用如图1所示的四块长方形板材铺成如图3的大长方形或如图4的大正方形，中间分别空出一个
小长方形和小正方形（即图中阴影部分）；
①试比较中间的小长方形和中间的小正方形的面积哪个大？大多少？
②如图4，已知大正方形的边长比中间的小正方形的边长多20cm，面积大3200cm2．如果选用如图2所
示的正方形地砖（边长为20cm）铺设图4中间的小正方形部分，那么能否做到不用切割地砖就可直
接密铺（缝隙忽略不计）呢？若能，请求出密铺所需地砖的块数；若不能，至少要切割几块如图2
的地砖？
12.现实生活中，密铺图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．我们知道，可以单独用正三角
形、正方形或正六边形密铺平面．如图，用正方形密铺平面，可以发现在一个顶点周围围绕着4个正方
形的内角．
试想：如果用正六边形来密铺平面，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内角．
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形密铺平面，可能设计出几种不同的组合方案？
问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面密铺？
验证1：在密铺平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题
意，可得方程：90x+ •y＝360，整理得2x+3y＝8．我们可以找到唯一一组适合方程的正
54整数解为x＝1，y＝2．
结论1：密铺平面时，在一个顶点周围围绕1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以
同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面密铺．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面密铺？若可以，请按照上述方
法进行验证，并写出所有可能的方案；若不可以，请说明理由．
13.●知识回顾
（1）如图1，小梦同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分，发现剩下的银杏叶的周长比原
银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：
（2）如图2，小丽在体育课上进行跳远测试，其中线段PA的长度可以表示为小丽跳远的成绩，其理由
是： ．
活动1．●类比探索
（3）如图3，在以全等的等边三角形密铺的网格中，点M，N在∠AOB的边OB上，请在OC上求作一点
P，使PM+PN的值最小；
（4）如图4，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点D在OB上，且OD＝3，若E，F分别为OC，OB上动
点，求DE+EF的最小值是多少？并画出此时相对应的图象，简要说明作图过程．
活动2．●拓展延伸
（5）已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB．如图5，若点D，Q分别在OB，OC上，且OD＝3，OQ＝1，点P，
N分别为OC，OB上的动点，则QN+NP+PD的最小值＝ （直接填写答案）．
55三、综合实践
14. 如何设计计算油漆用量的方案？如何设计计算家庭装修费用？
素材1 小明家的一面墙壁由边长为1分米的小
正方形密铺而成，上面画了如图所示的
心形图案．他现在准备将心形图案的内
部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米
需要0.02升的油漆．
图1
素材2 奥地利数学家皮克证明了格点多边形的
面积公式，格点多边形的面积S与格点
多边形内的格点数a和边界上的格点数
b有关，面积公式可表示为S＝ma+nb﹣1
图2
（其中m，n为常数）．
示例：如图2，格点多边形内的格点数a
＝4，边界上的格点数b＝6，格点多边形
的面积S＝6．
问题解决
任务1 在图3中画一个格点
多边形，并计算它的格 a＝ ；
点多边形内的格点数 b＝ ；
a，边界上的格点数b S＝ ．
和面积S． 图3
任务2 得出格点多边形的面 根据图2和图3的数据，求常数m，n的值．
积公式
任务3 计算油漆的用量 求需要红色油漆多少升？
任务4 计算材料的费用 请你选择家里某个房间的地板或地砖，绘制密铺图形并根据市
场价格，计算出材料所需要的费用.
