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专题 02 一元二次方程的实际应用专项
类型一：一元二次方程与数学文化
类型二：一元二次方程与传播问题专项
类型三：一元二次方程与数字问题专项
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
类型八：一元二次方程与几何动点问题专项
类型一：一元二次方程与数学文化
1．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中
记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的
门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽
为x尺，则依题意所列方程为（1丈＝10尺，1尺＝10寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
【分析】根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为（x+6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形的门的高比宽多6尺8寸，且门宽为x尺，
∴门高为（x+6.8）尺．
根据题意得：x2+（x+6.8）2＝102．
故选：A．
2．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱
三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210文．如果每株椽的
运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？
设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210
【分析】根据”少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱“可得出相应的方程．
【解答】解：根据题意得：
3（x﹣1）x＝6210．
故选：D．
3．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量
田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大
意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是 81平方步，从水池边到圆周，
每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）A． B． （x+6）2﹣x2＝81
π
C． （x+3）2﹣x2＝81 D．
【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．
π
【解答】解：根据题意，得： （ +3）2﹣x2＝81．
故选：D．
π
4．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦
跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：
“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是
多少？”设这群猴子的总数是x只，根据题意可列出的方程是（ ）
A．（8x）2＝x﹣12 B．（8x）2＝x+12
C． D．
【分析】由这群猴子的总数，可得出一队猴子数是（ x）2只，利用猴子总数＝两队猴子数之和，即可
得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这群猴子的总数是x只，
∴一队猴子数是（ x）2只．
根据题意得：x＝（ x）2+12．
故选：D．
5．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门
狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，
不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿
过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方
程是（ ）A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．42+（x﹣2）2＝x2
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝2x2 D．（x﹣4）2+22＝x2
【分析】若设竿长AC为x尺，则BC为（x﹣4）尺，AB为（x﹣2）尺，利用勾股定理，可得出关于x
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若设竿长AC为x尺，则BC为（x﹣4）尺，AB为（x﹣2）尺，
根据题意得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2．
故选：A．
6．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙
会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为3，
乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少
步？”若设甲乙两人相遇的时间为t，则可列方程是 ．
【分析】依照题意，画出图形，利用勾股定理，即可列出关于t的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依照题意，画出图形，如图所示．
根据题意得：102+（3t）2＝（7t﹣10）2．
故答案为：102+（3t）2＝（7t﹣10）2．
类型二：一元二次方程与传播问题专项
7．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体
肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有 49人患了支原体肺炎（假设
每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有 x
（1+x）人被传染，根据“有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎”，可
列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有
x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝49，
解得：x ＝6，x ＝﹣8（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染了6个人．
8．冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
（2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患流感．列出一元
二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出第三轮感染的人数，即可解决问题．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，
由题意得：1+x+（1+x）x＝64，
解得：x＝7，x＝﹣9（不合题意舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了7人；
（2）第三轮感染的人数＝64×7＝448（人），
∴第三轮感染后，患流感的总人数为：448+64＝512（人），
答：第三轮感染后，患流感的共有512人．
9．某种病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人感染该病毒．若每轮传染
的速度相同．
（1）求每轮每人传染的人数；
（2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的50%，求第三轮传播后新增感染
人数．
【分析】（1）设每轮每人传染x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）中人被感染，
根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人感染该病毒”，可列出关于x的一元二次方程，
解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用第三轮传播后新增感染人数＝256×每轮每人传染人数×50%，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮每人传染x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）中人被感
染，
根据题意得：4+4x+x（4+4x）＝256，
整理得：（1+x）2＝64，
解得：x ＝7，x ＝﹣9（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每轮每人传染7人；
