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九年级上册第一单元 一元二次方程
第一课时 一元二次方程
一、基础练习
1..下列方程中，属于一元二次方程是 （ ）
A．2x﹣3＝0 B．x2+1＝ 1 C．x2+2xy+y2＝0 D．x2﹣3x+2＝0
𝑥
2. 关于x的方程（a﹣1）x2+2022x﹣2023＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1 B．a＝1 C．a＞1 D．a ≥ 0
3.. 杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李
冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出的这
样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十
二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程为 （（ ）
A．x（x+12）＝864 B．x（x﹣12）＝864
C．x（x+6）＝864 D．x（x﹣6）＝864
4．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架，其
中方程术是《九章算术》最高的数学成就。《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八
寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比
宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？设矩形门宽为x尺，则依
题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸） （ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝1002
C．（x+6.8）2﹣x2＝102 D．x2+6.82＝1002
5. 把一元二次方程x（x﹣3）＝4化成ax2+bx+c＝0的一般形式，其中a＝1，则常数项
.c＝ ．
6. 方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
7. 已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为 ．
8. 学校图书馆的藏书量在两年内从5万册增加到9.8万册，设图书馆的藏书平均每年增长
.的百分率为x，则根据题意列出的方程是 ．
9. 关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1＝0，
.试求b，c的值．
10. 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣5＝0，若该方程的一个根为x＝3．求a的值并
...直接写出该方程的常数项．
1二、拓展提升
11. 已知a是一元二次方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，试求𝑎2−2022𝑎− 𝑎2+1 的值．
2023
12. 如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“完
. 美方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为完美方程，说明理由;
（2）已知2x2﹣mx+5＝0是关于x的完美方程，求m的值．
13. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED
...边长，易知AE＝√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b＝0的一元二次方程称为
“勾系一元二次方程”，比如3x2+5√2x+4＝0是“勾系一元二次方程”．
。请解决下列问题：
（1）试判断方程x2+2x+1＝0 “勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；
（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周
长是12，求△ABC面积．
三、综合实践
14. 请收集有关中国古代“一元二次方程”的实际应用案例，感受祖先的智慧．
2第二课时 一元二次方程的解法（1）
一、基础练习
1..若方程x2﹣17＝0的正数解是m，则m的取值范围是 ( )
A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5
2..关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值 ( )
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
3. 若关于x的方程(x—a)2 = b+4有实数根，则b的取值范围是 ( )
A．b≥ 4 B．b≥ —4 C．B ＜4 D．B ＜—4
4. 已知一元二次方程式（x—2）2=3的两根为a、b，且a＞b，求2a+b之值为 ( )
A．9 B．—3 C．
3
6 + 3 D． — 6 + 3
5. 一元二次方程(x+6)2= 25可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=5,
另一个一元一次方程是 ，则这个一元二次方程的解为 ．
6. 定义一种运算“⊕”，其规则为a⊕ b = a 2 − b 2 + 5 ，则方程x⊕3=0的解为 ．
7. 如果(a2+b2+1)(a2+b2-1)=63,那么a2+b2的值为 ．
8. 若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+2与 2 m − 5 ，则
b
a
=________．
9. 用直接开平方法解下列方程:
（1） 4 x 2 = 8 1 ； （2）（x+ 5）(x− 5)=7；
（3） 0 （. 5 2 x − 5 ） 2 − 2 = 0 ； （4） 3 ( x + 1 ) 2 − 1 0 8 = 0 ．
10. 解下列方程:
（1） ( 2 x + 3 ) 2 = ( 3 x + 2 ) 2 ； （2） 4 ( y + 2 ) 2 = ( 3 y − 1 ) 2 ．
二、拓展提升
11. 已知方程
4
x 2
−
4
x
+ 1 = 0
2
，求 的值．
x
12. 若y＞x＞0，x＋y－2 x y ＝2，求 x − y 的值．13. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程
4
x ( x + 4 ) = 6 ．
解：原方程可变形得：
[ ( x + 2 ) − 2 ] [ ( x + 2 ) + 2 ] = 6 ，
(x+2)2−22 =6
( x + 2 ) 2 = 6 + 2 2
( x + 2 ) 2 = 1 0 ，
直接开平方并整理得： x
1
= − 2 + 1 0 ， x
2
= − 2 − 1 0 ．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
请用“平均数法”解方程：(x−5)(x+3)=6．
三、综合实践
14. 在一块边长是24m的正方形绿地内，要围出一个花圃，使花圃面积和正方形面积之比
是3:4，你能给出设计方案吗？
实践活动1：设计一个正方形花圃，画出设计图，并求花圃的边长；
实践活动2：设计一个圆形花圃，画出设计图，并求圆形花圃的半径（π取3）；
实践活动3：为方便游客欣赏，决定先在绿地中开辟横竖两条宽2m的小路，然后再
剩余的绿地上开辟花圃，使花圃面积和剩余面积的比是3:4，请你画出设计草图，并
求出花圃面积．
自我反馈：（1）聪明的你还能设计出哪些方案，使花圃的面积和正方形面积之比是
3:4呢？尝试着画一画．
（2）经历了“问题情境——建立模型——求解——解释应用”的过程，你有哪些感受？第三课时 一元二次方程的解法（2）
一、基础练习
1
1. 用配方法解一元二次方程y2－ y＝1，两边应同时加上的数是 ( )
2
1 1 1
A．1 B. C. D.
