文档文本内容
二次函数的综合
解答题
1.已知函数 是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x为何值时，y随x的增大而增大；
（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
2.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的
坐标；若不存在，请说明理由．
3.已知抛物线C ：y=ax2+bx﹣ （a≠0）经过点A（1，0）和B（﹣3，0）．
1
（1）求抛物线C 的解析式，并写出其顶点C的坐标．
1
（2）如图1，把抛物线C 沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C ， 此时点A，C分别平移到点D，E处．
1 2
设点F在抛物线C 上且在x轴的上方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标．
1（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，
当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P
经过的路线长．
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分
线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函数 的图象抛物线经过A、C两
点．
（1）求该二次函数的表达式；（2）F，G分别为x轴、y轴上的动点，首尾顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小
值；
（3）抛物线上是否存在点P，使△ODP的面积为8？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 ．
5.如图，已知抛物线y=- x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA
方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，
当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）直接写出抛物线的解析式：________ ；
（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？
（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？
若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图1，已知直线y=kx与抛物线y= 交于点A（3，6）．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点
Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果
是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正
半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1
个、7.如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．
1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．
8.如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．
已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于
点D．
（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S =8S ， 且△QAB∽△OBN成
四边形OPMN QAB
△
立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
9.抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（ ，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与
△AOC相似时，求点D的坐标．
10.如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）在x轴上有一点P，点P在直线AB的垂线段为PC，C为垂足，且PC= ，求点P的坐标；
（3）如图（2），将原抛物线向左平移，使平移后的抛物线过原点，与原抛物线交于点D，在平移后的抛物线上
是否存在点E，使S =S ？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
APE ACD
△ △
11.在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时
点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．12.在直角坐标平面内，二次函数图像的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图
像与x轴的另一个交点的坐标．
13.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为批物线，在距水
池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，
以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式 ；
（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离