（2）256×7×50%＝896（人）．
答：第三轮传播后新增感染896人．
10．某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有 100人患
病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）．
（1）每轮传染中平均一个人传染多少人？
（2）如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人
患病？
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，
经过两轮传染后共有100人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数×（1+9），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意得：（x+1）2＝100，
解得：x ＝9，x ＝﹣11（不合题意，舍去）；
1 2
答：每轮传染中平均每个人传染了9个人．
（2）100×（1+9）＝1000（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1000人患病．
11．如今，每到春季，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病之一，某一小区有 1位住户不小心感染了
甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有36人患了甲流．
（1）每轮感染中平均一个人传染几人？
（2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过200人患了甲流？
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染x人，根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）利用（1）的结果再计算即可．
【解答】解：（1）设每轮感染中平均一个人传染x人，根据题意，得（1+x）2＝36．
解得x＝5，或x＝﹣7（不合题意舍去）．
答：每轮感染中平均一个人传染5人．
（2）根据题意，知第三轮的患病人数为（5+1）3＝216，
∵200＜216，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数会超过200人．
类型三：一元二次方程与数字问题专项
12．一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数．
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（11﹣x），根据个位数字与十位数字的平方和为
85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设个位数字为 x，则十位数字为 （11﹣x），
x2+（11﹣x）2＝85，
解得：x ＝2，x ＝9．
1 2
当 x＝2时，两位数为92，
当x＝9 时，两位数为29．
答：两位数为92或29．
13．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两
位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数．
【分析】设个位为x，则十位上的数字为8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两
位数乘以原来的两位数就得1855，求解即可．
【解答】解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x，
由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855解得：x ＝3，x ＝5，
1 2
原来十位上的数字为5或3，
答：原来这个两位数53或35．
14．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
【分析】先设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位
数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可．
【解答】解：设个位数字为x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是10（x﹣3）+x，
依题意得：x2＝10（x﹣3）+x，
∴x2﹣11x+30＝0，
∴x ＝5，x ＝6，
1 2
∴x﹣3＝2或3．
答：这个两位数是25或36．
15．一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与
原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数．
【分析】设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（3﹣x），根据所得的新两位数与原来
的两位数的乘积为252，可列出方程求解．
【解答】解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（3﹣x），依题意得：
（10x+3﹣x）[10（3﹣x）+x]＝252，
解得x ＝1，x ＝2，
1 2
当x＝1时，3﹣x＝2，
当x＝2时，3﹣x＝1，
原来的两位数是12或21．
答：原来的两位数是12或21．
16．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，
得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．
【分析】等量关系为：原来的两位数﹣新两位数＝27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两
位数的表示方法求得两位数即可．
【解答】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）．
∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27，
解得x ＝4，x ＝﹣3（不符合题意，舍去）．
1 2
∴x2﹣9＝7，
∴10（x2﹣9）+x＝74．
答：原两位数为74．
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
17．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级．
【分析】设八年级有x个班，“根据各班均组队参赛，赛制为单循环形式且共需安排15场比赛”，即
可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可．
【解答】解：设八年级有x个班，
，
，
x2﹣x﹣30＝0，
（x﹣6）（x+5）＝0，
解得x ＝6，x ＝﹣5（舍），
1 2
则八年级有6个班．
18．2023年10月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排66
场比赛，那么有多少个球队参加比赛？
【分析】根据题意赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），n个球队比赛总场数为 ，理解
关系即可列出方程．
【解答】解：设一共有x个球队参赛，
根据题意得： ，
整理得：x2﹣x﹣132＝0，
解得：x ＝12，x ＝﹣11（不符合题意，舍去），
1 2
答：一共有12个球队参赛．
19．某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比
赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛？
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）
＝110，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有x支球队参加比赛．
由题意可得：x（x﹣1）＝110，
解得x＝11，x＝﹣10（不合题意，舍去），
∴有11支球队参加比赛．
20．某教育局组织教职工男子篮球比赛．
（1）本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少
支队参加比赛？
（2）在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积
是400平方米，求每个正方形的边长．
【分析】（1）设有x支队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设每个正方形的边长为y米，根据观众席的总面积是400平方米，可列出关于y的一元二次方程，
解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设有x支队参加比赛，
根据题意得： x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x ＝﹣7（不符合题意，舍去），x ＝8．
1 2
答：有8支队参加比赛；
（2）设每个正方形的边长为y米，