4 16 64
2. 若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是 ( )
A．3 B．－3 C．±3 D．以上都不对
3. 已知点P ( m2,n )，点
5
Q ( 4 m − 5 , n ) ，下列是关于点P与点Q的位置关系，说法正确的是
( )
A．点P在点Q的右边 B．点P在点Q的左边
C．点P与点Q重合 D．点P与点Q的位置关系无法确定
4. 在用配方法解方程 x 2 + 3 x − 4 = 0 时，可以将方程转化为 x + 3
2
2 = 2 5
4
其中所依据的一
个数学公式是 ( )
A．
a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a2 +2ab+b2 =(a+b)2
B．
a2−2ab+b2 =(a−b)2 (a+b)2 =(a−b)2+4ab
C． D．
5．用适当的数填空：
① x2+6x+ =（x+ ）2；② x2－8x+ =（x－ ）2；③ x2+ x+ =（x+___）2．
6. 若一元二次方程𝑥2−6𝑥+1=0可以配方成(𝑥+𝑝)2+𝑞 =0的形式，则代数式𝑝+𝑞的
值为 ．
7. 若（a2﹣2a）2﹣9＝0，则代数式a2﹣2a的值为 ．
5 1 1
8. 若x，y满足x2＋y2＋ ＝2x＋y，则 ＋ 值为 ．
4 x y
9. 用配方法解下列方程：
（1） x 2 − 2 x − 1 = 0 ； （2） x2 −2=4x；
（3） m 2 = 8 m + 2 0 ； （4） x 2 +
1
2
=
5
2
x ．
10. 已知A＝2x2－3x－10，当x为何值时，A＝4 ?当x为何值时，A＝－5 ?
二、拓展提升
11. 若实数 m,n 满足 m − 2 + m + n − 1 = 0 ,请用配方法解关于 x 的一元二次方程:
x 2 + m x + n = 0
．12. 用配方法说明：不论x为何值，代数式2x2＋5x－1的值总比代数式x2＋7x－4的值大，
并 并求出当x为何值时，两代数式的值的差最小．
13. 已知一个三角形的两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2－16x＋60＝0的
一个 一个根．请用配方法解此方程，并计算出这个三角形的面积．
三、综合实践
14. 2019年底新冠肺炎疫情爆发，给人们的生活和工作带来了巨大的冲击.我国在面对这一
..严峻挑战时，迅速采取一系列措施，有效遏制了疫情扩散．通过数据研究，新冠病毒
.传染速度很快，如果不严格防范，将会使病毒蔓延．那么，是如何研究传播速度的呢？
.我们一起来体验一下！
（1）若有一人感染了病毒，如果每轮每人感染2人，第1轮传染后患病人数 人；
第 第2轮传染后患病人数 人；第3轮传染后患病人数 人;
（2）若有一人感染了病毒，经过两轮传染后共有121人被感染，每轮传染中平均一 个
人个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人换流感？
（3）2023年，新冠似乎已经消失在生活中，经过这一次疫情，通过计算研究病毒传播
速度，你有什么感想？
6第四课时 一元二次方程的解法（3）
一、基础练习
1. 把2x2＋4x－1化成a(x＋h)2＋k(其中a，h，k为常数)的形式是 ( )
A．2(x＋1)2－3 B．2(x＋1)2－2 C．2(x＋2)2－5 D．2(x＋2)2
2. 解方程
7
2 x 2 − 4 x − 1 = 0 时，方程变形为 （2 x − m ） 2 = n ，则𝑚，𝑛的值为 ( )
A．1， B．1，3 C．−1，2 D．1，2
3..用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时加上9的是 ( )
A．3x2−3x=8 B．−x2+6x=−3 C． 2 x 2 − 6 x = 1 0 D． 2 x 2 + 3 x = 3
4. 规定：a⊗b＝(a＋3b)b，如：2⊗3＝(2＋9)×3＝33，若2⊗x＝1，则x＝ ( )
1 1 1
A．1 B．
3
C．－1或
3
D．1或
3
5. 用适当的数填空：
①2x2+4x+ =2(x+ )2 ； ②3x2-4x+ =3(x- )2； ③ − 5 x2____x− 125 =− 5 (x−___)2．
2 8 2
6. 若方程4x2＋(m＋2) x＋1＝3的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为_________．
7. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数，a≠0)配方后为(x－2)2＝d(d是常
b
数)，则 ＝________．
a
8. 若代数式2x2＋8x＋m的最小值为1，则m＝________；若代数式－2x2＋2x＋m的最大
值为值为2，则m＝_______．
9. 用配方法解下列方程:
（1） 4 x 2 = 4 x − 1 ； （2）
1
2
x 2 − 6 x − 7 = 0 ；
（3） 2 x 2 = 3 x + 2 ； （4） （ 2 x + 3 ） ( x − 6 ) = 1 6 .