水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径
扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水
热水柱的最大高度。
14.在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx2+(m+2)x+2过点(2,4)，且与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），
与y轴交于点C.点D的坐标为(2,0)，连接CA，CB，CD.（1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）p是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出点E的坐标；
②连接CP，当△CDP的面积最大时，求点E的坐标.
15.如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣ ，线段AD平行于x轴，交抛
物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与
△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的 ？参考答案
解答题
1.（1）解：由题意，有 且 ，解之得 或 .
（2）解：当 时，二次函数有最低点，此时 ，最低点为（0，0），且当 时，y随x的增大
而增大.
（3）解：当 时，抛物线有最大值，最大值为0，且当 时，y随x的增大而减小.
2.（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a= ，
∴y= （x﹣1）（x﹣5）= x2﹣ x+4= （x﹣3）2﹣ ，
∴抛物线的对称轴是：x=3
（2）解：P点坐标为（3， ）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．
设直线BA′的解析式为y=kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得 ，解得 ，
∴y= x﹣ ，
∵点P的横坐标为3，
∴y= ×3﹣ = ，
∴P（3， ）．
（3）解：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t， t2﹣ t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣ x+4，
把x=t代入得：y=﹣ t+4，则G（t，﹣ t+4），
此时：NG=﹣ t+4﹣（ t2﹣ t+4）=﹣ t2+4t，
∵AD+CF=CO=5，
∴S =S +S = AD×NG+ NG×CF= NG•OC= ×（﹣ t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，
ACN ANG CGN
△ △ △
∴当t= 时，△CAN面积的最大值为 ，
由t= ，得：y= t2﹣ t+4=﹣3，
∴N（ ，﹣3）3.（1）解：∵抛物线C ：y=ax2+bx﹣ （a≠0）经过点A（1，0）和B（﹣3，0），
1
∴ 解得 ，
∴抛物线C 的解析式为y= x2+x﹣ ，
1
∵y= x2+x﹣ = （x+1）2﹣2，
∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣2）
（2）解：如图1，作CH⊥x轴于H，
∵A（1，0），C（﹣1，﹣2），
∴AH=CH=2，
∴∠CAB=∠ACH=45°，
∴直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠ACH，
∴EF∥y轴，
∵DE=AC=2 ，
∴EF=4，
设F（m， m2+m﹣ ），则E（m，m﹣1），
∴（﹣ m2+m﹣ ）﹣（m﹣1）=4，
解得m=﹣3（舍）或m=3，∴F（3，6）
（3）解：①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
如图2中，作EG⊥AC，交BF于G，
∵DF⊥AC，BC⊥AC，
∴DF∥BC，
∵DF=BC=AC，
∴四边形DFBC是平行四边形，
∵∠CDF=90°，
∴四边形DFBC是矩形，
∴EG=BC=AC=2 ，
∵EN⊥EM，
∴∠MEN=90°，
∵∠CEG=90°，
∴∠CEM=∠NEG，
∴△ENG∽△EMC，
∴ = ，
∵F（3，6），EF=4，
∴E（3，2），
∵C（﹣1，﹣2），
∴EC=4 ，
∴ = =2，∴tan∠ENM= =2；
∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
②如图3﹣1中，
∵直角三角形EMN中，PE= MN，直角三角形BMN中，PB= MN，
∴PE=PB，
∴点P在EB的垂直平分线上，
∴点P经过的路径是线段PP′，如图3﹣2，
当点M与B重合时，
∵△EGN∽△ECB，
∴ = ，
∵EC=4 ，EG=BC=2 ，∴EB=2 ，
∴ = ，
∴EN= ，
∵PP′是△BEN的中位线，
∴PP′= EN= ；
∴点M到达点C时，点P经过的路线长为
4.（1）∵二次函数 的图象经过A（0，4）、C（5，0）两点，
∴ 解得
∴二次函数的解析式为
（2）∵四边形OABC为矩形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，AB＝OC＝5，BC＝OA＝4，
∴B（5，4），
∵E为BC中点，
∴E（5，2），
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，
∴∠ADO＝∠AOD＝45°，
∴AD＝OA＝4，
∴D（4，4），
∴DE＝ ，
作D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，连接D′G、E′F，如下图所示：则D′（－4，4），E′（5，－2），且D′G＝DG，E′F＝EF，