根据题意得：4y2＝400，
解得：y ＝10，y ＝﹣10（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每个正方形的边长为10米．
21．课本再现
（1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，
问应该邀请多少支球队参加比赛？
模型变式
（2）2022年11月8日晚，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛
所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行110场比赛，求有多少支球队
参加比赛．
【分析】（1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可；
（2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可．
【解答】解：（1）设应该邀请x支球队参加比赛，
依题意得： ，
解得：x ＝6，x ＝﹣5（不符合题意，舍去），
1 2
答：应该邀请6支球队参加比赛．
（2）设有y支球队参加比赛，依题意得： ，
解得：y ＝11，y ＝﹣10（不符合题意，舍去），
1 2
答：有11支球队参加比赛．
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
22．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口
量为20万台，2022年出口量增加到45万台．求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是
多少？
【分析】设2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是x，根据2020年出口量为20万台，
2022年出口量增加到45万台．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是x，
根据题意得：20（1+x）2＝45，
解得：x ＝0.5＝50%，x ＝﹣2.5（不合题意，舍去），
1 2
答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是50%．
23．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，
截止到2022年底广东5G基站的数量约25万座，计划到2024年底，全省5G基站数量将达到36万座．
（1）按照计划，求2022年底到2024年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）按照这个年平均增长率，到2025年底，全省5G基站的数量是多少万座？
【分析】（1）设全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可求解．
【解答】解：（1）设全省5G基站数量的年平均增长率为x，
有：25（1+x）2＝36．
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（舍）．
1 2
∴全省5G基站数量的年平均增长率为20%．
（2）按照这个年平均增长率，到2025年底，全省5G基站的数量为36×（1+20%）＝43.2万座，
答：全省5G基站的数量是43.2万座．
24．聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某
市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已
知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最
多可以改造多少个小区？
【分析】（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，根据2023年投入资金金额＝2021年投入
资金金额×（1+年平均增长率）2，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）用2024年投入的费用除以改造的平均费用即可求解．【解答】解：（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去），
1 2
答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为20%；
（2）1440×（1+20%）÷80≈21.6．
答：该市在2024年最多可以改造21个小区．
25．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2012年底拥有家庭
轿车64辆，2014年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
（1）若该小区2012年底到2014年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2015年底家
庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内
车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，
求该小区最多可建室内车位多少个？
【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据某小区2012年底拥有家庭轿车辆，2014年
底家庭轿车的拥有量达到100辆列一元二次方程求出x的值，进一步计算即可；
（2）设该小区可建室内车位a个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，据此列一元一次
不等式组，求出x的取值范围，据此即可解答．
【解答】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意可得：64（1+x）2＝100，解得：x＝0.25或﹣2.25（舍去），
∴100（1+0.25）＝125（辆）．
答：该小区到2015年底家庭轿车将达到125辆．
（2）设该小区可建室内车位a个，则露天车位150000﹣5000a 1000个，
根据题意可得： ，解得： ，
∵a为整数，
∴小区最多可建室内车位21个．
答：小区最多可建室内车位21个．
26．在九年级迎战体考的氛围带动下，某校八年级同学对体育锻炼越来越重视．同学们在八上期末、八下
开学、八下半期举行的三次体育测试中获得满分的人数逐渐增多，从八上期末的150人满分，到八下半
期满分人数上升至216人．
（1）如果每次测试满分人数增加的百分率相同，求这个百分率；
（2）已知体测满分50分，该年级共700名学生，其中有10名同学因身体原因每次测试只能得到35分．
年级计划通过一系列举措，力争在八下期末测试时满分人数比八下半期满分人数增加 25%．那么除了满
分同学和10名因身体原因同学之外，其余同学至少平均多少分，才能使全年级平均分不低于 46分？
（结果精确到0.1）
【分析】（1）设每次测试满分人数增加的百分率为 x，根据八下半期满分人数＝八上期末满分人数×（1+每次测试满分人数增加的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即
可得出结论；
（2）设其余同学的平均得分为y分，根据全年级平均分不低于46分，可列出关于y的一元一次不等式，
解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每次测试满分人数增加的百分率为x，
根据题意得：150（1+x）2＝216，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每次测试满分人数增加的百分率为20%；
（2）设其余同学的平均得分为y分，
根据题意得：50×216×（1+25%）+35×10+[700﹣216×（1+25%）﹣10]y≥46×700，
解得：y≥43.7，
∴y的最小值为43.7．
答：其余同学至少平均得分为43.7分．
类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
27．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽
快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均
每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？
【分析】设每件衬衫应降价x元，那么就多卖出2x件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，
根据每天盈利1200元，可列方程求解．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，
由题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
即2x2﹣60x+400＝0，
∴x2﹣30x+200＝0，
∴（x﹣10）（x﹣20）＝0，
解得：x＝10或x＝20
为了减少库存，所以x＝20．
故每件衬衫应降价20元．
28．合肥某水果店在5月份准备了一批西山枇杷，每盒利润为30元，平均每天可卖50盒，经过调查发现