10. 当x为何值时,代数式2x2+7x-1的值与x2-19的值互为相反数？
二、拓展提升
11. 求证：无论x为何实数，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0．
3
212. 大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时,都要先把二次项系数化为 1,再进
行 配行配方.请你阅读如下解方程的过程.
解方程:
8
2 x 2 − 2 2 x − 3 = 0
解:2x2 −2 2x=3
(
2 x
)2
− 2 2 x + 1 = 3 + 1
(
2 x − 1
)2
= 4
2 x − 1 = 2
解得 x
1
=
3
2
2
, x
2
=
2
2
.
按照上述方法解方程:5x2−2 15x=2．
13. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边
靠墙，靠墙另三边用总长为20 m的栅栏围成，如图所示．设AB＝x m，请问：当x取何值
时， 时，花园的面积最大？最大面积是多少？
三、综合实践
14. 先仔细阅读材料，再尝试解决问题：
通过对实数的学习，我们知道 𝑥2 ≥0, 根据完全平方公式： (𝑎±𝑏)2 =𝑎2±2𝑎𝑏+
𝑏2, 可得完全平方公式的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如求多
项式2𝑥2+8𝑥−3的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式 =2(𝑥2+4𝑥)−3
=2(𝑥2+2𝑥⋅2+22−22)−3
=2(𝑥+2)2−11.
∵ 2(𝑥+2)2 ≥0,∴2(𝑥+2)2−11≥0−11.
∴当x =-2时，2(𝑥+2)2−11 的值最小，为-11.
请根据上面的解题思路，求：
（1）多项式 3𝑥2−6𝑥+2 的最小值，并写出对应的x的值；
（2）多项式 4−𝑥2+2𝑥 的最大值；
（3）多项式 𝑥2+2𝑥+𝑦2−4𝑦+9 的最小值；
（4）请根据经验你总结一下，二次多项式何时有最小值，何时有最大值？第五课时 一元二次方程的解法（4）
一、基础练习
1. 用公式法解方程
9
6 x − 8 = 5 x 2 时，a、b、c的值分别是 ( )
A．5、6、8 . B．5、－6、－8
C．5、－6、8 D．6、5、－8
2. 下列方程最适合用公式法求解的是 ( )
1
A．(x＋1)2＝16 B．2 x2＝1 C．(x－1)2－4＝0 D．x2－3x－1＝0
3. 用求根公式法解得某方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则 ( )
A．b＝0 B．c＝0 C．b2－4ac＝0 D．b＋c＝0
4. 关于x的方程 m x 2 − 3 x + 2 = 0 有实数根，则m的值不可能是 ( )
A. − 1 B．0 C．1 D．2
5．用公式法解方程2x2－7x＋1＝0，其中b2－4ac＝______，x ＝______，x ＝_______．
1 2
6. 若a，b，c为常数，且(a－c)2>a2＋c2，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的
情况是 ．
7. 已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0.若m＞0，且该方程的两个实数根的差为
2，则m的值是__________．
8. 关于x的方程x2－（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另
两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为 ．
9. 用公式法解下列方程:
（1）x2 +2 3x=2； （2） 4 x 2 − 3 x + 1 = 0 ；
（3） 2 x ( x + 4 ) = 1 ； （4） 0 . 3 y 2 + y = 0 .8 ．
10. 用公式法解方程：2x2＋7x＝4．
解：∵a＝2，b＝7，c＝4，
∴b2－4ac＝72－4×2×4＝17.
－7± 17
∴x＝ ，
4
－7＋ 17 －7－ 17
即x ＝ ，x ＝ .