∵在 E′BD′中，∠E′BD′＝90°，BD′＝5－（－4）＝9，E′B＝4－（－2）＝6，
∴E′D′＝ ，
∵四边形DEFG的周长＝DE＋EF＋FG＋GD＝DE＋ E′F＋FG＋ GD′≥DE＋ E′D′，
∴四边形DEFG的周长最小值为DE+ E′D′，
∴四边形DEFG周长的最小值是
（3）解：∵点D的坐标是（4，4），
∴OD＝ ，
又∵使△ODP的面积为8，
∴点P到直线OD的距离为 ，
过点O作OF⊥OD，取OF= ，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2，则，∠OFG＝90°，如图所示：∵∠DOC＝45°（已求），
∴∠COF＝∠FOG＝45°，
在直角 中，OF＝ ，
∴OG＝ ＝4，
∴直线GF的解析式为y=x-4,
把y=x-4代入 中，得 ，
解得x =4,x =10,
1 2
把x =4,x =10代入y=x-4中，得y =0,y =6,
1 2 1 2
∴P (4,0),P (10,6),
1 2
过点O作OF⊥OD，取OF= ，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4，如下图所示：
∵∠DOC＝45°（已求），
∴∠DOA＝∠AOF＝∠GOF=45°，
在直角 中，OF＝ ，
∴OG＝ ＝4，
∴直线GF的解析式为y=x+4,把y=x+4代入 中，得 ，
解得x =0,x =14,
1 2
把x =0,x =14代入y=x+4中，得y =4,y =18,
1 2 1 2
∴P (0,4),P (14,18),
1 2
所以综合上述可得，P (4，0) 、 P (10，6) 、P (0，4) 、 P (14，18)
1 2 3 4
5.（1）y=- x2+3x+8
（2）解：∵点A（0，8）、B（8，0），
∴OA=8，OB=8，
令y=0，得：- x2+3x+8=0，
解得：x 8，x =2，
1 2
∵点E在x轴的负半轴上，
∴点E（-2，0），
∴OE=2，
根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，
∴OD=8﹣t，
∴DE=OE+OD=10﹣t，
∴S= •DE•OC= •（10-t）•t=- t2+5t，
即S=- t2+5t=- （t-5）2+ ，
∴当t=5时，S =
最大
（3）由（2）知：当t=5时，S = ，
最大
∴当t=5时，OC=5，OD=3，
∴C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD= ，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
将C（0，5），D（3，0），代入上式得：
k=- ，b=5，
∴直线CD的解析式为：y=- x+5，
过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，
设直线EF的解析式为：y=- x+b，
将E（-2，0）代入得：b=- ，
∴直线EF的解析式为：y=- x- ，
将y=- x- ，与y=- x2+3x+8联立成方程组得：
，
解得： ， ，∴P（ ，﹣ ）；
过点E作EG⊥CD，垂足为G，
∵当t=5时，S = = ，
ECD
△
∴EG= ，
过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN= ，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，
可得△EGD∽△DMN，
∴ ，
即： ，
解得：DM= ，
∴OM= ，
由勾股定理得：MN= = ，∴N（ ， ），
过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，如图2，
设直线NH的解析式为：y=- x+b，
将N（ ， ），代入上式得：b= ，
∴直线NH的解析式为：y=- x+ ，
将y=- x+ ，与y=- x2+3x+8联立成方程组得：
，
解得： ， ，
∴P（8，0）或P（ ， ），
综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面
积，点P的坐标为：P（ ，- ）或P（8，0）或P（ ， ）．
6.（1）解：把点A（3，6）代入y=kx 得；
∵6=3k，
∴k=2，
∴y=2x．
OA=
（2）解：方法一：
是一个定值，理由如下：
如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，
此时 =tan∠AOM=2；
②当QH与QM不重合时，
∵QN⊥QM，QG⊥QH
不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN，
又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN…，
∴ =tan∠AOM=2，
当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 =2
方法二：
过点Q分别作y轴，x轴垂线，垂足分别为G，H，
∵QN⊥QM，∴∠NQH+∠HQM=90°，
∵QG⊥QH，∴∠NQH+∠GQN=90°，
∴∠HQM=∠GQN，
∵∠QGN=∠QHM=90°，
∴△QGN∽△QHM，
∴QM：QN=2：1
（3）解：方法一：如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R
∵∠AOD=∠BAE，
∴AF=OF，
∴OC=AC= OA=
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC，
∴ ，
∴OF= ，
∴点F（ ，0），
设点B（x，﹣ ），
过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，
∴ ，
即 ，
解得x =6，x =3（舍去），
1 2
∴点B（6，2），
∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，
∴AB=5；
（求AB也可采用下面的方法）
设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（ ，0）代入得
k=﹣ ，b=10，∴y=﹣ x+10，
∴ ，
∴ （舍去）， ，
∴B（6，2），
∴AB=5
（其它方法求出AB的长酌情给分）
在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，
∴∠ABE=∠DEO，
∵∠BAE=∠EOD，
∴△ABE∽△OED．
设OE=a，则AE=3 ﹣a（0＜a＜3 ），
由△ABE∽△OED得 ，
∴ = ，
∴m= a（3 ﹣a）=﹣ a2+ a（0＜a＜3 ），
∴顶点为（ ， ）
如答图3，当m= 时，OE=a= ，此时E点有1个；
当0＜m＜ 时，任取一个m的值都对应着两个a值，此时E点有2个．
∴当m= 时，E点只有1个
当0＜m＜ 时，E点有2个
方法二：
延长AB交x轴于F，过点F作FC⊥OA于点C．
∵∠BAE=∠AOD，
∴OF=AF，
∵FC⊥OA，
∴C为OA中点，
∵O（0，0），A（3，6），
∴C（ ，3），
K =2，
OA
∵K ×K =﹣1，
OA PC
∴K =﹣ ，
PC
∴l ：y=﹣ x+ ，
FC
当y=0时，x= ，即F（ ，0），
∴l ：y=﹣ x+10，
AF
∴ x1=3（舍），x2=6，
⇒
∴B（6，2），AB=5，
∵D（m，0），OD=m，
设AE=a，OE=3 ﹣a，OED=∠ABE，
⇒∠
∴△ABE∽△OED，
∴ ，
∴ ，
∴a2﹣ a+5m=0，
∵E只有一个，
∴△=45﹣20m=0，
∴m= ，
∵E只有两个，
∴△=45﹣20m＞0，
即0＜m＜ 时，E有两个
7.（1）解：∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0）
根据题意，得 ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：如图，设该抛物线对称轴是DF，连接DE、BD．过点B作BG⊥DF于点G．
由顶点坐标公式得顶点坐标为D（1，4）
设对称轴与x轴的交点为F
∴四边形ABDE的面积=S +S +S
ABO 梯形BOFD DFE
△ △
= AO•BO+ （BO+DF）•OF+ EF•DF
= ×1×3+ ×（3+4）×1+ ×2×4=9
（3）解：相似，如图，
BD= ；
∴BE=
DE=
∴BD2+BE2=20，DE2=20
即：BD2+BE2=DE2 ，
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB=∠DBE=90°，且 ，
∴△AOB∽△DBE．
8.（1）解：如图，连接OC，
∵M（4，0），N（0，3），∴OM=4，ON=3，
∴MN=5，
∴OC= MN= ，
∵CD为抛物线对称轴，
∴OD=MD=2，
在Rt OCD中，由勾股定理可得CD= = = ，
△
∴PD=PC﹣CD= ﹣ =1，
∴P（2，﹣1）；
（2）解：∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线过N（0，3），
∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，
∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3
（3）解：在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∵ON=3，OM=4，PD=1，
∴S =S +S = OM•PD+ OM•ON= ×4×1+ ×4×3=8=8S ，
四边形OPMN OMP OMN QAB
△ △ △
∴S =1，
QAB
△
设Q点纵坐标为y，则 ×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，
当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，
当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD=QD，
∴△QAB为等腰直角三角形，∵ON=OB=3，
∴△OBN为等腰直角三角形，
∴△QAB∽△OBN，
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）
9.（1）解：当x=0，y=3，
∴C（0,3）
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x- ).
将c（0，3）代入得：- a=3，解得a=2，
∴抛物线的解析式为y=-2x2+x+3
（2）解：过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N。
∵OC=3，AO=1，
∴tan∠CAO=3，
∴直线AC的解析式为y=3x+3.
∵AC⊥BM,
∴BM的一次项系数为 。
设BM的解析式为y= +b,将点B的坐标代入得： ，解得b= 。
∴BM的解析式为y= .
将y=3x+3与y= 联立解得：x= ,y= .
∴MC=BM= =∴ MCB为等腰直角三角形。
∆
∴∠ACB=45º.
（3）解：如图2所示，延长CD，交x轴于点F，
∵∠ACB=45º,点D是第一象限抛物线上一点，
∴∠ECD>45º.
又∵ DCE与 AOC相似，∠AOC=∠DEC=90º,
∆ ∆
∴∠CAO=∠ECD.
∴CF=AF.
设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2 ， 解得a=4.
∴F（4,0）.
设CF的解析式为y=kx+3,将F（4,0）代入得4k+3=0，解得k= 。
∴CF的解析式为y= x+3.
将y= x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0（舍去）或x= .
将x= 代入y= x+3得y= .
