初中数学九年级上册第21单元一元二次方程题库_0作业_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学苏科版试卷_《优秀作业单》_九年级

九年级上册第 21 章 一元二次方程
一、选择题
1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是【 】
A．ax2bxc0 B．x230
1 1
C．  1 D．x22x(x1)0
x2 x
2．关于x的方程(m2)x|m|mx10是一元二次方程，则m值为【 】
A．2或2 B．2 C．2 D．m0且m2
3．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为 【 】
A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10
4．若a是x22x70的一个根，则a22a1的值是 【 】
A．5 B．6 C．7 D．8
5． 一元二次方程x2＝4的根是【 】
A．2 B．±2 C．4 D．±4
6．若2x23与2x24互为相反数，则x为【 】
1 1
A． B．2 C．±2 D．±
2 2
7．方程h12 32h2的根是【 】
2 2
A． B．4 C． 或4 D．无解
3 3
8．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝【 】
A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
9． 用配方法解方程x24x10，变形正确的是【 】
A．x22 5 B．x42 5 C．x22 1 D．x42 1
10．把方程x2﹣6x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n分别是【 】
A．﹣3，6 B．﹣3，12 C．3，6 D．3，12
11．某学生解方程3x2－x－20的步骤如下：
1 2 1 2  2 2 2 4
解：3x2x20x2 x 0①x2 x ②x    ③
3 3 3 3  3 3 9
2 10 2 10 2 10
x  ④→x  , x  ⑤.
3 3 1 3 2 3上述解题过程中，开始出现错误的是【 】
A．第②步 B．第③步 C．第④步 D．第⑤步
12．若A＝x22x﹣6y，B＝﹣y24x﹣11，则A、B的大小关系为【 】
A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B
13．用公式法解方程x2x2时，求根公式中a，b，c的值分别是【 】
A．a1，b1，c2 B．a1，b=-1，c2
C．a1，b1，c2 D．a1，b=-1，c2
3 32421
14．x 是下列哪个一元二次方程的根 【 】
22
A．2x23x10 B．2x23x10 C．2x23x10 D．2x23x10
15．用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0时，计算b2﹣4ac的结果为 【 】
A．17 B．14 C．11 D．8
16．用求根公式法解得某方程ax2bxc0(a0)的两个根互为相反数，则【 】
A．b0 B．c=0 C．b24ac0 D．bc0
17．下列一元二次方程没有实数根的是 【 】
A．x22x10 B．x2x20 C．x210 D．x22x10
18．关于x的一元二次方程 x24xk0 有实数解，则k的取值范围是 【 】
A．k 4 B．k4 C．k 4 D．k 4
19．关于x的一元二次方程x22xk 0有两个不相等的实数根，则k的取值为 【 】
A．k1 B．k 1 C．k1 D．k1且k 0
20．在平面直角坐标系中，若直线yxm不经过第一象限，则关于x的方程mx2x10
的实数根的个数为 【 】
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
21．一元二次方程x2 3x的解为【 】
A．x0 B．x3 C．x 0，x 3 D．x 0，x 3
1 2 1 2
22．已知某一元二次方程的两根分别为x  3,x  4，则这个方程可能为 【 】
1 2
A．(x3)(x4)0 B．(x3)(x4)0
C．(x3)(x4)0 D．(x3)(x4)023．解方程xx23x20，最适当的解法是【 】
A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法
x22x3
24．如果分式 的值为0，那么x的值是 【 】
x1
A．x3 B．x0 C．x3或1 D．x=1或0
25．若一元二次方程2x24x10的两个根为x、x，则x x 是 【 】
1 2 1 2
1
A．1 B．1 C．2 D．
2
26．下列关于x的方程中，两实数根之和为3的是 【 】
A．x23x2 B．x23x40 C．x23x4 D．x22x30
27．关于x的一元二次方程x2mx20有一个解为x1，则该方程的另一个解为 【 】
A．0 B．1 C．2 D．2
28．已知x，x是一元二次方程x2x10的两根，则x2x 的值为 【 】
1 2 1 2
A．0 B．2 C．1 D．－1
29．方程x2=x的解是 【 】
A．x=1 B．x =﹣1，x =1 C．x =0，x =1 D．x=0
1 2 1 2
30．若关于x的一元二次方程x2xm0有两个相等的实数根，则实数m的值为 【 】
1 1
A．4 B． C． D．4
4 4
31．用配方法解方程x28x90，变形后的结果正确的是 【 】
A．x42 9 B．x42 7 C．x42 25 D．x42 7
32．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x =1，x =﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=的解
1 2
是 【 】
A．x =﹣1，x =3 B．x =1，x =﹣3
1 2 1 2
C．x =2，x =6 D．x =﹣2，x =﹣6
1 2 1 2
33．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛
程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系
式为 【 】
1 1
A． xx147 B． xx147
2 2
C．x(x1)28 D．x(x1)2834．一个小组若干人，新年互送贺卡一张，若全组共送贺卡90张，则这个小组共有 【 】
A．9人 B．10人 C．12人 D．15人
35．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干
和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是 【 】
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
36．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则
这个航空公司共有飞机场 【 】
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
37.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平
均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是 【 】
A．2001x2 242 B．2001x2 242 C．20012x242 D．20012x242
38.李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利
的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 【 】
A．10.5% B．10% C．20% D．21%
39.某商场销售某种水果，第一次降价60%，第二次又降价10%，则这两次平均降价的百分
比是 【 】
A．35% B．30% C．40% D．50%
40.某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，
定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，
超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？ 【 】
A．50 B．60 C．50或60 D．100
41.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分
全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是 【 】
A．5m B．70m C．5m或70m D．10m
42．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，
使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300m2，设扩大后的正
方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是 【 】
A．x(x-20)=300 B．x(x+20)=300 C．60(x+20)=300 D．60(x-20)=300
第41题图 第42题图
43.某小区花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大
后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加15m2，设原来花圃长边为xm，可列方程 【 】
A．x25x15 B．x25x15 C．(x5)2 15 D．x52 15
44.我国古代著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适
一丈，问户高几何？”大意是说：已长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈（1
丈=10尺，1尺=10寸），那么门的高为 【 】A．96寸 B．86寸 C．62寸 D．28寸
45.若关于x的方程ax23x10是一元二次方程，则a满足的条件是 【 】
9 4
A．a B．a0 C．a0 D．a
4 9
46.用配方法解一元二次方程2x23x10，配方正确的是【 】
2 2 2 2
 3 17  3 1  3 13  3 11
A． x   B． x   C． x   D． x  
 4 16  4 2  2 4  2 4
47．已知关于x的一元二次方程ax24x10有两个不相等的实数根，则a的取值范围是
【 】
A．a4 B．a4 C．a4且a0 D．a4且a0
1 1
48.已知x、x是一元二次方程x2x20的两个根，则  的值是 【 】
1 2 x x
1 2
1 1
A．1 B． C．1 D．
2 2
二、填空题
1．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平
方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）
为x步，则可列方程 ．
2.若方程ax2bxc0的一个根为1，则abc ．
3．关于x的一元二次方程m1x22m1xm210的一个根为零，则m ．
4．若关于x的一元二次方程ax2bx10a0有一根为x1，则一元二次方程
ax12bx110必有一根为 ．
5．关于x的方程x22 1m 无实数根，那么m满足的条件是 ．
6．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2－b2，根据这个规则，方程
（x＋1）＊2＝0的解为 ．
7．已知x y3x y372，则xy的值为 ．
8．若关于x的一元二次方程ax2 b(ab0)的两个根分别是m1与2m4，
a
则  ．
b
9．如果二次三项式
x22m1x16
是一个完全平方式，那么m的值是__________．10．设A＝a+3，B＝a2﹣a+5，则A与B的大小关系是A B（填“＞，＝，＜”之一）.