1 4 2 4
上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正．
二、拓展提升
x
11. 已知x2＋3xy－2y2＝0，求 y 的值．12. 等腰三角形的底边长和腰长是方程x2－2 2x＋1＝0的两个根，求它的周长．
13. 已知关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
(1)求出方程的根；
(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
三、综合实践
14.（1）写出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式；
（2）你认为用公式法解一元二次方程需要注意哪些问题？
（3）请你梳理一下一元二次方程的解法，并体会其中蕴含的思想．
10第六课时 一元二次方程的解法（5）
一、基础练习
1. 下列一元二次方程中，没有实数根的是 （ ）
A．x2﹣x+1＝0 B．x（x﹣1）＝0 C．x2+12x＝0 D．x2+x＝1
2. 关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是 （ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
3. 定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．则方程2☆x＝0的根的
情况为 （ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
4. 若关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣2mx+m＝1有实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m≤2且m≠﹣2 B．m≤2 C．m≤1且m≠﹣2 D．m≥2
5. 关于x的方程x2﹣5x+1＝0的根的判别式的值为 ．
6．已知a，b分别为矩形ABCD两条对角线的长，且是关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0的根，
则k的值为 ．
7．嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2﹣6x+□＝0．若“□”表示一个字母，且一元二次
方程 x2﹣6x+□＝0 有实数根，则“□”的最大值为 ，此时方程的解
为 ．
8. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0．那么我们称这个方程为
“凤凰”方程，已知 ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下
列结论：①a＝c，②a＝b，③b＝c，④a＝b＝c，正确的是 （填序号）．
9. 设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方
程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
10. 已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
11二、拓展提升
11. 关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．
（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
12...已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
①小明同学说：无论k取何实数，方程总有实数根，你认为他说的有道理吗？
②若等腰三角形的一边 a＝1，另两边 b、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周
长和面积．
13. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC
和Rt△BED的边长，易知AE＝√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b＝0的一
元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0必有实数根．
三、综合实践
14. 通过本节课的学习，同学们已经知道了关于 x 的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 =0(𝑎 ≠0)的根
的情况与系数a、b、c之间的关系。请同学们继续尝试探究一元二次方程的根与系
数 之间还存在怎样的关系？（友情提醒：可举几个例子，从特殊到一般进行探究
哦！）
12第七课时 一元二次方程的解法（6）
一、基础练习
1. 方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是 （ ）
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝﹣2，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣2，x ＝﹣3 D．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
2. 解方程（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）的适当方法是 （ ）
A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
𝑥2−5𝑥−6
3. 使分式 的值等于零的x是 （ ）
𝑥+1
A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣6
4.已知方程x2﹣mx+n＝0的两根分别为3和﹣4，则二次三项式x2﹣mx+n可分解为（ ）
A．（x﹣3）（x+4） B．（x+3）（x﹣4） C．（x+3）（x+4） D．（x﹣3）（x﹣4）
5. 若x2＝x，则x＝ ．
6. 若实数x、y满足（x+y+3）（x+y﹣1）＝0，则x+y的值为 ．
7. 新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”[1，
m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 x2+3x+m＝0 的解
为 ．
8. 分解因式与多项式的乘法是互逆运算，利用一元二次方程 6x2+x﹣1＝0 的根，分解因
式6x2+x﹣1的结果是 ．
9. 用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣3x+2 ＝ 0； （2）（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝12．
10. 嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下．
嘉嘉：两边同时除以（x﹣3），得3＝x﹣3，
解得x＝6．
淇淇：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x＝3，x＝0．
1 2
（1）嘉嘉的解法 ，淇淇的解法 ；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．
二、拓展提升
11. 若规定两个实数a、b通过运算※，得到3ab，即a※b＝3ab，如2※5＝3×2×5＝30．
（1）（﹣√2）※x＝ ；
（2）若x※x﹣2※x﹣2※4＝0，求x的值．
1312. 阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x＝5，x＝﹣2（舍去）；
1 2
②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x＝﹣5，x＝2（舍去）．
3 4
综上所述，原方程的解是x＝5，x＝﹣5．
1 2
请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0．
13. 我们知道可以用公式x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）来分解因式解一元二次方程．
例如：x2+6x+5＝0，方程分解为 ＝0，
x2﹣2x﹣15＝0，方程分解为 ＝0．
爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．
例如：3x2﹣7x+2＝0．
解：方程分解为（x﹣2）（3x﹣1）＝0，从而可以快速求出方程的解．
（1）补全题中空白部分的内容；
（2）请利用此方法解方程2x2+3x﹣5＝0；
（3）请利用此方法解关于x的一元二次方程3x2﹣（6+a）x+2a＝0．
三、综合实践
14. 阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x＝a 的形式：求解二元一
次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化
为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解：求