∴D（ ， ）
10.（1）解：∵抛物线y=﹣ x2+bx+c过点A（﹣4，0），B（0，4），
∴ ，解得： ，
∴所求抛物线的函数解析式是y=﹣ x2﹣x+4（2）解：∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA=OB=4．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
设PC⊥AB，则∠ACP=90°，PC= ．
Rt ACP中，sin∠PAC= ，
△
∴PA= =2．
∴OP=OA﹣PA=2或OP=OA+AP=6．
∴点P的坐标为：P （﹣2，0），P （﹣6，0）
1 2
（3）解：∵抛物线y=﹣ x2﹣x+4向左平移后过原点，
∴平移后的抛物线的函数解析式为y=﹣ x2﹣3x．
由﹣ x2﹣x+4=﹣ x2﹣3x．
解得 x=﹣2．
∴y=﹣ ×（﹣2）2﹣3×（﹣2）=4．
∴点D的坐标为（﹣2，4）．
如图2，①当点P在AO上时，设P C ⊥AB，过C 作C N⊥x轴，垂足为N，
1 1 1 1在Rt AC P 中，∵∠C AP =45°，AP =2，
1 1 1 1 1
△
∴AC =P C = ．
1 1 1
∴AN=NC =1．
1
∴点C 的坐标为（﹣3，1）．
1
∴ = ﹣ ﹣ = ×2×4﹣ ×2×1﹣ ×4×1=4﹣1﹣2=1．
②当点P在OA延长线上时，同理可得点C 的坐标为（﹣5，﹣1）． =1，
2
设点E（a，b），当S =S 时，有 ×2×|b|=1．即|﹣ a2﹣3a|=1．
APE ACD
△ △
∴﹣ a2﹣3a=1或﹣ a2﹣3a=﹣1．
∴a =﹣3+ ，a =﹣3﹣ ，a =﹣3+ ，a =﹣3﹣ ．
1 2 3 4
∴存在点E，使S =S ， 点E的坐标为：（﹣3+ ，1）或（﹣3﹣ ，﹣1）或（﹣3+ ，﹣1）或（﹣3﹣
APE ACD
△ △
，﹣1）
11.（1）解：∵直线y=x+4经过A，C两点，
∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），
又∵抛物线过A，C两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：①如图1∵ ，
∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1．
∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，
∴PQ∥AO，PQ=AO=4．
∵P，Q都在抛物线上，
∴P，Q关于直线x=﹣1对称，
∴P点的横坐标是﹣3，
∴当x=﹣3时， ，
∴P点的坐标是 ；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，如图2
∵PF∥OC，
∴△PEF∽△OEC，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
设点F（x，x+4），
∴ ，
化简得：x2+4x+3=0，解得：x =﹣1，x =﹣3．
1 2
当x=﹣1时， ；当x=﹣3时， ，
即P点坐标是 或 ．
又∵点P在直线y=kx上，
∴ 或 ．12. （1）解：∵二次函数图像的顶点为A（1，﹣4），
∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：
0=4a﹣4，解得a=1，
∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3
（2）解：令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x =3，x =﹣1．
1 2
∴二次函数图像与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），
∴二次函数图像上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．
故平移后所得图像与x轴的另一个交点坐标为（4，0）
13.（1）∵抛物线顶点为（3，5）∴设y＝a（x-3）2＋5，
将（8，0）代入得a=
∴ （或 ）（0＜x＜8）
（2）当y＝1.8时，即
可得x ＝7，x ＝－1（舍去）
1 2
答：王师傅必须站在离水池中心7米以内.