k
11．已知多项式A＝x2﹣x+(3 )，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范
2
围是 ．
12．代数式 -x2+4x+1，当x= 时，代数式有最大值，其值为 ．
13．若代数式x24x1的值与3x2的值相等，则x的值为 ．
14．若实数a、b、c满足： a22a1 b1(c2)2 0，则方程ax2bxc0的解
是 ．
15．如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x1，点B 对
应的数是x2x，已知AB＝7，则x的值为 ．
16．下面是小明同学解方程x25x4的过程：
∵a1，b=5，c4（第一步）
∴b24ac5241441（第二步）
5 41
∴x ，（第三步）
2
5 41 5 41
∴x  ，x  （第四步）
1 2 2 2
小明是从第 步开始出错．
17．关于x的一元二次方程x26xm0有两个不相等的实数根，请写出一个合适的m的
值 ．
18．若关于x的一元二次方程x22xc0无实数根，则c的取值范围是 ．
19．若关于x的一元二次方程kx26x80有两个不相等的实数根，则k的取值范
围 ．
20．若关于x的方程(k1)x22x10 有实数根，则k的取值范围是 ．
21．一元二次方程xx2 x2的根是 .
22．若实数x，y满足xy3xy10，则xy的值为 ．
23．若关于x的一元二次方程m1x25xm23m20的常数项为0，则m ．
24．定义运算a☆b2a2ab，若ax1,bx ，a☆b6，则x的值为 ．25．若一个一元二次方程的两个根分别是1、2，请写出一个符合题意的一元二次方
程 ．
26．设x,x 是关于x的方程x26xm0的两个根，且x 2x ，则m ．
1 2 1 2
27．关于x的方程x2mxn0的两个根分别是 21, 21，mn ．
28．已知关于x的一元二次方程x22k3xk2 0有两个不相等的实数根x，x．若
1 2
1 1
 1，则k的值为______．
x x
1 2
29．请给出c的一个值，c= 时，方程x2﹣3x+c=0无实数根．
1
30．若关于x 的一元二次方程 x22mx4m10有两个相等的实数根，则
2
(m2)22m(m1) 的值为 ．
31．已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x210x240的一个根，这个三角形的周长
是 ．
32．若x ，x 是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 2﹣2x +2x 的值等于 ．
1 2 1 1 2
33．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，若设个
位数字为x，列出方程为 ．
34．有一人发了某内容的短信，经过两轮发送后共有196人的手机上有了该短信，则每轮发
送中平均一个人发送了_______人．
35．一个凸多边形共有20条对角线，那么它是_________边形．
36．有3人患了流感，经过两轮传染后共有192人患流感，设每轮传染中平均一个人传染了
x人，则可列方程为 ．
37.近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米10000元，连续两次降价后售价为
8100元，则平均每次降价的百分率是 ．
38.某商场销售一批衬杉，平均每天可售20件，每件盈利40元．经调查发现，如果每件衬
衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，为了尽量减少库存，若商场平均每天要利
1200元，每件衬衫应降价 元．
39.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本
价．据试销发现，月销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数y10x1000．在
使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为 元．
40.购物节来临前，某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升，购物节当天商场又
按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终这件衬衫的价格为原价的
84%，则这个给定的百分比为 ．
41．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下
的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，则道路的宽为 m ．42．如图，某小区有一块长为30m、宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩
形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人
行通道的宽度为 m．
43．如图，小明家有一块长1.5m、宽1m的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地
毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地
毯的宽为 m．
44．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然
后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积（图中阴影部分）
是32cm2，则剪去的小正方形的边长为 cm．
第41题图 第42题图 第43题图 第44题图
45.一元二次方程4x(x2) x2的解为 ．
46．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围
是 ．
47．解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个
一元一次方程 ．
48．某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，
则平均每次下调的百分率为 ．
三、解答题
1．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常
数项．
(1)3x225x； (2)9x2 16；
(3)2x ( 3x+1 )=17； (4) ( 3x-5 )( x+1 )=7x-2.
2．x2是下列方程的解吗？
（1）3x10x20； （2）2x267x．
3．已知a是方程x22x10的一个根，求代数式(a1)2a(a2)的值．4．已知关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？求出该一元一次方程的解；
(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一
次项系数和常数项．
ab
5．一元二次方程a(x1)2bx1c0化为一般形式后为2x23x10，试求 的值．
c
6．用直接开平方法解下列方程：
(1)4x2 1； (2)(x2)2160； (3)x26x97．
7．当x取何值时，代数式3x28与2x21的值相等？
8．用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2=0．
解：移项得4（2x﹣1）2=25（x+1）2，①
直接开平方得2（2x﹣1）=5（x+1），②
∴x=﹣7． ③
上述解题过程，错在第_____步，请写出正确的解答过程．
9.已知一元二次方程（x﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长， 求
△ABC的周长．
10．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和方程的另一个根．11．用配方法解方程：2x2 5x200 ．
12．对于二次三项式x2－10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不
可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．
13．已知：a是不等式5a286a17的最小整数解，请用配方法解关于x的
方程x22axa10．
14．试证明：不论m为何值，关于x的方程  m22m2  x24m1x70总为一元二次
方程.