每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利3000
元，则每盒枇杷应降价多少元？
【分析】设每盒枇杷降价x元，则每盒的利润为（30﹣x）元，平均每天可卖（50+10x）盒，根据专卖
店要想平均每天盈利3000元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每盒枇杷降价x元，则每盒的利润为（30﹣x）元，平均每天可卖（50+10x）盒，
依题意得：（30﹣x）（50+10x）＝3000，
整理得：x2﹣25x+150＝0，解得：x ＝15，x ＝10（不符合题意，舍去），
1 2
答：每盒枇杷降价15元．
29．某商场销售一批运动服，平均每天可售出30套，每套盈利100元，为了扩大销售，增加盈利，减少库
存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套．
（1）当每套运动服降价x（x是偶数）元时，商场每天可售出运动服 （ 30+ ） 套（用含x的代数
式表示）；
（2）若商场每天要盈利3150元，则每套运动服应降价多少元？
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）设每套运动服应降价x元，根据利润＝销售的数量×每套的盈利，结合商场每天要盈利3150元，
列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）当每套运动服降价x（x是偶数）元时，商场每天可售出运动服（30+ ）套；
故答案为：（30+ ）；
（2）设每套运动服应降价x元，
根据题意得：（100﹣x）（30+ ）＝3150，
整理得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x ＝30，x ＝10（不符合题意，舍去），
1 2
答：每套运动服应降价30元．
30．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，
后来经过市场调查发现，单价每降低3元，则平均每天的销售可增加30千克，若该专卖店销售这种核
桃要想平均每天获利2090元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】解：（1）设每千克核桃应降价x元．
根据题意，得 ．
化简，得x2﹣10x+9＝0解得x ＝1，x ＝9
1 2
答：每千克核桃应降价1元或9元．
（2）由（1）可知每千克核桃可降价1元或9元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价9元．
此时，售价为：60﹣9＝51（元），∴ ，
答：该店应按原售价的八五折出售．
31．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．
某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提
升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个．
素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个
时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10
个，
问题解决
任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率；
任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际
售价应定为多少元？
【分析】（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量＝该车
间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方
程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（1000﹣10y）
个，利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再
结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论．
【解答】解：（1）设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝114，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%；
（2）设该零件的实际售价应定为y元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为600﹣10（y﹣
40）＝（1000﹣10y）个，
根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，
整理得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y ＝50，y ＝80，
1 2
又∵要尽可能让车企得到实惠，
∴y＝50．
答：该零件的实际售价应定为50元．
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
32．如图所示，某农户用16m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10m），且面积为50m2的长方形花园，
垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，若可列方程为x•（★）＝50，则★表示的代数式为 （ 1 7 ﹣ 2 x ） ．
【分析】确定平行于墙的一边与x的关系即可求解．
【解答】解：由题意可得：平行于墙的一边为：（16﹣2x+1），
即为：（17﹣2x）．
故答案为：（17﹣2x）．
33．有一个长、宽分别为20m和12m的矩形水池ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平
行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与 AB平行，另两
条与BC平行，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的 ．
（1）设道路的宽为x m，则正方形的面积为 1 6 x 2 m2．（用含x的代数式表示）
（2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽．
【分析】（1）设道路的宽为x m，则正方形的边长为4x m，即可得出结论；
（2）根据道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的 ．即可得出关于x的一元二次方程，解之取
其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设道路的宽为x m，则正方形的边长为4x m，
∴正方形的面积为（4x）2＝16x2（m2），
故答案为：16x2；
（2）依题意得：x（20﹣4x）+x（12﹣4x）+（4x）2＝ ×20×12，
整理得：x2+4x﹣5＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣5（不合题意，舍去）．
1 2
答：道路的宽为1米．
34．如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一
个矩形花园ABCD．
（1）如图1，利用墙围成矩形花园ABCD，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长；（2）如图2，用围栏补墙得到矩形花园ABCD，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出BC的长；
若不能，请说明理由．
【分析】（1）设AB＝x米，则BC＝（20﹣2x）米，根据围成的花园面积为32平方米，可列出关于x
的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长4米，即可确定结论；
（2）花园的面积能为36平方米，设AB＝y米，则BC＝ ＝（12﹣y）米，根据围成的花园面
积为36平方米，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再将其代入（12﹣y）中，即可得
出结论．
【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（20﹣2x）米，
根据题意得：x（20﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣10x+16＝0，
解得：x ＝2，x ＝8，
1 2
当x＝2时，20﹣2x＝20﹣2×2＝16＞4，不符合题意，舍去；
当x＝8时，20﹣2x＝20﹣2×8＝4，符合题意．
答：花园的边长为8米和4米；
（2）花园的面积能为36平方米，
设AB＝y米，则BC＝ ＝（12﹣y）米，
根据题意得：y（12﹣y）＝36，
整理得：y2﹣12y+36＝0，
解得：y ＝y ＝6，
1 2
∴12﹣y＝12﹣6＝6．
答：花园的面积能为36平方米，BC的长为6米．
35．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个 1米的门，