（3）由 可得抛物线与y轴的交点为（0， ）
∵装饰物高度不变
∴新抛物线也过点（0， ）∵喷出水柱的形状不变
∴a=
∵直径扩大到32米，
∴新抛物线过点（16，0）
设新抛物线为
将（0， ）和（16，0）代入得b=3，c=
∴
，当x= 时，y = 。
新
答：扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 （或14.45米）
14.解：（1）∵抛物线y=mx2+（m+2）x+2过点（2，4），
∴m•22+2（m+2）+2=4，
解得m=- ，
∴抛物线解析式为y=- x2+ x+2，
令y=0，则- x2+ x+2=0，
整理得，x2-5x-6=0，
解得x =-1，x =6，
1 2
令x=0，则y=2，
∴A（-1，0），B（6，0），C（0，2），
过点B作BM⊥CD交CD的延长线于M，
在Rt DOC中，∵OC=OD=2，
△
∴∠CDO=∠BDM=45°，CD=2 ，
在Rt BMD中，∵BD=6-2=4，
△∴DM=BM=4× ，
在Rt CMD中，tan∠BCM= ，
△
又∵tan∠ACO= ，
∴∠ACO=∠BCD；
（2）①由勾股定理得，BC= ，
BE=DE时，点E的横坐标为6- ×（6-2）=4，点E的纵坐标是 ×（6-2）× = ，
所以，点E （4， ）；
1
BE=BD时，点E的横坐标为6-（6-2）× =6- ，点E的纵坐标为（6-2）× = ，
所以，点E （6- ， ），
2
综上所述，点E （4， ）；或E （6- ， ）时，△BDE是等腰三角形；
1 2
②设P（x，- x2+ x+2），
过点P作x轴的垂线，垂足为F，交CD的延长线于点Q，
则直线CD的解析式为y=-x+2，∴点Q（x，-x+2），
S =S -S ， = PQ•OF- PQ•DF= PQ•OD，
CDP CPQ DPQ
△ △ △
∵OD=2，
∴S =PQ=- x2+ x+2-（-x+2）=- x2+ x（0＜x＜6），
CDP
△
∵S=- x2+ x=- （x-4）2+ ，
∴当x=4时，△CDP的面积最大，
此时，- x2+ x+2=- ×42+ ×4+2= ，
∴点P（4， ），
设直线PD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴直线PD的解析式为y= x- ，直线BC的解析式为y=- x+2，
联立 ，
解得 ，
所以，点E的坐标为（ ， ）．
15.（1）解：∵y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x=﹣ ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y=x2+3x
（2）解：如图1，∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，
∴D的纵坐标为4，
∴4=x2+3x，
∴x =﹣4，x =1，
1 2
∴D（﹣4，4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得： ，
∴y=2x+2；
当2x+2=x2+3x时，
解得：x =﹣2，x =1（舍去）．
1 2
∴y=﹣2．
∴B（﹣2，﹣2）．
∴DO=4 ，BO=2 ，BD=2 ，OA= ．
∴DO2=32，BO2=8，BD2=40，
∴DO2+BO2=BD2 ，
∴△BDO为直角三角形．
∵△EOD∽△AOB，∴∠EOD=∠AOB， ，
∴∠AOB﹣∠AOD=∠EOD﹣∠AOD，
∴∠BOD=∠AOE=90°．
即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A
1
∴A （4，﹣1），
1
∴E（8，﹣2）．
作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，﹣8）．
∴当点E的坐标是（8，﹣2）或（2，﹣8）时，△EOD∽△AOB
（3）解：由（2）知DO=4 ，BO=2 ，BD=2 ，∠BOD=90°．
若翻折后，点B落在FD的左下方，连接B′P与BD交于点H，连接B′D，如图2．
S = S = S = S =S =S ，
HFP BDP DPF B′PF DHP B′HF
△ △ △ △ △ △
∴DH=HF，B′H=PH，
∴在平行四边形B′FPD中，PD=B′F=BF= BD= ；
若翻折后，点B，D重合，S = S ， 不合题意，舍去．
HFP BDP
△ △
若翻折后，点B落在OD的右上方，连接B′F交OD于点H，连接B′D，如图3，S = S = S = S = S =S =S
HFP BDP BPF DPF B′PF DHF B′HP
△ △ △ △ △ △ △
∴B′P=BP，B′F=BF，DH=HP，B′H=HF，
∴四边形DFPB′是平行四边形，
∴B′P=DF=BF，
∴B′P=BP=B′F=BF，
∴四边形B′FBP是菱形，
∴FD=B′P=BP= BD= ，根据勾股定理，得
OP2+OB2=BP2 ，
∴（4 ﹣PD）2+（2 ）2=（ ）2 ，
解得PD=3 ，PD=5 ＞4 （舍去），
综上所述，PD= 或PD=3 时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面
积的 ．