15．解方程：x24|x|41．
16．用公式法解下列一元二次方程：
1
(1)x2  2x 0 (2) 3y2y11．
2
17．关于x的方程x22x2k10有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最大整数值时，求方程的两个根．18. 若a2 5abb2 0  b0  ，求 a 的值.
b
19．已知关于x的一元二次方程 x22mxm210 ．
(1)判断方程的根的情况；
(2)若ABC为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值．
20．已知关于x的方程mx24m2x4m40（m为常数，且m0）
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若该方程有两个实数根；
①不论m取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______；
②若m为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m的值．
21．利用判别式判断下列一元二次方程的根的情况：
(1)x23x70； (2)9x26x10；
（3）x23 2x40； (4)5x25x4x210．
22．关于x的方程x2 3xm10有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
23．已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．24．关于 x的一元二次方程x2 x p10 有两个实数根 x 、 x ．
1 2
（1）求 p 的取值范围；
（2）若(x2x 2)(x 2x 2)9，求 p 的值．
1 1 2 2
25．已知关于x的方程kx2(k8)x80．
(1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值和
这个等腰三角形的周长．
26．用因式分解法解下列方程：
(1)x22 3x6； (2)3x21212x；
(3) 3x224x2 0； (4)52x112xx3．
27．已知关于x的一元二次方程(m1)x22mx10 根的判别式的值为4，求m的值．
28．x2axb分解因式的结果是(x1)(x2)，则方程x2axb0的两个根分别是什么？
29．已知关于x的方程kx2k2x20k 0．
(1)求证：此方程总有实数根；
(2)若k为整数，且此方程有两个不相等的整数根，求k的值．m1 m21
30．先化简，再求值：1  ，其中m满足一元二次方程m2-2m-8=0.
m m22m
31．已知m，n是方程x2x10的两个根，求代数式3m2 3nmn的值.
32．已知m，n是方程x23x2的两个根，求  m310mn  n 2 的值．
 n
33．若，是方程3x22x90的两实数根，求下列各式的值．
1 1
(1)  ； (2)2； (3)322．
 
34．已知方程：x24xa0的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围．
35．已知关于x的一元二次方程x2(2m3)xm220 ．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程的两个根分别为x 、x ，且满足x2x 2 3xx 14，求实数m的值．
1 2 1 2 1 2
36．用适当的方法解下列方程：
12x210x3 2(x3)2 (12x)23(x4)2 5x4 4(x1)23x120．
37.已知关于x的一元二次方程12kx22 kx10有两个不等的实数根，求k的取值范
围.
38．已知关于x的一元二次方程x24mx3m2 0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
39.关于x的方程x22x2m10有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
40．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
41．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染
了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮的传染源有___人，有___人被传染，第二轮的传染源有___人，有___人被传染，
两轮过后共有___人患了流感？你能根据问题中的数量关系列出方程并解答吗？
42.某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的
支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是91，求这种植
物每个支干长出的小分支个数是多少？43．某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该
电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．
（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?