解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方
程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转
化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．
例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，
解方程 x＝0 和 x2+x﹣2＝0，可得方程 x3+x2﹣2x＝0 的解．利用上述材料给你的启
示，解下列方程；
（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x ＝0，x ＝ ，x ＝ ；
1 2 3
（2）解方程：6x3+14x2﹣12x＝0；
（3）用“转化“的思想求方程（x2+x﹣2）2+（2x2﹣7x+6）2＝（3x2﹣6x+4）2的解；
（4）你对方程中的“转化”思想有哪些感悟？
14第八课时 一元二次方程的根与系数的关系
一、基础练习
1. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根分别为x ，x ，则x x +x +x 的值
1 2 1 2 1 2
为 （ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
2. 若关于x的一元二次方程 x2+bx+c＝0的两个实数根分别为 x ＝﹣2，x ＝4，则b+c的
1 2
值是 （ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1
3. 若矩形的长和宽是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根，则矩形的周长为 （ ）
A．8 B．4 C．2 D．6
4..若α，β是方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 （ ）
A．2015 B．2023 C．﹣2015 D．4010
5. 已知一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积
为 为 ．
6. 设x ，x 是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则（x ﹣1）（x ﹣1）的值为 ．
1 2 1 2
7. 在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
小明小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是 ．
8. 二次项系数为1，两个根分别为1+√2和1﹣√2的一元二次方程是 ．
9. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x 、x ．
1 2
（1）求k的取值范围；
（2）若 （填序号），求k的值．
（从①x •x ＝2；②x +x ＝3；③x ﹣x ＝1中选择一个作为条件，补充完整题目，并完
1 2 1 2 1 2
成解答．）
10. 已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m＝0．若方程的一个根为﹣1，求 m 的值和方程
的 的另一个根．
二、拓展提升
11. 已知关于x的方程x2﹣3x﹣m+3＝0总有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若它的两个实数根满足x ＝2x ，求m的值．
1 2
1512.. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个
根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程 x2﹣9x+18＝0 的两
个根是3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，求k的值；
（2）若关于x的一元二次方程nx2﹣（3n+3m）x+8m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求该
方方程的根．
13. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
𝑛 𝑚
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 + 的值．
𝑚 𝑛
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
得m+n＝1，mn＝﹣1，
𝑛 𝑚 𝑚2+𝑛2 (𝑚+𝑛)2−2𝑚𝑛 1+2
所以 + = = = = −3．
𝑚 𝑛 𝑚𝑛 𝑚𝑛 −1
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0两个根为x ，x ，
1 2
则：x +x ＝ ，x x ＝ ．
1 2 1 2
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，
求m2n+mn2的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1＝0，t2+7t+7＝0，且st≠1．
2𝑠𝑡+7𝑠+2
求 的值．
𝑡
三、综合实践
14. 由于法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系
称为韦达定理。 请同学们收集韦达与“韦达定理”的相关数学史知识，进一步了解韦
达定理对于代数学的推进作用．
16第九课时 用一元二次方程解决问题（1）
一、基础题
1. 如图，在长为100m，宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，
剩余部分进行绿化，要使绿化面积7644m2，则道路的宽应为多少米?设道的宽为x米，
则可列方程为 （ ）
A. 100×80−100𝑥−80𝑥 =7644
B. (100−𝑥)(80−𝑥)+𝑥2 =7644
C. (100−𝑥)(80−𝑥)=7644
D. 100𝑥+80𝑥 =356
2. 用一条30 cm的铁丝围成一个斜边为13 cm的直角三角形，则直角边长分别为（ ）
A. 5 cm和10 cm B. 8 cm和9 cm C. 5 cm和12 cm D. 8. 5cm和8. 5 cm
3. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022
年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A.
A B
D C
17
3 0 0 （0 1 + x ） 2 = 5 0 0 0 B. 3 0 0 0 x 2 = 5 0 0 0
C. 3 0 0 0 (1 + x % ) 2 = 5 0 0 0 D. 3 0 0 0 (1 + x ) + 3 0 0 （0 1 + x ） 2 = 5 0 0 0
4. 从一块长80 cm、宽50 cm的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周的宽度
相同，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，设长方框四周的宽度为xcm，根据
题意可列方程为 ．
5. 某厂生产电视机，每台成本3000元，连续两次降低成本后，每台成本仅为1920元，
则平均每次下降率为 ．
6. 某商场今年1月份的营业额是440万元，第一季度的总营业额是1601.6万元，则1月
份到3月份营业额的月平均增长率为 ．
7. 小林准备进行试验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林剪成两段长度分别为 ;
(2) 这两个正方形的面积之和 （填“可能”或“不可能”）等于48 cm2．
（第1题图） (第8题图) (第9题图)
8. 如图，某小区规划在一个长AB为40 m，宽AD为26 m的矩形场地ABCD上修建三条
同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若每一块
草坪的面积都为144m2，则道路的宽为 m．
9. 如图, 一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5 cm，容
积是 积是500 cm3的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽．10. 如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的
矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，
则人行通道的宽度为多少米？
(第10题图)
二、拓展提升
11. 据统计，目前某市
18
5 G 基站的数量约 1 .5 万座，计划到2023年底，全市 5 G 基站数是目
前的4倍，到2025年底，全市 5 G 基站数最将达到 1 7 .3 4 万座．
(1) 计划到2023年底，全市 5 G 基站的数量是多少万座？
(2) 求2023年底到2025年底，全市 5 G 基站数量的年平均增长率．
12. 某图书店在2023年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标
价为每本15元.