墙的最大可用长度为30米．
（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．【分析】（1）设边AB的长为x米，则AD＝（80﹣4x）米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方
程并求解即可获得答案；
（2）由（1）可得x（80﹣4x）＝440，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
【解答】解：（1）设边AB的长为x米，则AD＝77﹣4x+3＝（80﹣4x）米，
根据题意可得x（80﹣4x）＝300，
解得x ＝5，x ＝15，
1 2
∵墙的最大可用长度为30米，且当x＝5时，AD＝80﹣4×5＝60（米），不合题意，
∴x＝15米．
答：边AB的长为15米；
（2）若羊圈的总面积能为440平方米，
则结合（1）可得 x（80﹣4x）＝440，
整理，得 x2﹣20x+110＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0，
∴羊圈的总面积不能为440平方米．
36．社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知AD＝52m，AB＝28m，阴
影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车
位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收
入为10125元？
【分析】（1）根据题意列出方程（52﹣2x）（28﹣2x）＝640解答即可；
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，列出方程（200+a）（50﹣ ）＝10125解答
即可．
【解答】解；（1）根据道路的宽为x米，根据题意得，
（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x ＝34（舍去），x ＝6，
1 2
答：道路的宽为6米．
（2）设月租金上涨a元，停车场月租金收入为10125元，根据题意得：（200+a）（50﹣ ）＝10125，
整理得：a2﹣50a+625＝0，
解得a＝25，
答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元．
类型八：一元二次方程与几何动点问题专项
37．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿
AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，设点P，Q
的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为 时，t的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【分析】先由题意可得AP＝2t，BQ＝t，故可得 ，当S△PBQ 的面积为 时，代入数值可
得 ，解得 ，即可选出正确选项．
【解答】解：由题意可得AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝6﹣2t，
∴ ，
当△PBQ的面积为 时，可得 ，
解得 ，
故选：C．
38．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以
1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，
另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（ ）A．2s B．2s或6s C．6s D．6s或8s
【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点P，Q到达终点所需时间，当运动时间为t秒时，BP＝（8﹣
t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ的面积为12cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的
值即可得出结论．
【解答】解：8÷1＝8（秒），6÷2＝3（秒）．
当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm，
根据题意得：2t×（8﹣t）÷2＝12，
整理得：t2﹣8t＝12，
解得：t ＝2，t ＝6（不符合题意，舍去），
1 2
∴点P的运动时间是2秒．
故选：A．
39．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，
点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B
点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ 3 t cm ，BP＝ （ 16 ﹣ 3 t ） cm ，CQ＝ 2 t cm ，DQ＝ （ 16 ﹣ 2 t ） cm （用含t的
代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出
各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解
之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝3t cm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（16﹣
2t）cm．
故答案为：3t cm；（16﹣3t）cm；2t cm；（16﹣2t）cm．（2）依题意得： [（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t ＝ ，t ＝ ．
1 2
答：当t为 或 时，点P和点Q的距离为10cm．
40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝14cm，CD＝25cm，AD＝5cm，点P从点A出
发，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点D运动．规定其中一个动
点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为t s．
（1）当t＝ s时，四边形PQCB为平行四边形；
（2）当PQ＝13cm时，求t的值．
【分析】（1）当运动时间为t s时，AP＝t cm，PB＝（14﹣t）cm，CQ＝2t cm，由四边形PQCB为平
行四边形，可得出PB＝CQ，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝AD＝5cm，当运动时间为t s时，AP＝t cm，DQ＝（25﹣2t）
cm，EQ＝|25﹣2t﹣t|＝|25﹣3t|cm，由PQ＝13cm，利用勾股定理，可得出PQ2＝PE2+EQ2，进而可得出
关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝t cm，PB＝（14﹣t）cm，CQ＝2t cm，
根据题意得：PB＝CQ，
即14﹣t＝2t，
解得：t＝ ，∴当t＝ s时，四边形PQCB为平行四边形．
故答案为： ；
（2）∵14÷1＝14（s），25÷2＝ （s），
∴0≤t≤ ．
过点P作PE⊥CD于点E，则PE＝AD＝5cm，如图所示．
当运动时间为t s时，AP＝t cm，PB＝（14﹣t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（25﹣2t）cm，EQ＝|25﹣2t﹣
t|＝|25﹣3t|cm，
根据题意得：PQ2＝PE2+EQ2，
即132＝52+（25﹣3t）2，
整理得：9t2﹣150t+481＝0，
解得：t ＝ ，t ＝ ．
1 2
答：t的值为 或 ．
41．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移
动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由．
【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为 ，有P、Q点的
移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【解答】解：如图，
①过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．∴S△PQB ＝ •PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意， •（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t ＝2，t ＝4．
1 2
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②当面积等于5时， •（6﹣t）•t＝5．
t2﹣6t+10＝0．
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，
所以△PBQ的面积不能等于5cm2，