（2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染．
44.随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发
1
了此信息，收到转发的信息的人中有 会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转
3
发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
45．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有64个人被感染．
(1)求每轮感染中平均一个人会感染几个人；
(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过500人．
46.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份
的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
47.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，
该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售
单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？48.某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销
售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销
售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1
元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
49.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天
的营业额是前六天总营业额的12%．
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一
黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月
增长率．
50.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大
学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件
和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能
否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
51. ABC中，∠B=90∘ ，AB5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B
1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如
果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为
t秒．
(1)填空：BQ________，PB________（用含t的代数式表示）；
(2)是否存在t的值，使得PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存
在，请说明理由．52.如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔
有一道篱笆的长方形花圃．
(1)如果要围成面积为54平方米的花圃，那么AD的长为多少米？
(2)能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．
53.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图
所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2(铝合金条的宽度忽略不
计)？
54．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决
定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图
所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m
宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
55.如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、
宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m2，求新的矩形绿地的长与宽；
(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3．求新的矩形绿地面积．
56．解方程：
(1)x12 4 (2)x26x180 (3)3x22 xx2 (4)3x252x1057．已知关于x的一元二次方程x2(m2)xm10．
(1)如果该方程有两个相等的实数根，求m的值；
(2)如果该方程有一个根小于0，求m的取值范围．
58．已知关于x的一元二次方程x22mxm2m0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x、x，且x2x2 12，求m的值．
1 2 1 2
59.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，
一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，
请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售
单价应为多少？
60.阅读下列材料：“a2 0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平
方式，例如：x24x5 x24x41x221，∵x22 0，∴x2211，
∴ x24x51 ．试利用“配方法”解决下列问题：
简单应用：（1）填空：x24x7（x____）2____；
深入探究：（2）已知x24x y22y50 ，求xy的值；
灵活应用：（3）比较代数式2x24x5与x2x2的大小，并说明理由．三、综合实践
1. 比较你学过的各种整式方程，说明它们的分类标准，猜想一元n次方程的一般形式.
2．对于实数m,nmn，我们用符号minm,n表示m,n两数中较小的数，如min1,21．若
min
 x24,2x2
2 ，求x的值.
3. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那
么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a＋bi（a，b为实数），a
叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，
减法，乘法运算类似．
例如：解方程x2＝﹣1，
解得：x ＝i，x ＝﹣i．
1 2
同样我们也可以化简 4  4(1)  22 i2 2i；
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3＝ ，i4＝ ，i6＝ ，i2020＝ ；
(2)在复数范围内解方程：（x﹣1）2＝﹣1
(3)在复数范围内解方程：x2﹣4x＋8＝0
4．如图1，四边形ACDE是美国第二十任总统伽菲尔德验证勾股定理时用到的一个图形，
a，b，c是Rt ABC和Rt BED边长，易知AE= 2c，这时我们把关于x的形如
ax2 2cx△b0的一元△二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断方程x22x10是否是 “勾系一元二次方程”；并说明理由．
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” ax2 2cxb0必有实数根；5. 解方程： ax2+bx+c＝0 (a≠0)
6．阅读下列材料：
解方程：x46x250．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设x2  y，那么x4  y2，于是原方程可变为y26y50…①，
解这个方程得：y 1,y 5．
1 2
当y 1时，x2 1．∴x1；
1
当y 5时，x2 5，∴x 5
2
所以原方程有四个根： x 1,x 1,x  5,x  5．
1 2 3 4
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程(x2x)24(x2x)120时，若设y=x2-x，则原方程可转化
为 ；并求出x.
x24 2x
(2)利用换元法解方程：  2．
2x x24
7．阅读材料：
b c
材料1：若一元二次方程ax2bxc0a0的两个根为x，x则x x  ，xx  ．
1 2 1 2 a 1 2 a
n m
材料2：已知实数m，n满足m2m10，n2n10，且mn，求  的值．
m n
解：由题知m，n是方程x2x10的两个不相等的实数根，根据材料1得mn1，mn1，
n m m2n2 mn2 2mn 12
所以     3
m n mn mn 1
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程5x210x10的两个根为x，x，则x x ___________，
1 2 1 2xx ____________．
1 2
(2)类比探究：已知实数m，n满足7m27m10，7n27n10，且mn，求m2nmn2
的值．
2st7s2
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足7s27s10 ，t27t70，且st1．求
t
的值．
8．如果关于x的一元二次方程ax2bxc0a0有两个实数根，且其中一个根为另一个
根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x26x80的两个
根是x 2和x 4，则方程x26x80是“倍根方程”．
1 2
(1)根据上述定义，一元二次方程2x2x10__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
(2)若一元二次方程x23xc0是“倍根方程”，则c__________．
(3)若关于x的一元二次方程ax2bxc0a0是“倍根方程”，则a，b，c之间的关
系为__________．
9. 自编一道传播问题的应用题并解答.
10. 自编一道平均变化率问题的应用题并解答.
11. 自编一道几何图形问题的应用题并解答.
12.自制本章知识结构图.