(1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后
以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率；
(2)在九月底该书店老板去进货该书500本，按照（1）两次降价后的价格在国庆节全
部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了a%，进货量比九月底增加3a%，以
标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求a%的值．
13. 某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形ABCD空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每
段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草．
（1）如图1，要使种植花草的面积为532m2，求小道进出口的宽度为多少米；
（2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，△AEQ、△BGF、△CMH、
△DPN均为全等的直角三角形，其中AE＝BF＝CM＝DN，设EF＝HG＝MN＝PQ＝
a米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于MN
和EF之间，横向弯折道路出口位于PQ和HG之间．
①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）；
②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2, 建造花草区域的总成本为42000元，
1 求a的值．
(第13题图)
三、综合实践：
14. 用长为20米的竹篱笆在仓库外面围一个长方形的堆料场，一面利用外墙，要使长方形
面积达到42平方米，则相邻两边的长度是多少？你会用学知识来解释何时面积最大
吗？
19第十课时 用一元二次方程解决问题（2）
一、基础题
1. 将进货价格为38元的商品按单价45元售出时，能卖出300个．已知该商品单价每上
涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为2300元，
则下列关系式正确的是 （ ）
A.
20
( x − 3 8 ) ( 3 0 0 − 5 x ) = 2 3 0 0 B． ( x + 7 ) ( 3 0 0 + 5 x ) = 2 3 0 0
C．(x−7)(300−5x)=2300 D．(x+7)(300−5x)=2300
2. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能够
生产9 5件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5
件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该
产品的质量档次是 （ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3. 端午节是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋
的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售
价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种
粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为 （ ）
A.（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B.（16﹣x）（200+80x）＝1440
C.（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D.（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
4. 某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则
每天可多售6件，如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？设该服装每件降价x
元，根据题意可列方程 ．
5. 一家水果店以每斤12元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤14元的价格出售，
每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出
20斤．若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤
（用含x的代数式表示）；若销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出
260斤，那么水果店需将每斤 售价降低 元．
6. 某工厂生产一批小家电，2021年的出厂价是144元，2022年、2023年连续两年改进技
术，降低成本，2023年出厂价调整为100元．若某商场今年销售这批小家电的售价为
140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小
家电单价每降低5元，每天可多售出10台，若每天盈利1250元，单价应降低 元．
7. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少
库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，
如果每天要盈利800元，每件应降价 元．
8. 某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如
果销售单价每增加0.5元，则第天销售量会减少2kg.该商场为使每天的销售额达到1800
元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，则可列方程为 .
9. 某中学提醒学生，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商销售某名
牌头盔，进价为 3 0 元 / 个，当售价为 4 0 元 个时，月销售量为 6 0 0 个，若在此基础上
每上涨 元 个，则月销售量将减少 1 0 个，设售价在 元 个的基础上涨价x元．
（1）用含有x的代数式表示月销售量y= ；
（2）为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际
售价应定为多少元 个？
1
的
/
/ 40 /
/10. 超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准
备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到
2元?
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到k元，请你利用
学过的一元二次方程根的判别式或配方法，求出k的值．
二、拓展提升
11. 在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种
品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10
元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶
数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100
瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当
乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，
当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达
到4700元？
12. 某超市发现使用湿巾纸量变大，其中A种湿巾纸售价为每包18元；B种湿巾纸售价
1 每包12元．该超市决定购进一批这两种湿巾纸，经市场调查得知，购进2包A种湿1
1 巾纸与购进3包B种湿巾纸的费用相同，购进10包A种湿巾纸和购进6包B种湿巾
1 纸共需168元．
(1)求A、B两种湿巾纸的进价；
(2)该超市平均每天可售出40包A种湿巾纸，后来经过市场调查发现，A种湿巾纸单
价每降低1元，则平均每天的销量可增加8包．为了尽量让顾客得到更多的优惠，该
超市将A种湿巾纸调整售价后，当天销售A种湿巾纸获利224元，那么A种湿巾纸
的单价降了多少元?
(3)该超市准备购进A、B两种湿巾纸共600包，其中B种湿巾纸的数量不少于A种
湿巾纸数量的两倍．请为该超市设计获利最大的进货方案，并求出最大利润．
2113. 某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工
厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”
（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治
理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计
算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长
江水质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，
三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治
理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加
个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q
值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求
第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
三、综合实践：
14. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为 70
元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根
据一个月的市场调研，商家发现当售价为 110 元/件时，日销售量为 20 件，售价每
降低1元，日销售量增加2件．
请就这样的现实情境尝试提出两个问题并解决.
22第十一课时 用一元二次方程解决问题（3）
一、基础题
1. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿CB方向以
1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿AC方向以2cm/s的速度向C运动，若
P，Q两点同时出发，运动时间为t秒.当t为 秒时，△PCQ的面积是△ABC面积
1
的 . ( )
4
A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．以上答案都不对
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同
时开时开始移动，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点
P P也随之停止运动．当时间t为 时，△PBQ的面积为15cm2． ( )
A．2秒 B．3秒 C．3秒或5秒 D．5秒
(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)
3. 如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出
发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C
运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是 ( )
A．
(第5题图) (第6题图) (第7题图) (第8题图)
23
5
2
B．4 C．5 D．6
4. 如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从
点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s
的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始 秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若
一点到达终点，另一点也随之停止运动)
5. 如图，在△ABC中， B = 9 0 ， A B = 5 c m ， B C = 7 c m ，点P从点A开始沿 A B 边向点B
以 1 c m /s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，
Q分别从A，B同时出发，那么 秒后，PQ的长度等于 2 1 0 c m .
6. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速
度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时
间为xs．当 P Q = 4 2 c m 时，x= .
7. 如图，在△ABC中，AB＝8cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s
的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以4cm/s的速度移动．如果P、Q两点
同时出发，问：经过 秒后△PBQ的面积等于7cm2．8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，
沿AC向点C方向运动，动点Q从顶点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P
的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点
时，就停止运动，当P，Q两点运动 秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2．
9. 如图，A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD =6cm，动点 P，Q 分别从点
A，C 同时出发，点 P 以 3 的速度向点 B 移动，一直到达B为止，点 Q 以 2 的
速度向 D 移动，P 点停止时即停止．
（1） P，Q 两点从出发开始到几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2?
（2） P，Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q的距离是 10cm?
10. 已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm. 点P从点A开始沿AB边
向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q别从A，B同时出发，那么几秒后，△PQB的面积等于66cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于86cm2？说明理由.
二、拓展提升
11. 如图，矩形ABCD中，AB=2cm,BC=3cm,点E从点B沿BC以2 cm/s的速度向点C移
动，同时点F从点C沿CD以1 cm/s的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到
达终点时，另一点也停止运动．当△AEF是以AF为底边的等腰三角形时，求点E运
动的时间．
2412. 在平面直角坐标系中，过原点O及点A (0,2)、C(6,0)作矩形OABC，∠AOC平分线交
AB于点D，点P从点O出发，以每秒√2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同
时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为
t秒，求当t为多少秒时，△PQB为直角三角形．
13. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 P 从点 B 出发，以 2cm/s 的速度沿B
→C→C→D的方向向点D 运动；动点 Q 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 A→B 的方
向 向向点B 运动．若 P，Q 两点同时出发，运动时间为 t s．
（1）连接 PD，PQ，DQ，当 t 为何值时，△PQD 的面积为 11 cm2？
（2）当点 P 在 BC 上运动时，是否存在这样的 t，使得 △PQD 是以 PD 为一腰的等
腰三角形?若存在，请求出符合条件的 t的值；若不存在，请说明理由．
三、综合实践：
14. （跨学科综合）一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停
止滚动．
（1）平均每秒小球的滚动速度减少多少？
（2）小球滚动到5m约用了多少时间（结果保留小数点后一位）？
25第十二课时 数学活动
一、基础题
1. 如图，在一幅长与宽之比为4∶1的矩形山水画周围镶上一圈宽度为1 dm的边框，经
过工人测算，发现镶边后的图画(含白纸边框)面积为504 dm2，则原矩形山水画的面积
为 dm2. ( )
A.400 B.320 C.480 D.360
(第3题图)
(第4题图）
(第1题图) （第2题图）
2. 在长为32m、宽为20m的矩形地面上修筑宽度处处相等的小路(图中阴影部分)，余下
部分种植草坪，要使小路的面积为100m2，设小路的宽为xm，则下面所列方程正确的
是 ( )
A . 32×20－32𝑥－20𝑥＝100 B. 32𝑥＋20𝑥＝100＋𝑥2
C. (32－𝑥)(20－𝑥)＋𝑥2＝100 D.(32－𝑥)(20－𝑥)＝100
3. 如图，在长为45米，宽为20米的矩形地面上，修筑一条小路，余下的铺上草坪，要
使草坪的面积为860平方米，小路的宽应 米． ( )
A. 2 B. 1.5 C. 3 D. 2.5
（第5题图） （第6题图） (第7题图） （第8题图）
4. 如第图5，题在 长为40米，宽第为6题22 米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余
下余下的铺上草坪，要使草坪的面积为760平方米，道路的宽应为 米．
5. 如图，是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一
条横条横向，且互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570 平
方米方米，道路宽为 米．
6. 学校露天天台将建造绿地.已知在宽为20米，长为30米的长方形天台的四周铺相同宽
度的度的道路，余下部分作为绿地，若绿地面积需要416平方米，则修建的路的宽为 米.
7. 如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使
草使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 ．
8. 如图，某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划要在这块空地面积的一半区域
种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域，则花带的宽度应改
为 m.