56第十九课时 小结与思考(1)
一、基础练习
1.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，
且AD∥OC，则∠AOD的度数为 （ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
2.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，AB＝8，OC＝5，则MD的长为 （ ）
A．4 B．2 C． D．1
3．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于 （ ）
A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
4.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠， 恰好经过点O，则 与 的关系
是 （ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D．不能确定
5.如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为 cm．
6.如图所示，三圆同心于O，AB＝4cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为 cm2．
（第4题图） （第5题图） （第6题图） （第8题图）
7.⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是 cm．
578.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用
锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．
9.如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE＝2．求：弦CD的长．
10.如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O
的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O
的反演点，求A′B′的长．
二、拓展提升
11.如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分∠FBA，过点E作EF⊥
BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若AB＝8， ，求DB的长；
（3）在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．
5812．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与
牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Birnmi（973～1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al
﹣Birnmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），AB＞BC，D是
的中点，则从D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点，即AE＝EB+BC．
下面是运用“补短法”证明AE＝EB+BC的部分证明过程．
证明：如图2，延长CB到点F，使得CF＝AE，连接DA、DB、DC和DF．
∵D是 的中点，
∴DA＝DC．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝6，D为⊙O上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，求△BDC的周
长是 ．
5913.点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和
为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P（1，3）是“垂距点”．
（1）在点A（2，2），B（ ，﹣ ），C（﹣1，5）中，是“垂距点”的点为 ；
（2）求函数y＝2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
（3）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
三、综合实践
14．如图1是需要制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝0.6m，沿AD方
向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦长度不变．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉
到点D时，有AD＝0.3m，∠BDC＝120°．
1 1 1 1 1
（1）图2中，求弓臂两端BC是多少厘米？
1 1
（2）如图3，将弓箭继续拉到点D，使弓臂BAC为半圆，求DD是多少厘米？
2 2 2 1 2
（3）请你根据上面的数据，在家长的帮助下，选择合适的材料，自行设计并制作一把弓箭.弓箭是我国
古代劳动人民智慧的结晶，是古代战争中重要的远距离杀伤性武器，完成制作后注意合理使用注意
安全哦！
60第二十课时 小结与思考(2)
一、基础练习
1.以直角坐标系的原点O为圆心， 为半径作⊙O，则点P（﹣1，1）与⊙O的位置关系是 （ ）
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定
2.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，
则∠BEC的度数为 （ ）
A．128° B．126° C．122° D．120°
3.如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若
PA＝5，求△PCD的周长．以下是排乱的解题过程：（1）∵PA，PB为圆的两条相交切线，∴PA＝PB，同
理可得CA＝CE，DE＝DB；②△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA；③△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD；
④△PCD的周长＝10，则正确的顺序是 （ ）
A．①②③④ B．①③②④ C．③②①④ D．②③①④
4.如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为
（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4.8
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
5.一圆锥的底面半径为3，它的母线长为4，则它的侧面积S ＝ ．
侧
6.已知点O是△ABC外心，若∠BOC＝80°，则∠A的度数是 ．
7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ．
8.如图⊙O与平行四边形ABCD的两边相切于点B和点D，OE⊥AB于点E，若AD＝6，则OE＝ ．
（第7题图） （第8题图）
619.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，
D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．
10.如图，AB是直径，D是 的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．
二、拓展提升
11.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G， ＝ ，MN＝ ，求⊙O的直径．
6212.综合与实践：
（1）如图（1），有一块三角形材料△ABC，准备裁剪成一个面积最大的圆形，已知∠C＝90°，BC＝3，
AC＝4，求裁剪出的最大圆形面积．
（2）如图（2），市政部门准备把一块四边形区域改造成公园，计划在主干道AB上确定大门M的位置，
且在M与另外两个小门E、F连接而成的三角形区域内设计一个面积尽可能大的圆形花园，部分数
据如下：∠B＝∠C＝60°，BE＝CD＝2EC＝400米，点F为CD的中点，请按市政要求确定M的位置，
画出图形并求出BM长和最大的圆形花园的面积．
13.如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD＝6 ，∠B＝60°，以AB为直径所作的⊙O经过点C，且与AD相
切于A点，连接AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）⊙E是△ACD的外接圆，不与A、D重合的点F在⊙E的劣弧AD上运动（如图2所示）．若点P、Q
分别为线段AC、CD上的动点（不与端点重合），当点F运动到每一个确定的位置时，△FPQ的周长
有最小值m，随着点F的运动，m的值也随之变化，求m的最大值．
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三、综合实践
14.圆在生活中的应用给人们的生活带来了极大的便利，人类所见之处皆有圆的身影。请你在调查的基础
上，利用本章所学习的知识，写一篇用圆的相关知识解决实际生活问题的调查报告，约300字左右.
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