9. 某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子
（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小
路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．
（1）花园内的小路面积为 平方米（用含x的代数式表示）;
（2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值．
26
3 0 米
2 0 米
（第3题图） （第4题图）10. 在一块长是32m、宽是24m的矩形绿地内，要围出一个花圃，花圃的面积是矩形面
积的一半．你能给出设计方案吗？
二、拓展提升
11. 改善小区环境，争创文明家园．如图，某社区决定在一块长(𝐴𝐷)34m，宽(𝐴𝐵)22m
的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平
行，其余部分种草．要使每一块草坪部分的面积都为100m2，则小路的宽应为多少？
12. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到
打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为a cm，b cm，c cm，d cm．若纸
张大小为16cm×10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面
积占纸张的70%，则需如何设置页边距？
13. 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的
彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四
周边衬的宽度？
三、综合实践：
14. 学校计划面向全校学生组织一次篮球邀请赛，本次比赛采用单循环赛制，即参赛的每
两个队之间要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4
场比赛。 请你从策划者的角度思考需要解决什么问题？如何解决？
27第十三课时 小结与思考(1)
一、基础练习
1．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的二次项系数是 ( )
A．6 B．2 C．﹣2 D．1
2．下列将一元二次方程（x+2）（x﹣3）＝5化成一般形式正确的是 ( )
A．x2+x﹣11＝0 B．x2﹣x﹣11＝0 C．x2﹣x﹣6＝0 D．x2+x﹣6＝0
3．方程4x2﹣12x＝3的根的情况为 ( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八
百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891
平方步，只知道它的长与宽共60步，问长比宽多多少步？依题意得，长比宽多( ) 步．
A．15 B．12 C．9 D．6
5．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
6．若一元二次方程 x2﹣6x+1＝0 可以配成（x+p）2+q＝0 的形式，则代数式 p+q 的值
为 ．
7．如图是一个数值运算的程序，若输出y的值为2．则输入的值
（第7题图）
8．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{1，
3}＝3，按照这个规定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解为 ．
9．用适当的方法解下列方程：
（1）2（x﹣1）2﹣25＝0； （2）x2﹣6x﹣329＝0；
（3）3x2＝4x+1； （4）x2﹣9＝4（x﹣3）．
10. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少？
二、拓展提升
11. 已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中 a、b、c 分别为△ABC
三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
2812. 设𝑥 ，𝑥 是关于𝑥的方程𝑥2−(𝑚−1)𝑥−𝑚 =0(𝑚≠0)的两个根，且满足 1 + 1 + 2 =0，
1 2
𝑥1 𝑥2 3
求𝑚的值．
13. 某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈
利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺
年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出300张．商场要想平均每天盈利
160元，每张贺年卡应降价多少元？
三、综合实践
14．2021年7月1日是建党 100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出 4个数
（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数是多少？
（请用方程知识解答）．
29第十四课时 小结与思考(2)
一、基础练习
1．若方程（m﹣1）x|m|+1﹣2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的值为 ( )
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在
2．将一元二次方程x2+4x+2＝0配方后可得到方程 ( )
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝6 D．（x+2）2＝6
3．若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是 ( )
A．﹣1或
30
2
3
2 3
B．1或﹣ C．1或﹣ D．1或
3 2
3
2
4．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点 P，Q 分别从点 A，B
同时开始移动（移动方向如图所示），点 P 的速度为 1cm/s，点Q 的速度为2cm/s，点Q
移动到 C 点后停止，点 P 也随之停止运动，当四边形 APQC 的面积为 9cm2时，则点 P
运动的时间是 ( )
A．3s B．3s或5s C．4s D．5s
5．写出两根分别为1，2，且二次项系数为1的关于x的一元二次方程： ．
6．现规定一种新的运算：
a
c
b
d
= a d − b c ，当
( x
x
− 2 )
3
x
= 2 x 时，则x的值为 ．
7．已知x 、x 是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实根，则（x ﹣2）（x ﹣2）＝ ．
1 2 1 2
8．某蛋糕店决定下调盒装蛋糕的价格，经过两次降价，每盒由72元调至56元，若平均每
次降价的百分率为x，由题意可列方程 ．
9．用适当的方法解下列方程：
（1）（x+5）2＝16； (2) x2﹣6x＝4；
(3) 3x（2x+1）＝2（2x+1）； (4) 2x2﹣7x+3＝0．
10．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m﹣1＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)设方程的两个根为x ，x ，且
1 2
x
1
2 + x
2
2 = 1 0 ，求 ( x
1
− x
2
) 2 ．
二、拓展提升
11. 已知T=(a+3b)2 +(2a+3b)(2a−3b)+a2
(1)化简T；
(2)若关于x的方程 有两个相等的实数根，求T的值． x 2 + 2 a x − a b + 1 = 012. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个
根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 x2+x＝0 的两个根是 x
1
＝0，x ＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”
2
（1）通过计算，判断方程x2﹣5x+6＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于 x 的二次方程 x2﹣（m﹣1）x+3m﹣12＝0．（m 是常数）是“邻根方程”，
求m的值．
13. 为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高
产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品
种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量
比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．
（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计
A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场
欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两
个品种全部售出后总收入将增加
31
2
9
0
a%．求a的值．
三、综合实践
14. 探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次；
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手 次；
（3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
拓展：
嘉嘉给琪琪出题：
“若在直角∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA、OB边），角的总数为20，
求m的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为 20．”琪琪的思考对吗？若不对，请
求出m的值；若对，请说明理由．
